(word完整版)平行与垂直的知识点总结,推荐文档
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立体几何知识点
一．平行关系：
1.线线平行：
方法一：用线面平行实现。如果一条直线
和一个平面平行，经过这条直线的平面和
这个平面相交，那么这条直线和交线平行
m
l
m
l
l
//
//
⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=
⋂
⊂
β
α
β
α
方法二：用面面平行实现。
两平行平面与同一个平面相交，那么两条
交线平行
m
l
m
l//
//
⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=
⋂
=
⋂
β
γ
α
γ
β
α
方法三：用线面垂直实现。
若α
α⊥
⊥m
l,，则m
l//。
④中位线定理、平行四边形、比例线
段……，
⑤平行于同一直线的两直线平行，即若a
∥b,b∥c,则a∥c.（公理4）
2.线面平行：
方法一：用线线平行实现。
如果平面外一条直线和这个平面内的一条
直线平行，则这条直线与这个平面平行.
α
α
α//
//
l
l
m
m
l
⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⊄
⊂
方法二：用面面平行实现。
两个平面平行，其中一个平面内的直线平
行于另一个平面
α
β
β
α
//
//
l
l
⇒
⎭
⎬
⎫
⊂
3．面面平行：
方法一：用线面平行实现。
如果一个平面内有两条相交直线都平行于
另一个平面，那么这两个平面平行
β
α
β
α
α
//
,
//
//
⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⊂且相交
m
l
m
l
三．垂直关系：
1．两直线垂直的判定
①定义：若两直线成90
°角，则这两
直线互相垂直.
方法一：用线面垂直实现。
一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线.
m l m l ⊥⇒⎭
⎬⎫
⊂⊥αα
②一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.即若b ∥c,a ⊥b,则a ⊥c
③如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂线垂直.即若a ∥α,b ⊥α,则a ⊥b. 2. 线面垂直：
方法一：用线线垂直实现。
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.
α
α⊥⇒⎪⎪⎭
⎪
⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC
l ,
方法二：用面面垂直实现。
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
αββαβα⊥⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫
⊂⊥=⋂⊥l l m l m ,
2. 面面垂直：
方法一：用线面垂直实现。
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直
βαβα⊥⇒⎭
⎬⎫
⊂⊥l l
方法二：计算所成二面角为直角。 二．夹角问题。 (一) 异面直线所成的角： (1) 范围：]90,0(︒︒ (2)求法： 方法一：定义法。
步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。 步骤2：解三角形求出角。 (二) 线面角
(1)定义：直线l 上任取一点P （交点除外），作PO ⊥α于O,连结AO ，则AO 为斜线PA 在面α内的射影，PAO ∠(图中θ)为直线l 与面α所成的角。
(2)范围：]90,0[︒︒
当︒=0θ时，α⊂l 或α//l 当︒=90θ时，α⊥l (3)求法： 方法一：定义法。
步骤1：作出线面角，并证明。 步骤2：解三角形，求出线面角 (三) 二面角及其平面角
(1)定义：在棱l 上取一点P ，两个半平面内分别作l 的垂线（射线）m 、n ，则射线m 和n 的夹角θ为二面角α—l —β的平面角。
(2)范围：]180,0[︒︒ (3)求法： 方法一：定义法。
步骤1：作出二面角的平面角，并证明。 步骤2：解三角形，求出二面角的平面角。
(一) 正棱锥：底面是正多边形且顶点在底
面的射影在底面中心。
(二) 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。 (三) 正多面体：
(四) 棱锥的性质：平行于底面的的截面与
底面相似，且面积比等于顶点到截面的距离与棱锥的高的平方比。 正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。
(五) 体积：=棱柱V =棱锥V