计算方法 11 迭代法-非线性方程

则：
* * * * * * * * x1 x2 ( x1 ) ( x2 ) L x1 x2 x1 x2
与假设条件产生矛盾，
x ( x) 在 a, b 上的根是唯一的。 故，
* x 唯一实根
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6
迭代法定理一
* lim x x 证明：再次证明极限 k k
x * xk ( x * ) ( x k 1 ) L x * x k 1 L2 x* xk 2 Lk x* x0
0 L 1 k , x * xk 0
1 2 x (1) 2 (1) ( x ) x ( x 2), ( x ) 1 , ( 2) 1 1 4 2 2
故迭代 (2) 收敛。
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14
例题
1 2 (1) 1 2 ( x) x , ( x) 1 2 , 解： 2 x 2 x 1 2 ( 2) 1 1 2 2 ( 2)
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迭代法定理二
证明：由连续函数性质，存在 x* 的谋领域 ，该
* x x x ，使任意 x0 ，有 领域满足


(1) ( x ) L 1
于是对于任意 x0 ，总有 (x) ，这是因为
( x ) x* ( x ) ( x* ) L x x* x x*
1 c 2 3 c 1 2 3
此时 (2) ( x )
c 1
x 3
2c 0 ，
因此迭代公式为 2 阶导收敛（平方收敛），即
2 3
时有较快的收敛速度。
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2 (1) xn1 xn xn 2 1 2 (2) xn1 xn ( xn 2) 4 1 2 (3) xn1 xn 2 xn
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例题
解：将方程等价处理可与 x 2 2 0 等价方程：
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例题
解：取迭代函数为 ( x)，方程 x x c( x 2 3) 的
(1) x 3 x 3 ( x) 1 2cx，函 根为 1 ， 2 。又
数 ( x ) 在根附近具有连续一阶导数，为迭代公
(1)wenku.baidu.com式 xk 1 ( xk ) 收敛。则 ( x) 在根附近应该满
* x 由连续函数性质知，存在 (a, b)，使得
f ( x* ) ( x* ) x* 0 x* ( x* )
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迭代法定理一
证明：首先证明实根 x* 的存在唯一性
* * x ( x ) a , b x x ③假设 在 上有互异根 1 和 2 ，
* lim x x 即： k k
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迭代法定理一
证明：最后证明两个误差估计式
xk 1 xk ( x * xk ) ( x * x k 1 ) xk x * x * xk 1 xk x * ( x * ) ( xk ) xk x * L x * xk (1 L ) x * xk
y p0 p1
y=x y=g(x)
y
p0
y=x
p1

y=g(x) x

x0 y x1 x* y=g(x)
x
x0 y y=g(x)
x*
x1 y=x
y=x
p0
p1
p0

x
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p1
x0 x*
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x 2
x1 x0 x*
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x1
迭代法几何含义
y p2 p1 Q2 Q1 x p3 Q3 p4 y=x y=g(x)
1 2 (1) : x x x 2,(2) : x x ( x 2), 4 1 2 (3) : x x 2 x
2
( x) x2 x 2, (1) ( x) 2 x 1, (1) ( 2) 2 2 1 1
故迭代 (1) 发散。
1 | x * xk | | xk 1 xk | 1 L k L | x * x | | x1 x0 | k 1 L
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(2) (3)
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迭代法定理一
证明：首先证明实根 x* 的存在唯一性
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迭代法定理二
(1) ( x) 在 x* 定理二：设 x*是方程 x ( x) 的根， (1) * ( x ) 1 ，则迭代法 的某领域内连续，且
xk 1 ( xk ) 局部收敛。
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因此，可将有根区间取为 x* 的某领域。
定义一：设 x* 是方程 x ( x) 的根，若存在 x*的
* x x x ，对任意 x0 ，迭代 某邻居


xk 1 ( xk ) 收敛于 x* ，则称该迭代法局部收敛
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k L | x* xk | | x1 x0 | 1 L
式(2)是误差事前估计式，式(3)是误差事后估计式
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迭代法定义一
(1) ( x ) L 1， 在定理一中，给出的迭代收敛条件
对于较大范围的有根区间，有时可能不成立。
* * ( a ) a ( b ) b x a x ①若 或 ，可取 或 b。
a ( x ) b (a ) >a 及 (b) >b ，确定 f ( x) ( x) x
②显然 f ( x) 在 a, b 上连续，且满足
f (a ) (a ) a 0 f (b ) (b ) b 0
2 1.41421
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例题一
例1：以下函数，问 c 取何值时，迭代公式具有 局部收敛性？问 c 取何值时，收敛较快？
2 ( x ) x c ( x 3) ，迭代公式： xk 1 ( xk ) 函数：
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1 | x xk | | xk 1 xk | 1 L
*
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迭代法定理一
证明：最后证明两个误差估计式 xk 1 xk ( xk ) ( xk 1 )
L x k x k 1 L2 xk 1 xk 2 Lk x1 x0
Q4
p0
x0 ( x1 ) x2 ( x1 ) xk 1 ( xk )
方程 x ( x ) 和 y x 的交点 P * ，如果点列 Pn
* * P x x 趋向于点 ，则数列 n 收敛于所求的根 。
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(1)
故迭代 (3) 收敛。
计算结果如表所示 k xk 迭代法 (1) 迭代法 (2) 迭代法 (3)
1 2 3 4 x1 x2 x3 x4 4 18 340 115938 西南科技大学 1.50000 1.43750 收敛速度较快 1.42090 1.41616 制造科学与工程学院 1.50000 1.41667 1.41422 1.41421
(1) ( x ) 1 ，即 足
(1) ( 3) 1 2 3c 1 或 (1) ( 3) 1 2 3c 1
解得 c 1 3 。
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例题
解：为使收敛较快，令
(1) (1) ( x ) ( 3) 0 1 (1) (1) ( x ) ( 3) 0 2
xk 1 ( xk ) (k 0,1,) (1)
xk x *，则称迭代 确定的数列 xk 有极限 lim k
* x 式 (1) 收敛；这表明 是方程 x ( x) 的根。
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迭代法几何含义
2016/2017 学年
第一学期（16周）
迭代法 – 非线性方程
迭代法
思路：设 x ( x ) 是连续函数，且这方程是隐式，
一般情况下，无法直接得出它的根。 猜测：猜测一个根 x0 ，使 x1 ( x0 ) ；再次猜 测一个根 x1 ，使 x2 ( x1 ) ；如此反复迭代， 使得：
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迭代法定理一
定理一：若迭代函数 ( x ) 满足以下条件 ①对任意一 x a, b ，有 a ( x) b ；②存在 正数 L 1 ，使对任意一 x a, b ，有 (1) ( x) L 1
则迭代过程 xk 1 ( xk ) 对于任意初值 x0 a , b 收 * x ( x ) a , b x 敛于方程 在 上唯一实根 ，且有 以下误差估计式：
于是据定理一可以判定，迭代过程 xk 1 ( xk ) ，
对于任意 x0 均收敛。
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例题一
例1：讨论以下迭代法，是否可以用来求以下方
x 2 2 0 ，根： x* 2 ，用初值 程的根。方程：
x0 2，做前 4 步实际计算，并进行比较。