计算方法 11 迭代法-非线性方程
求解非线性方程的三种新的迭代法
求解非线性方程的三种新的迭代法迭代法是一种通过反复递推计算得到逼近解的方法，对于非线性方程求解而言，迭代法通过不断更新变量的值，使得方程逐渐趋近于真实解。
下面将介绍三种新的迭代法：逐次缩小区间法、割线法和弦截法。
第一种迭代法是逐次缩小区间法。
逐次缩小区间法是一种通过不断递推缩小变量的取值范围来求解非线性方程的方法。
算法步骤如下：1. 选取一个初始区间[a, b]，使得f(a)和f(b)异号，即f(a)*f(b)<0。
2. 将区间[a, b]均分，得到区间的中点c=(a+b)/2。
3. 比较f(a)*f(c)和f(b)*f(c)，如果f(a)*f(c)<0，则说明解在区间[a, c]内；如果f(b)*f(c)<0，则说明解在区间[c, b]内。
4. 重复步骤2和步骤3，直到得到精度要求的解。
逐次缩小区间法的优点是简单易懂，计算量较小；但缺点是需要事先给出一个初始区间，初始区间的选择对结果有影响，并且对于复杂的方程可能需要很多次均分才能逼近解。
第二种迭代法是割线法。
割线法是一种通过利用连续两个点的斜率来逼近解的方法。
算法步骤如下：1. 选取两个初始点x0和x1，计算出对应斜率f(x0)和f(x1)。
2. 利用斜率和已知点构造直线方程，得到直线和x轴的交点x2，并将x1更新为新的x0，x2更新为新的x1。
3. 重复步骤2，直到满足精度要求。
割线法的优点是不需要计算导数，因此适用于不易求导的情况；但缺点是可能出现迭代过程不收敛的情况，需要事先给出两个初始点，并且计算量相对较大。
弦截法与割线法相似，也是通过利用连续两个点的连线来逼近解的方法，但不同之处在于弦截法的直线是通过前两个点的连线来构造的。
弦截法的优缺点与割线法类似，不需要计算导数，但迭代过程可能不收敛。
三种新的迭代法均有各自的特点和适用范围，适合于不同类型的非线性方程。
在实际应用中，需要根据具体的方程和精度要求选择合适的迭代方法。
第4章 非线性方程求根的迭代法
精选版课件ppt
18
若{ x k }收敛，即lkimxk x 称迭代法收敛，否则称迭代法发散
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19
迭代法的几何意义
x (x)yy(xx)交点的横坐标
y=x
x* x2
x1
x0
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20
例题
例 试用迭代法求方程
f(x)x3x10
在区间(1，2)内的实根。 解：由x3 x1 建立迭代关系
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30
例题
若取迭代函数 (x)x3 1 ， 因为|'(x)||3x2|3 x[1,2] 不满足压缩映像原理，故不能肯定 xn1 (xn) n0,1,....收敛到方程的根。
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31
简单迭代收敛情况的几何解释
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32
是否取到合适的初值，是否构造合适的 迭代格式，对于是否收敛是关键的。
x2 0.739085178
x3 0.739085133 x4 0.739085133
故取 x* x4 0.739085133
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48
例题
例 用Newton法计算 。 2
解： f(x)x2a0 其 中 a2
由 f (x) 2x及Newton迭代公式得
xn 1xnx2 n 2x n21 2(xnx 2 n) n0,1 ,......
迭代法及收敛性
考察方程 x(x)。不能直接求出它的
根，但如果给出根的某个猜测值 x 0， 代
入 x(x)中的右端得到x1 (x0) ，再以 x 1
为一个猜测值，代入x(x) 的右端
得 x2 (x1)
计算方法—非线性方程求解
计算方法—非线性方程求解计算方法是数学中的一个重要分支，它研究如何利用计算机和数值方法解决各种数学问题。
在实际应用中，非线性方程是一个常见的问题。
非线性方程是指其表达式中包含一个或多个非线性项的方程。
与线性方程相比，非线性方程更加复杂，通常不能通过代数方法直接求解。
因此，我们需要借助计算方法来求解非线性方程。
常见的非线性方程求解方法包括迭代法、牛顿法和二分法等。
首先，迭代法是一种基本的非线性方程求解方法。
它的基本思想是通过不断迭代逼近方程的根。
迭代法的一般步骤如下：1.选取一个初始值x0；2.利用迭代公式x_{n+1}=g(x_n)，计算下一个值x_{n+1}；3.不断重复步骤2，直到计算出满足精度要求的解为止。
其中，g(x)是一个逼近函数，通常是通过原方程进行变形得到的。
在实际应用中，迭代法的关键是选择适当的初始值x0和逼近函数g(x)。
如果选取的初始值离方程的根较远，可能会导致迭代结果不收敛；如果逼近函数不恰当，迭代结果也可能不收敛。
因此，在使用迭代法时需要注意这些问题。
其次，牛顿法是一种较为高效的非线性方程求解方法。
它的基本思想是通过线性近似来逼近方程的根。
牛顿法的一般步骤如下：1.选取一个初始值x0；2.利用泰勒展开将原方程线性化，得到一个线性方程；3.解线性方程，计算下一个值x_{n+1}；4.不断重复步骤2和步骤3，直到计算出满足精度要求的解为止。
在实际应用中，牛顿法的关键是计算线性方程的解。
通常可以通过直接求解或迭代方法求解线性方程。
此外，牛顿法还需要注意选择适当的初始值x0，特别是对于多根方程需要选择不同的初始值。
最后，二分法是一种简单但较为稳定的非线性方程求解方法。
它的基本思想是通过区间缩减来逼近方程的根。
二分法的一般步骤如下：1.选取一个包含根的初始区间[a,b]；2.计算区间的中点c=(a+b)/2；3.判断中点c的函数值与0的关系，从而确定下一个区间；4.不断重复步骤2和步骤3，直到计算出满足精度要求的解为止。
7、解非线性方程的迭代法
(1.1)
2. 超越方程, 如 : x e x 0.
如果f ( x)可以分解为 f ( x) ( x x*)m g ( x), 其中0 | g ( x*) | , m为正整数. 则称x * 为f ( x)的m重零点.
此时 f ( x*) f ( x*) f ( m 1) ( x*) 0, f ( m) ( x*) 0.
k 0 1 2 3 4 5 6 7 xk 1.5 1.35721 1.33086 1.32588 1.32494 1.32476 1.32473 1.32472
3 (2) xk 1 xk 1, x0 1.5, x1 2.375, x2 12.39, .
二、不动点的存在性与迭代法的收敛性
二、斯蒂芬森迭代法
把不动点迭代与埃特金加速技巧结合，得到斯蒂芬森 ( Steffensen)迭代法 yk ( xk ), zk ( yk ),
( yk xk ) 2 xk 1 xk zk 2 yk xk
改写为另一种不动.4)
k 0 1 2 3 ׃ xk x0 x1 x2 x3 ׃ 迭代法(1) 2 3 9 87 ׃ 迭代法(2) 2 1.5 2 1.5 ׃ 迭代法(3) 2 1.75 1.73475 1.732631 ׃ 迭代法(4) 2 1.75 1.732143 1.732051 ׃
定义2 设迭代过程xk 1 ( xk )收敛于x*,误差ek xk x*, 若 lim
例6 求方程3x 2 e x 0在[3,4]中的解.
解： 取对数得x 2 ln x ln 3 g ( x)， 构造迭代法 xk 1 2 ln xk ln3 2 2 ( x) , max ( x) 1, 当x [3,4], ( x) [3,4], x 3 x 4 3 由定理2迭代收敛. x0 3.5, x16 3.73307 .
newton迭代法11-12
若f(a)f(x0)<0 成立,则根必在区间(a, x0)内,取a1=a,b1= x0;否则 必在区间(x0,b)内,取a1= x0,b1=b,
这样,得到新区间(a1,b1),其长度为[a,b]的一半,如此继续下去,进 行k次等分后,得到一组不断缩小的区间,[a,b],[a1,b1],......[ak,bk].
( x*)
2!
( x x*) 2
( p1) ( x*)
( p 1)!
( x x*)p1
( p ) ( x*)
p!
( x x*)p
如果( x*) ( x*) ( p1) ( x*) 0
而 ( p ) ( x*) 0
解三：迭代格式 xk+1=(xk3-5)/2 令x0=2.5,得迭代序列: x1=5.3125, x2=72.46643066, X3=190272.0118, x4=3.444250536 1016， x5=2.042933398 1046, 计算x6时溢出
同样的方程不同的迭代格式有不同的结果 迭代函数的构造有关
L Lk xk x * xk xk 1 x1 x0 1 L 1 L
xk x * x * xk 1 xk xk 1 g'( ) xk x * xk xk＋1
因此： 1 xk x * xk xk＋1 1 L
证毕.
定理1指出,
例1 用简单迭代法求区间(2,3)内方程x3-2x-5=0的根 lim x 解一 将方程两边同加2x+5,再开三次方，得式同解方程 x= 3 2 x 5 作迭代格式 xk+1= 3 2 xk 5 , k=0,1,
非线性方程求解
非线性方程求解在数学中，非线性方程是一种函数关系，其表达式不能通过一次函数处理得到。
与线性方程不同，非线性方程的解决方案往往更具挑战性，因为它涉及到更复杂的计算过程。
尤其在实际应用中，非线性方程的求解是一个非常重要的问题。
本文将讨论几种常用的非线性方程求解方法。
二分法二分法，也称为折半法，是一种基本的求解非线性方程的方法之一。
它的核心思想是将区间一分为二并判断方程在哪一半具有根。
不断这样做直到最终解得精度足够高为止。
下面是利用二分法求解非线性方程的流程：1. 设定精度值和区间范围2. 取区间的中点并计算函数值3. 如果函数值为0或函数值在给定精度范围内，返回中点值作为精确解4. 如果函数值不为0，则判断函数值的正负性并缩小区间范围5. 重复步骤2-4直到满足给定精度为止当然，这种方法并不总是能够找到方程的解。
在方程存在多个解或者区间范围不合适的情况下，二分法可能会导致求解失败。
但它是一种很好的起点，同时也是更复杂的求解方法中的一个重要组成部分。
牛顿迭代法牛顿迭代法是一种更复杂的求解非线性方程的方法。
它利用泰勒级数和牛顿迭代公式，通过不断迭代来逼近根的位置。
下面是利用牛顿迭代法求解非线性方程的流程：1. 先取一个近似值并计算函数值2. 求出函数的导数3. 利用牛顿迭代公式，计算下一个近似根4. 检查下一个近似根的精度是否满足条件，如果满足，返回当前近似根5. 如果精度不满足，则将新的近似根带入公式，重复步骤2-5当然，牛顿迭代法的收敛性并不总是保证的。
如果迭代过程太过温和，它可能无法收敛到精确解。
如果迭代过程过于暴力，则会出现发散现象，使得求解变得不可能。
其他方法此外，还有一些其他的求解非线性方程的方法，例如黄金分割法、逆二次插值法、牛顿切线法等等。
其中每一种方法都有其优缺点，不同的情况下，不同的方法都可能比其他方法更加适合。
结论总体来说，求解非线性方程的方法非常复杂。
无论是哪种方法，都需要一定的数学基础和计算机知识。
第1章 非线性方程迭代解法
ba xk x k 1 2 1 1 k 0.05 2 10 k 1 2 20 k log 2 10 3.3219
K 4
二分法的特点
优点： 总可以保证收敛，不会增根。 缺点： 只能对单个根的情况求解，无法求多根。 收敛速度较慢，计算量较大。 因此，先画图，找到根大致范围；再划分为 较小隔根区间；最后采用二分法，精确求根， 是求解简单非线性问题的有效途径。
改进：二分法
3) 二分法
思想：逐步缩小隔根区间，而逼近精确根。 方法：
ab )， 计算中点 f ( 2
若有隔根区间[a,b]，则f(a)*f(b)<=0，
ab ab f ( ) f ( a ) 0 ]为新隔根区间 若 ，则 [a, 2 2 ab [ , b] 为新的隔根区间。 反之， 2
非线性问题的处理思路
非线性问题的处理思路： 作图——根存在的范围 隔根区间——单个根存在范围 二分法——精确求根 为加快求根速度： 迭代法取代二分法，其它部分不变
2. 迭代法原理
主要内容： 1) 基本原理 2) 迭代有效性的判断 3) 迭代的加速技巧
1) 迭代法基本原理
0.5
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
迭代次数 n
迭代的绝对误差限
0.07 0.06
误差限
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
迭代次数 n
迭代公式φ一阶导数
迭代法解非线性方程
则对一个任意接近 x*的初始值，迭代公式
xk1 ( xk )是 p阶收敛的，且有
lim
k
xk1 x * ( xk x*)p
( p)( x*)
p!
定理3可以利用泰勒展开式加以证明
二、弦截法
1. 弦截法的算法过程
(1)过两点(a,f (a)),(b,f (b))作一直线,它与x轴有一个交点,记为x1; (2)如果f (a)f (x1)<0,过两点(a,f (a)),(x1,f (x1 ))作一直线,它与x轴的交点 记为x2, 否则过两点(b,f (b)),(x1,f (x1 ))作一直线,它与x轴的交点记为x2； (3)如此下去,直到|xn-xn-1|< , 就可认为xn为 f (x)=0在区间[a,b]上的一 个根。
2. 弦截法的迭代公式
x1
a
ba f (b) f (a)
f (a),
xk
1
xk
1
a b
xk a f ( xk ) f (a)
xk b f ( xk ) f (b)
f (a), f (b),
f (a) f ( xk ) 0 f (a) f ( xk ) 0
3.弦截法的Matlab编程实现
function root=chord_cut(f,a,b,e)
%弦截法求函数f在区间[a,b]上的一个零点 %f函数名,a区间左端点,b区间右端点,e根的精度,root函数的零点
function [root,n]=chord_cut2(f,a,b,e)
%弦截法求函数f在区间[a,b]上的一个零点 %f函数名,a区间左端点,b区间右端点,e根的精度,root函数的零点,n迭代次数
2. 迭代法的收敛性
迭代法
二、收敛性分析
计算方法
（全局收敛定理）
设 ( x)在[a, b] （1）当a x b时，a ( x) b;
(2) x [a, b], |'( x) | L 1 (L为常数）
则 ：(1)方 程x ( x)在[a, b]有 唯 一 根；
(2)x0 [a, b], xn1 ( xn） 收 敛 到
则对于任意的初始值 x0 S ，由迭代公式
xn1 ( xn )
产生的数列 xn 收敛于方程的根。
（这时称迭代法在 的S邻域具有局部收敛性。）
计算方法
例3 设 ( x) x a( x2 5)，要使迭代过程 xk1 ( xk )
局部收敛到 x* 5,求 a 的取值范围。 解： ( x) x a( x2 5)
xk1 ( xk )
又 x* (x*)
根据中值定理有
x* xk1 ( x* ) ( xk ) ( )( x* xk ) ( x*, xk )
局部收敛性 当隔根区间确定时,通常只需要更简单的条件
就可以保证迭代过程在根的邻域(局部)收敛。
定理2.2 设 是方程 x ( x)的根，如果满足
条件 ：
（1）迭代函数 ( x) 在 的邻域可导； （2）在 的某个邻域 S {x x }，对于任
意 x S ，有
(x) L 1
计算方法
xn xn1
Ln 1－L
x1
x0
注：L越小，收敛越快。
计算方法
实际计算中当然不可能也没必要无穷多步地做
下去, 对预先给定的精度要求ε，只要某个n满足
x x
n
n1
即可结束计算并取
x n
当然，迭代函数 ( x ) 的构造方法是多种多样的。
非线性方程的求解方法
非线性方程的求解方法非线性方程是数学中的基本概念，对于许多科学领域而言，非线性方程的求解具有重要的意义。
然而，与线性方程相比，非线性方程的求解方法较为复杂，因此需要掌握一些有效的解法。
本文将介绍几种非线性方程的求解方法。
一、牛顿迭代法牛顿迭代法也叫牛顿-拉夫逊迭代法，是一种求解非线性方程的有效方法。
该方法的基本思路是，选择一个初始值，通过迭代计算不断逼近非线性方程的根。
牛顿迭代法的公式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$其中，$f(x)$表示非线性方程，$f'(x)$表示$ f(x) $的一阶导数。
牛顿迭代法的优点在于速度快，迭代次数少，但其局限性在于收敛性受初始点选取的影响较大。
二、割线法割线法（Secant method）也是一种求解非线性方程的有效方法。
与牛顿迭代法不同，割线法使用的是两个初始值，并根据两点间的连线与$ x $轴的交点来作为新的近似根。
割线法的公式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$$割线法的优势是不需要求解导数，但其缺点在于需要两次迭代才能得到下一个近似根，因此计算量较大。
三、二分法二分法（Bisection method）是求解非线性方程的另一种有效方法。
该方法的基本思路是找到非线性方程的一个区间，使函数值在该区间内的符号相反，然后通过逐步缩小区间，在区间内不断逼近非线性方程的根。
二分法的公式为：$$x_{n+1}=\frac{x_n+x_{n-1}}{2}$$其中，$x_n$和$x_{n-1}$是区间的端点。
二分法的优点在于收敛性稳定，但其缺点在于迭代次数较多，因此计算量也较大。
四、弦截法弦截法（Regula Falsi method）也是一种求解非线性方程的有效方法。
它和二分法类似，都是通过缩小根所在的区间来逼近根。
不同之处在于，弦截法不是以区间中点为迭代点，而是以区间两个端点之间的连线与$ x $轴的交点为迭代点。
求解非线性方程的三种新的迭代法
求解非线性方程的三种新的迭代法1. 引言1.1 介绍迭代法迭代法是一种重要的数值计算方法，广泛应用于非线性方程的求解、函数极值点的求解等问题中。
迭代法的基本思想是通过逐步逼近的方式，找到函数的根或者极值点。
这种方法在面对复杂的数学问题时具有很大的优势，可以通过简单的计算步骤逐渐接近最终解。
与解析解相比，迭代法更适用于无法通过代数运算求解的问题，或者求解过程较为繁琐的问题。
迭代法的实现通常需要选择一个初始值，并通过反复迭代计算来逼近真实解。
在每一步迭代中，都会根据当前的估计值计算新的估计值，直到满足一定的精度要求为止。
迭代法虽然不能保证每次都能得到精确解，但在实际应用中往往能够取得较好的结果。
迭代法是一种简单而有效的数值计算方法，尤其适用于非线性方程求解等复杂问题。
通过逐步逼近的方式，迭代法可以帮助我们解决那些传统方法难以处理的问题，为现代科学技术的发展提供重要支持。
1.2 非线性方程的求解意义非线性方程在数学和工程领域中广泛存在，其求解具有重要的理论和实际意义。
非线性方程的求解能够帮助解释和预测许多自然现象，包括流体动力学、电路分析、材料力学等领域中的问题。
非线性方程的求解也是许多科学研究和工程设计中必不可少的一环，例如在经济学、生物学、物理学等多个学科中都有非线性方程存在。
传统的解析方法难以解决非线性方程，因此迭代法成为求解非线性方程的重要工具。
迭代法是一种通过不断逼近解的方法，逐步逼近方程的解。
通过迭代法，可以在复杂的非线性方程中找到数值解，从而解决实际问题。
非线性方程的求解意义在于帮助我们更好地理解和掌握复杂系统的性质和行为。
通过求解非线性方程，我们可以揭示系统中隐藏的规律和关系，为科学研究和工程设计提供重要的参考和支持。
发展高效的迭代法求解非线性方程具有重要意义，可以推动科学技术的进步，促进社会的发展和进步。
2. 正文2.1 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种非常经典的求解非线性方程的方法，其基本思想是通过不断逼近函数的零点来求解方程。
求解非线性方程的三种新的迭代法
求解非线性方程的三种新的迭代法迭代法是一种数值计算方法，用来解非线性方程组或方程的近似解。
在实际运用中，我们经常遇到非线性方程的求解问题，这时迭代法是一种常用的方法。
迭代法的基本思想是通过不断地迭代计算，逐步逼近方程的解。
在本文中，我们将介绍三种新的迭代法来求解非线性方程。
1. 不动点迭代法不动点迭代法是一种简单而有效的迭代法，它的基本思想是将原始方程变形成 x=g(x) 的形式，其中 g(x) 称为不动点迭代函数。
具体的迭代过程如下：给定初始值 x0，计算 x1=g(x0)计算 x2=g(x1)不断地重复上述步骤，直到收敛于方程的解不动点迭代法的收敛性取决于 g(x) 的性质，一般来说，如果 g(x) 在解的附近有连续的一阶导数，并且 |g'(x)|<1 则迭代法收敛。
2. 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种高效的迭代法，它的基本思想是通过不断地使用方程的切线来逼近方程的解。
具体的迭代过程如下：3. 龙贝格迭代法给定初始值 x0，计算 x1通过 Richardson 拟差法计算 x2不断地重复上述步骤，直到收敛于方程的解龙贝格迭代法的收敛速度非常快，尤其对于级数收敛速度较慢的情况下，可以加速收敛。
在实际应用中，以上三种新的迭代法可以根据具体问题的特点来选择合适的方法。
不动点迭代法适用于一般的非线性方程，牛顿迭代法适用于具有一阶导数的方程，而龙贝格迭代法适用于级数收敛速度较慢的情况下。
在使用迭代法求解非线性方程时，应根据实际问题的特点合理选择迭代方法，并注意迭代的收敛性和初始值的选取。
NonNullNonDenseDetNogle_preStoppedSe vi i Danmark har haft danskhosvistes, somblev fundet i marts i år, og som vi ikke vidste hvad var.Efter at have undersøgt dem i flere måneder, hedder det nu en prælunar.」Praeslunar betyder før-månen, og det henviser til det faktum, at det ikke er en asteroid eller en komet, men snarere en klippe, der holder fast på Jorden, inden den falder ind i den.TextSe vi i Danmark har haft sanskosmiske partikler, som blev fundet i marts i år, og som vi ikke vidste hvad var.Efter at have undersøgt dem i flere måneder, hedder det nu en prælunar.」Praeslunar betyder før-månen, og det henviser til det faktum, at det faktum, at det ikke er en asteroid eller en komet, men snarere en klippe, der holder fast på Jorden, inden den f alder ind i den.Vores forskning har vist, at den er dannet, da asteroidebælteren var meget tættere på Solen, end den er nu.。
第二章 非线性方程(组)的迭代解法.
输入，，计算fa f (a), fb f (b);
注： 其中 , 为 精度控制参数!
若f f a 0, 则a x, f a f ; ab 为所求根，结束！ (4) 若 b a , 则x
否则，转(2)；
2
例1
计算f ( x) x3 4x2 10 0在[1 ， 2]内的实根。 可得 x* 1.36523, 共计算21次！ 取 109， 106，
则 0, 使得 x0 [ x * , x * ]但x0 x*,
由迭代
xn1 (xn )
证明：由泰勒公式和收敛阶定义可证！ 注: 1、给出了由迭代函数判断收敛速度的方法；
2、给出了提高收敛速度的方法!
School of Math. & Phys.
15
North China Elec. P.U.
Numerical Analysis
2018/10/11
J. G. Liu
例3 1 a 3 a2 1、证明xk 1 ( xk )和xk 1 xk 3 分别是求 2 xk 4 4 xk
a的平方收敛的迭代格式。
解： 迭代函数为
同理对xk 1 2 ( xk )证明！
School of Math. & Phys. 16
不妨设(x*) 0, 由(x)的连续性，则 δ 0, 当x x * δ 时，(x) 0。
当n充分大以后，[ an ,bn ] ( x * δ,x* δ ),于是当m为偶数时， x [an ,bn ], f ( x) 0,不变号了！(??)
(2) 二分法线性收敛; (3) 二分法可用来细化有根区间，这是它的一大优点! 故二分法可以用来确定迭代法的迭代初值!
非线性方程与非线性方程组的迭代解法课件
迭代解法是否能够收敛到方程的解是关键问题，收敛性的判定需要满足一定的条 件。
收敛速度
迭代解法的收敛速度是指迭代过程逼近解的速度，收敛速度越快，求解效率越高 。
迭代解法的误差估计与收敛性判定
误差估计
在迭代过程中，我们需要对每次迭代的误差进行估计，以便 了解近似解的精度。
收敛性判定
为了确保迭代过程能够收敛到方程的解，我们需要根据一定 的收敛性判定准则来判断迭代过程是否可以终止。
三角函数求解
对于涉及三角函数的非线性方程，如 (sin x = a)，可以通过迭代法求解，例如初始值 (x_0 = a)，迭代 公式 (x_{n+1} = x_n + frac{a - sin x_n}{1 - cos x_n})。
非线性方程组求解实例
牛顿迭代法
对于非线性方程组 (f_1(x) = 0, f_2(x) = 0) 等，可以使用牛顿迭代法求解，通过迭代公式 (x_{n+1} = x_n - J^{1} cdot f(x_n)) 逐步逼近方程组的解。
适用于求解具有简单形式和已知导数的非线性方程。
弦截法
总结词
详细描述
公式
应用场景
一简单且易于实现的迭代方 法
弦截法基于线性方程组的求解 方法，通过不断修正近似解来 逼近非线性方程的解。在每次 迭代中，使用当前近似值和方 程的函数值来计算下一个近似 值。
$x_{n+1} = x_n - f(x_n) cdot frac{f(x_0) - f(x_n)}{f(x_0) 2f(x_n) + f(x_1)}$
适用于求解形式简单且导数不 易求得的非线性方程。
抛物线法
总结词
非线性方程组计算
在科学与工程计算中，经常遇到求解非线性方程组的问题；非线性方程组在收敛速度及收敛性比线性方程组要差，特别对于非凸的非线性方程组，其求解更是困难。
下面简要介绍非线性方程组的三种解法——牛顿法、拟牛顿法、同伦算法，分析三种解法的适用性，并附Matlab 原程序。
（一）、牛顿迭代法迭代公式为：x k+1=x k-f(x k)/f'(x k);牛顿迭代法是解非线性方程组比较经典的方法，在局部收敛点附近是平方收敛的；但其解依赖于初始解，且迭代每一步都要计算f'(x k)，不仅计算量大而且有时会发生计算困难。
（二）、拟牛顿迭代法拟牛顿法是为了解决求Jacobi矩阵时带来的困难，现已成为解决非线性方程组和最优化问题的最有效方法之一。
其迭代格式为：x(k+1)=x(k)-A k-1F(x(k))A k+1=A k+[(y k-A k s k)(y k-A k s k)T]/[(y k-A k s k)T s k]在一定条件下，计算H的序列是超收敛的，但稳定性较差，有时迭代效果不理想。
（三）、同伦算法同伦算法基本思想是从容易求解的方程组开始，逐步过渡到原方程组的求解，从而得到问题的解。
非线性方程组为：F(x)=0，其解为X*。
构造泛函 G：[0，1]XR n->R nG定义为：G（λ，x）=λ F(x)+(1-λ)[F(x)-F(x(0))]=F(x)+(λ-1)F(x(0))(其中：x（0）为任意给的初值，假定为λ函数（λ=0）)对于λ的方程G（λ，x）=0，当λ=0时，0=G（0，x）=F(x)-F(x(0))；x（0）是方程的解；当λ=1时，0=G（1，x）=F(x)；x*是方程的解，即x(1)=x*基于这个思想我们最后可以得到如下关系式：x'(λ)=-[J(x(λ))]-1F(x(0)) ( 0<=λ<=1,对初始值x(0) )J为雅可比矩阵，由上面的式子，对λ在[0，1]上积分，就可得到x*=x(1)上面的非线性方程组问题就转化为数值积分问题。
利用牛顿迭代法求解非线性方程组
利⽤⽜顿迭代法求解⾮线性⽅程组最近⼀个哥们，是⽤⽜顿迭代法求解⼀个四变量⽅程组的最优解问题，从⽹上找了代码去改进，但是总会有点不如意的地⽅，迭代的次数过多，但是却没有提⾼精度，真是令⼈揪⼼！经分析，发现是这个⽅程组中存在很多局部的极值点，是⽤⽜顿迭代法不能不免进⼊局部极值的问题，更程序的初始值有关！发现⾃⼰好久没有是⽤Matlab了，顺便从⽹上查了查代码，⾃⼰来修改⼀下！先普及⼀下⽜顿迭代法：(来⾃百度百科)⽜顿（Newton's method）⼜称为⽜顿-拉夫逊（拉弗森）⽅法（Newton-Raphson method），它是在17世纪提出的⼀种在域和域上近似求解⽅程的⽅法。
多数⽅程不存在求根公式，因此求精确根⾮常困难，甚⾄不可能，从⽽寻找⽅程的近似根就显得特别重要。
⽅法使⽤函数f(x）的的前⾯⼏项来寻找⽅程f(x) = 0的根。
⽜顿迭代法是求⽅程根的重要⽅法之⼀，其最⼤优点是在⽅程f(x) = 0的单根附近具有平⽅收敛，⽽且该法还可以⽤来求⽅程的重根、复根，此时线性收敛，但是可通过⼀些⽅法变成超线性收敛。
另外该⽅法⼴泛⽤于计算机编程中。
设r是f(x)=0的根。
选取x0作为r的初始近似值，过点(x0,f(x0))做曲线的切线，求出该切线与x轴的交点，并求出该点的横坐标，称作x1是r 的⼀次近似。
如此就可以推导出⽜顿迭代公式。
已经证明，如果是的，并且待求的零点是孤⽴的，那么在零点周围存在⼀个区域，只要初始值位于这个邻近区域内，那么⽜顿法必定收敛。
并且，如果不为0, 那么⽜顿法将具有平⽅收敛的性能. 粗略的说，这意味着每迭代⼀次，⽜顿法结果的有效数字将增加⼀倍。
在⽹上查了⼀些代码，都是能指定某⼏个函数进⾏求导的，⽽且要是改变函数的个数，却⼜要对原始程序⼤动⼲⼽。
真的是揪⼼。
找到了这个程序，貌似在Matlab上不能很好的运⾏，对于数据的返回值为空没有做处理，后来⼜找了⼀个⽹易朋友的博客，将他的代码拿过来跑跑，还可以，但是对于不同的函数⽅程组，以及变量个数就不同了，真的是揪⼼，这个就是程序设计和编码的问题了！⾃⼰就拿来改了改，可以⽀持多⽅程组和多变量了！下⾯附上我的代码！求⼤家指导！[python]1. function [r,n]=mulNewton(x0,funcMat,var,eps)2. % x0为两个变量的起始值,funcMat是两个⽅程,var为两个⽅程的两个变量,eps控制精度3. % ⽜顿迭代法解⼆元⾮线性⽅程组4. if nargin==05. x0 = [0.2,0.6];6. funcMat=[sym('(15*x1+10*x2)-((40-30*x1-10*x2)^2*(15-15*x1))*5e-4')...7. sym('(15*x1+10*x2)-((40-30*x1-10*x2)*(10-10*x2))*4e-2')];8. var=[sym('x1') sym('x2')];9. eps=1.0e-4;10. end11.12. n_Var = size(var,2);%变量的个数13. n_Func = size(funcMat,2);%函数的个数14. n_X = size(x0,2);%变量的个数15.16. if n_X ~= n_Var && n_X ~= n_Func17. fprintf('Expression Error!\n');18. exit(0);19. end20.21. r=x0-myf(x0, funcMat, var)*inv(dmyf(x0, funcMat, var));22. n=0;23. tol=1;24. while tol>=eps25. x0=r;26. r=x0-myf(x0, funcMat, var)*inv(dmyf(x0, funcMat, var));27. tol=norm(r-x0);28. n=n+1;29. if(n>100000)30. disp('迭代步数太多，⽅程可能不收敛');31. return;32. end33. end34. end % end mulNewton[python]1. function f=myf(x,funcMat, varMat)2. % 输⼊参数x为两个数值,func为1*2符号变量矩阵,var为1*2符号变量矩阵中的变量3. % 返回值为1*2矩阵,内容为数值4.5. n_X = size(x,2);%变量的个数6. f_Val = zeros(1,n_X);7. for i=1:n_X8. tmp_Var = cell(1,n_X);9. tmp_X = cell(1,n_X);10. for j=1:n_X11. tmp_Var{j} = varMat(1,j);12. tmp_X{j} = x(1,j);13. end14. f_Val(i) = subs(funcMat(1, i), tmp_Var, tmp_X);15. end16. f=f_Val;17. end % end myf[python]1. function df_val=dmyf(x, funcMat, varMat)2. % 返回值为2*2矩阵,内容为数值3. %df=[df1/x1, df1/x2;4. % df2/x1. df2/x2];5. n_X = size(x,2);%变量的个数6. df =cell(n_X, n_X);7. for i=1:n_X8. for j=1:n_X9. df{i,j} = diff(funcMat(1, i), varMat(1, j));10. end11. end12.13. df_val=zeros(n_X, n_X);14.15. for i=1:n_X16. for j=1:n_X17. tmp_Var = cell(1,n_X);18. tmp_X = cell(1,n_X);19. for k=1:n_X20. tmp_Var{k} = varMat(1,k);21. tmp_X{k} = x(1,k);22. end23. df_val(i,j) = subs(df{i,j}, tmp_Var, tmp_X);24. end25. end26. end % end dmyf。
数值分析课件 非线性方程的迭代解法方程求根
k
解: 改写为以下两种等价方程 0
方法1 1.5
方法2 1.5
(1)x x3 1, (2)x 3 x 1 1 2.375 1.35721
建立迭代公式:(1)xk 1
x
3 k
1;
2
(2)xk 1 3 xk 1
3
4
各步迭代结果如下：
5
12.39
1.33086 1.32588 1.32494 1.32476
定义：迭代公式 xk+1= g(xk) (k= 0,1, …) 被称为求
解方程 f(x)=0 的简单迭代法（不动点迭代法）， 其中g(x)称为迭代函数。
注：上述迭代法是一种逐次逼近法，其基本思想是 将隐式方程归结为一组显示的计算公式，就是说， 迭代过程是一个逐步显示化过程。
例:
求方程 f (x) x3 x 1 0 在x0 1.5 附近的根。
求 g(x) 不动点的过程
找s,使得s = g(s).
从一个初值 x0 出发，计算
x1= g(x0), x2= g(x1), … , xk+1= g(xk), …
若
{
xk
}
收敛,即存在实数
s
使得
lim
k
xk
s且
g(x)
连续，
则由
lim
k
xk
1
lim g k
xk
可知 s=g(s), 即 s是 g 的不动点, 它也是 f 的零点.
二分法求根思想
找有根区间序列(ak , bk); 用(ak , bk)的中点近似根.
二分法：
设一元非线性函数 f (x) 在 (a, b) 内只有一个 零点s , 用二分法求f (x)=0实根的过程如下:
非线性方程组迭代法
第5章非线性方程(组)迭代法内容5.1 根的搜索5.2 迭代法的构造及收敛性5.3 方程求根的牛顿迭代法5.4 *非线性方程组的迭代法数学物理中许多问题常归结为求解非线性方程或非线性方程组.例如在最优化问题min ()x I F x ∈中，设函数()F x 在区间I 上严格凸并可微，且()()F x f x '=，则求其极小点等价于求解方程()0f x =的根；若()f x 是一个非线性函数，则方程()0f x =是一个非线性方程。
若()0f x =是一个方程组，且其中至少存在一个方程是非线性的，则称方程组是非线性方程组。
本章介绍一些常用的求解非线性方程和非线性方程组近似根的迭代方法。
§5.1 根的搜索⏹ 根的存在性：设函数[](),f x C a b ∈，且()()0f a f b <，则方程()0f x =在区间(),a b 内一定有实根*x ，称[],a b 为方程()0f x =的有根区间。
⏹ 二分法（是搜索方程()0f x =的根的一种计算简单的方法）。
● 基本思想：将有根区间[],a b 用其中点02a b x +=分为两半。
如果0()()0f x f a ⋅>，记 101,a x b b ==，方程的根11*(,)x a b ∈； 如果0()()0f x f a ⋅<，记 110,a a b x ==，方程的根11*(,)x a b ∈。
因此，新的有根区间为[]11,a b ，其长度为112b a b a --=．对有根区间[]11,a b 施行同样的手续，并反复二分下去，得到一系列有根区间[][][][]1122,,,,k k a b a b a b a b ⊃⊃⊃⊃⊃L L其中[],k k a b 的长度为：02k k k b a b a --=→（当k →∞时）。
上述结果表明，如果二分过程无限地继续下去，这些区间最终必将收缩于()0f x =的根x *．只要二分足够多次(即k 充分大)，就能保证有2k k k k b a x x b a ε*--≤-≤<。
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计算方法（2016/2017 第一学期）
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7
迭代法定理一
证明：最后证明两个误差估计式
xk 1 xk ( x * xk ) ( x * x k 1 ) xk x * x * xk 1 xk x * ( x * ) ( xk ) xk x * L x * xk (1 L ) x * xk
2 (1) xn1 xn xn 2 1 2 (2) xn1 xn ( xn 2) 4 1 2 (3) xn1 xn 2 xn
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13
例题
解：将方程等价处理可与 x 2 2 0 等价方程：
xk 1 ( xk ) (k 0,1,) (1)
xk x *，则称迭代 确定的数列 xk 有极限 lim k
* x 式 (1) 收敛；这表明 是方程 x ( x) 的根。
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1
迭代法几何含义
* * ( a ) a ( b ) b x a x ①若 或 ，可取 或 b。
a ( x ) b (a ) >a 及 (b) >b ，确定 f ( x) ( x) x
②显然 f ( x) 在 a, b 上连续，且满足
f (a ) (a ) a 0 f (b ) (b ) b 0
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3
迭代法定理一
定理一：若迭代函数 ( x ) 满足以下条件 ①对任意一 x a, b ，有 a ( x) b ；②存在 正数 L 1 ，使对任意一 x a, b ，有 (1) ( x) L 1
则迭代过程 xk 1 ( xk ) 对于任意初值 x0 a , b 收 * x ( x ) a , b x 敛于方程 在 上唯一实根 ，且有 以下误差估计式：
1 2 x (1) 2 (1) ( x ) x ( x 2), ( x ) 1 , ( 2) 1 1 4 2 2
故迭代 (2) 收敛。
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14
例题
1 2 (1) 1 2 ( x) x , ( x) 1 2 , 解： 2 x 2 x 1 2 ( 2) 1 1 2 2 ( 2)
2 1.41421
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15
例题一
例1：以下函数，问 c 取何值时，迭代公式具有 局部收敛性？问 c 取何值时，收敛较快？
2 ( x ) x c ( x 3) ，迭代公式： xk 1 ( xk ) 函数：
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因此，可将有根区间取为 x* 的某领域。
定义一：设 x* 是方程 x ( x) 的根，若存在 x*的
* x x x ，对任意 x0 ，迭代 某邻居
xk 1 ( xk ) 收敛于 x* ，则称该迭代法局部收敛
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1 2 (1) : x x x 2,(2) : x x ( x 2), 4 1 2 (3) : x x 2 x
2
( x) x2 x 2, (1) ( x) 2 x 1, (1) ( 2) 2 2 1 1
故迭代 (1) 发散。
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11
迭代法定理二
证明：由连续函数性质，存在 x* 的谋领域 ，该
* x x x ，使任意 x0 ，有 领域满足
(1) ( x ) L 1
于是对于任意 x0 ，总有 (x) ，这是因为
( x ) x* ( x ) ( x* ) L x x* x x*
6
迭代法定理一
* lim x x 证明：再次证明极限 k k
x * xk ( x * ) ( x k 1 ) L x * x k 1 L2 x* xk 2 Lk x* x0
0 L 1 k , x * xk 0
于是据定理一可以判定，迭代过程 xk 1 ( xk ) ，
对于任意 x0 均收敛。
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12
例题一
例1：讨论以下迭代法，是否可以用来求以下方
x 2 2 0 ，根： x* 2 ，用初值 程的根。方程：
x0 2，做前 4 步实际计算，并进行比较。
2016/2017 学年
第一学期（16周）
迭代法 – 非线性方程
迭代法
思路：设 x 的根。 猜测：猜测一个根 x0 ，使 x1 ( x0 ) ；再次猜 测一个根 x1 ，使 x2 ( x1 ) ；如此反复迭代， 使得：
(1)
故迭代 (3) 收敛。
计算结果如表所示 k xk 迭代法 (1) 迭代法 (2) 迭代法 (3)
1 2 3 4 x1 x2 x3 x4 4 18 340 115938 西南科技大学 1.50000 1.43750 收敛速度较快 1.42090 1.41616 制造科学与工程学院 1.50000 1.41667 1.41422 1.41421
1 | x xk | | xk 1 xk | 1 L
*
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8
迭代法定理一
证明：最后证明两个误差估计式 xk 1 xk ( xk ) ( xk 1 )
L x k x k 1 L2 xk 1 xk 2 Lk x1 x0
y p0 p1
y=x y=g(x)
y
p0
y=x
p1
y=g(x) x
x0 y x1 x* y=g(x)
x
x0 y y=g(x)
x*
x1 y=x
y=x
p0
p1
p0
x
西南科技大学
p1
x0 x*
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x 2
x1 x0 x*
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x1
迭代法几何含义
y p2 p1 Q2 Q1 x p3 Q3 p4 y=x y=g(x)
Q4
p0
x0 ( x1 ) x2 ( x1 ) xk 1 ( xk )
方程 x ( x ) 和 y x 的交点 P * ，如果点列 Pn
* * P x x 趋向于点 ，则数列 n 收敛于所求的根 。
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10
迭代法定理二
(1) ( x) 在 x* 定理二：设 x*是方程 x ( x) 的根， (1) * ( x ) 1 ，则迭代法 的某领域内连续，且
xk 1 ( xk ) 局部收敛。
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16
例题
解：取迭代函数为 ( x)，方程 x x c( x 2 3) 的
(1) x 3 x 3 ( x) 1 2cx，函 根为 1 ， 2 。又
数 ( x ) 在根附近具有连续一阶导数，为迭代公
(1) 式 xk 1 ( xk ) 收敛。则 ( x) 在根附近应该满
则：
* * * * * * * * x1 x2 ( x1 ) ( x2 ) L x1 x2 x1 x2
与假设条件产生矛盾，
x ( x) 在 a, b 上的根是唯一的。 故，
* x 唯一实根
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1 | x * xk | | xk 1 xk | 1 L k L | x * x | | x1 x0 | k 1 L
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(2) (3)
4
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迭代法定理一
证明：首先证明实根 x* 的存在唯一性
(1) ( x ) 1 ，即 足
(1) ( 3) 1 2 3c 1 或 (1) ( 3) 1 2 3c 1
解得 c 1 3 。
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17
例题
解：为使收敛较快，令
(1) (1) ( x ) ( 3) 0 1 (1) (1) ( x ) ( 3) 0 2
1 c 2 3 c 1 2 3
此时 (2) ( x )
c 1
x 3
2c 0 ，
因此迭代公式为 2 阶导收敛（平方收敛），即
2 3
时有较快的收敛速度。
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18
k L | x* xk | | x1 x0 | 1 L