2019届高考理科数学第一轮复习检测

基础巩固题组 (建议用时：40分钟)

一、填空题

1.若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点为________. 解析 由已知得b ＝－2a ，所以g (x )＝－2ax 2－ax ＝－a (2x 2＋x ).令g (x )＝0，得x 1＝0，x 2＝－1

2. 答案 0，－1

2

2.(2018·青岛统一检测)函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0，2)内的零点个数是________.

解析 因为函数y ＝2x ，y ＝x 3在R 上均为增函数，故函数f (x )＝2x ＋x 3－2在R 上为增函数，又f (0)＜0，f (2)＞0，故函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0，2)内只有一个零点. 答案 1

3.函数f (x )＝|x |－k 有两个零点，则实数k 的取值范围是________.

解析 函数f (x )＝|x |－k 的零点就是方程|x |＝k 的根，在同一坐标系内作出函数y ＝|x |，y ＝k 的图象，如图所示，可得实数k 的取值范围是(0，＋∞).

答案 (0，＋∞)

4.(2018·昆明三中、玉溪一中统考)若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)内存在一个零点，则a 的取值范围是________.

解析 当a ＝0时，f (x )＝1与x 轴无交点，不合题意，所以a ≠0；函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)内是单调函数，所以f (－1)·f (1)＜0，即(5a －1)(a ＋1)＞0，解得a ＜－1或a ＞15. 答案 (－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭

⎪⎫

15，＋∞

5.已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，

则x 1，x 2，x 3的大小关系是________.

解析 依据零点的意义，转化为函数y ＝x 分别和y ＝－2x ，y ＝－ln x ，y ＝x ＋1的交点的横坐标大小问题，作出草图(图略)，易得x 1＜0＜x 2＜1＜x 3. 答案 x 1＜x 2＜x 3

6.函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________. 解析 求函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f (2)＝－1＋ln 2，由于ln 2＜ln e ＝1，所以f (2)＜0，f (3)＝2＋ln 3，由于ln 3＞1，所以f (3)＞0，所以函数f (x )的零点位于区间(2，3)内，故n ＝2. 答案 2

7.(2018·湖北卷)函数f (x )＝4cos 2x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为

________.

解析 f (x )＝4cos 2x 2sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝2sin x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫

2cos 2x 2－1－|ln(x ＋1)|＝

sin 2x －|ln(x ＋1)|，令f (x )＝0，得sin 2x ＝|ln(x ＋1)|.在同一坐标系中作出两个函数y ＝sin 2x 与函数y ＝|ln(x ＋1)|的大致图象如图所示.

观察图象可知，两函数图象有2个交点，故函数f (x )有2个零点. 答案 2

8.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x

－1，x ＞0，

－x 2－2x ，x ≤0，

若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m

的取值范围是________.

解析 画出f (x )＝⎩

⎨⎧2x

－1，x ＞0，

－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图.

由函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，结合图象得：0＜m ＜1，即m ∈(0，1). 答案 (0，1) 二、解答题

9.已知函数f(x)＝－x2＋2e x＋m－1，g(x)＝x＋e2

x(x＞0).

(1)若y＝g(x)－m有零点，求m的取值范围；

(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根.

解(1)法一∵g(x)＝x＋e2

x≥2e

2＝2e，

图1

等号成立的条件是x＝e，

故g(x)的值域是[2e，＋∞)，因而只需m≥2e，则y＝g(x)－m就有零点.

法二作出g(x)＝x＋e2

x(x＞0)的大致图象如图1.

可知若使y＝g(x)－m有零点，则只需m≥2e.

图2

(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异实根，即y＝g(x)与y＝f(x)的图象有两个不同的交点，

在同一坐标系中，作出g(x)＝x＋e2

x(x＞0)与f(x)＝－x

2＋2e x＋m－1的大致图

象如图2.

∵f(x)＝－x2＋2e x＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2.

∴其图象的对称轴为x＝e，开口向下，

最大值为m－1＋e2.

故当m－1＋e2＞2e，即m＞－e2＋2e＋1时，y＝g(x)与y＝f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根.

∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞).

10.已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0有两根，其中一根在区间

(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的取值范围. 解 由条件，抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，如图所示，得

⎩⎨⎧ f （0）＝2m ＋1<0，

f （－1）＝2>0，

f （1）＝4m ＋2<0，f （2）＝6m ＋5>0⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧

m <－1

2，

m ∈R ，m <－12，

m >－56.

即－56

2. 故m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－5

6，－12.

能力提升题组 (建议用时：20分钟)

11.若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则实数a 的取值为________. 解析 当a ＝0时，函数f (x )＝－x －1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点；

当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－x －1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax 2－x －1＝0有两个相等实根. ∴Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－1

4.

综上，当a ＝0或a ＝－1

4时，函数仅有一个零点. 答案 0或－1

4

12.(2018·苏州调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧4，x ≥m ，

x 2＋4x －3，x

三个不同的零点，则实数m 的取值范围是________. 解析 由题意得g (x )＝⎩⎨⎧4－2x ，x ≥m ，

x 2＋2x －3，x