一个求回归直线方程的简单方法

一个求回归直线方程的简单方法

科技信息高校理科研究

一

个求回归直线方程明简单方法

华北电力大学柳燕

[摘要]求回归直线方程是统计学中经常用到的一个统计方法,大量的数据处理也可以有一些简单的方法,例如利用常用的数学记

号,经过推导与整理,便得到了简洁易用的公式.

[关键词]统计分析回归直线方程相关性

由于自然界中的许多事物间都包含着某种相互依存的内部规律,

这种联系反映到数学上,就是变量间的关系.变量的关系分为两大类:

有确定性关系和非确定性关系.数学的任务之一就是从数量上来解释

和分析这些关系.回归分析就是一种处理变量与变量间相互关系的数

学方法,也是数据处理中最为常用的一种统计方法.它是用数学方法从

大量观测数据中找出变量间近似关系的定量表达式,并由此利用这个

定量表达式去研究我们所未知的东西.研究两个变量间的相互关系的,

称为一元回归分析,在回归分析中,最简单也是最基本的情形是线性回

归,而一元线性回归所要找寻的是与变量相匹配的线性回归直线.这

里,我们用计算器上的统计键就可以轻而易举地得到这条直线方程.

回归的发现源自于19世纪末期对社会统计学的研究.那时,统计

学家发现,有许多数据都与正态曲线拟合的很好.但是这无所不在的正

态性却给高尔登带来了一个困惑,他发现亲子两代各自的身高数据,都

遵从同一的正态分布,但理论上,遗传把一种性态(例如身高)的优势传

递给下一代,则应该在后代中出现两极分化,即高个子的后代个子更

高,矮个子的后代个子更矮,或者说,高个子与矮个子的比例应该日渐

增加,而中等身材的比例应该日渐下降,但事实却是一代代的身高始终

呈现出稳定的正态分布.怎么解释这一现象呢?为此,高尔登想出了一

个"正态漏斗"试验,现在又称为:高尔登钉板试验.这个实验使高尔登

发现了在亲子代间性状的遗传中,性状有向中心回归的现象,也就是说,虽然高个子的后代平均来说要高些,但却不如其亲代那么高,总会向平均身高的方向"回归"一些.这既是回归的含义,也是回归这个概念的出处.接下来的工作是他在分析一些统计学的数据时注意到,若数据都取统计尺度,则可存在着两条斜率相同的回归直线.而其斜率可以作为两组变量的"相关紧度",就是我们现在所说的"相关系数".高尔登利用散点图去估计相关系数,并在图中指示了这些点理论上落在直线上. 这条直线就是我们要求的线性回归直线.现在求线性回归直线是一件简单的事,有那么多的统计软件,数据输入计算机,所求的直线也就得到了.这里介绍的是仅凭一个小小的计算器上的统计健,求出回归直线方程的简单方法.

设两个随机变量x与Y之间存在着某种相关关系.对于x取定的

一

组值x,作独立试验,得到Y所对应的一组值Y,,即得到n对观测值x., Y.),(i=l2-.,n1,又称为一组样本值.利用散点图,可以看出这些点之间

大致的位置关系,若近似地呈直线状,那么它们之间可成一线性关系, 因为可以想象,这些点散布在一条直线附近.在这些点附近的直线很多,究竟选取哪一条是最佳的呢?这可用最小二乘法解决,即取与观测数据离差的平方和最小的那条直线,这条直线就称为Y与x的回归直线.不妨设Y=a+bX,对应于每个记Y,=a+bx,,则离差的平方和:Q(a,b1= ∑(y.一0:∑(y,一bx),l=Iixl

于是将求回归直线问题转化为求Q(a,b)的最小值问题.

即求使一aQ(a,b):∑2一a-b]【i)(一1):0

曲:时的与b

—aQ(

.

a,b)一:22(yi-a-bxi)(一xJ=0OD_=】

引入记号:_-

I1

∑i=l

,_=

ni=

y.,r=12,s2=12(x.一x-)

fa+b

则上式可整理并变形为'{_a}窆2ibI

从而解得:b:,a=7-b~

S1

这个经过变形整理后的公式,仅含有样本均值和样本方差的形式: i,取s,用计算器上的统计键完全可以轻易地算出.确定了a,b之后,所求的回归直线方程也就有了:Y=a+bX.

例如某种水生植物生长的时间与身长间的关系如下

生长时间x(天)510203040506090120

身长Y(厘米)48l31617l9252946

试求它们之间的回归直线.

先作散点图,从图中大致可以判断这些点之间的关系呈线性关系. 令回归直线方程为:y=a+bx

用计算器中的统计键可得出样本均值,y-,及样本方差S,这里,

22

47.2,7=19.67,_-1344.4,Sl=35.8

故一b=

Sl

1344.4-47.2

2

x19.67

:0.3246

35.8

a=y-'-b__19.67—0.3246x47.2=4.35

故所求的回归直线方程为:y=4.35+0.3246x.

这个过程比一般教科书上给的方法要简便易用,而且也不繁琐,单

纯从求回归直线方程而言,应该已经化到了最简.其实数学就是这样,

当你很好地利用它的记号时,它有时会给你带来意想不到的简洁与规律. (上接第86页)芯片成本,数据传输的快慢等.

3,键盘模块

无线式评分器需要由一个界面来进行信息的录入,我们选择了键

盘电路来达到这一要求.键盘电路有很多种,有的很复杂,需要的技术

含量很高.而无线通信评审系统的键盘不需要太复杂.具体要求如下: (1)具有…0'至…9',"上翻","下翻","完毕","确定","删除","弃权"等

键.(2)若输入数字错误,可按"删除"键修改,按"确定"键数据传送到无

线数据采集器.(3)采用4位大液晶显示.(4)电池供电,具有3级电池

电量显示.(5)具有数据发送成功指示.(6)室内接收距离:200米,室外

接收距离:300米.

4,显示模块

在仪器仪表电路设计中,人机交互界面是必不可少的环节,现阶段

仪器仪表中通常使用的是LCD技术,LCD显示技术获得广泛应用的原因是:(1)价格低廉;(2)显示信息清晰醒目;(3)对仪器仪表系统资源占

用相对较少;(4)能量消耗相对较小,电源电路简单.利用智能型LCD

显示控制器,可以构成较复杂的仪器仪表人机显示界面,相对提高人机

界面的友好程度,减少对仪器仪表系统软硬件资源的占用,提高仪器工

作的可靠性,因而是仪器仪表系统人机界面的一种良好的构成方案.

5,看门狗

在控制系统中,由于微机电路本身的特点,它一旦因干扰或电源电

压不正常使程序失控,即使干扰消除,电压恢复正常,微机也不会自动恢复正常,必须要人工干涉.而在许多场合系统控制的工作是处于无人职

守的状态,这时就需要看门狗电路,它能在异常状态下实现对系统的自

动复位.

此评分器通过无线通信芯片来接收和发送数据,由LCD液晶电路

来显示数据,由键盘电路来录入信息,并通过一个看门狗电路来对此进