求二次函数解析式的四种方法详解

求二次函数解析式的四种基本方法

二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。

二次函数的解析式有三种基本形式：

1、一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0)。

2、顶点式：y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h 。

3、交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2) (a ≠0)，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。

4.对称点式： y=a(x －x 1)(x －x 2)+m (a ≠0)

求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：

1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。

2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。

3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离，通常可设交点式。

4.若已知二次函数图象上的两个对称点（x 1、m)(x 2、m),则设成： y=a(x －x 1)(x －x 2)+m (a ≠0)，再将另一个坐标代入式子中，求出a 的值，再化成一般形式即可。

探究问题，典例指津：

例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(．求这个二次函数的解析式．

分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax 2

+bx+c (a ≠0)。

解：设这个二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c (a ≠0) 依题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得：⎪⎩

⎪⎨⎧-===432c b a

∴这个二次函数的解析式为y=2x 2

+3x －4。

例2、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，与y 轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式。

分析：此题给出抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，最好抛开题目给出的c bx ax y ++=2，重新设顶点式y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点。

解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x －4)2

－1 (a ≠0)

又抛物线与y 轴交于点)3,0(。

∴a(0－4)2－1=3 ∴a=

4

1 ∴这个二次函数的解析式为y=41(x －4)2－1，即y=41x 2－2x+3。 例3、如图，已知两点A （－8，0），（2，0），以AB 为直径的半圆与y 轴正半轴交于点C （0、4）。求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式。

分析：A 、B 两点实际上是抛物线与x 轴的交点，所以可设交点式y=a(x －x 1)(x －x) (a ≠0)，

其中x

1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。2

解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x+8)(x －2)

例4、 已知函数y=x 2+kx －3（k>0),图象的顶点为C 并与x 轴相交于两点A 、B 且AB=4

（1）求实数k 的值；（2）若P 为上述抛物线上的一个动点（除点C 外），求使S △ABC =S △ABP 成立的点P 的坐标。

变式练习，创新发现

1、已知抛物线过A （－2，0）、B （1，0）、C （0，2）三点。求这条抛物线的解析式。）

2、已知抛物线的顶点坐标为)1,2(，与y 轴交于点)5,0(，求这条抛物线的解析式。

2、已知二次函数

y ax bx c =++2的图象的顶点为（1，-9

2），且经过点（－2，0），求该二次函数的函数关系式。

3、已知二次函数图象的对称轴是x=-3，且函数有最大值为2，图象与x 轴的一个交点是(-1，0)，求这个二次函数的解析式。

4、已知二次函数y ax bx c =++2的图象如图所示，则这个二次函数的关系式是________。

5、已知：抛物线在x 轴上所截线段为4，顶点坐标为（2，4），求这个函数的关系式

6、已知二次函数y m x mx m m =-++-()()()123212≠的最大值是零，求此函数的解析式。

7. 已知某抛物线是由抛物线y=x 2

-x-2经过平移而得到的，且该抛物线经过点A （1，1），B （2，4），

求其函数关系式。

9、已知四点A （1，2），B （0，6），C （－2，20），D （－1，12），试问是否存在一个二次函数，使它的图象同时经过这四个点？如果存在，请求出它的关系式；如果不存在，说明理由。

5、

6、