随机变量的函数的分布

例5 设
x, 0 x 1 X ~ f ( x ) 2 x , 1 x 2 0, 其它
由于f(x)是分段 表达的，求F(x)时 注意分段求.
求 F(x).
F ( x)
x

f (t )dt
F ( x)
F(x) =
x, 0 x 1 X ~ f ( x ) 2 x , 1 x 2 0, 其它
arcsin y
=P(0 X arcsiny)+P( - arcsiny X ）

2x
0

2
dx

2x
arcsin y

2
dx
dFY ( y) fY ( y) dy
求导得:
2 , 0 y 1 fY ( y ) 1 y 2 0, 其它
2）设随机变量X N （， ），则X 线性函数
2
y b 1 则Y 有密度函数PY ( y) PX ( ) a |a|
Y aX b, (a 0)也服从正态分布。 即有：Y aX b N （a b（ , a ) ).
2
例4 设随机变量X的概率密度为 2x 2 0 x f ( x) 求Y=sinX的概率密度. 其它 0
该函数 是连续 X ～ 的
x1 x2 xn p1 p2 pn
g ( x1 ) g ( x2 ) g ( xn ) 则 Y=g(X) ～ p2 pn p1 如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当 并项即可.
或：设Ｘ是离散随机变量，其分布列为 p{X xi } ，设 Y g ( x)为连续函数，则 (i 1, 2,...) Y g ( X ) 也是离散型随机变量。
0 y1
于是 对y<0 , G(y)=0; 对y>1, G(y)=1;
又由于X的分布函数F是严格递增的连续函 数, 其反函数 F-1 存在且严格递增.
对0≤y≤1,
G(y)=P(Y≤ y) =P(F(X)≤ y)
=P(X ≤ F (y))
1
即Y的分布函数是
=F(F 1(y))= y
y0 0, G ( y) y, 0 y 1 1, y 1
dh( y ) , y f [h( y )] fY ( y ) dy 0, 其它
其中
a x b
x=h(y)是y=g(x) 的反函数
g ( x), min g ( x), max a x b
此定理的证明与前面的解题思路类似.
注意 1）若X 具有概率密度函数PX ( x), 而Y aX b,(a 0)
y e

1 2

y 2
,
y0 y0
从上述两例中可以看到，在求P(Y≤y) 的过 程中，关键的一步是设法从{ g(X) ≤ y }中解出X, 从而得到与 {g(X) ≤ y }等价的X的不等式 .
这样做是为了利用已知的 X的分布，从 而求出相应的概率. 这是求r.v的函数的分布的一种常用方法.
例5 已知随机变量X的分布函数F(x)是严格单 调的连续函数, 证明Y=F(X)服从[0,1]上的均 匀分布. 证明: 设Y的分布函数是G(y), 由于
P{X {x | g ( x) y}}

{ x| g ( x ) y }

PX ( x )dx
若F Y ( y ) 是连续型分布，则可以求Ｙ的密度函数
设
y g x 是 x 的连 续函 数 ， Y g( X ) 是连 续型 随机变 量 求 Y g X 的密 度函 数fY y ．
如何求随即变量函数的分布
1、一般情形下求随机变量函数的分布。 a)先求分布函数，b)再求导，
2、求随机变量函数的概率密度。
3、在函数变换严格单调时利用定理求随机变量函数 的分布。
本章要求： 1 会用随机变量表示随机事件。 2 理解分布函数的定义及性质，要会利用分布 函数表示事件的概率。 3 理解离散型随机变量及其分布率的定义、性 质，会求离散型随机变量的分布率及分布函 数，掌握常用的离散型随机变量分布：两点分 布、二项分布、泊松分布。 4 理解连续型随机变量及概率密度的定义、性 质，要掌握概率密度与分布函数之间关系及其 运算，掌握常用的连续型随机变量分布：均匀 分布、指数分布和正态分布。 5 会求随机变量的简单函数的分布。
设X是一个随机变量,y f ( x) 是连续或分段连续的 函数，它的定义域包含随机变量Ｘ的值域．这样， 复合函数 Y (e) f ( X (e)) 是定义在Ｓ上的函数，可 以证明Ｙ也是一个随机变量．我们的问题是，若 FY ( y) FX ( x) 已知Ｘ的分布函数 ，如何求Ｙ的分布函数
设随机变量X 的分布已知，Y=g (X) (设g是连续函数). (一) 离散型随机变量的函数的分布 一般，若X是离散型 r.v ，X的概率分布列为
求导得Y的密度函数 就可以做出最后的结论
下面给出一个定理，在满 足定理条件时可直接用它求出 随机变量函数的概率密度 .
定理 设 X是一个取值于区间[a,b]，具有概率 密度 f(x)的连续型r.v,又设y=g(x)处处可导，且 对于任意x, 恒有 g ( x ) 0 或恒有g ( x ) 0 ，则 Y=g(X)是一个连续型r.v，它的概率密度为
例题选讲
例题1 设X 分布律为
X -2 -1 0 1 2
p
0.15
0.2
0.2
0.2
0.25
试求： 1) Y X ;2)Y 2 X 1 的分布。
2
二
连续型随机变量函数的分布
设Ｘ为连续型随机变量，其概率密度为 PX ( x) 设随机变量 Y g ( X ) 则Ｙ的分布函数为：
FY ( y) P{Y y} P{g ( X ) y}
dFY ( y) y 1 1 fY ( y ) fX ( ) dy 2 2
注意到 0 < x < １ 时，f X ( x ) 0
即1<y<3时
y 1 fX ( )0 2
变限的定积分的求导公式：
如果 F ( x ) 则
( x) ( x)

f ( t )dt ,
F ( x ) f [ ( x )] ( x ) f [ ( x )] ( x ).
在实际问题中,我们往往需要讨论随机变量函数及 其分布.这是因为,在某些试验中,我们关心的随机 变量不能通过直接观测得到,然而它却是另一个或 几个能直接观测的随机变量的函数.于是,我们需要 讨论如何有已知的随机变量的分布求得随机变量 函数的分布,这就是我们将要学习的:
第五节 随机变量的函数的分布
教学重点 随机变量的函数的分布 教学内容
２ 例题选讲
例题１ 设随机变量Ｘ的概率密度为
6 x(1 x), 0 x 1 f X ( x) 0, 其它
求随机变量函数Ｙ＝２Ｘ＋１的概率密度．
解：设Y的分布函数为 FY(y)， FY(y)=P{ Yy } = P (2X+１ y) y 1 y 1 y 1 2 P{ X } f X ( x)dx FX ( ) 2 2 于是Y 的密度函数
例3设 X 具有概率密度 f X ( x ),求Y=X2的概率密度.
解： 设Y和X的分布函数分别为FY ( y)和FX ( x) ，
注意到 Y=X2 0，故当 y 0时，FY ( y) 0
当 y>0 时, FY ( y ) P(Y y ) P( X y ) P ( y X y ) 由分布函数的性 质 FX ( y ) FX ( y ) 求导可得 1 , y 0 f ( y ) f ( y ) dFY ( y ) X X fY ( y ) 2 y dy 0, y0
解：注意到, 当 0 x 时 0 y 1
故
当 y 0时, FY ( y) 0,
当 y 1时, FY ( y ) 1
例4 设随机变量X的概率密度为
2x 2 f ( x) 0
0 x 其它
求Y=sinX的概率密度.
解：当0<y<1时,
FY ( y) P{Y y} P{sin X y}
这一讲我们介绍了随机变量函数的分布. 对于连续型随机变量，在求Y=g(X) 的 分布时，关键的一步是把事件 { g(X)≤ y } 转 化为X在一定范围内取值的形式，从而可以 利用 X 的分布来求 P { g(X)≤ y }.
四、小结
这一节我们介绍了随机变量函数的分布.
对于连续型随机变量，在求 Y= g (X) 的分布 时，关键的一步是把事件 { g(X)≤ y } 转化为X在一 定范围内取值的形式，从而可以利用 X 的分布来 求 P { g(X)≤ y }.
解题布骤：
X 是一 连续 型随机 变量 其密 ， 度函 数为 f X x ，
⑴ 先 求Y g X 的 分 布 函 数 FY y P Y y P g X y
g ( x ) y
f
X
( x )dx
⑵ 利用Y g X 的分布函数与密度函数 之间的 关系求 Y g X 的密度函数 fY y FY y .
pi
设Y的可能取值为b1 , b2 ,... 对b j , {Y b j } {g ( X ) b j } { X {xi | g ( xi ) b j }}
i: f ( ai ) b j
P{Y b j } P{g ( X ) b j }

pi ( j 1, 2,...)
2
1 , y 0 f ( y ) f ( y ) dFY ( y ) X X fY ( y ) 2 y dy 0, y0