单摆控制与仿真

1引言

在机械系统中，单摆运动是一种典型而具有代表性的运动之一，长期以来人们对单摆运动的运动方程以及周期公式都进行了大量的研究，对于有阻力的单摆运动的认识也一步步加深．然而，对于单摆运动的跟踪与控制，往往接触的很少．为了使两个不同系统的单摆实现同步跟踪，寻求控制力的控制规律以及最优解，本文在合理的假设下，针对该问题，建立了单摆追踪的模型．并利用线性系统的渐进稳定性原理及状态反馈控制对模型进行了求解，得出单摆控制力的最优解力，然后利用数学软件MATLAB进行了单摆运动的仿真模拟．

2 预备知识

——线性系统的渐近稳定性

2．1 线性系统状态空间的基本概念

1)．状态:表征系统运动的信息和行为．

2)．状态变量：完全表征系统运动状态的最小一组变量． 3)．状态向量: 设系统有n 个状态变量，用()()()12,,

,n x t x t x t 表示，而且把这些状态变

量看做向量()x t 的分量，则向量()x t 称为状态向量，记为

[]12,,,T

n x x x x =．

4)．状态空间：以n 个状态变量作为坐标轴所组成的n 维空间．

5)．状态方程：描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程组（连续时间系统）或一阶差分方程组（离散时间系统）称为系统的状态方程，它表征了输入对内部状态的变换过程，其一般形式为：

()()(),,x t f x t u t t =⎡⎤⎣⎦,

其中，t 是时间变量，()u t 是输入变量．

6）输出方程：描述系统输出量与系统状态变量和输入变量之间函数关系的代数方程称为输出方程，它表征了系统内部状态变化和输入所引起的系统输出变换，是一个变化过程．输出方程的一般形式为：

()()(),,y t g x t u t t =⎡⎤⎣⎦．

7）状态空间表达式：状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式，也称动态方程，它表征一个系统完整的动态过程，其一般形式为：

()()()()()(),,,,x t f x t u t t y t g x t u t t ⎧=⎡⎤⎪⎣

⎦⎨

=⎡

⎤⎪⎣⎦⎩． 通常，对于线性定常系统，状态方程为

x Ax Bu

y Cx Du

=+⎧⎨

=+⎩,

其中，()12,,

T

n x x x x =表示n 维状态向量，

()n n ij n n

A a R ⨯⨯=∈表示系统内部状态的系数矩阵，

称为系统矩阵n n A ⨯，()n r ij n r

B b R ⨯⨯=∈表示输入对状态作用的矩阵，称为输入（或控制）矩

阵n r B ⨯，()

m n ij m n

C c R ⨯⨯=∈表示输出对状态关系的矩阵，称为输出矩阵m n C ⨯，

()

m r ij m r

D d R ⨯⨯=∈表示输入直接对输出作用的矩阵，称为直接转移矩阵m r D ⨯，也称前馈系

数矩阵．

A 由系统内部结构及其参数决定，体现了系统内部的特性，而

B 则主要体现了系统输入的施加情况，通常情况下0D = ．

2．2线性定常连续系统的能控性

定义2．1 设(),,n p n n x Ax Bu x R u R A R ⨯=+∈∈∈，若存在一分段连续控制向量()u t ，能在0,f t t ⎡⎤⎣⎦内，将系统从任意的初态()0x t 转移至任意终态()f x t ，则系统完全能控．

定理2．1 系统完全能控的充要条件：

rankSc n =,

其中，1,,

,n Sc B AB A B -⎡⎤=⎣⎦，称为能控矩阵．

2．3线性状态反馈控制律

线性状态反馈控制律为u V Kx =-式中，V 是参考输入，p n K R ⨯∈称为状态反馈增益矩阵．系统动态方程变为：

()()x A BK x BV

y C DK x DV =-+⎧⎪⎨

=-+⎪⎩

, 当0D =时

(),x A BK x BV y Cx =-+=,

式中，A BV -为闭环系统的系统矩阵． 闭环传递函数和特征方程为

0I A BK λ-+=．

2．4 线性系统稳定性以及渐进稳定性理论

1）稳定性基本概念--平衡状态

自治系统：输入为0的系统 ()0x Ax Bu u =+=． 初态 (),x f x t = 的解为()00,,x t x t ． 平衡状态：

(),0 e e e x f x t x ==→系统的平衡状态．

2）李雅普诺夫意义下的稳定及渐进稳定

稳定：如果对每个实数0ε>都对应存在另一个实数()0,0t δε>满足()00,e x x t δε-≤ 其中有：

[][]()()12

2

2

0102001201010,,

,,

T

T n e e e ne e e n ne x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤==-=-+

+-⎣

⎦

，

且()000lim ,, e t x t x t x t t ε→∞

-≤≥则称 e x 是李氏意义下的稳定．0t δ⇒与无关一致稳定．

渐近稳定：

(1)是李氏意义下的稳定；

(2) ()000lim ,,0 e t x t x t x t δ→∞

-→⇒与无关一致渐进稳定；

(3)大范围内渐进稳定性：对()0 0x s δδ∀∈→ 都有()00lim ,,0e t x t x t x →∞

-→

() e s x x δ→∞→∞⇒大范围稳定．

定理2．2[1]：对n 维连续线性系统，系统内部稳定即渐进稳定的充分必要条件为系统矩阵

A 所有特征值(),1,2,...,i A i n λ=均有负实部即成立

(){}Re 0,1,2,...,i A i n λ<=．