两个总体参数的假设检验

设总体
X
~
N
(,?总1，体 ?
2 1
)
,Y且~X
N
(
?
，
2
?
2 1
)
与Y 相互独立，
X 1 ,与X 2 , , X n1是分别Y来1 ,自Y2 , ,Yn 2
总体X与Y 的相互独立的样本，其样本均值与样本方差
分别为：
? ? 1 n1
1 n2
X= n1
i?1
Xi,
Y= n2
Yi
i?1
? ? S
2 1
?
76.23,
S
2 1
?
3.29
n2
?
9,
y
?
74.43,
S
2 2
?
2.25.
S
2 1
?
3.29
H0
:?
2 1
?
?
2 2
H 0：? 1 ? ? 2
H1
:?
2 1
?
?
2 2
,
? ? 0.05
H 1 : ?1 ? ? 2, ? ? 0.05
n1
?
9,
x
?
76.23,
S
2 1
?
3.29
n2
?
9,
y
?
74.43,
?2
4.统计推断：
F 0 F1? ? 2
?2
若 F ? F? / 2 (n1 ? ，1,拒n绝2 H?0，1接) 受H1； 若 F ? F? / 2 (n1 ? ，1,接n受2 H?0，1拒) 绝H1.
例6-8.为考察甲、乙两批药品中某种成分的含量(%),
现分别从这两批药品中抽取9个样品进行测定，测得
体X的样本，总体均值 和方差 未知，则
?
?2
?2
?
(n ? 1)S
?2
~
? 2 (n ? 1)
检验统计量
检验步骤为：
双侧
(1)建立假设:
H0:? ? ? 0 H1:? ? ? 0
(2)在H0成立的条件下，构造检验统计量
?2
?
(n ? 1)S
?2
~
? 2 (n ? 1)
? (3)对于给定的显著水平? ，查 分布临界值表， 2
Sn
u ? X ? ? 0 ~ N (0,1)
Sn
(近似服从)
2.配对比较总体均值的 t 检验
t 统计量
t ? d ~ t(n ? 1) Sd n
3.正态总体方差的 ? 2 检验
? 2 统计量
?2
?
(n ? 1)S
?2
~
? 2 (n ? 1)
四、正态总体方差的 ? 2 检验
设总体
X ~ ，N (? ,? 2 ) 为X抽自1,总X 2 ,L , X n
复习1：
假设检验的一般步骤 1、建立检验假设； 2.确定检验统计量及其分布，并根据样本值计算检验统计量的值；
3.根据显著性水平? ，确定拒绝域；
4.做出统计推断；
复习2：
1.正态总体均值 ? 的假设检验
u 统计量 t 统计量 u 统计量
u ? X ? ? ~ N (0,1) ?n
t ? X ? ? ~ t(n ? 1)
）
y ? 130( g)
? ? 0.01
分析：
n1
?
35,
x
?
137, ?
2 1
?
70,
n2
?
45,
y
?
130, ?
2 1
?
90,
H 0：? 1 ? ? 2 H 1 : ? 1 ? ? 2, ? ? 0.01
n1
?
35,
x
?
137, ?
2 1
?
70,
n2
?
45,
y
?
130, ?
2 1
?
90,
解： (1)建立假设:
1 n1 n1 ? 1 i?1 ( X i
?
X
)2
,
S
2 1
?
1 n2 n2 ? 1 i? 1 (Yi
?Y )2
H 0：? 1 ? ? 2 H 1 : ? 1 ? ? 2
检验步骤：
(1)建立假设:
H 0：? 1 ? ? 2
(2)构造并计算检验统计量
H1 :?1 ? ?2
<1>两总体方差已知
u?
x? y
设总体
X
~
N
(,?总1，体 ?
2 1
)
,Y且~X
N
(
?
，
2
?
2 1
)
与Y 相互独立，
X 1 ,与X 2 , , X n1是分别Y来1 ,自Y2 , ,Yn 2
总体X与Y 的相互独立的样本，其样本均值与样本方差
分别为：
? ? 1 n1
1 n2
X= n1
i?1
Xi,
Y= n2
Yi
i?1
F 检验统计量
? ? S
例：检验某种新药的疗效。
H0：该药未提高疗效； H1：该药提高了疗效。
第一类错误： （弃真）
本来无效，但结论为有效，此时若推 广此药，对患者不利。
第二类错误： （存伪）
本来有效，但结论为无效，此时若不 推广此药，会带来经济上的损失。
假设检验的两类错误（概率）
实际情况 H0为真 H0不真
假设检验结论
（弃真）
第二类错误： 本不合格，但结论为合格。（?）
（存伪）
使? 尽量小一些
第六章 参数假设检验
第三节 两个正态总体参数的假设检验
主要内容
一、两个总体方差比较的 F 检验 二、两个总体均值比较的 t 检验
设总体
问题
X
~
N
(,?总1，体 ?
2 1
)
,Y且~X
N
(
?
，
2
?
2 1
)
与Y 相互独立，
X 1 ,与X 2 , , X n1是分别Y来1 ,自Y2 , ,Yn 2
临界值
样本统计量 临界值
例6-9 设甲、乙两台机器生产同类型药品，其生产的
药品重量(g)分别服从方差
的正态分
? 布。从甲机器生产的药品中随机地取出35件，12其?平均70, ?
2 2
?
90
重量
，又独立地从乙机器生产的药品中随机
地取出45件，其平均重量
，问这两台机器生
产的药品x就?重1量3而7(言g有) 无显著差异？（
２.两类错误及记号
(1)当原假设H0为真, 观察值却落入拒绝域, 而作出 了拒绝H0的判断, 称做第一类错误, 又叫弃真错
误。犯第一类错误的概率是显著性水平 。
?
(2)当原假设H0不真, 而观察值却落入接受域, 而作 出了接受H0的判断, 称做第二类错误, 又叫取伪
错误。犯第二类错误的概率大小用β表示。
H1
:?
2 1
?
?
2 2
S
2 1
?
3.29
n1
?
9,
x
?
76.23,
S
2 1
?
3.29;
n2
?
9,
y
?
74.43,
S
2 2
?
2.25.
解： <1>建立假设:
H0
:?
2 1
?
?
2 2
<2>构造并计算检验统计量
H1
:?
2 1
?
?
2 2
F
?
SS（1222 (较较大小））?
3.29 ?
2.25
1.46
v1 ? 9 ? 1 ? 8 v2 ? 9 ? 1 ? 8
的利巴韦林药片重量服从正态分布，其方差为0.25，
现从某日生产的药品中随机抽出20片，测得样本方
差为0.43，试问该日生产的利巴韦林药片的重量波
动与平时有无差异？（
）
? =0.01
解： (1)建立假设:
பைடு நூலகம்
H 0 : ? ? ? 0 =0.25
(2)在H0成立的条件下，构造计算统计量
H 1 : ? ? ? 0 =0.25
2 1
?
1 n1 n1 ? 1 i?1 ( X i
?
X
)2
,
S
2 1
?
1 n2 n2 ? 1 i? 1 (Yi
?Y )2
F
?
S
2 1
S
2 2
?
2 1
?
2 2
?
S 12? S 22?
2 2 2 1
~F (n1
?
1, n2
?
1)
检验步骤：
双侧
1.提出假设：
H0
:?
2 1
?
?
2 2
2.构造计算检验统计量
H 0：? 1 ? ? 2 H 1 : ? 1 ? ? 2
(2)构造并计算检验统计量
x? y
u?
? 3.5
?
2 1
/
n1
?
?
2 2
/
n2
(3)? ＝0.01，查临界值表，得：
u0.01/ 2 ? 2.58
(4)做出统计判断：
Q u ? 3.5 ? u0.01/ 2 ? 2.58,
所以拒绝H0，接受H1.
样本含量。
例：检验药品外观指标。 H0：药品外观相同； H1：药品外观不同。
第一类错误： 本相同，但结论为不同。（? ） （弃真）
第二类错误： 本不同，但结论为相同。（?）
（存伪）
使? 尽量小一些
例：检验药品质量。 H0：药品质量合格； H1：药品质量不合格。
第一类错误： 本合格，但结论为不合格。（? ）
F? / 2(n1 ? 1, n2 ? 1) ? F0.05/ 2(8,8) ? 4.43
<4>统计判断
Q F ? 1.46 ? F0.05/ 2(8,8) ? 4.43
所以接受H0，拒绝H1.
n1
?
9,
x
?
76.23,
S
2 1
?
3.29
n2
?
9,
y
?
74.43,
S
2 2
?
2.25.
解: (2)两均数比较：t 检验
其样本均值和样本方差分别为
、
，
x ? 76.23
检y验?甲7、4乙.4两3、批药S品22 中假? 该设2.种它2成们5.分都含服量从的正波态动分是布否，有试
显著差异？(
)
? =0.05
分析：
n1
?
9,
x
?
76.23,
S
2 1
?
3.29
n2
?
9,
y
?
74.43,
S
2 2
?
2.25.
H0
:?
2 1
?
?
2 2
<3>显著性水平? =0.05，
v查1F?界值8，表，v得2 ?： 8
F? / 2(n1 ? 1, n2 ? 1) ? F0.05/ 2(8,8) ? 4.43
<4>做出统计判断
F ? 1.46 ? F0.05/ 2(8,8) ? 4.43
? P ? 0.05
所以接受H0，拒绝H1.
二、两个总体均值比较的t 检验
拒绝H 0
第Ⅰ类错误(? )
弃真错误
接受H0
推断正确(1-? )
置信度
推断正确(1- β) 第Ⅱ类错误(β)
检验功效
存伪错误
注意：拒绝H0，只可能犯Ⅰ型错误； 接受H0，只可能犯Ⅱ型错误错误。
当样本含量 n一定时，
? 越 小 ,β 越 大 ;? 越 大 ,β越小；若想同时 减少 ? 和β，只有增大
?2
（n ?
? 1)S 2
?2
（20 ?
?
1)
?
0.43
0.25
?
32.68
df ? n ? 1 ? 19.
(3)显著水平
? =0.01，，查 df 表?，1得9：
?2
?
2 1-0.01/
2
(19)=?
2 0.995
(19)=6.844
?
2 0.01/
2
(19)=?
2 0.005
(19)=38.582
~N (0,1)
?
2 1
/
n1
?
?
2 2
/
n2
<2>两总体方差未知，但样本量大
x? y
u?
~N (0,1)
S
2 1
/ n1
?
S
2 2
/ n2
<3>总体方差未知，但相等
t? S
x? y 1/ n1 ? 1/
n2
~t(n1
?
n2
?
2)
S2
?
(n1
?
1)
S
2 1
?
(n2
?
1)
S
2 2
n1 ? n2 ? 2
得双侧临界值
和
；
?
2
?
/
2
(
n
?
1)
?
2 1? ?
/2
(n
?
1)
(4)统计判断：
若
?2
?
?
2 ?
/
2或(n
?拒1绝) H0，接?受2 ，H?1；? 12??
/2
(n
?
1)
若
?
2 1? ?
/2(n
?
1)
接? 受?H20，?，拒? 绝?2 /H2 (1；n ?
1)
例6-7.根据长期正常生产的资料可知，某药厂生产
S
2 2
?
2.25.
解: (1)方差齐性检验：
<1>建立假设:
H0
:?
2 1
?
?
2 2
<2>构造并计算检验统计量
H1
:?
2 1
?
?
2 2
F
?
SS（1222 (较较大小））?
3.29 ? 1.46 2.25
<3>? =0.05，
v1 ? 得8，： v2 ? 8
v1 ? 9 ? 1 ? 8 v2 ? 9 ? 1 ? 8
<4>总体方差未知，但不相等
t??
x? y
~t(df )
S
2 1
/
n1
?
S
2 2
/ n2
df
?
(n1 ?
n2 ?
1 2)( ?
2
S
2 1
S14
?S
2 2
?
S
4 2
)
(3)根据显著性水平? ，查相应的临界值表，确定拒绝
域与接受域；
(4)做出统计判断。 抽样分布
拒绝域 ? /2
1 -?
接受域
拒绝域 ? /2
总体X与Y 的相互独立的样本，其样本均值与样本方差 分别为：
? ? 1 n1
1 n2
X= n1
i?1
Xi,
Y= n2
Yi
i?1
? ? S12
?
1 n1 ? 1
n1
( X i ? X )2 , S12
i?1
?
1 n2 ? 1
n2
(Yi
i?1
?Y )2
H0
:?
2 1
?
?
2 2
H1
:?
2 1
?
?
2 2
一、两个总体方差比较的F 检验
例6-8.为考察甲、乙两批药品中某种成分的含量(%),
现分别从这两批药品中抽取9个样品进行测定，测得
其样本均值和样本方差分别为
、
，
x ? 76.23
检y验?甲7、4乙.4两3、批药S品22 中假? 该设2.种它2成们5.分都含服量从是正否态有分显布著，差试
异？(
)
? =0.05
分析：
n1
?
9,
x
?
H1
:?
2 1
?
?
2 2
F
?
S
2 1
S
2 2
?
2 1
?
2 2
?
S 12? S 22?
2 2 2 1
~F (n1
?
1, n2
?
1)
当
?
2 1
?时?：22
F
?
S
2 1
S
2 2
(较大) (较小)
~F
(n1
?
1,
n2
?
1)
3.根据显著性水平? 和自由度，查F界值表，得：
?2
F? / 2 (n1 ? 1, n2 ? 1)
<1>建立假设:
H 0：? 1 ? ? 2
<2>构造并计算检验统计量
H1 : ?1 ? ?2
S2
?
(n1 ?
1)
S
2 1
?
(n2
?
1)S
2 2
?
2.77
n1 ? n2 ? 2
t? S
x? y 1/ n1 ? 1/ n2
?
2.295,df
?
n1 ? n2 ? 2 ? 16
(4)统计判断：
Q
?
2 0.995
(19)=6.844
?
? 2 =32.68
?
?
2 0.005
(19)=38.582
所以接受H0，拒绝H1。
假设检验的两类错误
１.假设检验的基本原理： 基本原理就是人们在实际问题中经常采用的所谓小概率原理:“一个小
概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的”.
小概率事件还是会发生的