反函数与原函数的转化公式

反函数与原函数的转化公式
反函数与原函数是函数中相互转化的概念。

反函数指的是，如果函数
f的定义域为A，值域为B，当对于定义域为B的每个元素y，存在唯一的
x∈A，使得f(x)=y，则称函数f的反函数为g，即g(y)=x。

原函数指的
是函数的原始形式。

反函数与原函数是互逆的关系，即f(g(x))=x，
g(f(x))=x。

一、对称性公式：
如果函数 f 是一条直线的方程 y = ax + b，且a ≠ 0，则它的反
函数为 g(y) = (y - b) / a。

证明：设 f(x) = y = ax + b，则有 x = (y - b) / a，即 g(y) = (y - b) / a。

二、平方根函数和平方函数的转化公式：
1.如果原函数f(x)=x^2，定义域为实数集R，那么它的反函数为
g(y)=√y。

证明：设f(x)=x^2=y，若y≥0，则x=√y，即g(y)=√y。

若y<0，
则对于实数集R，不存在f(x)=y，因此在y<0时，g(y)无定义。

2.如果原函数f(x)=√x，定义域为非负实数集[0,+∞)，那么它的反
函数为g(y)=y^2
证明：设f(x)=√x=y，由于定义域为非负实数集[0,+∞)，所以y≥0。

通过两边平方可得x=y^2，即g(y)=y^2
三、指数函数和对数函数的转化公式：
1. 如果原函数f(x) = a^x (a > 0, a ≠ 1)，定义域为实数集 R，那么它的反函数为 g(y) = logₐy。

证明：设 f(x) = a^x = y，取对数可得 x = logₐy，即 g(y) =
logₐy。

2. 如果原函数 f(x) = logₐx (a > 0, a ≠ 1)，定义域为正实数集(0, +∞)，那么它的反函数为 g(y) = a^y。

证明：设 f(x) = logₐx = y，则 a^y = x，即 g(y) = a^y。

以上是几个常见反函数与原函数转化的公式。

需要注意的是，函数的反函数存在的前提是原函数是一对一的函数（即对于不同的x值，函数值f(x)是不同的），这样才能保证反函数的存在性和唯一性。