几种高等数学中的构造函数法1汇总

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几种高等数学中的构造函数法

摘要构造函数法在高等数学中是一种重要的思想方法,它体现了数学发现、类比、化归、猜想、实验和归纳等思想,对于开阔思路,培养分析问题、解决问题和创新的能力是有益的.本文结合实例简单的介绍这一方法及其应用.

关键词构造;分析;数形结合法;作差法;观察法

中图分类号 O172

The constructor of higher mathematics

Chengyan Instructor Wang Renhu

(N. O. 06, Class 1 of 2009. Specialty of Mathematics and Applied Mathematics, Department of

Mathematics, Hexi University, Zhangye, Gansu, 734000, China)

Abstract The constructor method in higher mathematics is an important way of thinking,Study found, analogy, and guess, experiment and induction, etc,To widen, training analysis problem, problem-solving ability and the innovation is beneficial.This paper briefly introduced the method and its application.

Key words tectonic;analysis;Several form combination;For poor method;observation 1 分析法

分析法即从结论出发,从后向前一步一步的进行分析,通过对条件和结论的分析,构造出辅助函数,架起一座连接条件和结论的桥梁,最后获得证明.

例1.1[1] 拉格朗日中值定理如果函数f(x)在闭区间上连续,在开区间内可导,那么在内至少有一点使等式

成立.

分析由于罗尔定理是这一定理的特例,于是定理的证明归结为利用罗尔定理.这里关键是要引进一个满足罗尔定理条件的新的函数F(x).欲证

需证

f(ξ)-

'

f(b)-f(a)b-af(b)-f(a)⎡

=0,而等式左边可转化为⎢f(x)-

b-a⎣

⋅x

⎤

,于是,可取函数x⎥⎦x=ξ

'

F(x)=f(x)-

f(b)-f(a)b-a

,容易验证F(x)满足罗尔定理的条件,顺此思路,即可证本定

理.

例1.2[3] 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,又f(x)不是线性函数,且f(b)>f(a).试证ξ∈(a,b),使得f'(ξ)>

f(b)-f(a)b-a

.

f(b)-f(a)b-a

(x-a)

分析过点(a,f(a))与(b,f(b))的线性函数为y=f(a)+是线性函数,则

F(x)≡f(x)-f(a)-

f(b)-f(a)b-a

,因f(x)不

(x-a)≠0

,

只要证明F'(ξ)=f'(ξ)-

f(b)-f(a)b-a

>0

即可.

f(b)-f(a)b-a

(x-a)

证明设辅助函数F(x)=f(x)-f(a)-

,则F(x)在[a,b]上连续,在

(a,b)内可导,F(a)=F(b).由于F(x)≠0,存在x0∈(a,b),使F(x0)≠0.

当F(x0)>0时,由Lagrange中值定理,∃ξ∈(a,x0)使F'(ξ)=即f'(ξ)>

F(b)-F(a)

b-a

F(x0)-F(a)

x0-a

>0

,

.

F(b)-F(x0)

b-x0

>0,即f(ξ)>

'

当F(x0)<0时,同理, ∃ξ∈(x0,b),使F'(ξ)=

F(b)-F(a)

b-a

.

例1.3[5] 计算n阶行列式

a+x1

D=

a+x1

a+x1

n

a+x2a+x2

a+x2

n

a+xna+xn

a+xn

n

.

分析该题直接利用行列式“两项和性质”显然无法实现,如果后一列乘(-1)加到前一列,虽然每一列有公因式可提,但行列式中的元素却变得更复杂,无法进行计算.但从行列式D中可以捕捉到“范德蒙行列式的影子”,所以,应想办法构造一个行列式,既让它等于D,又能转化为范德蒙行列式.于是,有下列解法.

解构造行列式,即先将原n阶行列式D加边成一个n+1阶行列式,

100 0

n2

1a+x1a+x1

a+x1

n

2

2

2

1a+x2a+x2

a+x2

n2

2

1a+xna+xn, a+xn

2

n2

然后将此n+1阶行列式第一行乘-ai(i=1,2,…,n)加到第i+1行,再将所得行列式按第一列拆成两个n+1阶行列式相减,并根据范德蒙行列式可得,

1-a

1x1x1x11x1x1x1

2

2

1x2x2x21x2x2x2

2

2

1xn

2

1xnxn xn

n2

D=-a2

-a20

n

n

n

1a

2

1x1x1x1

2

1x2x2x2

2

1xnxn xn

n2

=0

xn--a xn

n

n

n