中考数学九年级上册专题训练50题含答案

中考数学九年级上册专题训练50题含答案
一、单选题
1．已知方程x 2+2x ﹣3=0的解是x 1=1，x 2=﹣3，则另一个方程（x +3）2+2（x +3）﹣3=0的解是（ ）
A ．x 1=﹣1，x 2=3
B ．x 1=1，x 2=﹣3
C ．x 1=2，x 2=6
D ．x 1=﹣2，x 2=﹣6
2．用配方法解方程2430x x --=，下列配方正确的是（ ）
A ．()227x -=
B ．()227x +=
C ．()223x -=
D ．()221x -= 3．分式()()2234x x x ++-的值为0，则( )
A ．x ＝－3
B ．x ＝－2
C ．x ＝－3或x ＝－2
D ．x ＝±2
4．如图，四边形ABCD 内接于O ，DA DC =，若55CBE ∠=︒，则DAC ∠的度数为（ ）
A ．70︒
B ．67.5︒
C ．62.5︒
D ．65︒ 5．方程()()()1222x x x -+=+的根是（ ）
A ．1，﹣2
B ．3，﹣2
C ．0，﹣2
D ．1 6．下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的是（ ）
A ．240x +=
B ．2690x x -+=
C ．23450x x --=
D ．2340x x -+= 7．下面关于两个图形相似的判断：①两个等腰三角形相似；①两个等边三角形相似；①两个等腰直角三角形相似；①两个正方形相似；①两个等腰梯形相似．其中正确的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 8．如图，线段AB 的两个端点坐标分别为A （2，2）、B （4，2），以原点O 为位似中
心， 将线段AB 缩小后得到线段DE ， 若1DE =，则端点E 的坐标为（ ）
A ．（1，1）
B ．（1，2）
C ．（2，1）
D ．（2，2） 9．一元二次方程22560x x -+=的根的情况为（ ）
A ．无实数根
B ．有两个不等的实数根
C ．有两个相等的实数根
D ．不能判定
10．如果，正方形ABCD 的边长为2cm ，E 为CD 边上一点，①DAE=30°，M 为AE 的中点，过点M 作直线分别与AD 、BC 相交于点P 、Q ，若PQ=AE ，则PD 等于（ ）
A ．2
3 cm B cm C ．43cm D ．2
3cm 或43
cm 11．一元二次方程﹣x 2+2x ＝﹣1的两个实数根为α，β，则α+β+α•β的值为（ ） A ．1 B ．﹣3 C ．3 D ．﹣1
12．若x ＝-2是关于x 的一元二次方程x 2＋32
ax -a 2＝0的一个根，则a 的值为（ ）
A ．1或-4
B ．-1或-4
C ．-1或4
D ．1或4
13．下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的为（ ）
A ．20ax bx c ++=
B ．222(3)x x -=+
C ．()210k x -=
D ．210x -= 14．某一商人进货价便宜8%，而售价不变，那么他的利润率（按进货价而定）可由目前x 增加到（x +10%），则x 是（ ）
A ．12%
B ．15%
C ．30%
D ．50%
15．已知关于x 的一元二次方程()244610ax a x a -+++=有实数根，则实数a 的取值
范围是（ ）
A ．94a ≥
B ．98a ≥-且0a ≠
C ．94a ≤且0a ≠
D ．98a ≤且0a ≠ 16．我国古代数学著作《九章算术》有题如下：“今有邑方二百步，各中开门．出东门一十五步有木．问出南门几何步而见木？”大意是，今有正方形小城ABCD 的边长BC 为200步，如图，各边中点分别开一城门，走出东门
E 15步处有树Q ．问出南门
F 多少步能见到树Q （即求从点F 到点P 的距离）？（注：步是古代的计量单位）（ ）
A ．23663
步 B ．24663步 C ．25663 D ．26663
步 17．以下说法：
①若直角三角形的两边长为3与4，则第三次边长是5；
①两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；
①长度等于半径的弦所对的圆周角为30°
①反比例函数y=﹣
2x ，当＞0时y 随x 的增大而增大， 正确的有（ ）
A ．①①
B ．①①
C ．①①
D ．①① 18．如图，正方形ABCD 中，点
E 在边BC 上，BE EC =，将DCE ∆沿DE 对折至DFE ∆，延长E
F 交边AB 于点
G ，连接DG ，BF ．给出以下结论：①
DAG DFG ∆≅∆；①2BG AG =；①EBF DEG ∆∆；①23
BFC BEF S S ∆∆=．其中所有正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
19．如图，①ABD内接于圆O，①BAD=60°，AC为圆O的直径．AC交BD于P点且PB=2，PD=4，则AD的长为()
A
．
B．C．D．4
20．如图，四边形ABCD是边长为1的菱形，①ABC＝60°．动点P第1次从点A处开始，沿以B为圆心，AB为半径的圆弧运动到CB延长线，记为点P1；第2次从点P1开始，沿以C为圆心，CP1为半径的圆弧运动到DC的延长线，记为点P2；第3次从P2开始，沿以D为圆心，DP2为半径的圆弧运动到AD的延长线，记为点P3；第4次从点P3开始，沿以A为圆心，AP3为半径的圆弧运动到BA的延长线，记为点
P4；…．．如此运动下去，当点P运动到P20时，点P所运动的路程为（）
A．430
3
πB．
310
3
πC．
210
3
πD．
105
3
π
二、填空题
21．计算：tan245°－1＝_______．
22．国家对药品实施价格调整，某药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的100元降至81元，那么平均每次降价的百分率是________．
23．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若
18ADB ∠=︒，则这个正多边形的边数为_______．
24．已知一个扇形的面积为9π，其圆心角为90°，则扇形的弧长为_____． 25．在平行四边形ABCD 中，E 为靠近点D 的AD 的三等分点，连结BE ，交AC 于点F ，AC ＝12，则AF 为_____．
26．6cm 长的弦将圆分成1:2的两条弧,则圆的直径为___________．
27．已知一元二次方程260x x c -+=的一个根为12x =，另一根2x =________，c =________．
28．如图，A 是半径为1的O 外一点，2OA =，AB 是O 的切线，B 是切点，弦BC 平行于OA ，联结AC ，则阴影部分面积为________．
29．关于x 的一元二次方程(a －2)x 2+5x +a 2－2a =0的一个根是0，则a =____． 30．如图，一次函数y =﹣1
2
x +a （a ＞0）的图像与坐标轴交于A ，B 两点，以坐标原点O 为圆心，半径为2的①O 与直线AB 相离，则a 的取值范围是______．
31．如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，对角线AC BD 、相交于点O ，如果BCD △的面积是ABD △面积的2倍，那么BOC 与BDC 的面积之比是 __.
32．如图，AB 与①O 相切于B 点，AC 经过圆心O ，①A ＝30°，AB ＝3，则劣弧BC 的长为_____．
33．如图，矩形ABCD 中，AB =1，AD A 为圆心，AD 的长为半径作弧交BC 边于点E ，则图中DE 的弧长是_______.
34．如图，直线l 1①l 2①l 3，直线AC 分别交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ；直线DF 分别交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F ．AC 与DF 相交于点H ，且AH=2，HB=1，BC=5，则DE EF
的值为________
35．如图，已知ABC 和ADE 均为等边三角形，点D 在BC 边上，DE 与AC 相交于点F ，如果AB 9=，BD 3=，那么CF 的长度为________．
36．一个扇形的圆心角为120︒，面积为23cm π，则此扇形的半径是__________．
37．在正方形ABCD 中，AB =E 为BC 中点，连接AE ，点F 为AE 上一点，2,FE FG AE =⊥交DC 于G ，将GF 绕着G 点逆时针旋转使得F 点正好落在AD 上的点H 处，过点H 作HN HG ⊥交AB 于N 点，交AE 于M 点，则MNF S ∆=________．
38．对于一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0），下列说法：①a +c =0，方程ax 2+bx +c =0，有两个不相等的实数；①若方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实根．则方程cx 2+bx +a =0也一定有两个不相等的实根；①若c 是方程ax 2+bx +c =0的一个根，则一定有ac +b +1=0成立；①若m 是方程ax 2+bx +c =0的一个根，则一定有b 2-4ac =（2am +b ）2成立，其中正确的结论是_____．（把你认为正确结论的序号都填上）
39．将一个较短直角边1AB =的直角三角形纸片沿斜边上的高线AD 分割成两个小的直角三角形（如图1），将得到的两个直角三角形按图2叠放（A D ''在DC 边上），当A '与点D 重合时，图3中两个阴影部分的面积相等．
（1）图3中有_____个等腰三角形．
（2）记两个直角三角形重叠部分的面积为S ，则S 的取值范围是_____．
40．如图，定直线l 经过圆心O ，P 是半径OA 上一动点，AC l ⊥于点C ，当半径OA 绕着点O 旋转时，总有OP OC =，若OA 绕点O 旋转60︒时，P 、A 两点的运动路径长的比值是__．
三、解答题
41．宝鸡国金中心是宝鸡的地标建筑．如图，某数学兴趣小组用无人机测量宝鸡国金中心AB的高度，在飞行高度为300米的无人机上的点P处测得大楼顶部B处的俯角为33°，大楼底部A处的俯角为63.3°，求宝鸡国金中心AB的高．（参考数据：︒≈，tan63.3 2.00
tan330.65
︒≈）
42．用适当的方法解下列方程．
（1）（2x﹣1）2=9（2）x2-4x-5=0（配方法）
43．如图，点P是①O内的一点，请用尺规作图法，在①O内作一条弦MN，使得点P 为弦MN的中点．（不写作法，保留作图痕迹）
44．如图，已知在①ABC中，AD是①BAC平分线，点E在AC边上，且
①AED=①ADB．
求证：（1）①ABD①①ADE；（2）AD2=AB·AE.
︒+︒-
45．计算：2cos30tan45
46．已知一元二次方程220x bx +-=．
(1)当b ＝1时，求方程的根．
(2)若b 为任意实数，请判断方程根的情况，并说明理由．
47．已知在Rt ABC 中，90ABC ∠=，30A ∠=，点P 在BC 上，且
90MPN ∠=．
()1当点P 为线段AC 的中点，点M 、N 分别在线段AB 、BC 上时（如图1）．过点P 作PE AB ⊥于点E ，请探索PN 与PM 之间的数量关系，并说明理由；
()2
当PC =，
①点M 、N 分别在线段 AB 、BC 上，如图2时，请写出线段PN 、PM 之间的数量关系，并给予证明．
①当点M 、K 分别在线段AB 、BC 的延长线上，如图3时，请判断①中线段PN 、
PM 之间的数量关系是否还存在．
（直接写出答案，不用证明）
48．（1）模型探究：如图1，D 、E 、F 分别为ABC ∆三边BC 、AB 、AC 上的点，且B C EDF α∠=∠=∠=，BDE ∆与CFD ∆相似吗？请说明理由.
（2）模型应用：ABC ∆为等边三角形，其边长为8，E 为边AB 上一点，F 为射线AC 上一点，将AEF ∆沿EF 翻折，使点A 落在射线CB 上的点D 处，且2BD =. ①如图2，当点D 在线段BC 上时，求AE AF
的值；
①如图3，当点D落在线段CB的延长线上时，求BDE
∆与CFD
∆的周长之比.
49．如图，现有一张宽为12 cm的练习纸，相邻两条格线间的距离均为0.6 cm.调皮的小聪在纸的左上角用印章印出一个矩形卡通图案，图案的顶点恰好在四条格线上，已
知sinα＝3 5 .
(1)求一个矩形卡通图案的面积；
(2)若小聪在第一个图案的右边以同样的方式继续盖印，最多能印几个完整的图案？
50．如图，△ABC内接于①O，点D在①O外，①ADC＝90°，BD交①O于点E，交AC 于点F，①EAC＝①DCE，①CEB＝①DCA，CD＝6，AD＝8．
（1）求证：AB①CD；
（2）求证：CD是①O的切线；
（3）求tan①ACB的值．
参考答案：
1．D
【分析】根据已知方程的解得出x +3=1，x +3=﹣3，求出两个方程的解即可．
【详解】解：①方程x 2+2x ﹣3=0的解是x 1=1，x 2=﹣3，
①方程（x +3）2+2（x +3）﹣3=0中x +3=1或﹣3，
解得：x =﹣2或﹣6，
即x 1=﹣2，x 2=﹣6，
故选：D ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，换元法解一元二次方程，能根据方程的解得出x +3=1，x +3=﹣3，是解此题的关键．
2．A
【分析】方程移项后，两边同时加上4，变形即可得到结果．
【详解】方程移项得 243x x -=
方程两边同时加上4，得 24434x x -+=+
即2(2)7x -=
故选：A ．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 3．A
【分析】分式的值为0时，需满足分子等于0，且分母不等于0，即可求解．
【详解】解：①分式()()
2234x x x ++-的值为0，
①()()230x x ++=且240x -≠，
解得3x =-，
故选：A ．
【点睛】本题考查分式值为0的条件，需满足分子等于0，且分母不等于0．
4．C
【分析】根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角可求得①D=①CBE=55°，再根据等腰三角形的性质求解即可．
【详解】解：①四边形ABCD 内接于O ，55CBE ∠=︒，
①①D =①CBE=55°，
①DA DC =，
①①DAC =1805562.52
︒-︒=︒， 故选：C ．
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角这一性质是解答的关键．
5．B
【分析】先移项，然后提取公因式计算求解即可．
【详解】解：()()()1222x x x -+=+
移项得：()()()12220x x x -+-+=
()()230+-=x x
解得12x =-，23x =
故选B ．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程．解题的关键在于对提公因式法的熟练掌握．
6．C
【分析】根据一元二次方程根的判别式即可进行解答．
【详解】解：A 、240414160b ac -=-⨯⨯=-<，原方程无实数根；不符合题意； B 、24364190b ac -=-⨯⨯=，原方程有两个相等的实数根；不符合题意；
C 、24=164?3?(5)=76>0b ac ---，原方程有两个不相等的实数根；符合题意；
D 、24941470b ac -=-⨯⨯=-<，原方程无实数根；不符合题意；
故选：C ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根；240b ac 时，方程有两个相等的实数根；240b ac -<时，方程无实数根．
7．C
【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，利用排除法求解．
【详解】解：①两个等腰三角形顶角不一定相等，故不一定相似；
①两个等边三角形，角都是60°，故相似；
①两个等腰直角三角形，都有一个直角和45°的锐角，故相似．
①两个正方形，对应角相等，对应边成比例，故相似；
①两个等腰梯形不一定对应角相等，对应边成比例，故不相似．
①所以共有3个一定相似，
故选：C ．
【点睛】本题考查的是相似形的定义，联系图形，即图形的形状相同，但大小不一定相等．正确理解相似形的概念是解题的关键．
8．C
【详解】将线段AB 缩小后得到线段DE ， 若1DE ，说明DE 是原来的12，位似比是1
2，
①D （1，1），
①E 的坐标是（2，1），
故本题选C ．
9．A
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【详解】解：①Δ＝（−5）2−4×2×6＝-23＜0，
①方程无实数根．
故选：A ．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式Δ＝b 2−4ac ：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
10．D
【详解】根据题意画出图形，过P 作PN①BC ，交BC 于点N ，
①四边形ABCD 为正方形，
①AD=DC=PN ，
在Rt①ADE 中，①DAE=30°，AD=2cm ，
①tan30°=DE AD ，即，
根据勾股定理得：，
①M 为AE 的中点，
①AM=1
2， 在Rt①ADE 和Rt①PNQ 中，
AD PN AE PQ =⎧⎨=⎩
， ①Rt①ADE①Rt①PNQ （HL ），
①DE=NQ ，①DAE=①NPQ=30°，
①PN①DC ，
①①PFA=①DEA=60°，
①①PMF=90°，即PM①AF ，
在Rt①AMP 中，①MAP=30°， ①AP=4cos303
AM =︒cm ， 所以PD=2﹣43=43或23
． 故选D ．
11．A
【分析】先把一元二次方程化成一般形式，再根据根与系数的关系求得α+β＝2，α•β＝﹣1，将其代入代数式即可求值．
【详解】解：整理得，
﹣x 2+2x +1＝0，
x 2﹣2x ﹣1＝0，
①此一元二次方程的两个实数根为α，β，
①α+β＝2、αβ＝﹣1，
①α+β+α•β＝2﹣1＝1.
故选A ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系.将一元二次方程化成一般形式并牢记一元二次方程根与系数的关系式是解题的关键．
12．A
【详解】解：①x =-2是关于x 的一元二次方程22302
x ax a +-=的一个根， ①（-2）2+32
a ×（-2）-a 2=0，即a 2+3a -4=0， 整理，得（a +4）（a -1）=0，
解得 a 1=-4，a 2=1．
即a 的值是1或-4．
故选：A ．
【点睛】一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
13．D
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】解：A 、方程二次项系数可能为0，故错误；
B 、化简后方程不含二次项，故错误；
C 、方程二次项系数可能为0，故错误；
D 、符合一元二次方程的定义，正确，
故选D ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 14．B
【详解】解：设进价是1，则，
x +10%=()()
11%118%18%x ⨯+-⨯--.
解得x =15%，
故选B.
15．B
【详解】①一元二次方程()244610ax a x a -+++=有实数根，
①①=[﹣(4a +6)]2－4a ×4(a +1)≥0，且a ≠0， 解得：98
a ≥-且0a ≠. 故选B.
【点睛】本题主要考查根的判别式，解此题的关键在于利用根的判别式得到关于a 的不等式，然后解不等式即可得到答案.
16．D
【分析】证明①CPF ①①QCE ，利用相似三角形的性质得
10010015PF =，然后利用比例性质可求出CK 的长．
【详解】解：CE ＝100，CF ＝100，EQ ＝15，
①QE ①CF ，
①①PCF ＝①Q ，
而①PFC ＝①QEC ，
①①PCF ①①CQE ， ①PF CF CE QE
=， 即
10010015PF =， ①PF ＝26663
（步）； 答：出南门F 26663
步能见到树Q ， 故选：D ．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求得结论．
17．C
【详解】试题分析：分别利用勾股定理、全等三角形的判定、圆周角定理及反比例函数的性质判断：
①若直角三角形的两边长为3与4，则第三次边长是5，故错误；
①两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，正确；
①长度等于半径的弦所对的圆周角为30°或150°，故错误；
①反比例函数y=﹣
2x
，当＞0时y 随x 的增大而增大，正确， 故选C ． 考点：1、反比例函数的性质；2、全等三角形的判定；3、勾股定理；4、圆周角定理 18．B
【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得AD ＝DF ，①A ＝①GFD ＝90°，于是根据“HL”判定Rt △ADG①Rt △FDG ，可判断①的正误；设正方形ABCD 的边长为a ，AG ＝FG ＝
x ，BG ＝a−x ，根据勾股定理得到x ＝13
a ，得到BG ＝2AG ，故①正确；根据已知条件得到△BEF 是等腰三角形，易知△GED 不是等腰三角形，于是得到△EBF 与△DEG 不相似，故①错误；连接CF ，根据三角形的面积公式得到S △BFC ＝2S △BEF ．故①错误．
【详解】解：如图，由折叠和正方形性质可知，DF ＝DC ＝DA ，①DFE ＝①C ＝90°， ①①DFG ＝①A ＝90°，
在Rt △ADG 和Rt △FDG 中，
AD DF DG DG
⎧⎨⎩＝＝， ①Rt △ADG①Rt △FDG （HL ），故①正确；
设正方形ABCD 的边长为a ，AG ＝FG ＝x ，BG ＝a−x ，
①BE ＝EC ，
①EF ＝CE ＝BE ＝1
2a
①GE=1
2a+x
由勾股定理得：EG 2＝BE 2＋BG 2，
即：(12a+x)2=(12a)2+(a-x)2解得：x ＝13 ①BG ＝2AG ，
故①正确；
①BE＝EF，
①①BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，
①①EBF与△DEG不相似，
故①错误；
连接CF，
①BE＝CE，
BC，
①BE＝1
2
①S△BFC＝2S△BEF．
故①错误，
综上可知正确的结论的是2个．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、图形的折叠变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积计算，有一定的难度．
19．B
【分析】连接DO并延长交①O于E，连接BE，由DE是①O的直径，可得①EBD=90°，由圆周角定理可得①BED=①BAD=60°，继而得①BDE=30°，可求得BD、DE长，进而可得
△OPD①△BED，从而可得①POD=①EBD=90°，
再根据勾股定理即可求得结论.
【详解】连接DO并延长交①O于E，连接BE，
①DE是①O的直径，
①①EBD=90°，
①①BED=①BAD=60°，
①①EDB=30°，
①DE=2BE，
①PB=2，PD=6，
①BD=6，
①BD2+BE2=DE2，
①
OD BD ==PD DE = ①
OD PD BD DE =， 又①①ODP=①BDE ，
①①ODP①△BDE ，
①①POD=①EBD=90°，
=
故选B.
【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等，正确添加辅助线、熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
20．B
【分析】利用弧长公式计算即可解决问题．
【详解】由题意：点P 所运动的路程 ＝
1201602180180ππ⋅⋅++1203180π⋅+ 604180π⋅+ 1205180
π⋅+…+6020180π⋅ ＝120180
π（1+3+5+…+19）+60180π（2+4+…+2+20） ＝23π•1192+×10+3π•2202+×10 ＝
2003π+ 1103π ＝3103
π， 故选：B ．
【点睛】本题考查菱形的性质，弧长公式等知识，理解题意，灵活运用所学知识是解题的关键．
21．0
【分析】根据特殊角的锐角三角函数值即可求得结果．
【详解】解：tan245°－1＝12－1＝0．
故答案为：0
【点睛】本题是特殊角的锐角三角函数值的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现．
22．10%
【分析】降低后的价格=降低前的价格×（1-降低率），如果设平均每次降价的百分率是x，则第一次降低后的价格是100（1-x），那么第二次后的价格是100（1-x）2，即可列出方程求解．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，依题意列方程：100（1-x）2=81，
解方程得x1=0.1=10%，x2=1.9（舍去）．
故平均每次降价的百分率为10%．
故答案为10%
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23．10
【分析】连接AO,BO，根据圆周角定理得到①AOB=36°，根据中心角的定义即可求解．【详解】如图，连接AO,BO，
①①AOB=2①ADB=36°
①这个正多边形的边数为360
36
=10
故答案为：10．
【点睛】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理．
24．3π
【分析】设扇形的半径为r，利用扇形的面积公式求出r＝6，然后根据弧长公式计算扇形的弧长．
【详解】解：设扇形的半径为r ， 根据题意得2
909360r ，解得r ＝6， 所以扇形的弧长＝
9063180
ππ⨯=． 故答案为3π． 【点睛】本题考查了扇形面积及弧长的计算，熟练掌握扇形面积公式和弧长公式是解题关键．
25．245
【分析】由题意易得AD ＝BC ，AD ①BC ，则有AE ＝2
3AD ＝23BC ，进而可得
AEF CBF ∽△△，然后可得
23AF AE FC BC ==，则问题可求解． 【详解】解：在ABCD 中，AD ＝BC ，AD ①BC ，
①E 为AD 的三等分点，
①AE ＝23AD ＝23
BC ，
①AD ①BC ，
①AEF CBF ∽△△， ①23AF AE FC BC ==， ①AC ＝12，
①AF ＝224125
5⨯=； 故答案为：245
． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
26．
【分析】如图，过圆心O 作OA①BC 于点E ，连接OB ，OC ，根据垂径定理可得BE=CE=3cm ，再根据题意可得①BOA=60°，即①OBE=30°，再利用勾股定理求得OE 的长，即可得到圆的直径长.
【详解】如图，过圆心O 作OA①BC 于点E ，连接OB ，OC ，
①BC=6cm，
①BE=CE=3cm，
①弦将圆分成1:2的两条弧,
①①BOC=120°，即①BOA=60°，在Rt①BOE中，①OBE=30°，
①OE=1
2 OB，
①OB2﹣OE2=BE2，
①3OE=9，
解得，即，
则圆的直径为
故答案为
【点睛】本题主要考查垂径定理，勾股定理等，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 27．48
【分析】把x=2代入方程260
x x c
-+=,即可求得实数c的值，再根据根与系数的关系即可求出2x
【详解】把x=2代入方程260
x x c
-+=,得
22-6×2+c=0
解得c=8
①a=1，b=-6，12
x=
①x1+x2=−b
a
=6
①
2
x=4
故答案是:4,8
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，熟练掌握公式是解题的关键 28．6
π 【分析】连接O B 、OC ，过O 作OD ①BC 于点D ，则可知S △BOC =S △ABC ，可知阴影部分面积=扇形OBC 的面积，再计算扇形OBC 的面积即可．
【详解】解：连接O B 、OC ，过O 作OD ①BC 于点D ，
①BC ①OA ，
①点A 到BC 的距离等于点O 到BC 的距离，
①S △BOC =S △ABC ，
①阴影部分面积=扇形OBC 的面积，
①AB 是①O 的切线，
①OB ①AB ，
①OA =2，OB =OC =1，
①①OAB =30°，
①①AOB =60°，
又BC ①OA ，
①①OBC =①AOB =60°，
①①BOC 为等边三角形，
①BC =OA ，
①扇形OBC 的面积=26013606
ππ⨯=， ①阴影部分面积为
6π， 故答案为：6
π．
【点睛】本题考查扇形面积的计算，把所求面积化为扇形面积是解题的关键．
29．0
【分析】把x =0代入方程计算，检验即可求出a 的值．
【详解】解：把x =0代入方程得：()2205020a a a -⨯+⨯+-=，
解得：a =0或a =2，
20,a -≠ 则2,a ≠
0.a ∴=
故答案为：0
【点睛】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握解一元二次方程的方法是解本题的关键．
30．a 【分析】先求出一次函数与坐标轴的交点A ，B 的坐标，再利用勾股定理计算出
AB =，接着利用面积法计算出OH =，然后根据直线与圆的位置关系得到
OH >22>，于是解不等式即可得到a 的范围． 【详解】解：当y =0时，﹣12x +a =0，解得x =2a ，则A (2a ，0)，
当x =0时，y =−1
2x +a =a ，则B (0，a )，
在Rt △ABO 中，AB ，
过O 点作OH ①AB 于H ，如图，
①12⋅OH ⋅AB =1
2⋅OB ⋅OA ，
①OH
， ①半径为2的O 与直线AB 相离，
所以OH >2>2，
所以a
故答案为a
【点睛】本题考查了判断直线和圆的位置关系：设①O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，若直线l 和①O 相交⇔d <r ；直线l 和①O 相切⇔d =r ；直线l 和①O 相离⇔d >r ．也考查了一次函数与系数的关系．
31．2:3
【分析】过点D 作DM BC ⊥，垂足为M ，过点B 作BN AD ⊥，交DA 的延长线于点N ，根据已知易得=DM BN ，再根据=2BCD ABD S S ，从而可得2BC AD =，然后再证明8字模型
相似三角形AOD COB ∽，利用相似三角形的性质可得
1==2AD DO BC BO ，从而可得2=3
BO BD ，最后根据BOC 与BDC 的高相等，即可解答． 【详解】解：过点D 作DM BC ⊥，垂足为M ，过点B 作BN AD ⊥，交DA 的延长线于点N ，
①AD BC ∥，
①BN DM =，
①=2BCD ABD S S ， ①11·=?22
BC DM AD BN ， ①2BC AD =，
①AD BC ∥，
①==ADB DBC DAC ACB ∠∠∠∠，，
①AOD COB ∽， ①
1==2AD DO BC BO ， ①2=3
BO BD ， ①BOC 与BDC 的高相等，
①2==3
BOC
BDC S BO S BD ， 故答案为：2:3．
【点睛】本题考查了平行线间的距离，相似三角形的判定与性质，梯形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
32 【分析】连接OB ，根据切线的性质得到①ABO ＝90°，求出①BOC ，根据正切的定义求出OB ，根据弧长公式计算，得到答案.
【详解】解：连接OB ，
①AB 是①O 的切线，
①①ABO ＝90°，
①①AOB ＝90°﹣①A ＝60°，
①①BOC ＝120°，
在
Rt①ABO 中，OB ＝AB•tanA
①劣弧BC
π，
【点睛】此题考查了圆的切线的性质定理，锐角三角函数，弧长的计算公式，正确理解弧
长公式中各字母的意义，分别求出其值进行计算是解题的关键.
33
π 【分析】根据题意可得sin①AEB ，可以判断出①AEB=45°，进一步求解①DAE=①AEB=45°，代入弧长计算公式可得出弧DE 的长度．
【详解】解：①以AD 为半径画弧交
BC 边于点E ，
又①AB=1，
①sin
AB AEB AE ∠==①①AEB=45°，
①四边形ABCD 是矩形
①AD①BC
①①DAE=①AEB=45°，
故可得弧DC 的长度为452180
π⋅⋅=，
． 【点睛】此题考查了弧长的计算公式，解答本题的关键是求出①DAE 的度数，要求我们熟练掌握弧长的计算公式及解直角三角形的知识．
34．35
【详解】试题解析：①AH=2，HB=1，
①AB=AH+BH=3，
①l 1①l 2①l 3，
①3 5
DE AB EF BC == 考点：平行线分线段成比例．
35．2
【分析】利用两对相似三角形，线段成比例：AB ：BD=AE ：EF ，CD ：CF=AE ：EF ，可得CF=2．
【详解】如图，①①ABC 和①ADE 均为等边三角形，
①①B=①BAC=60°，①E=①EAD=60°，
①①B=①E ，①BAD=①EAF ，
①①ABD①①AEF ，
①AB:BD=AE:EF.
同理：①CDF①①EAF ，
①CD:CF=AE:EF ，
①AB:BD=CD:CF ，
即9:3=(9−3):CF ，
①CF=2.
故答案为2.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质和等边三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质和等边三角形的性质.
36．3cm
【分析】已知扇形面积求扇形的半径，使用扇形的面积公式即可．
【详解】解：①S=3π，n=120°，
①根据扇形面积公式可得2
1203360
r ππ⨯=， 解得扇形半径r=3cm ，
故答案为：3cm ．
【点睛】本题主要考查扇形面积公式的使用．
37
【分析】过B 作BP AE ⊥于P ，根据勾股定理得出12
BE BC ==AE=10，进一步得出
,,B F G 共线，然后通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数求出FQ =
BQ =，然后进一步分别计算利用面积差求解即可. 【详解】如图，过B 作BP AE ⊥于P ，
①正方形ABCD 中，AB =E 为BC 中点，
①12
BE BC ==
①10AE ==，
①4AB BE BP AE ⋅===，
①2PE =，
①EF EP =，
①F 与P 重合，
①,,B F G 共线，
过F 作OS DC ⊥，交AB 于,O DC 于S ，则OS AB ⊥，过F 作FQ BC ⊥于Q ， ①sin EF FQ FBE BE BF
∠=
=，
4FQ =
①FQ =
①BQ =， 易得矩形OFQB ，
①FO BQ ==
①FS ==
AO AB OB =-== ①GF AE ⊥，
①90AFG ∠=︒，
①GFS AFH AFH FAH ∠+∠=∠+∠，
①GFS FAB ∠=∠， ①tan tan BE GS FAB GFS AB FS
∠=∠==，
=
①GS =
①DG DS GS AO GS =-=-=
= ①GH GF =，
①2222DH DG GS FS +=+，
①22
22DH +=+⎝⎭⎝⎭， ①4DH =，
①4AH =，
①tan tan ,AH DG ANH DHG AN DH
∠=∠=
=，
，
①AN = 过M 作MR AB ⊥于R ，
设MR x =，则2,tan tan DG MR AR x ANH DHG DH RN =∠=∠=
=，
x RN
=， ①
RN =，
由AR RN AN +=得：2
x =6x =-
①6MR =- ①()111222MNF ANF AMN S S S AN FO AN MR AN FO MR ∆∆∆=-=
⋅-⋅=-
1
62=+=⎝.
【点睛】本题主要考查了直角三角形与三角函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
38．①①
【分析】①根据根的判别式即可作出判断；
①方程有两个不相等的实数根，则2b 4ac 0∆=->，当c =0时，cx 2+bx +a =0为一元一次方程；
①若c 是ax 2+bx +c =0的一个根，则代入即可作出判断；
①若m 是方程ax 2+bx +c =0的一个根，则方程有实根，判别式0∆>，结合m 是方程的根，代入一定成立，即可作出判断．
【详解】①根据公式法解一元二次方程可知2b 4ac ∆=-，若a +c =0，且a ≠0，①a ，c 异号，①0∆>，故此时有两个不相等的实数根，故选项①正确；
①若c =0，b ≠0，则2b 4ac 0->，①方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实数根，方程cx 2+bx +a =0仅有一个解，故选项①错误；
①将x =c 代入方程ax 2+bx +c =0，可得2ac bc c 0++=，即()c ac bc 10++=，解得c =0或ac +b +1=0，因此ac +b +c =0不一定成立，故选项①错误；
①①m 是方程ax 2+bx +c =0的一个根，①am 2+bm +c =0，此时
()()
()222222222am b 4a m b 4abm 4a am bm b 4a c b b 4ac +=++=++=-+=-，故选项①正确 故答案为①①．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与判别式的关系．
39． 3 112S ≤≤【分析】（1）由题意易得,B DAC C BAD ∠=∠∠=∠，则有BA D C ''∠=∠，//AD BD '，然后根据角的等量关系及等腰三角形的判定可进行求解；
（2）由（1）可得：,B DAC C BAD ∠=∠∠=∠，则有BAD ACD ∽△△，设AD =h ，则有tan h BD B
=∠，tan tan CD h DAC h B =⋅∠=⋅∠，由题意可得当A '与点D 重合时，重合面积最大，当点D 与C 重合时，重合面积最小，进而分类求解即可得出答案．
【详解】解：（1）当A '与点D 重合时，设AC 与BD 、BD '分别相交于点O 、F ，如图所示：
①AD BC ⊥，
①90B BAD ∠+∠=︒，
①90BAC ∠=︒，
①90B C ∠+∠=︒，
①C BAD ∠=∠，
同理可得B DAC ∠=∠，
①BA D BAD ''∠=∠，
①BA D C ''∠=∠，
①COD △是等腰三角形，
①90ADC BD D '∠=∠=︒，
①//AD BD '，
①A BFA B ADO ∠=∠=∠=∠，
①AOD △和BOF 都为等腰三角形，
①图3中有3个等腰三角形；
故答案为3；
（2）由（1）可得：∠B =∠DAC,∠C =∠BA′D′，
①''BA D ACD ∽，
设AD =h ，则有tan h BD B
=∠， ①tan tan CD h DAC h B =⋅∠=⋅∠，
①当A '与点D 重合时，作OE CD ⊥，如图所示：
①OD =OC ，
①DE =CE ，AD ①OE ， ①122
h OE AD ==， ①阴影部分的面积相等，
①BOF D FC DD FO DD FO S
S S S '''+=+四边形四边形， ①BD D DOC S
S '=， ①11222
h A D BD CD '''⋅=⋅， ①,tan h A D AD h BD BD B '''====
∠， ①221tan tan 2
h h B B =∠∠，
①
tan B ∠
①AB =1，则有在Rt ①ABD 中，2
21
h +=，
①h =BD =
①))11CD CD A D h '''=-=
=，
①)1tan tan CD CD FD CFD B '''==='∠∠，
①)1111223A D B CFD S S S A D BD CD FD ''''''''=-=⋅-⋅=， ①当点D 与C 重合时，作OM ①BC 于点M ，如图所示：
①B OCB ∠=∠，
①1122BM CM BD '====
①tan OM BM B =⋅∠=
①1122A D B BOC S S S A D BD BD OM ''''''=-=⋅-⋅=，
由上可知S 的取值范围为
112S ≤≤
故答案为112S ≤ 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及解直角三角形，熟练掌握相似三角形的性质与判定及解直角三角形是解题的关键．
40．1．
【分析】设①O 的半径为R ，l 与①O 交于点B ，由直角三角形的性质得出
1122OC OA OB ==,由已知得出12
OP OA =，证明①AOB 是等边三角形，得出BP OA ⊥，①OPB=90°，得出点P 在以OB 为直径的圆上运动，圆心为C ，由圆周角定理得出。