第六章高等代数练习及答案

一、填空题 1、在3

F 中，计算

()()()11

2,0,11,1,20,1,1____32

;-+---+=1111,,326⎛⎫

--- ⎪⎝⎭

2、若1234,α,α,αα线性无关，则12233441,,α+α,α+αα+αα+α的极大无关组是 ；()12233441dim ,,L α+α,α+αα+αα+α＝ ；

122334,α+α,α+αα+α；3

3、若向量α关于基123,,ααα的坐标为()123,,x x x 则α关于基1232,,ααα-的坐标为 ；

在向量空间()2M F 中，向量a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭关于基1000⎛⎫ ⎪⎝⎭，0010⎛⎫ ⎪⎝

⎭，0100⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，0001⎛⎫

⎪⎝⎭的坐

标是 ；1231,,2x x x ⎛⎫

-

⎪⎝⎭

；(),,,a c b d 4、向量组()()()()12340,1,13,1,2α=1,1,1,, α=2,1,0, α=, α=的一个极大 无关组是 ；向量组1(1,1,0,0)α=，2(0,1,1,0)α=，3(1,0,1,0)α=，

4(1,0,0,1)α=的极大无关组是 ；123α,α,α；1234,α,α,αα。

5、设0,a V a b R a b ⎧⎫

⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭

则dim V = 2 ；0

6、设(){}1

1

220n

n V x x x

x nx =

+++= ，则dim V = n-1 ；

7．由基123,,2ααα到基1232,,ααα-的过渡矩阵是 ；20001

01002⎛⎫

⎪ ⎪

⎪ ⎪- ⎪⎝⎭

8、设A 为n 阶方阵，且()()r A s s n =≠则齐次线性方程组AX=0的解空间的维数为 n-s ； 9、若1234,,,αααα线性无关，则123,,ααα线性 无关 ；

10、 向量空间没有基；含一个向量的向量空间是 空间；

二、解答题

1、检验下列集合对所规定的运算是否构成所给数域上的线性空间： 1

）设{}

,V a a b Q =+∈，对普通数的加法和乘法；是

2）V 为定义在数域P 上的一切n 阶方阵，对数与矩阵的乘法及以下定义的加法：

,,n n X Y P X Y XY YX ⨯∀∈⊕=-；不是

3）(){},|,V x y x y P =

∈，加法按普通矩阵相加，并定义数乘为：

()()2111,,,0,x y P k P k ky αα∀=∈∈∙=：不是

2、设,F F 是数域，若F F ⊂，问对数的加法与乘法，F 是否构成F 上线性空间？F 是否构成F 上线性空间？不是；是

3、实数域对于数的加法和乘法构成实数域上线性空间，问有理数集是否为实数集的子空间？又R +

是否R 的子空间？若实数域对于数的加法和乘法构成有理数域上线性空间，问有理数集是否为实数集的子空间？不是；是 4、判断正误，并说明为什么？

1）如果12,,,r V ααα∈ ，则12,,,r ααα 是()12,,,r L ααα 的基；不一定 2）若12,,,n ααα 是n 维空间的一组生成元，则12,,,n ααα 一定是V 的基；不 3）若()12,,,r L ααα 中有某一向量关于12,,,r ααα 的表示法唯一，则()12,,,r L ααα 是r 维线性空间；是

4）设()()(){}

1,1,0,1,1,0,0,0,0S =--，则S 是3

P 的子空了间；不

5）任一线性空间都有基。否 6）若

12,,,r ααα 线性相关，则任意不全为零的12,,,r k k k P ∈ ，都有

1122

0r r k k k ααα+++= ；否 7）若12,,,r ααα 线性相关，则存在无穷多组不全为零的12,,,r k k k P ∈ ，使

1122

0r r k k k ααα+++= ；是 8）12,αα线性相关的充要条件是存在k P ∈，使12k αα=；否

9）若12,,,r ααα 与12,,,s βββ 的极大无关组分别是12,,,t i i i ααα 和12,,,k j j j βββ ，则()()

1212,,,,,,k t j j j i i i L L βββααα+ 的基是{}

1212,,,,,,,t k i i i j j j αααβββ ；否 10）如果12,,,r ααα 线性无关，那么每一向量都不能由其余向量线性表示。是

5、若实数域作为实数域上线性空间，问子空间(L 是几维的？若实数域作为有理

数域上线性空间，问子空间(L 是几维的？1；3

6、判断[]F x 中的向量()2231f x x x =++能否由()13,f x x =+()22,f x =

()234f x x x =++线性表示？表示法是否唯一。能；唯一

7、在三维空间中，求一非零向量β，使其关于基123,,ααα的坐标和基3231,,αααα+的坐标相同。()2,0a a P a βα=∈≠且

8、设123,,ααα是V 的基，问k 为何值时，122331,,k αααααα+++也是V 的基，并求 1）由基122331,,k αααααα+++到基123,,ααα的过渡矩阵； 2）求123a b c ξααα=++关于基122331,,k αααααα+++的坐标。

1223311,,k k αααααα≠-+++时也是V 的基；

111)11,1111k k k k -⎛⎫ ⎪- ⎪+ ⎪-⎝⎭ 12)1a kb kc a b kc k a b c +-⎛⎫ ⎪-++ ⎪+ ⎪

-+⎝⎭

9、在[]4F x 中，求向量组{}

23

1,,1,1,2

x x x x x ++++的极大无关组；

{}2

31,,1,2x x

x x +++

10、有没有只含一个向量的线性空间？有没有只含有限个向量的线性空间？为什么？

有；没有 11、设()[

]g x F x ∈，()()()[]{}|w g x f x f x F x =∈，

问按通常多项式加法及数乘运算w 是否构成向量空间？是

12、求()

221,1,L x x x x ---的基与维数。2

1,1,x x -- 2

13、在4

P 中设()()()1231,1,0,1,1,0,0,1,1,1,1,1,ααα===-()11,2,0,1,β=，

()20,1,1,0β=，求()123L α,α,α＋(),L ββ12和()()123,L L ββ12α,α,α 的基与维数。

123,,ααα；3；,ββ12；2

14、在4

P 中，设()()()1231,1,1,2,2,1,3,0,0,3,5,4ααα=-=-=--，()11,2,2,1,β= ()24,3,3,1β=-，求()123L α,α,α＋(),L ββ12和()()123,L L ββ12α,α,α 的基与维数。

121,,ααβ；3；122αα+；1