质数与合数

一、 质数与合数

一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.

要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.

常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只

能是1，3，7或9.

考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.

⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.

二、质因数与分解质因数

1．质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.

互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.

分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.

例如：30235=⨯⨯.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=⨯⨯=⨯，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.

2． 唯一分解定理

任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：31212

3k a a a a k n p p p p =⨯⨯⨯⨯ 其中为质数，12k a a a <<

<为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式. 例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.

分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.

3. 部分特殊数的分解

111337=⨯；100171113=⨯⨯；1111141271=⨯；1000173137=⨯；199535719=⨯⨯⨯；1998233337=⨯⨯⨯⨯；200733223=⨯⨯；2008222251=⨯⨯⨯；10101371337=⨯⨯⨯.

4. 判断一个数是否为质数的方法

根据定义如果能够找到一个小于p 的质数q(均为整数)，使得q 能够整除p ，那么p 就不是质数，所以我们

只要拿所有小于p 的质数去除p 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p ，我们可以先找一个大于且接近p 的平方数2K ，再列出所有不大于K 的质数，用这些质数去除p ，如没有能够除尽的那么p 就为质数.

例如：149很接近1441212=⨯，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.

重点：分解质因数法是一个数论重点方法，本讲另一个授课重点在于让孩子对这个方法能够熟练并且灵活运用。 难点：在对质数和合数的基本认识，在这个基础之上能够会与之前的一些知识点结合运用。

质数和合数

【例1】（1）两个质数之和为39，求这两个质数的乘积是多少.

（2）已知P ,Q 都是质数，并且11932003P Q ⨯-⨯=，则P Q ⨯=

【巩固】1. 如果a ，b 均为质数，且3741a b +=，则a b +=______.

2、A ，B ，C 为3个小于20的质数，30A B C ++=，求这三个质数.

3. a b c 、、都是质数，如果()()342a b b c +⨯+=，那么b =

4. a ，b ，c 都是质数，并且33a b +=，44b c +=， 66c d +=，那么cd = ____ 。

5.7个连续质数从大到小排列是a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 已知它们的和是偶数，那么d 是多少？

【例2】(1)将60拆成10个质数之和，要求最大的质数尽可能小，那么其中最大的质数是多少？

（2)有三张卡片，它们上面各写着数字1，2，3，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来.

【巩固】1.将50分拆成10个质数的和，要求其中最大的质数尽可能大，则这个最大的质数是多少？

2.将37拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法？将每一种拆法中拆出的那些质数相乘，得到的乘积中，哪个最小？

【例3】(1)在面前有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少?

(2)大毛、二毛、三毛、小明四个人，他们的年龄一个比一个大2岁，他们四个人年龄的乘积是48384。问他们四个人的年龄各是几岁？

【巩固】1.一个长方体的长、宽、高是连续的3个自然数，它的体积是39270立方厘米，那么这个长方体的表面积是多少平方厘米?

2.甲数比乙数大5，乙数比丙数大5，三个数的乘积是6384，求这三个数？

3.一个长方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积是1998立方厘米，那么它的长、宽、高的和的最小可能值是多少厘米?

4、2004720⨯⨯的计算结果能够整除三个连续自然数的乘积，这三个连续自然数之和是多少？

例题精讲

5.三个连续自然数的乘积是210，求这三个数是多少？

【例4】(1)在做一道两位数乘以两位数的乘法题时，小马虎把一乘数中的数字5看成8，由此得乘积为1872．那么原来的乘积是多少?

(2)幼儿园里给小朋友分苹果，420个苹果正好均分。但今天刚好又新人园一位小朋友，这样每个小朋友就要少分2个苹果。原来有个小朋友。

【巩固】1.某校师生为贫困地区捐款1995元．这个学校共有35名教师，14个教学班．各班学生人数相同且多于30人不超过45人．如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐款多少元?

2.张老师带领同学们去种树，学生的人数恰好等分成三组.已知老师和学生共种树312棵，老师与学生每人种的树一样多，并且不超过10棵.问：一共有多少学生？每人种了几棵树？

3.某班同学在班主任陈老师的带领下去福利院擦玻璃。同学们恰好能平均分成4组，并且师生每人擦的块数同样多。已知师生一共擦了102块玻璃，平均每人擦了多少块玻璃？

4.李老师带领一部分同学去植树，同学们正好可以平均分成3组。如果师生每人植树的棵树一样多，则共植了155棵树。平均每人植树多少棵？

【例5】把8，21，25，35，44，65，78，99这八个数平均分成两组，使每组中四个数的乘积相等。【巩固】1.把40，44，45，63，65，78，99，105这八个数平分成两组，使每组四个数的乘积相等。

2.把39，45，49，56，60，70，78，84，91这九个数平均分成三组，使每组中三个数的乘积相等。【例6】、1×2×3×4×……×200乘积的末尾有多少个连续的0？

【巩固】1. 1×2×3×4×……×1000乘积的末尾有多少个连续的0？

2.要使75×（）×184×125×60的乘积的末尾有7个连续的0，括号里最小应填多少？

3.一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数.求a的最小值与这个平方数。

4.自然数a乘以338，恰好是自然数b的平方.求a的最小值以及b。

5.从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0

【例7】问360共有多少个因数？所有因数的和是多少