质数与合数

一、 质数与合数
一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.
要特别记住：0和1不是质数，也不是合数.
常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只
能是1，3，7或9.
考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.
⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.
二、质因数与分解质因数
1．质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.
互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.
分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.
例如：30235=⨯⨯.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=⨯⨯=⨯，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.
2． 唯一分解定理
任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：31212
3k a a a a k n p p p p =⨯⨯⨯⨯ 其中为质数，12k a a a <<
<为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式. 例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.
分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.
3. 部分特殊数的分解
111337=⨯；100171113=⨯⨯；1111141271=⨯；1000173137=⨯；199535719=⨯⨯⨯；1998233337=⨯⨯⨯⨯；200733223=⨯⨯；2008222251=⨯⨯⨯；10101371337=⨯⨯⨯.
4. 判断一个数是否为质数的方法
根据定义如果能够找到一个小于p 的质数q(均为整数)，使得q 能够整除p ，那么p 就不是质数，所以我们
只要拿所有小于p 的质数去除p 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p ，我们可以先找一个大于且接近p 的平方数2K ，再列出所有不大于K 的质数，用这些质数去除p ，如没有能够除尽的那么p 就为质数.
例如：149很接近1441212=⨯，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.
重点：分解质因数法是一个数论重点方法，本讲另一个授课重点在于让孩子对这个方法能够熟练并且灵活运用。

难点：在对质数和合数的基本认识，在这个基础之上能够会与之前的一些知识点结合运用。

质数和合数
【例1】（1）两个质数之和为39，求这两个质数的乘积是多少.
（2）已知P ,Q 都是质数，并且11932003P Q ⨯-⨯=，则P Q ⨯=
【巩固】1. 如果a ，b 均为质数，且3741a b +=，则a b +=______.
2、A ，B ，C 为3个小于20的质数，30A B C ++=，求这三个质数.
3. a b c 、、都是质数，如果()()342a b b c +⨯+=，那么b =
4. a ，b ，c 都是质数，并且33a b +=，44b c +=， 66c d +=，那么cd = ____ 。

5.7个连续质数从大到小排列是a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 已知它们的和是偶数，那么d 是多少？
【例2】(1)将60拆成10个质数之和，要求最大的质数尽可能小，那么其中最大的质数是多少？
（2)有三张卡片，它们上面各写着数字1，2，3，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来.
【巩固】1.将50分拆成10个质数的和，要求其中最大的质数尽可能大，则这个最大的质数是多少？
2.将37拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法？将每一种拆法中拆出的那些质数相乘，得到的乘积中，哪个最小？
【例3】(1)在面前有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少?
(2)大毛、二毛、三毛、小明四个人，他们的年龄一个比一个大2岁，他们四个人年龄的乘积是48384。

问他们四个人的年龄各是几岁？
【巩固】1.一个长方体的长、宽、高是连续的3个自然数，它的体积是39270立方厘米，那么这个长方体的表面积是多少平方厘米?
2.甲数比乙数大5，乙数比丙数大5，三个数的乘积是6384，求这三个数？
3.一个长方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积是1998立方厘米，那么它的长、宽、高的和的最小可能值是多少厘米?
4、2004720⨯⨯的计算结果能够整除三个连续自然数的乘积，这三个连续自然数之和是多少？
例题精讲
5.三个连续自然数的乘积是210，求这三个数是多少？
【例4】(1)在做一道两位数乘以两位数的乘法题时，小马虎把一乘数中的数字5看成8，由此得乘积为1872．那么原来的乘积是多少?
(2)幼儿园里给小朋友分苹果，420个苹果正好均分。

但今天刚好又新人园一位小朋友，这样每个小朋友就要少分2个苹果。

原来有个小朋友。

【巩固】1.某校师生为贫困地区捐款1995元．这个学校共有35名教师，14个教学班．各班学生人数相同且多于30人不超过45人．如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐款多少元?
2.张老师带领同学们去种树，学生的人数恰好等分成三组.已知老师和学生共种树312棵，老师与学生每人种的树一样多，并且不超过10棵.问：一共有多少学生？每人种了几棵树？
3.某班同学在班主任陈老师的带领下去福利院擦玻璃。

同学们恰好能平均分成4组，并且师生每人擦的块数同样多。

已知师生一共擦了102块玻璃，平均每人擦了多少块玻璃？
4.李老师带领一部分同学去植树，同学们正好可以平均分成3组。

如果师生每人植树的棵树一样多，则共植了155棵树。

平均每人植树多少棵？
【例5】把8，21，25，35，44，65，78，99这八个数平均分成两组，使每组中四个数的乘积相等。

【巩固】1.把40，44，45，63，65，78，99，105这八个数平分成两组，使每组四个数的乘积相等。

2.把39，45，49，56，60，70，78，84，91这九个数平均分成三组，使每组中三个数的乘积相等。

【例6】、1×2×3×4×……×200乘积的末尾有多少个连续的0？
【巩固】1. 1×2×3×4×……×1000乘积的末尾有多少个连续的0？
2.要使75×（）×184×125×60的乘积的末尾有7个连续的0，括号里最小应填多少？
3.一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数.求a的最小值与这个平方数。

4.自然数a乘以338，恰好是自然数b的平方.求a的最小值以及b。

5.从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0
【例7】问360共有多少个因数？所有因数的和是多少
1.求240的约数的个数。

2.求10500的约数共有多少个？
3.144的全部约数共有多少个？
【例8】三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数.
【巩固】、三个质数的乘积恰好等于它们的和的7倍，求这三个质数．
作业：
1、请你判断173、899是质数还是合数。

2、三个不同质数的和是80，这三个质数的积最大可能是多少？
3、把37分拆成若干个不同质数的和，有多少种不同的拆法？将每一种拆法中拆出的那些质数相乘，得到的乘积中哪个最大？
4：把31分拆成若干个不同质数的和，有多少种不同的拆法？将每一种拆法中拆出的那些质数相乘，得到的乘积哪个最小？
5、一个长方体木块,它的长、宽、高的厘米数正好是三个连续的自然数，这个长方体的体积是504立方厘米.。

求这个长方体的表面积是多少平方厘米？
6：三个连续偶数的乘积是960，这三个数的和是多少？
7、某班同学在班主任陈老师的带领下去福利院擦玻璃。

同学们恰好能平均分成4组，并且师生每人擦的块数同样多。

已知师生一共擦了102块玻璃，平均每人擦了多少块玻璃？
8：李老师带领一部分同学去植树，同学们正好可以平均分成3组。

如果师生每人植树的棵树一样多，则共植了155棵树。

平均每人植树多少棵？
9、把8，21，25，35，44，65，78，99这八个数平均分成两组，使每组中四个数的乘积相等。

10.把40、44、45、63、65、78、99、105这八个数平均分成两组，使每组四个数的乘积相等。

11、1×2×3×4×……×200乘积的末尾有多少个连续的0？
12：1×2×3×4×……×1000乘积的末尾有多少个连续的0？
13、24的全部约数共有多少个？180的全部约数共有多少个？
14：360的全部约数共有多少个？
15、用2010个棱长为1厘米的正方体堆成一个长方体，它的高是1分米，长和宽都大于高，它的长和宽各是多少厘米？
16、如果A+B=140（若A大于B），A×B=4875，求A－B。

课后作业
1、三个不同质数的和是54，这三个质数的积最大可能是多少？
2、甲数比乙数大7，两个数的乘积是450，求这两个数的和是多少？
3、王老师带着班上同学（不超过100人）去植树，学生按人数正好可以平均分成三组。

已知师生共植树154棵，老师与学生每人植的树一样多，并且不超过10棵。

共有多少学生？每人植树多少棵？
4、把39，45，49，56，60，70，78，84，91这九个数平均分成三组，使每组中三个数的乘积相等。

5、要使75×（）×184×125×60的乘积的末尾有7个连续的0，括号里最小应填多少？
6、144的全部约数共有多少个？
7、60个同学分成相等人数的小组去慰问解放军，每组不少于6人，不多于15人，有几组分法？
8、在100与200之间找出两个整数，使其乘积等于28710。

9、用2，3，4，5中的3个不同数字，能组成的三位质数是多少？
质数与合数作业
一、填空题
1. 在1~100里最小的质数与最大的质数的和是_____.
2. 小明写了四个小于10的自然数,它们的积是360.已知这四个数中只有一个是合数.这四个数是
____、____、____和____.
3. 把232323的全部质因数的和表示为AB,那么A⨯B⨯AB=_____.
4. 有三个学生,他们的年龄一个比一个大3岁,他们三个人年龄数的乘积是1620,这三个学生年龄的和是_____.
5. 两个数的和是107,它们的乘积是1992,这两个数分别是_____和_____.
6. 如果两个数之和是64,两数的积可以整除4875,那么这两数之差是_____.
7. 某一个数,与它自己相加、相减、相乘、相除，得到的和、差、积、商之和为256.这个数是_____.
8. 有10个数:21、22、34、39、44、45、65、76、133和153.把它们编成两组,每组5个数,要求这组5个数的乘积等于那组5个数的乘积.第一组数____________；第二组数是____________.
9. 有_____个两位数,在它的十位数字与个位数字之间写一个零,得到的三位数能被原两位数整除.
10. 主人对客人说：“院子里有三个小孩，他们的年龄之积等于72，年龄之和恰好是我家的楼号，楼号你是知道的，你能求出这些孩子的年龄吗？”客人想了一下说：“我还不能确定答案。

”他站起来，走到窗前，看了看楼下的孩子说：“有两个很小的孩子，我知道他们的年龄了。

”主人家的楼号是_____ ,孩子的年龄是_____.
二、解答题
11．甲、乙、丙三位同学讨论关于两个质数之和的问题。

甲说：“两个质数之和一定是质数”.
乙说：“两个质数之和一定不是质数”.丙说：“两个质数之和不一定是质数”.他们当中,谁说得对?
12. 下面有3张卡片 3 ,2 ,1 ，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排起来，得到不同的一位数、两位数、三位数.把所得数中的质数写出来.
13. 在100以内与77互质的所有奇数之和是多少?
14. 在射箭运动中,每射一箭得到的环数或者是“0”（脱靶），或者是不超过10的自然数.甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到环数的积都是1764，但是甲的总环数比乙少4环.求甲、乙的总环数.。