概率论与数理统计考试试卷与答案
概率论与数理统计期末考试试题及参考答案

概率论与数理统计期末考试试题及参考答案一、选择题(每题2分,共20分)1. 设A、B为两个事件,且P(A) = 0.5,P(B) = 0.6,则P(A∪B)等于()A. 0.1B. 0.3C. 0.5D. 0.7参考答案:D2. 设随机变量X的分布函数为F(x),若F(x)是严格单调增加的,则X的数学期望()A. 存在且大于0B. 存在且小于0C. 存在且等于0D. 不存在参考答案:A3. 设X~N(0,1),以下哪个结论是正确的()A. P(X<0) = 0.5B. P(X>0) = 0.5C. P(X=0) = 0.5D. P(X≠0) = 0.5参考答案:A4. 在伯努利试验中,每次试验成功的概率为p,失败的概率为1-p,则连续n次试验成功的概率为()A. p^nB. (1-p)^nC. npD. n(1-p)参考答案:A5. 设随机变量X~B(n,p),则X的二阶矩E(X^2)等于()A. np(1-p)B. npC. np^2D. n^2p^2参考答案:A二、填空题(每题3分,共15分)1. 设随机变量X~N(μ,σ^2),则X的数学期望E(X) = _______。
参考答案:μ2. 若随机变量X、Y相互独立,且X~N(0,1),Y~N(0,1),则X+Y的概率密度函数f(x) = _______。
参考答案:f(x) = (1/√(2πσ^2))exp(-x^2/(2σ^2))3. 设随机变量X、Y相互独立,且X~B(n,p),Y~B(m,p),则X+Y~_______。
参考答案:B(n+m,p)4. 设随机变量X、Y的协方差Cov(X,Y) = 0,则X、Y的相关系数ρ = _______。
参考答案:ρ = 05. 设随机变量X~χ^2(n),则X的期望E(X) = _______,方差Var(X) = _______。
参考答案:E(X) = n,Var(X) = 2n三、计算题(每题10分,共40分)1. 设随机变量X、Y相互独立,且X~N(0,1),Y~N(0,1),求X+Y的概率密度函数f(x)。
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概率论与数理统计<概率论>试题一、填空题1.设 A 、B 、C 是三个随机事件;试用 A 、B 、C 分别表示事件1A 、B 、C 至少有一个发生2A 、B 、C 中恰有一个发生3A 、B 、C 不多于一个发生2.设 A 、B 为随机事件, P (A)=0.5,P(B)=0.6,P(B A)=0.8;则P(B )A =3.若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3,P(A B)=0.7,则α=4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行,那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次,其命中率分别为和,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)kP X k A k ===⋅⋅⋅则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =⎩⎨⎧<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________8. 设X ~2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为8081,则该射手的命中率为_________10.若随机变量ξ在1,6上服从均匀分布,则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=,4{0}{0}7P X P Y ≥=≥=,则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用,X Y 的联合分布函数Fx,y 表示P{a b,c}X Y ≤≤<=13.用,X Y 的联合分布函数Fx,y 表示P{X a,b}Y <<=14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成,二维随机变量x,y 在区域D 上服从均匀分布,则x,y 关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为 ;15.已知)4.0,2(~2-N X ,则2(3)E X +=16.设)2,1(~),6.0,10(~N Y N X ,且X 与Y 相互独立,则(3)D X Y -=17.设X的概率密度为2()x f x -=,则()D X = 18.设随机变量X 1,X 2,X 3相互独立,其中X 1在0,6上服从均匀分布,X 2服从正态分布N0,22,X 3服从参数为λ=3的泊松分布,记Y=X 1-2X 2+3X 3,则DY=19.设()()25,36,0.4xy D X D Y ρ===,则()D X Y +=20.设12,,,,n X X X ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是独立同分布的随机变量序列,且均值为μ,方差为2σ,那么当n 充分大时,近似有X ~ 或X ~ ;特别是,当同为正态分布时,对于任意的n ,都精确有X ~ 或X ~ .21.设12,,,,n X X X ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是独立同分布的随机变量序列,且i EX μ=,2i DX σ=(1,2,)i =⋅⋅⋅ 那么211n i i X n =∑依概率收敛于 . 22.设1234,,,X X X X 是来自正态总体2(0,2)N 的样本,令221234()(),Y X X X X =++- 则当C = 时CY ~2(2)χ;23.设容量n = 10 的样本的观察值为8,7,6,9,8,7,5,9,6,则样本均值= ,样本方差=24.设X 1,X 2,…X n 为来自正态总体2(,)N μσX的一个简单随机样本,则样本均值11ni i n =X =X ∑服从二、选择题1. 设A,B 为两随机事件,且B A ⊂,则下列式子正确的是 AP A+B = P A; B ()P(A);P AB =C (|A)P(B);P B =D (A)P B -=()P(A)P B -2. 以A 表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件A 为 A “甲种产品滞销,乙种产品畅销”; B “甲、乙两种产品均畅销”C “甲种产品滞销”;D “甲种产品滞销或乙种产品畅销”;3. 袋中有50个乒乓球,其中20个黄的,30个白的,现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球;则第二人取到黄球的概率是A1/5 B2/5 C3/5 D4/54. 对于事件A,B,下列命题正确的是A 若A,B 互不相容,则A 与B 也互不相容;B 若A,B 相容,那么A 与B 也相容;C 若A,B 互不相容,且概率都大于零,则A,B 也相互独立;D 若A,B 相互独立,那么A 与B 也相互独立;5. 若()1P B A =,那么下列命题中正确的是A AB ⊂ B B A ⊂C A B -=∅D ()0P A B -=6. 设X ~2(,)N μσ,那么当σ增大时,{}P X μσ-<= A 增大 B 减少 C 不变 D 增减不定;7.设X 的密度函数为)(x f ,分布函数为)(x F ,且)()(x f x f -=;那么对任意给定的a 都有A 0()1()a f a f x dx -=-⎰B 01()()2a F a f x dx -=-⎰ C )()(a F a F -= D 1)(2)(-=-a F a F8.下列函数中,可作为某一随机变量的分布函数是A 21()1F x x =+B x x F arctan 121)(π+= C =)(x F 1(1),020,0x e x x -⎧->⎪⎨⎪≤⎩D ()()x F x f t dt -∞=⎰,其中()1f t dt +∞-∞=⎰ 9. 假设随机变量X 的分布函数为Fx,密度函数为fx.若X 与-X 有相同的分布函数,则下列各式中正确的是AFx = F-x; B Fx = - F-x;C f x = f -x;D f x = - f -x.10.已知随机变量X 的密度函数fx=x x Ae ,x 0,λλ-≥⎧⎨<⎩λ>0,A 为常数,则概率P{X<+a λλ<}a>0的值A 与a 无关,随λ的增大而增大B 与a 无关,随λ的增大而减小C 与λ无关,随a 的增大而增大D 与λ无关,随a 的增大而减小 11.1X ,2X 独立,且分布率为 (1,2)i =,那么下列结论正确的是A 21X X = B1}{21==X X P C 21}{21==X X P D以上都不正确12.设离散型随机变量(,)X Y 的联合分布律为 且Y X ,相互独立,则A 9/1,9/2==βαB 9/2,9/1==βαC 6/1,6/1==βαD 18/1,15/8==βα13.若X ~211(,)μσ,Y ~222(,)μσ那么),(Y X 的联合分布为 A 二维正态,且0=ρ B 二维正态,且ρ不定C 未必是二维正态D 以上都不对14.设X,Y 是相互独立的两个随机变量,它们的分布函数分别为F X x,F Y y,则Z = max{X,Y} 的分布函数是AF Z z= max { F X x,F Y y}; B F Z z= max { |F X x|,|F Y y|}C F Z z= F X x ·F Y yD 都不是(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)1/61/91/181/3X Y P αβ15.下列二无函数中, 可以作为连续型随机变量的联合概率密度;Afx,y=cos x,0,⎧⎨⎩x ,0y 122ππ-≤≤≤≤其他B gx,y=cos x,0,⎧⎨⎩1x ,0y 222ππ-≤≤≤≤其他C ϕx,y=cos x,0,⎧⎨⎩0x ,0y 1π≤≤≤≤其他 D hx,y=cos x,0,⎧⎨⎩10x ,0y 2π≤≤≤≤其他16.掷一颗均匀的骰子600次,那么出现“一点”次数的均值为A 50B 100 C120 D 15017. 设123,,X X X 相互独立同服从参数3λ=的泊松分布,令1231()3Y X X X =++,则2()E Y =A1. B9. C10. D6.18.对于任意两个随机变量X 和Y ,若()()()E XY E X E Y =⋅,则A ()()()D XY D X D Y =⋅B ()()()D X Y D X D Y +=+C X 和Y 独立D X 和Y 不独立19.设()(P Poission λX 分布),且()(1)21E X X --=⎡⎤⎣⎦,则λ= A1, B2, C3, D020. 设随机变量X 和Y 的方差存在且不等于0,则()()()D X Y D X D Y +=+是X 和Y 的A 不相关的充分条件,但不是必要条件;B 独立的必要条件,但不是充分条件;C 不相关的充分必要条件;D 独立的充分必要条件21.设X ~2(,)N μσ其中μ已知,2σ未知,123,,X X X 样本,则下列选项中不是统计量的是A 123X X X ++B 123max{,,}X X XC 2321i i X σ=∑D 1X μ-22.设X ~(1,)p β 12,,,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自X 的样本,那么下列选项中不正确的是A 当n 充分大时,近似有X ~(1),p p N p n -⎛⎫ ⎪⎝⎭B {}(1),k k n k n P X kC p p -==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅ C {}(1),k k n k n k P X C p p n-==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅ D {}(1),1k k n k i nP X k C p p i n -==-≤≤ 23.若X ~()t n 那么2χ~A (1,)F nB (,1)F nC 2()n χD ()t n24.设n X X X ,,21为来自正态总体),(2σμN 简单随机样本,X 是样本均值,记2121)(11X X n S n i i --=∑=,2122)(1X X n S n i i -=∑=,2123)(11μ--=∑=n i i X n S , 22411()ni i S X n μ==-∑,则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是 A 1/1--=n S X t μ B 1/2--=n S X t μ C n S X t /3μ-= D n S X t /4μ-=25.设X 1,X 2,…X n ,X n+1, …,X n+m 是来自正态总体2(0,)N σ的容量为n+m 的样本,则统计量2121n i i n m i i n m V n =+=+X =X ∑∑服从的分布是A (,)F m nB (1,1)F n m --C (,)F n mD (1,1)F m n --三、解答题1.10把钥匙中有3把能打开门,今任意取两把,求能打开门的概率;2.任意将10本书放在书架上;其中有两套书,一套3本,另一套4本;求下列事件的概率;1 3本一套放在一起;2两套各自放在一起;3两套中至少有一套放在一起;3.调查某单位得知;购买空调的占15%,购买电脑占12%,购买DVD 的占20%;其中购买空调与电脑占6%,购买空调与DVD 占10%,购买电脑和DVD 占5%,三种电器都购买占2%;求下列事件的概率;1至少购买一种电器的;2至多购买一种电器的;3三种电器都没购买的;4.仓库中有十箱同样规格的产品,已知其中有五箱、三箱、二箱依次为甲、乙、丙厂生产的,且甲厂,乙厂、丙厂生产的这种产品的次品率依次为1/10,1/15,1/20.从这十箱产品中任取一件产品,求取得正品的概率;5.一箱产品,A,B 两厂生产分别个占60%,40%,其次品率分别为1%,2%;现在从中任取一件为次品,问此时该产品是哪个厂生产的可能性最大6.有标号1∼n 的n 个盒子,每个盒子中都有m 个白球k 个黑球;从第一个盒子中取一个球放入第二个盒子,再从第二个盒子任取一球放入第三个盒子,依次继续,求从最后一个盒子取到的球是白球的概率;7.从一批有10个合格品与3个次品的产品中一件一件地抽取产品,各种产品被抽到的可能性相同,求在二种情况下,直到取出合格品为止,所求抽取次数的分布率;1放回 2不放回8.设随机变量X 的密度函数为()x f x Ae -= ()x -∞<<+∞,求 1系数A,2 {01}P x ≤≤3 分布函数)(x F ;9.对球的直径作测量,设其值均匀地分布在b a ,内;求体积的密度函数;10.设在独立重复实验中,每次实验成功概率为,问需要进行多少次实验,才能使至少成功一次的概率不小于;11.公共汽车车门的高度是按男子与车门碰头的机会在以下来设计的,设男子的身高2(168,7)X N ,问车门的高度应如何确定12. 设随机变量X 的分布函数为:Fx=A+Barctanx,-x ∞<<+∞.求:1系数A 与B ;2X 落在-1,1内的概率;3X 的分布密度;13.把一枚均匀的硬币连抛三次,以X 表示出现正面的次数,Y 表示正、反两面次数差的绝对值 ,求),(Y X 的联合分布律与边缘分布;14.设二维连续型随机变量),(Y X 的联合分布函数为 )3arctan )(2arctan (),(y C x B A y x F ++= 求1A B C 、、的值, 2),(Y X 的联合密度, 3 判断X Y 、的独立性;15.设连续型随机变量X,Y 的密度函数为fx,y=(34)0,0,0,x y x y Ae -+>>⎧⎨⎩其他, 求 1系数A ;2落在区域D :{01,02}x y <≤<≤的概率;16. 设),(Y X 的联合密度为x y x x Ay y x f ≤≤≤≤-=0,10),1(),(,1求系数A,2求),(Y X 的联合分布函数;17.上题条件下:1求关于X 及Y 的边缘密度; 2X 与Y 是否相互独立18.在第16题条件下,求)(x y f 和)(y x f ;19.盒中有7个球,其中4个白球,3个黑球,从中任抽3个球,求抽到白球数X 的数学期望()E X 和方差()D X ;20. 有一物品的重量为1克,2克,﹒﹒﹒,10克是等概率的,为用天平称此物品的重量准备了三组砝码 ,甲组有五个砝码分别为1,2,2,5,10克,乙组为1,1,2,5,10克,丙组为1,2,3,4,10克,只准用一组砝码放在天平的一个称盘里称重量,问哪一组砝码称重物时所用的砝码数平均最少21. 公共汽车起点站于每小时的10分,30分,55分发车,该顾客不知发车时间,在每小时内的任一时刻随机到达车站,求乘客候车时间的数学期望准确到秒;22.设排球队A 与B 比赛,若有一队胜4场,则比赛宣告结束,假设A,B 在每场比赛中获胜的概率均为1/2,试求平均需比赛几场才能分出胜负23.一袋中有n 张卡片,分别记为1,2,﹒﹒﹒,n ,从中有放回地抽取出k 张来,以X 表示所得号码之和,求(),()E X D X ;24.设二维连续型随机变量X ,Y 的联合概率密度为:f x ,y=,0x 1,0y x 0,k <<<<⎧⎨⎩其他 求:① 常数k, ② ()E XY 及()D XY .25.设供电网有10000盏电灯,夜晚每盏电灯开灯的概率均为0.7,并且彼此开闭与否相互独立,试用切比雪夫不等式和中心极限定理分别估算夜晚同时开灯数在6800到7200之间的概率;26.一系统是由n 个相互独立起作用的部件组成,每个部件正常工作的概率为0.9,且必须至少由 80%的部件正常工作,系统才能正常工作,问n 至少为多大时,才能使系统正常工作的概率不低于 0.9527.甲乙两电影院在竞争1000名观众,假设每位观众在选择时随机的,且彼此相互独立,问甲至少应设多少个座位,才能使观众因无座位而离去的概率小于1%;28.设总体X 服从正态分布,又设X 与2S 分别为样本均值和样本方差,又设21(,)n X N μσ+,且1n X +与12,,,n X X X ⋅⋅⋅相互独立,求统计量的分布;29.在天平上重复称量一重为α的物品,假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布2(,0.2)N α,若以n X 表示n 次称量结果的算术平均值,为使()0.10.95n P X a -<≥成立,求n 的最小值应不小于的自然数30.证明题 设A,B 是两个事件,满足)()(A B P A B P =,证明事件A,B 相互独立; 31.证明题 设随即变量X 的参数为2的指数分布,证明21X Y e -=-在区间0,1上服从均匀分布;<数理统计>试题一、填空题1.设1621,,,X X X 是来自总体X ),4(~2σN 的简单随机样本,2σ已知,令∑==161161i i X X ,则统计量σ-164X 服从分布为 必须写出分布的参数;2.设),(~2σμN X ,而,,,,是从总体X 中抽取的样本,则μ的矩估计值为 ;3.设]1,[~a U X ,n X X ,,1 是从总体X 中抽取的样本,求a 的矩估计为 ;4.已知2)20,8(1.0=F ,则=)8,20(9.0F ;5.θˆ和βˆ都是参数a 的无偏估计,如果有 成立 ,则称θˆ是比βˆ有效的估计;6.设样本的频数分布为则样本方差2s =_____________________;7.设总体X~N μ,σ²,X1,X2,…,Xn 为来自总体X 的样本,X 为样本均值,则D X =________________________;8.设总体X 服从正态分布N μ,σ²,其中μ未知,X1,X2,…,Xn 为其样本;若假设检验问题为1H 1H 2120≠↔σσ:=:,则采用的检验统计量应________________;9.设某个假设检验问题的拒绝域为W,且当原假设H0成立时,样本值x1,x2, (x)落入W 的概率为,则犯第一类错误的概率为_____________________; 10.设样本X1,X2,…,Xn 来自正态总体N μ,1,假设检验问题为:,:=:0H 0H 10≠↔μμ 则在H0成立的条件下,对显著水平α,拒绝域W 应为______________________;11.设总体服从正态分布(,1)N μ,且μ未知,设1,,n X X 为来自该总体的一个样本,记11nii X X n ==∑,则μ的置信水平为1α-的置信区间公式是 ;若已知10.95α-=,则要使上面这个置信区间长度小于等于,则样本容量n 至少要取__ __;12.设n X X X ,,,21 为来自正态总体2(,)N μσ的一个简单随机样本,其中参数μ和2σ均未知,记11n i i X X n ==∑,221()ni i Q X X ==-∑,则假设0H :0μ=的t 检验使用的统计量是 ;用X 和Q 表示13.设总体2~(,)X N μσ,且μ已知、2σ未知,设123,,X X X 是来自该总体的一个样本,则21231()3X X X σ+++,12323X X X μσ++,222123X X X μ++-,(1)2X μ+中是统计量的有 ;14.设总体X 的分布函数()F x ,设n X X X ,,,21 为来自该总体的一个简单随机样本,则n X X X ,,,21 的联合分布函数 ;15.设总体X 服从参数为p 的两点分布,p 01p <<未知;设1,,n X X 是来自该总体的一个样本,则21111,(),6,{},max n niin i n i ni i X XX X X X pX ≤≤==--+∑∑中是统计量的有 ;16.设总体服从正态分布(,1)N μ,且μ未知,设1,,n X X 为来自该总体的一个样本,记11nii X X n ==∑,则μ的置信水平为1α-的置信区间公式是 ;17.设2~(,)X X X N μσ,2~(,)Y Y Y N μσ,且X 与Y 相互独立,设1,,m X X 为来自总体X 的一个样本;设1,,n Y Y 为来自总体Y 的一个样本;2X S 和2Y S 分别是其无偏样本方差,则2222//X X Y Y S S σσ服从的分布是 ;18.设()2,0.3X N μ~,容量9n =,均值5X =,则未知参数μ的置信度为的置信区间是 查表0.025 1.96Z =19.设总体X ~2(,)N μσ,X 1,X 2,…,X n 为来自总体X 的样本,X 为样本均值,则D X =________________________;20.设总体X 服从正态分布N μ,σ²,其中μ未知,X 1,X 2,…,X n 为其样本;若假设检验问题为1H 1H 2120≠↔σσ:=:,则采用的检验统计量应________________;21.设12,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自正态总体2(,)N μσ的简单随机样本,μ和2σ均未知,记11n i i X X n ==∑,221()ni i X X θ==-∑,则假设0:0H μ=的t 检验使用统计量T= ;22.设11m i i X X m ==∑和11ni i Y Y n ==∑分别来自两个正态总体211(,)N μσ和222(,)N μσ的样本均值,参数1μ,2μ未知,两正态总体相互独立,欲检验22012:H σσ= ,应用检验法,其检验统计量是 ;23.设总体X ~2(,)N μσ,2,μσ为未知参数,从X 中抽取的容量为n 的样本均值记为X ,修正样本标准差为*n S ,在显著性水平α下,检验假设0:80H μ=,1:80H μ≠的拒绝域为 ,在显著性水平α下,检验假设2200:H σσ=0σ已知,2110:H σσ≠的拒绝域为 ;24.设总体X ~12(,),01,,,,n b n p p X X X <<⋅⋅⋅为其子样,n 及p 的矩估计分别是 ;25.设总体X ~[]120,,(,,,)n U X X X θ⋅⋅⋅是来自X 的样本,则θ的最大似然估计量是 ;26.设总体X ~2(,0.9)N μ,129,,,X X X ⋅⋅⋅是容量为9的简单随机样本,均值5x =,则未知参数μ的置信水平为0.95的置信区间是 ;27.测得自动车床加工的10个零件的尺寸与规定尺寸的偏差微米如下: +2,+1,-2,+3,+2,+4,-2,+5,+3,+4则零件尺寸偏差的数学期望的无偏估计量是28.设1234,,,X X X X 是来自正态总体2(0,2)N 的样本,令221234()(),Y X X X X =++- 则当C = 时CY ~2(2)χ;29.设容量n = 10 的样本的观察值为8,7,6,9,8,7,5,9,6,则样本均值= ,样本方差= 30.设X 1,X 2,…X n 为来自正态总体2(,)N μσX的一个简单随机样本,则样本均值11ni i n =X =X ∑服从二、选择题1.1621,,,X X X 是来自总体),10(N ~X 的一部分样本,设:216292821X X Y X X Z ++=++= ,则YZ~ )(A )1,0(N )(B )16(t )(C )16(2χ )(D )8,8(F2.已知n X X X ,,,21 是来自总体的样本,则下列是统计量的是X X A +)( +A ∑=-n i iX n B 1211)( a X C +)( +10 131)(X a X D ++5 3.设81,,X X 和101,,Y Y 分别来自两个相互独立的正态总体)2,1(2-N 和)5,2(N 的样本, 21S 和22S 分别是其样本方差,则下列服从)9,7(F 的统计量是)(A 222152S S )(B 222145S S )(C 222154S S )(D 222125S S 4.设总体),(~2σμN X ,n X X ,,1 为抽取样本,则∑=-ni i X X n 12)(1是)(A μ的无偏估计 )(B 2σ的无偏估计 )(C μ的矩估计 )(D 2σ的矩估计5、设n X X ,,1 是来自总体X 的样本,且μ=EX ,则下列是μ的无偏估计的是)(A ∑-=111n i i X n )(B ∑=-n i i X n 111 )(C ∑=ni i X n 21 )(D ∑-=-1111n i i X n 6.设n X X X ,,,21 为来自正态总体2(,)N μσ的一个样本,若进行假设检验,当__ __时,一般采用统计量X t =A 220μσσ未知,检验=B 220μσσ已知,检验= C 20σμμ未知,检验= D 20σμμ已知,检验=7.在单因子方差分析中,设因子A 有r 个水平,每个水平测得一个容量为im 的样本,则下列说法正确的是___ __A 方差分析的目的是检验方差是否相等B 方差分析中的假设检验是双边检验C 方差分析中211.()im r e ij i i j S y y ===-∑∑包含了随机误差外,还包含效应间的差异D 方差分析中2.1()rA i i i S m y y ==-∑包含了随机误差外,还包含效应间的差异8.在一次假设检验中,下列说法正确的是______ A 既可能犯第一类错误也可能犯第二类错误B 如果备择假设是正确的,但作出的决策是拒绝备择假设,则犯了第一类错误C 增大样本容量,则犯两类错误的概率都不变D 如果原假设是错误的,但作出的决策是接受备择假设,则犯了第二类错误9.对总体2~(,)X N μσ的均值μ和作区间估计,得到置信度为95%的置信区间,意义是指这个区间A 平均含总体95%的值B 平均含样本95%的值C 有95%的机会含样本的值D 有95%的机会的机会含μ的值 10.在假设检验问题中,犯第一类错误的概率α的意义是 A 在H 0不成立的条件下,经检验H 0被拒绝的概率 B 在H 0不成立的条件下,经检验H 0被接受的概率 C 在H 00成立的条件下,经检验H 0被拒绝的概率 D 在H 0成立的条件下,经检验H 0被接受的概率 11. 设总体X 服从正态分布()212,,,,,n N X X X μσ是来自X 的样本,则2σ的最大似然估计为A ()211n i i X X n =-∑B ()2111n i i X X n =--∑C 211n i i X n =∑ D 2X 12.X 服从正态分布,1-=EX ,25EX =,),,(1n X X 是来自总体X 的一个样本,则∑==ni inX X 11服从的分布为___ ;A N 1-,5/nB N 1-,4/nC N 1-/n,5/nD N 1-/n,4/n13.设n X X X ,,,21 为来自正态总体2(,)N μσ的一个样本,若进行假设检验,当___ __时,一般采用统计量X U =A 220μσσ未知,检验=B 220μσσ已知,检验=C 20σμμ未知,检验=D 20σμμ已知,检验=14.在单因子方差分析中,设因子A 有r 个水平,每个水平测得一个容量为i m 的样本,则下列说法正确的是____ _ A 方差分析的目的是检验方差是否相等 B 方差分析中的假设检验是双边检验C 方差分析中211.()im r e ij i i j S y y ===-∑∑包含了随机误差外,还包含效应间的差异D 方差分析中2.1()rA i i i S m y y ==-∑包含了随机误差外,还包含效应间的差异15.在一次假设检验中,下列说法正确的是___ ____ A 第一类错误和第二类错误同时都要犯B 如果备择假设是正确的,但作出的决策是拒绝备择假设,则犯了第一类错误C 增大样本容量,则犯两类错误的概率都要变小D 如果原假设是错误的,但作出的决策是接受备择假设,则犯了第二类错误16.设ˆθ是未知参数θ的一个估计量,若ˆE θθ≠,则ˆθ是θ的___ _____A 极大似然估计B 矩法估计C 相合估计D 有偏估计 17.设某个假设检验问题的拒绝域为W,且当原假设H 0成立时,样本值x 1,x 2, …,x n落入W 的概率为,则犯第一类错误的概率为__________; A B C D18.在对单个正态总体均值的假设检验中,当总体方差已知时,选用A t 检验法B u 检验法C F 检验法D 2χ检验法19.在一个确定的假设检验中,与判断结果相关的因素有 A 样本值与样本容量 B 显著性水平α C 检验统计量 DA,B,C 同时成立 20.对正态总体的数学期望μ进行假设检验,如果在显著水平0.05下接受00:H μμ=,那么在显著水平下,下列结论中正确的是A 必须接受0HB 可能接受,也可能拒绝0HC 必拒绝0HD 不接受,也不拒绝0H21.设12,,,n X X X ⋅⋅⋅是取自总体X 的一个简单样本,则2()E X 的矩估计是A 22111()1n i i S X X n ==--∑B 22211()n i i S X X n ==-∑C 221S X +D 222S X +22.总体X ~2(,)N μσ,2σ已知,n ≥ 时,才能使总体均值μ的置信水平为0.95的置信区间长不大于LA 152σ/2LB 15.36642σ/2LC 162σ/2LD 16 23.设12,,,nX X X ⋅⋅⋅为总体X 的一个随机样本,2(),()E X D X μσ==,12211()n i i i C X X θ-+==-∑为 2σ的无偏估计,C =A 1/nB 1/1n -C 1/2(1)n -D 1/2n - 24.设总体X 服从正态分布()212,,,,,n N X X X μσ是来自X 的样本,则2σ的最大似然估计为A ()211n i i X X n =-∑B ()2111n i i X X n =--∑C 211n i i X n =∑ D 2X 25.设X ~(1,)p β 12,,,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自X 的样本,那么下列选项中不正确的是A 当n 充分大时,近似有X ~(1),p p N p n -⎛⎫⎪⎝⎭B {}(1),k kn k n P X k C p p -==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅C {}(1),k k n k n k P X C p p n-==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅D {}(1),1k kn k i nP X k C p p i n -==-≤≤ 26.若X ~()t n 那么2χ~A (1,)F nB (,1)F nC 2()n χ D ()t n27.设n X X X ,,21为来自正态总体),(2σμN 简单随机样本,X 是样本均值,记2121)(11X X n S n i i --=∑=,2122)(1X X n S n i i -=∑=,2123)(11μ--=∑=n i i X n S , 22411()ni i S X n μ==-∑,则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是A 1/1--=n S X t μ B 1/2--=n S X t μ C nS X t /3μ-=D nS X t /4μ-=28.设X 1,X 2,…X n ,X n+1, …,X n+m 是来自正态总体2(0,)N σ的容量为n+m 的样本,则统计量2121ni i n mi i n m V n =+=+X =X ∑∑服从的分布是A (,)F m nB (1,1)F n m --C (,)F n mD (1,1)F m n -- 29.设 ()2~,X N μσ,其中μ已知,2σ未知,1234,,,X X X X 为其样本, 下列各项不是统计量的是____A4114i i X X ==∑ B142X X μ+-C42211()i i K X X σ==-∑ D4211()3i i S X X ==-∑30. 设 ()2~,N ξμσ,其中μ已知,2σ未知,123,,X X X 为其样本, 下列各项不是统计量的是A 22212321()X X X σ++ B13X μ+C123max(,,)X X X D 1231()3X X X ++三、计算题1.已知某随机变量X 服从参数为λ的指数分布,设n X X X ,,,21 是子样观察值,求λ的极大似然估计和矩估计;10分2.某车间生产滚珠,从某天生产的产品中抽取6个,测得直径为: 已知原来直径服从)06.0,(N μ,求:该天生产的滚珠直径的置信区间;给定05.0=α,645.105.0=Z ,96.1025.0=Z 8分3.某包装机包装物品重量服从正态分布)4,(2μN ;现在随机抽取16个包装袋,算得平均包装袋重为900=x ,样本均方差为22=S ,试检查今天包装机所包物品重量的方差是否有变化05.0=α488.2715262.6)15(2025.02975.0==)(,χχ8分 4.设某随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧+=0)1()(λλx x f 其他10<<x 求λ的极大似然估计; 6分5.某车间生产滚珠,从长期实践可以认为滚珠的直径服从正态分布,且直径的方差为04.02=σ,从某天生产的产品中随机抽取9个,测得直径平均值为15毫米,试对05.0=α求出滚珠的平均直径的区间估计;8分)96.1,645.1(025.005.0==Z Z6.某种动物的体重服从正态分布)9,(μN ,今抽取9个动物考察,测得平均体重为3.51公斤,问:能否认为该动物的体重平均值为52公斤;05.0=α8分96.1645.1025.005.0==Z Z7.设总体X 的密度函数为:⎩⎨⎧+=0)1()(ax a x f 其他10<<x , 设n X X ,,1 是X 的样本,求a 的矩估计量和极大似然估计;10分8.某矿地矿石含少量元素服从正态分布,现在抽样进行调查,共抽取12个子样算得2.0=S ,求σ的置信区间1.0=α,68.19)11(22=αχ,57.4)11(221=-αχ8分9.某大学从来自A,B 两市的新生中分别随机抽取5名与6名新生,测其身高单位:cm 后算得x =,y =;1.9s 3.11s 2221==,;假设两市新生身高分别服从正态分布X-N μ1,σ2,Y-N μ2,σ2其中σ2未知;试求μ1-μ2的置信度为的置信区间;9=,11=10.10分某出租车公司欲了解:从金沙车站到火车北站乘租车的时间; 随机地抽查了9辆出租车,记录其从金沙车站到火车北站的时间,算得20x =分钟,无偏方差的标准差3s =;若假设此样本来自正态总体2(,)N μσ,其中2,μσ均未知,试求σ的置信水平为的置信下限;11.10分设总体服从正态分布2(,)N μσ,且μ与2σ都未知,设1,,n X X 为来自总体的一个样本,其观测值为1,,n x x ,设11n i i X X n ==∑,2211()n n i i S X X n ==-∑;求μ和σ的极大似然估计量;12.8分掷一骰子120次,得到数据如下表若我们使用2χ检验,则x 取哪些整数值时,此骰子是均匀的的假设在显著性水平0.05α=下被接受13.14分机器包装食盐,假设每袋盐的净重服从2~(,)X N μσ正态分布, 规定每袋标准重量为1μ=kg,方差220.02σ≤;某天开工后,为检验其机器工作是否正常,从装好的食盐中随机抽取抽取9袋,测得净重单位:kg 为:,,,,,,,,算得上述样本相关数据为:均值为0.998x =,无偏标准差为0.032s =,21()0.008192nii x x =-=∑;问1在显著性水平0.05α=下,这天生产的食盐的平均净重是否和规定的标准有显著差异2 在显著性水平0.05α=下,这天生产的食盐的净重的方差是否符合规定的标准3你觉得该天包装机工作是否正常14.8分设总体X 有概率分布现在观察到一个容量为3的样本,11x =,22x =,31x =;求θ的极大似然估计值15.12分对某种产品进行一项腐蚀加工试验,得到腐蚀时间X 秒和 腐蚀深度Y 毫米的数据见下表:X 5 5 10 20 30 40 50 60 65 90 120 Y 4 6 8 13 16 17 19 25 25 29 46假设Y 与X 之间符合一元线回归模型01Y X ββε=++1试建立线性回归方程;2在显著性水平0.01α=下,检验01:0H β=16. 7分设有三台机器制造同一种产品,今比较三台机器生产能力,记录其五天的日产量17.10分设总体X 在),0(θ)0(>θ上服从均匀分布,n X X ,,1 为其一个样本,设},,max{1)(n n X X X =1)(n X 的概率密度函数()n p x 2求()[]n E X18.7分机器包装食盐,假设每袋盐的净重服从2~(,)X N μσ正态分布,规定每袋标准重量为1μ=kg,方差220.02σ≤;某天开工后,为检验其机器工作是否正常,从装好的食盐中随机抽取抽取9袋,测得净重单位:kg 为:,,,,,,,,算得上述样本相关数据为:均值为0.998x =,无偏标准差为0.032s =,在显著性水平0.05α=下,这天生产的食盐的净重的方差是否符合规定的标准19.10分设总体X 服从正态分布2(,)N μσ,1,,n X X 是来自该总体的一个样本,记11(11)kk i i X X k n k ==≤≤-∑,求统计量1k k X X +-的分布;20.某大学从来自A,B 两市的新生中分别随机抽取5名与6名新生,测其身高单位:cm 后算得x =,y =;1.9s 3.11s 2221==,;假设两市新生身高分别服从正态分布X-N μ1,σ2,Y-N μ2,σ2其中σ2未知;试求μ1-μ2的置信度为的置信区间;9=,11=<概率论>试题参考答案一、填空题1. 1 C B A 2 C B A C B A C B A3 B A C A C B 或 C B A C B A C B A C B A2. , 3.3/7 , 4.4/7 = 1/1260 , 5., 6. 1/5, 7.1=a ,=b 1/2, 8., 9.2/3, 10.4/5, 11.5/7, 12.Fb,c-Fa,c, 13.F a,b, 14.1/2, 15., 16., 17.1/2, 18.46, 19.85 20.22(,),(0,1),(,),(0,1)N N N N nnσσμμ; 21.22μσ+, 22,1/8 ,23.X =7,S 2=2 , 24.2N ,n σμ⎛⎫⎪⎝⎭,二、选择题1.A 2.D 3.B 4.D 5.D 6.C 7.B 8.B 9.C 10 .C11.C 12.A 13.C 14.C 1 5.B 16.B 17.C 18.B 19.A 20 .C21.C 22.B 23.A 24.B 25.C 三、解答题 1. 8/15 ;2. 11/15, 21/210, 32/21;3. 1 , 2, 3 ;4. ;5. 取出产品是B 厂生产的可能性大;6. m/m+k;7.11{}(3/13)(10/13)k P X K -== 28. 1A =1/2 , 211(1)2e -- , 31,02()11,02xx e x F x e x ⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩9. 1/32/3330()161()(),()366f x x x a b b a πππ-⎧⎪=⎨⎡⎤∈⎪⎢⎥-⎣⎦⎩其他, 10. 4≥n11. 提示:99.0}{01.0}{≥<≤≥h x P h x P 或,利用后式求得31.184=h 查表(2.33)0.9901φ= 12. 错误!A=1/2,B=1π; 错误! 1/2; 错误! f x=1/π1+x 2 13. 14. 12,,22A B C ππ===;2 222(,)(4)(9)f x y x y π=++;3 独立 ;15. 1 12; 2 1-e -31-e -816. 124A =24322432340003812(/2)010(,)3861014301111x y y y x x y x y x F x y y y y x y x x x x y x y <<⎧⎪-+-≤<≤<⎪⎪=++≥≤<⎨⎪-≤<≤⎪≥≥⎪⎩或 17. 1212(1),01()0,x x x x f x ⎧-≤≤=⎨⎩其他 ; 212(1),01()0,y y y y f y ⎧-≤≤=⎨⎩其他2不独立18. 22,0,01()0,Y X yy x x f y x x ⎧<<<<⎪=⎨⎪⎩其他 ;22(1),1,01(1)()0,X Y x y x y y f x y -⎧≤<<<⎪-=⎨⎪⎩其他19. 1224(),()749E X D X ==20. 丙组 21. 10分25秒 22. 平均需赛6场j PiP1/823. 2(1)(1)(),()212k n k n E X D X +-== ; 24. k = 2, EXY=1/4, DXY=7/144 25. 26. 27. 537 28. (1)t n - 29. 1630. 提示:利用条件概率可证得;31. 提示:参数为2的指数函数的密度函数为220()00xe xf x x -⎧>=⎨≤⎩ ,利用21xY e-=-的反函数⎪⎩⎪⎨⎧--=0)1ln(21y x 即可证得;<数理统计>试题参考答案一、填空题1.)1,0(N , 2.∑=n i i X n 11=, 3.121-∑=ni i x n , 4., 5.)ˆ()ˆ(β<θD D 6.2 , 7.n 2σ, 8.n-1s 2或∑=n 1i 2i )x -(x , 9. , 10.⎭⎬⎫⎩⎨⎧>2u |u |σ,其中n x u =11.21X u α-±, 385;12.X t =13. 222123X X X μ++-, (1)2X μ+ ; 14.1(,,)n F x x 为1()ni i F x =∏,15.2111,(),6,{}max n ni in i i ni i X XX X X ≤≤==--∑∑ ;16.21X u α-±,17. (,)F m n , 18.,, 19.n 2σ, 20.n-1s 2或∑=n1i 2i )x -(x ,21.T =, 22.F ,2121(1)()(1)()mi i ni i n X X F m Y Y ==--=--∑∑ , 23.__22221122100222()()(1),(1)(1)n n i i i i n x x x x t n n n αααχχσσ==-⎧⎫⎧⎫--⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪->-⋃<-⎬⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭∑∑, 24.2,1X S n p p X∧∧==- , 25.12max{,,,}n X X X θ=⋅⋅⋅ ,26.[4.412,5.588], 27.2 , 28.1/8 , 29.X =7, S 2=2, 30.2N ,n σμ⎛⎫⎪⎝⎭二、选择题1.D 2.B 3.B 4.D 5.D 6.C 7.D 8.A 9.D 10.C11.A 12.B 13.D 14.D 15.C 16.D 17.B 18.B 19.D 20.A21.D 22.B 23.C 24.A 25.B 26.A 27.B 28.C 29.C 30.A 三、计算题 1.10分解:设n X X X ,,,21 是子样观察值 极大似然估计: ∑⋅===-=-∏ni iix nni x eeL 11)(λλλλλ∑=-⋅=ni i n n x l n L l 1)(λλλ0)(1=-=∂∂∑=ni i n x n L l λλλ x1=λ 矩估计:λ=⋅λ⋅=⎰+∞λ-1)(0dx e x X E x 样本的一阶原点矩为:∑==ni i X n X 11所以有:XX X EX 1ˆ1=λ⇒=λ⇒= 2.8分解:这是方差已知,均值的区间估计,所以有: 置信区间为:],[22αασ+σ-Z n X Z n X 由题得:95.14)1.152.158.149.141.156.14(61=+++++=X696.105.0025.0===αn Z代入即得:]96.1606.095.14,96.1606.095.14[⨯-⨯-所以为:]146.15,754.14[ 3.8分解:统计量为:)1(~)1(222--n X S n σ0H :22024==σσ,1H :202σσ≠16=n ,22=S ,224=σ代入统计量得875.116215=⨯ 262.6)15(875.12975.0=<χ所以0H 不成立,即其方差有变化; 4.6分解:极大似然估计:λλλλλ)()1()1(),,(111∏∏==+=+=ni i nni i n X X X X L ;∏=++=ni i X n L 1ln )1ln(ln λλ0ln 1ln 1=++=∑=ni i X nd L d λλ 得 ∑∑==+-=ni ini iXX n 11ln ln ˆλ5.8分解: 这是方差已知均值的区间估计,所以区间为:],[22αασ+σ-Z n x Z n x 由题意得:905.004.0152==α=σ=n x 代入计算可得]96.192.015,96.192.015[⨯+⨯-化间得:]131.15,869.14[ 6.8分解:52:00==μμH ,01:μμ≠H7.093523.51-=-=-nx σμ96.12=αμ96.17.0|7.0|025.0=μ<=-所以接受0H ,即可以认为该动物的体重平均值为52;7.10分 解: 矩估计为:210121)1()(21++=++=+⋅=+⎰a a x a a dx x a x X E a a 样本的一阶原点矩为:∑==ni i x n X 11所以有:XX a X a a --=⇒=++112ˆ21极大似然估计:∏∏==⋅+=+=ni i a ni ni an x a x a x x x f 1121)1(])1[(),,,(两边取对数:∑=++=ni i n x a a n x x f 11)ln()1ln(),,(ln两边对a 求偏导数:=∂∂afln ∑=++ni i x a n 1)ln(1=0 所以有:∑=--=ni ix na1)ln(1ˆ8.8分 解:由2222221)1(ααχσχ≤-≤-S n 得 2222)1(αχσS n -≥,22122)1(αχσ--≤S n所以σ的置信区间为:)11()1(222αχS n -,)11()1(2212αχ--S n 将12=n ,2.0=S 代入得 15.0,31.09.解:这是两正态总体均值差的区间估计问题;由题设知,2-n n 1)s -(n 1)s -(n s .05.01.9s 3.11s 172y 9.175x 6,n 5,n 21222211w 222121++========α,,,, 2分=, 4分 选取9=,则21μμ-置信度为的置信区间为: ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++21w 21221w212n 1n 12)s -n (n t y -x ,n 1n 12)s -n (n t -y -x αα 8分 =,. 10分 注:置信区间写为开区间者不扣分; 10. 解:由于μ未知,故采用2222(1)~(1)n S n χχσ-=-作枢轴量 2分要求()1L P σσα≥=- 2分这等价于要求22()1L P σσα≥=-, 也即2222(1)(1)()1Ln S n S P ασσ--≤=- 2分而2212(1)((1))1n S P n αχασ--≤-=- 2分所以2212(1)(1)Ln S n αχσ--=-,故2221(1)(1)Ln S n ασχ--=- 1分 故σ的置信水平为1α-的置信下限为L σ=由于这里9n =,0.05α=,20.95(8)15.507χ=所以由样本算得ˆ 2.155L σ= 1分 即σ的置信水平为的置信下限为; 11. 解:写出似然函数221222()()2222(,)(2)ni i i n x x ni L eμμσσμσπσ=-----=∑== 4分取对数2222211ln (,)ln(2)()2nn ii L x μσπσμσ==---∑ 2分求偏导数,得似然方程221231ln 1()0ln 1()0n i i n i i L x L n x μμσμσσσ==∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-+-=⎪∂⎩∑∑ 3分解似然方程得:ˆX μ=,ˆσ= 1分12.解:设第i 点出现的概率为i p ,1,,6i =101266:H p p p ====,1126:,,,H p p p 中至少有一个不等于161分采用统计量 221()ri i i i n np np χ=-=∑1分在本题中,6r =,0.05α=,20.95(5)11.07χ= 1分所以拒绝域为2{11.107}W χ=≥ 1分 算实际的2χ值,由于1612020i np =⨯=,所以22222621()(20)4(2020)(20)(20)2010i i i i n np x x x np χ=--+-+--===∑ 1分所以由题意得2(20)011.10710x -≤<时被原假设被接受即9.4630.54x <<,故x 取[10,30]之间的整数时, 2分 此骰子是均匀的的假设在显著性水平0.05α=下被接受;1分13. 解:“这几天包装是否正常”,即需要对这天包装的每袋食盐净重的期望与方差分别作假设检验1检验均值,总共6分0:1H μ=,1:1H μ≠ 选统计量,并确定其分布~(1)X t t n =-确定否定域21{||}{|| 2.306}W t t t α-=≥=≥统计量的观测值为0.1875x t ==因为21||0.1875 2.306t t α-=<=,所以接受0:1H μ=;2检验方差,总共6分220:0.02H σ≤,220:0.02H σ>选统计量222211()~(1)0.02nii XX n χχ==--∑确定否定域2221{(1)}{15.5}W n αχχχ-=≥-=≥ 统计量的观测值为222221180.032()20.480.020.02n i i x x χ=⨯=-==∑因为22120.4815.5(1)n αχχ-=>=-,所以拒绝220:0.02H σ≤32分结论:综合1与2可以认为,该天包装机工作是不正常的; 14.解:此时的似然函数为123123()(1,2,1)(1)(2)(1)L P X X X P X P X P X θ======== 2分即225()2(1)2(1)L θθθθθθθ=⨯-⨯=- 2分 ln ()ln 25ln ln(1)L θθθ=++- 1分ln ()511d L d θθθθ=-- 1分 令 ln ()0d L d θθ= 1分得θ的极大似然估计值5ˆ6θ=.1分15.解:1解:根据公式可得01ˆˆY X ββ=+其中 011ˆˆˆXYXX l lY X βββ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ 2分。
2024年概率论与数理统计试卷参考答案与评分标准

2023─2024学年第二学期《概率论与数理统计》课程考试试卷(A 卷)参考答案与评分标准一、填空题(每空3分,共30分)1.在显著性检验中,若要使犯两类错误的概率同时变小,则只有增加样本容量.2.设随机变量X 具有数学期望()E X μ=与方差2()D X σ=,则有切比雪夫不等式{}2P X μσ-≥≤14.3.设X 为连续型随机变量,a 为实常数,则概率{}P X a ==0.4.设X 的分布律为,{}1,2,k k P X x p k === ,2Y X =,若1nkk k xp ∞=∑绝对收敛(n为正整数),则()E Y =21kk k xp ∞=∑.5.某学生的书桌上放着7本书,其中有3本概率书,现随机取2本书,则取到的全是概率书的概率为17.6.设X 服从参数为λ的poisson 分布,则(2)E X =2λ.7.设(2,3)Y N ,则数学期望2()E Y =7.8.(,)X Y 为二维随机变量,概率密度为(,)f x y ,X 与Y 的协方差(,)Cov X Y 的积分表达式为(())(())(,)d d x E x y E y f x y x y +∞+∞-∞-∞--⎰⎰.9.设X 为总体N (3,4)中抽取的样本14,,X X 的均值,则{}15P X ≤≤=2(2)1Φ-.(计算结果用标准正态分布的分布函数()x Φ表示)10.随机变量2(0,)X N σ ,n X X X ,,,21 为总体X 的一个样本,221()(1)ni i Y k X χ==∑ ,则常数k =21n σ.A 卷第1页共4页二、概率论试题(45分)1、(8分)题略解:用A B C 、、,分别表示三人译出该份密码,所求概率为P A B C ()(2分)由概率公式P A B C P ABC P A P B P C ()=1-()=1-()()()(4分)1-1-1-p q r =1-()()()(2分)2、(8分)设随机变量()1,()2,()3,()4,0.5XY E X D X E Y D Y ρ=====,求数学期望()E X Y +与方差(23)D X Y -.解:(1)()E X Y +=E X E Y ()+()=1+3=4(3分)(2)(23)4()9()12ov(,)D X Y D X D Y C X Y -=+-(3分)8361244XY ρ=+--(2分)3、(8分)某种电器元件的寿命服从均值为100h 的指数分布,现随机地取16只,它们的寿命i T 相互独立,记161ii T T ==∑,用中心极限定理计算{1920}P T ≥的近似值(计算结果用标准正态分布的分布函数()x Φ表示).解:i i ET D T E T D T 2()=100,()=100,()=1600,()=160000(3分){1920}0.8}1P T P ≥=≈-Φ(0.8)(5分)(4分)4、(10分)设随机变量X 具有概率密度11()0x x f x ⎧-≤≤=⎨⎩,,其它,21Y X =+.(1)求Y 的概率密度()Y f y ;(2)求概率312P Y ⎧⎫-<<⎨⎩⎭.解:(1)12Y Y y F y y F y ≤>时()=0,时()=1(1分)A 卷第2页共4页212,{}{1}()d Y y F y P Y y P X y f x x<≤≤=+≤=()=(2分)02d 1x x y ==-(2分)概率密度函数2()=Y Y y f y F y ≤⎧'⎨⎩1,1<()=0,其它(2分)(2)3102Y YP Y F F ⎧⎫-<<=-=⎨⎬⎩⎭311()-(-1)=222.(3分)5、(11分)设随机变量(,)X Y 具有概率分布如下,且{}1103P X Y X +===.XY-101013p114q112(1)求常数,p q ;(2)求X 与Y 的协方差(,)Cov X Y ,并问X 与Y 是否独立?解:(1)1111134123p q p q ++++=+=,即(2分)由{}{}{}{}{}101011010033P X Y X P Y X pP X Y X P X P X p +====+========+,,(2分)可得16p q ==(1分)X 01Y -11P1212P7121614(2)EX 1()=2,E Y 1()=-3,E XY 1()=-6(3分),-Cov X Y E XY E X E Y ()=()()()=0(2分)由..ij i j P P P ≠可知X 与Y 不独立(1分)三、数理统计试题(25分)1、(8分)题略.A 卷第3页共4页证明:222(1)(0,1),(1)X n S N n χσ-- ,22(1)X n S σ-相互独立(4分)2(1)Xt n - ,即(1)X t n - (4分)2、(10分)题略解:似然函数2221()(,)2n i i x L μμσσ=⎧⎫-=-⎨⎬⎩⎭∑2221()ln ln(2)ln() 222ni i x n n L μπσσ=-=---∑(4分)由2222411()ln ln 0,022n ni i i i x x L L nμμμσσσσ==--∂∂===-+=∂∂∑∑可得221111ˆˆ,()n n i i i i x x n n μσμ====-∑∑为2,μσ的最大似然估计(2分)由221ˆˆ(),()n nE E μμσσ-==可知11ˆni i x n μ==∑为μ的无偏估计量,2211ˆ()ni i x n σμ==-∑为2σ的有偏估计量(4分)3、(7分)题略解:01: 4.55: 4.55H H μμ=≠(2分)检验统计量x z =,拒绝域0.025 1.96z z ≥=(2分)而0.185 1.960.036z ==>(1分)因而拒绝域0H ,即不认为总体的均值仍为4.55(2分)A 卷第4页共4页。
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一. 填空题(每空题 2 分,共计 60 分)1、A、B是两个随机事件,已知p(A )0.4, P(B) 0.5,p( AB) 0.3 ,则p(A B)0.6 ,p(A - B)0.1,P( A B )= 0.4 ,p(A B)0.6 。
2、一个袋子中有大小相同的红球 6 只、黑球 4 只。
(1)从中不放回地任取 2 只,则第一次、第二次取红色球的概率为:1/3。
(2)若有放回地任取2只,则第一次、第二次取红色球的概率为:9/25。
(3)若第一次取一只球观查球颜色后,追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后,再取第二只,则第一次、第二次取红色球的概率为:21/55。
3、设随机变量 X 服从 B(2,0.5 )的二项分布,则p X 1 0.75, Y 服从二项分布 B(98, 0.5), X 与 Y 相互独立 , 则 X+Y服从 B(100,0.5) ,E(X+Y)= 50 ,方差 D(X+Y)= 25 。
4、甲、乙两个工厂生产同一种零件,设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1 、0.15 .现从由甲厂、乙厂的产品分别占60%、40%的一批产品中随机抽取一件。
(1)抽到次品的概率为:0.12 。
(2)若发现该件是次品,则该次品为甲厂生产的概率为:0.5 .5、设二维随机向量( X ,Y)的分布律如右,则 a 0.1, E( X ) 0.4 ,X 0 1X与 Y 的协方差为: - 0.2Y,-1 0.2 0.3Z X Y2的分布律为 : z 1 21 0.4 a概率0.6 0.46、若随机变量X ~ N(2,4)且(1) 0.8413 ,(2) 0.9772 ,则 P{ 2 X 4}0.815,Y 2X 1,则Y~N( 5,16)。
7、随机变量X、Y 的数学期望E(X)= -1,E(Y)=2,方差D(X)=1,D(Y)=2,且X、Y相互独立,则:E(2X Y)-4,D(2X Y)6。
8、设D(X)25,D(Y)1,Cov ( X ,Y ) 2 ,则 D( X Y)309、设X1,, X 26是总体 N (8,16) 的容量为26 的样本,X为样本均值,S2为样本方差。
《概率论与数理统计》练习题(含答案)

《概率论与数理统计》练习题(含答案)一、单项选择题1.设,,A B C 为三个事件,且,A B 相互独立,则以下结论中不正确的是( ) (A )若()1P C =,则AC 与BC 也独立. (B )若()1P C =,则A C 与B 也独立. (C )若()0P C =,则A C 与B 也独立. (D )若C B ⊂,则A 与C 也独立.答案:(D ).解答:因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立,所以(A ),(B ),(C )都是正确的,只能选(D ).事实上由图 可见A 与C 不独立.2.设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ,则(||2)P X >的值为( ) (A )2[1(2)]-Φ. (B )2(2)1Φ-. (C )2(2)-Φ. (D )12(2)-Φ.答案:(A )解答: ~(0,1)X N 所以(||2)1(||2)1(22)P X P X P X >=-≤=--<≤ 1(2)(2)1[2(2)1]2[1(2)]=-Φ+Φ-=-Φ-=-Φ 应选(A ).3.设随机变量X 和Y 不相关,则下列结论中正确的是( ) (A )X 与Y 独立. (B )()D X Y DX DY -=+. (C )()D X Y DX DY -=-. (D )()D XY DXDY =.SABC答案:(B )解答:由不相关的等价条件知,0y x cov 0xy =⇒=),(ρ ()+2cov x y D X Y DX DY -=+(,) 应选(B ).4.设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)111169183X Y P αβ若,X Y 独立,则,αβ的值为( )(A )21,99αβ==. (A )12,99αβ==.(C ) 11,66αβ== (D )51,1818αβ==.答案:(A )解答: 若,X Y 独立则有(2,2)(2)(2)P X Y P X P Y α======1121()()()3939αβαα=+++=+∴29α=, 19β=故应选(A ).5.设总体X 的数学期望为12,,,,n X X X μ为来自X 的样本,则下列结论中正确的是( )(A )1X 是μ的无偏估计量. (B )1X 是μ的极大似然估计量. (C )1X 是μ的相合(一致)估计量. (D )1X 不是μ的估计量. 答案:(A ) 解答:1EX μ=,所以1X 是μ的无偏估计,应选(A ).6. 设A 、B 、C 为三个事件,()0P AB >且(|)1P C AB =,则有( )Y X(A )()()() 1.P C P A P B ≤+- (B )()().P C P A B ≤ (C )()()() 1.P C P A P B ≥+- (D )()().P C P A B ≥答案:C 解答:由(|)1P C AB =知()()P ABC P AB =,故()()P C P AB ≥ ()()()()()()()1P C P AB P A P B P A B P A P B ≥=+-≥+- 应选C.7. 设随机变量X 的概率密度为2(2)4(),x f x x +-=-∞<<∞, 且~(0,1)Y aX b N =+,则在下列各组数中应取( ) (A )1/2, 1.a b == (B)2,a b ==(C )1/2,1a b ==-. (D)2,a b == 答案:B 解答:22(2)4()x f x +-==即~(2,)X N - 故当a b ===时 ~(0,1)Y aX b N =+ 应选B.8. 设随机变量X 与Y 相互独立,其概率分布分别为010.40.6X P010.40.6Y P则有( )(A )()0.P X Y == (B )()0.5.P X Y ==(C )()0.52.P X Y == (D )() 1.P X Y == 答案:C解答:()(0,0)(1,1)P X Y P X Y P X Y ====+== 0.40.40.60.60.52=⨯+⨯= 应选C.9. 对任意随机变量X ,若EX 存在,则[()]E E EX 等于( )(A )0. (B ).X (C ).EX (D )3().EX 答案:C 解答:[()]E E EX EX = 应选C.10. 设12,,,n x x x 为正态总体(,4)N μ的一个样本,x 表示样本均值,则μ的置信度为1α-的置信区间为( ) (A )/2/2(x u x u αα-+ (B )1/2/2(x u x u αα--+ (C )(x u x uαα-+ (D )/2/2(x u x u αα-+ 答案:D 解答:因为方差已知,所以μ的置信区间为/2/2(X u X u αα-+应选D. 11、设为总体的一个样本,为样本均值,则下),,,(21n X X X )2,1(2N X列结论中正确的是( D )。
概率论与数理统计考试试卷(附答案)

概率论与数理统计考试试卷(附答案)一、选择题(共6小题,每小题5分,满分30分) 1. 事件表达式B A -的意思是 ( ) (A) 事件A 与事件B 同时发生 (B) 事件A 发生但事件B 不发生 (C) 事件B 发生但事件A 不发生(D) 事件A 与事件B 至少有一件发生2. 假设事件A 与事件B 互为对立,则事件A B ( ) (A) 是不可能事件 (B) 是可能事件 (C) 发生的概率为1(D) 是必然事件3. 已知随机变量X ,Y 相互独立,且都服从标准正态分布,则X 2+Y 2服从 ( ) (A) 自由度为1的χ2分布 (B) 自由度为2的χ2分布 (C) 自由度为1的F 分布(D) 自由度为2的F 分布4. 已知随机变量X ,Y 相互独立,X ~N (2,4),Y ~N (-2,1), 则( )(A) X +Y ~P (4) (B) X +Y ~U (2,4) (C) X +Y ~N (0,5) (D) X +Y ~N (0,3)5. 样本(X 1,X 2,X 3)取自总体X ,E (X )=μ, D (X )=σ2, 则有( ) (A) X 1+X 2+X 3是μ的无偏估计(B)1233X X X ++是μ的无偏估计(C) 22X 是σ2的无偏估计(D) 21233X X X ++⎛⎫ ⎪⎝⎭是σ2的无偏估计6. 随机变量X 服从在区间(2,5)上的均匀分布,则X 的方差D (X )的值为( ) (A) 0.25(B) 3.5(C) 0.75(D) 0.5二、填空题(共6小题,每小题5分,满分30分。
把答案填在题中横线上) 1. 已知P (A )=0.6, P (B |A )=0.3, 则P (AB )= __________2. 三个人独立地向一架飞机射击,每个人击中飞机的概率都是0.4,则飞机被击中的概率为__________3. 一个袋内有5个红球,3个白球,2个黑球,任取3个球恰为一红、一白、一黑的概率为_____4. 已知连续型随机变量,01,~()2,12,0,.x x X f x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩其它 则P {X ≤1.5}=_______.5. 假设X ~B (5, 0.5)(二项分布), Y ~N (2, 36), 则E (2X +Y )=__________6. 一种动物的体重X 是一随机变量,设E (X )=33, D (X )=4,10个这种动物的平均体重记作Y ,则D (Y )=_____________________ _______三、有两个口袋,甲袋中盛有两个白球,一个黑球,乙袋中盛有一个白球,两个黑球。
《概率论与数理统计》考试练习题及参考答案

《概率论与数理统计》考试练习题及参考答案一、单选题1. 设X~N(2,9),Y~N(2,1),E(XY)=6,则D(X-Y)之值为A 、14B 、6C 、12D 、4答案:B2. 设X,Y的方差存在,且不等于0,则D(X+Y)=DX+DY是X,YA 、不相关的充分条件,但不是必要条件B 、独立的必要条件,但不是充分条件C 、不相关的必要条件,但不是充分条件D 、独立的充分必要条件答案:B3. 已知P(A)=0.3 ,P(B)=0.5 ,P(A∪B)=0.6,则P(AB)=A 、0.2B 、0.1C 、0.3D 、0.4答案:A4. 已知随机变量X服从二项分布,且EX=2.4,DX=1.44,则二项分布中的参数n,p的值分别为A 、n=4 ,p=0.6B 、n=6 ,p=0.4C 、n=8 ,p=0.3D 、n=24 ,p=0.1答案:B5. 若随机变量X与Y的方差D(X), D(Y)都大于零,且E(XY)=E(X)E(Y),则有A 、X与Y一定相互独立B 、X与Y一定不相关C 、D(XY)=D(X)D(Y)D 、D(X-Y)=D(X)-D(Y)答案:B6. 同时抛掷3枚硬币,则至多有1枚硬币正面向上的概率是A 、1/8B 、1/6C 、1/4D 、1/2答案:D7. 将长度为1的木棒随机地截成两段,则两段长度的相关系数为A 、1B 、1/2C 、2D 、-1答案:D8. 假设一批产品中一、二、三等品各占60% 、30% 、10%,今从中随机取一件产品,结果不是三等品,则它是二等品的概率为A 、1/3B 、1/2C 、2/3D 、1/4答案:A9. 袋中有50个乒乓球,其中20个黄球,30个白球,甲、乙两人依次各取一球,取后不放回,甲先取,则乙取得黄球的概率为A 、2/5B 、3/5C 、1/5D 、4/5答案:A10. 设随机变量X服从正态分布N(1 ,4) ,Y服从[0 ,4]上的均匀分布,则E(2X+Y )=A 、1B 、2C 、3D 、4答案:D11. 某电路由元件A 、B 、C串联而成,三个元件相互独立,已知各元件不正常的概率分别为:P(A)=0.1 ,P(B)=0.2 ,P(C)=0.3,求电路不正常的概率A 、0.496B 、0.7C 、0.25D 、0.8答案:A12. 一套五卷选集随机地放到书架上,则从左到右或从右到左卷号恰为1 ,2 ,3 ,4 ,5顺序的概率为A 、1/120B 、1/60C 、1/5D 、1/2答案:B13. 设随机变量X与Y独立同分布,记随机变量U=X+Y ,V=X-Y,且协方差Cov(U.V)存在,则U和V必然A 、不相关B 、相互独立C 、不独立D 、无法判断答案:A14. 设P(A)>0,P(B)>0,则下列各式中正确的是A 、P(A-B)=P(A)-P(B)B 、P(AB)=P(A)P(B)C 、P(A+B)=P(A)+P(B)D 、P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)答案:D15. 随机变量X的所有可能取值为0和x ,且P{X=0}=0.3,E(X)=1,则x=A 、10/7B 、4/5C 、1D 、0答案:A16. 已知人的血型为O 、A 、B 、AB的概率分别是0.4;0.3;0.2;0.1。
专升本-概率论与数理统计(0512026)试卷含答案

一、单选题1.若随机变量X与Y满足D(X+Y)=D(X-Y),则A、X与Y相互独立B、X与Y不相关C、X与Y不独立D、X与Y不独立、不相关答案: B2.一个口袋中有2个白球和3个黑球,从中任取两个球,则这两个球恰有一个白球一个黑球的概率是A、0.5B、0.6C、0.7D、0.8答案: B3.设P(AB)=0,则有A、A和B互不相容B、A和B相互独立C、P(A)=0或P(B)=0D、P(A-B)=P(A)答案: D4.同时抛掷3枚硬币,则恰有2枚硬币正面向上的概率是A、1/8B、3/8C、1/4D、1/2答案: B5.三个箱子,第一个箱子中有4个黑球,1个白球;第二个箱子中有3个黑球,3个白球;第三个箱子中有3个黑球,5个白球. 现随机地取一个箱子,再从这个箱子中取出一个球,这个球为白球的概率为A、53/120B、5/6C、31/37D、1/4答案: A6.地铁列车的运行间隔时间为2分钟,某旅客可能在任意时刻进入月台,求他侯车时间X的方差为A、1/3B、1/2C、1/4D、1/5二、 判断题答案: A7.设X-B(n ,p ),则有A 、E (2x-1)=2npB 、D (2x-1)=4np (1-p )C 、E (2x+1)=4np+1D 、D (2x+1)=4np (1-p )+1答案: B8.设X~N (2,9),Y~N(2,1),E(XY)=6,则D(X-Y)之值为A 、14B 、6C 、12D 、4答案: B1.设A 、B 是Ω中的随机事件,必有P(A-B)=P(A)-P(B)A 、正确B 、错误答案: 正确2.A 、正确B 、错误答案: 错误3.设A 、B 是Ω中的随机事件,则A ∪B=A ∪AB ∪BA 、正确B 、错误答案: 错误4.A 、正确B 、错误答案: 正确5.A 、正确B 、错误答案: 正确6.假设检验基本思想的依据是小概率事件原理三、 名词解释四、 计算题A 、正确B 、错误答案: 正确7.A 、正确B 、错误答案: 错误8.若X 服从二项分布b(k;n,p),则EX=pA 、正确B 、错误答案: 错误9.A 、正确B 、错误答案: 正确10.A 、正确B 、错误答案: 正确1.取伪错误:答案: 原假设本来是错误的,但由于ɑ取值较小,反而接受了它,称取伪错误 2.中心极限定理:答案: 概率论中讨论随机变量序列部分和分布渐近于正态分布的一类定理1.答案:。
概率论与数理统计期末考试试卷答案

概率论与数理统计期末考试试卷答案一、选择题(每题5分,共25分)1. 下列事件中,不可能事件是()A. 抛掷一枚硬币,正面朝上B. 抛掷一枚硬币,正面和反面同时朝上C. 抛掷一枚骰子,出现7点D. 抛掷一枚骰子,出现1点答案:C2. 设A、B为两个事件,若P(A-B)=0,则下列选项正确的是()A. P(A) = P(B)B. P(A) ≤ P(B)C. P(A) ≥ P(B)D. P(A) = 0答案:B3. 设随机变量X服从二项分布B(n, p),则下列结论正确的是()A. 当n增加时,X的期望值增加B. 当p增加时,X的期望值增加C. 当n增加时,X的方差增加D. 当p增加时,X的方差减少答案:B4. 设X~N(μ, σ^2),下列选项中错误的是()A. X的期望值E(X) = μB. X的方差D(X) = σ^2C. X的概率密度函数关于X = μ对称D. 当σ增大时,X的概率密度函数的峰值减小答案:D5. 在假设检验中,显著性水平α表示()A. 原假设为真的情况下,接受原假设的概率B. 原假设为假的情况下,接受原假设的概率C. 原假设为真的情况下,拒绝原假设的概率D. 原假设为假的情况下,拒绝原假设的概率答案:C二、填空题(每题5分,共25分)6. 设A、B为两个事件,P(A) = 0.5,P(B) = 0.6,P(A∩B) = 0.3,则P(A-B) = _______。
答案:0.27. 设随机变量X服从泊松分布,已知P(X=1) = 0.2,P(X=2) = 0.3,则λ = _______。
答案:1.58. 设随机变量X~N(μ, σ^2),若P(X<10) = 0.2,P(X<15) = 0.8,则μ = _______。
答案:12.59. 在假设检验中,若原假设H0为μ=10,备择假设H1为μ≠10,显著性水平α=0.05,则接受原假设的临界值是_______。
答案:9.5或10.510. 设X、Y为两个随机变量,若X与Y相互独立,则下列选项正确的是()A. E(XY) = E(X)E(Y)B. D(X+Y) = D(X) + D(Y)C. D(XY) = D(X)D(Y)D. 上述选项都正确答案:D三、解答题(每题25分,共100分)11. 设某班有50名学生,其中有20名男生,30名女生。
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2008- 2009 学年第1学期概率论与数理统计(46 学时 ) A一、单项选择题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分)。
1、 A、 B 为两个随机事件,若P( AB)0 ,则( A) A、 B 一定是互不相容的;(B)AB一定是不可能事件;(C) AB 不一定是不可能事件;(D)P( A)0或 P(B)0 .Y 0 1 22、二维离散型随机变量( X ,Y)的分布律为X1 1/6 1/3 02 1/4 1/6 1/12F ( x, y) 为 ( X ,Y) 的联合分布函数,则F (1.5,1.5)等于(A)1/6 ;(B)1/2 ;(C)1/3 ;( D)1/4.3、 X、 Y 是两个随机变量,下列结果正确的是(A)若E( XY)EXEY ,则X、Y独立;(B)若 X、Y 不独立 , 则 X、Y 一定相关;(C)若 X、Y 相关, 则 X、Y 一定不独立;(D)若D(X Y) DX DY ,则X、Y独立.4、总体 X ~ N ( , 2 ), , 2均未知, X 1, X 2 ,L , X n 为来自 X 的一个简单样本,X 为样本 均值, S 2 为样本方差。
若 的置信度为 0.98的置信区间为 (X c S n , X c S n ) ,则常数 c 为( A )t 0.01 (n 1) ;( ) 0.01 (n) ;B t( C )t0.02(n 1) ;( )(n) .D t 0.025、随机变量 X 1, X 2 ,L , X n 独立且都服从 N (2,4)__1 n分布,则 XX i 服从n i1(A ) N (0,1) ;(B ) N (2,4 n) ;(C ) N (2 n, 4n) ;(D ) N(2, 4) .n二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分)。
6、已知 A 、 B 为两个随机事件 ,若 P( A) 0.6, P( AB) 0.1,则 P( A | AB) =1.7、已知随机变量 X 服从区间 (0, 2) 上的均匀分布,则 E(2X) =( ).8、已知连续型随机变量 X 的概率密度函数为 f (x)2 x,0 x 1,则概率 P(| X | 1 2) =0,其它( ) .9、随机变量 X : b(3, 1 ), Y : b(3, 2 ) ,且 X ,Y 独立,则 D(X Y) =() .3310 、 已 知 随 机 变 量 X i , i 1,2,3 相互独立,且都服从 N(0,9)分布,若随机变量Y a( X 12X 22 X 32) :2(3) ,则常数 a =( ).三、解答题(本大题共 6 小题,每小题 10 分,共 60 分)。
概率论与数理统计题库及答案

概率论与数理统计题库及答案一、单选题1. 在下列数组中,( )中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布.(A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 21,21,21,21- (D) 161,81,41,212. 下列数组中,( )中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布.(A) 41414121(B)161814121(C)1631614121 (D)81834121-3. 设连续型随机变量X 的密度函数⎩⎨⎧<<=,,0,10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是( ).(A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 21)21(=<X P (D) 21)21(=>X P4. 若)(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数,则等式( )成立.(A) X a P <(≤⎰∞+∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤⎰=bax x F b d )()(C) X a P <(≤⎰=bax x f b d )() (D) X a P <(≤⎰∞+∞-=x x f b d )()5. 设)(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数,则对任意b a <,有X a P <(≤=)b ( ). (A)⎰bax x F d )( (B)⎰bax x f d )((C) )()(a f b f - (D) )()(b F a F -6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是( ).7. 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡2.04.03.01.03210~X ,则=<)2(X P ( ). (A) 0.1 (B) 0.4 (C) 0.3 (D) 0.28. 设)1,0(~N X ,Φ)(x 是X 的分布函数,则下列式子不成立的是( ).(A) Φ5.0)0(= (B) Φ+-)(x Φ1)(=x (C) Φ=-)(a Φ)(a (D) 2)(=<a x P Φ1)(-a9. 下列数组中,不能作为随机变量分布列的是( ).(A )61,61,31,31 (B) 104,103,102,101 (C) 12141818,,, (D) 131619112,,,10. 若随机变量)1,0(~N X ,则~23-=X Y ( ).(A) )3,2(-N (B) )3,4(-N (C) )3,4(2-N (D) )3,2(2-N11. 随机变量X 服从二项分布),(p n B ,则有=)()(X E X D ( ). (A) n (B) p (C) 1- p (D)p-1112. 如果随机变量X B ~(,.)1003,则E X D X (),()分别为( ).(A) E X D X (),().==321(B) 9.0)(,3)(==X D X E(C) E X D X ().,()==033 (D) E X D X ().,().==032113. 设),(~p n B X ,2.1)(,2)(==X D X E ,则p n ,分别是( ).(A) 4.0,5 (B) 2.0,10 (C) 5.0,4 (D) 25.0,814. 设),(~p n B X ,且6.3)(,6)(==X D X E ,则=n ( ).(A) 30 (B) 20(C) 15 (D) 1015. 设)10,50(~2N X ,则随机变量( )~)1,0(N .(A)10050-X (B) 1050-X (C) 50100-X (D) 5010-X16. 对于随机事件A B ,,下列运算公式( )成立.(A) )()()(B P A P B A P +=+ (B) )()()(B P A P AB P =(C) )()()(A B P B P AB P = (D) )()()()(AB P B P A P B A P -+=+17. 下列事件运算关系正确的是( ).(A) A B BA B += (B) A B BA B += (C) A B BA B += (D) B B -=118. 设A ,B 为两个任意事件,那么与事件B A B A B A ++相等的事件是().(A) AB (B) B A + (C) A (D) B19. 设A B ,为随机事件,A 与B 不同时发生用事件的运算表示为( ).(A) A B + (B) A B + (C) AB AB + (D) A B20. 若随机事件A ,B 满足AB =∅,则结论( )成立. (A) A 与B 是对立事件 (B) A 与B 相互独立(C) A 与B 互不相容 (D) A 与B 互不相容21. 甲、乙二人射击,A B ,分别表示甲、乙射中目标,则AB 表示( )的事件.(A) 二人都没射中 (B) 至少有一人没射中 (C) 两人都射中 (D) 至少有一人射中22. 若事件A B ,的概率为6.0)(=A P ,5.0)(=B P ,则A 与B 一定( ).(A) 相互对立 (B) 相互独立 (C) 互不相容 (D) 相容23. 设A ,B 为两个任意事件,则P (A +B ) =( ).(A) P (A ) + P (B ) (B) P (A ) + P (B ) - P (A )P (B ) (C) P (A ) + P (B ) - P (AB ) (D) P (AB ) – [P (A ) + P (B ) ]24. 对任意两个任意事件A B ,,等式( )成立.(A) P AB P A P B ()()()= (B) P A B P A P B ()()()+=+ (C) P A B P A P B ()()(())=≠0 (D) P AB P A P B A P A ()()()(())=≠025. 设A ,B 是两个任意事件,则下列等式中( )是不正确的.(A) )()()(B P A P AB P =,其中A ,B 相互独立 (B) )()()(B A P B P AB P =,其中0)(≠B P (C) )()()(B P A P AB P =,其中A ,B 互不相容 (D) )()()(A B P A P AB P =,其中0)(≠A P26. 若事件A 与B 互斥,则下列等式中正确的是( ). (A) P AB P A P B ()()()= (B) P B P A ()()=-1(C) P A P A B ()()= (D) P A B P A P B ()()()+=+27. 设A ,B 为两个任意事件,则下列等式成立的是( ).(A) B A B A +=+ (B) B A AB ⋅= (C) B A B B A +=+ (D) B A B B A +=+28. 设A B ,为随机事件,下列等式成立的是( ).(A) )()()(B P A P B A P -=- (B) )()()(B P A P B A P +=+ (C) )()()(B P A P B A P +=+ (D) )()()(AB P A P B A P -=-29. 甲、乙两人各自考上大学的概率分别为0.7,0.8,则甲、乙两人同时考上大学的概率为( ).(A) 0.56 (B) 0.50 (C) 0.75 (D) 0.9430. 若A B ,满足( ),则A 与B 是对立事件.(A) 1)(=+B A P (B) A B U AB +==∅, (C) P A B P A P B ()()()+=+ (D) P AB P A P B ()()()=31. 若A 与B 相互独立,则等式( )成立.(A) P A B P A P B ()()()+=+ (B) P AB P A ()()=(C) P A B P A ()()= (D) P AB P A P B ()()()=32. 设n x x x ,,,21 是正态总体),(2σμN (2σ已知)的一个样本,按给定的显著性水平α检验0H :0μμ=(已知);1H :0μμ≠时,判断是否接受0H 与( )有关. (A) 样本值,显著水平α (B) 样本值,样本容量(C) 样本容量n ,显著水平α (D) 样本值,样本容量n ,显著水平α33. 假设检验时,若增大样本容量,则犯两类错误的概率( ). (A) 有可能都增大 (B) 有可能都减小(C) 有可能都不变 (D) 一定一个增大,一个减小34. 从正态总体),(2σμN 中随机抽取容量为n 的样本,检验假设0H :,0μμ=1H :0μμ≠.若用t 检验法,选用统计量t ,则在显著性水平α下的拒绝域为( ). (A) )1(-<n t t α (B) t ≥)1(1--n t α (C) )1(->n t t α (D) )1(1--<-n t t α35. 在对单正态总体N (,)μσ2的假设检验问题中,T 检验法解决的问题是( ).(A) 已知方差,检验均值 (B) 未知方差,检验均值 (C) 已知均值,检验方差 (D) 未知均值,检验方差36. 对正态总体),(2σμN 的假设检验问题中,U 检验解决的问题是( ).(A) 已知方差,检验均值 (B) 未知方差,检验均值 (C) 已知均值,检验方差 (D) 未知均值,检验方差37. 设n x x x ,,,21 是正态总体),(2σμN 的一个样本,2σ是已知参数,μ是未知参数,记∑==ni i x n x 11,函数)(x Φ表示标准正态分布)1,0(N 的分布函数,975.0)96.1(=Φ,900.0)28.1(=Φ,则μ的置信水平为0.95的置信区间为( ).(A) (x -0.975n σ,x +0.975nσ) (B) (x -1.96n σ,x +1.96n σ)(C) (x -1.28nσ,x +1.28nσ) (D) (x -0.90nσ,x +0.90nσ)38. 设321,,x x x 是来自正态总体N (,)μσ2的样本,则μ的无偏估计是( ).(A)3321x x x -+ (B) 321x x x -+(C) 321x x x ++ (D) 321x x x --39. 设x x x n 12,,, 是来自正态总体N (,)μσ2的样本,则( )是μ无偏估计.(A) 321x x x ++ (B)321525252x x x ++ (C) 321515151x x x ++ (D) 321535151x x x ++40. 设21,x x 是取自正态总体)1,(μN 的容量为2的样本,其中μ为未知参数,以下关于μ的估计中,只有( )才是μ的无偏估计.(A) 213432x x + (B) 214241x x + (C) 214143x x - (D)215352x x +41. 设总体X 的均值μ与方差2σ都存在,且均为未知参数,而n x x x ,,,21 是该总体的一个样本,记∑==ni i x n x 11,则总体方差2σ的矩估计为( ).(A) x (B) ∑=-ni i x n 12)(1μ(C) ∑=-n i i x x n 12)(1 (D) ∑=n i i x n 12142. 设n x x x ,,,21 是来自正态总体22,)(,(σμσμN 均未知)的样本,则( )是统计量.(A) 1x (B) μ+x (C)221σx (D)1x μ43. 对来自正态总体X N ~(,)μσ2(μ未知)的一个样本X X X 123,,,∑==3131i i X X ,则下列各式中( )不是统计量. (A ) X (B)∑=31i iX(C) ∑=-312)(31i i X μ (D) ∑=-312)(31i i X X44. 设X 是连续型随机变量,其密度函数为⎩⎨⎧∉∈=],,1(,0],,1(,ln )(b x b x x x f 则常数b =( ).(A) e (B) e + 1 (C) e – 1 (D) e 245. 随机变量)21,3(~B X ,则X P (≤=)2( ).(A) 0 (B) 81(C)21 (D) 8746. 设),2(~2σN X ,已知2(P ≤X ≤4.0)4=,则X P (≤=)0( ).(A) 0.4 (B) 0.3 (C) 0.2 (D) 0.147. 已知)2,2(~2N X ,若)1,0(~N b aX +,那么( ).(A) 2,2-==b a (B) 1,2-=-=b a (C) 1,21-==b a (D) 2,21==b a48. 设随机变量X 的密度函数为f x (),则E X ()2=( ).(A) xf x x ()-∞+∞⎰d (B)x x f x d )(2⎰∞+∞-(C)x x xf d )(2⎰∞+∞- (D)(())()x E X f x x --∞+∞⎰2d49. 若随机变量X 的期望和方差分别为)(X E 和)(X D ,则等式( )成立.(A) )]([)(X E X E X D -= (B) 22)]([)()(X E X E X D += (C) )()(2X E X D = (D) 22)]([)()(X E X E X D -=50. 设随机变量X 服从二项分布B (n , p ),已知E (X )=2.4, D (X )=1.44,则( ). (A) n = 8, p =0.3 (B) n = 6, p =0.6 (C) n = 6, p =0.4 (D) n = 24, p =0.1二、证明题1. 试证:已知事件A ,B 的概率分别为P (A ) = 0.3,P (B ) = 0.6,P (B A +) = 0.1,则P (AB ) =0.2. 试证:已知事件A ,B 相互独立,则)()(1)(B P A P B A P -=+.3. 已知事件A ,B ,C 相互独立,试证)(B A +与C 相互独立.4. 设事件A ,B 的概率分别为21)(=A P ,32)(=B P ,试证:A 与B 是相容的.5. 设随机事件A ,B 相互独立,试证:B A ,也相互独立.6. 设A ,B 为随机事件,试证:)()()(AB P A P B A P -=-.7. 设随机事件A ,B 满足AB =∅,试证:P A B P B ()()+=-1.8. 设A ,B 为随机事件,试证:P A P A B P AB ()()()=-+.9. 设B A ,是随机事件,试证:)()()()(AB P B A P B A P B A P ++=+.10. 已知随机事件A ,B 满足A B ⊃,试证:)()()(B P A P B A P -=-.三、计算题1. 设B A ,是两个随机事件,已知5.0)(=A P , 4.0)(=A B P ,求)(B A P .2. 某种产品有80%是正品,用某种仪器检查时,正品被误定为次品的概率是3%,次品被误定为正品的概率是2%,设A 表示一产品经检查被定为正品,B 表示一产品确为正品,求P (A ).3. 某单位同时装有两种报警系统A 与B ,每种系统独立使用时,其有效概率9.0)(=A P ,95.0)(=B P ,在A 有效的条件下B 有效的概率为97.0)(=A B P ,求)(B A P +.4. 设A , B 是两个独立的随机事件,已知P (A ) = 0.4,P (B ) = 0.7,求A 与B 只有一个发生的概率.5. 设事件A ,B 相互独立,已知6.0)(=A P ,8.0)(=B P ,求A 与B 只有一个发生的概率.6. 假设B A ,为两事件,已知4.0)(,6.0)(,5.0)(===A B P B P A P ,求)(B A P +.7. 设随机变量)2,3(~2N X ,求概率X P <-3(≤)5 (已知Φ3841.0)1(=,Φ7998.0)3(=φ).8. 设A , B 是两个随机事件,已知P (A ) = 0.6,P (B ) = 0.8,P (A B )=0.2,求)(B A P .9. 从大批发芽率为8.0的种子中,任取4粒,问(1)4粒中恰有一粒发芽的概率是多少?(2)至少有1粒种子发芽的概率是多少?10. 已知21)(,31)(,41)(===B A P A B P A P ,求)(B A P +.11. 已知4.0)(=A P ,8.0)(=B P ,5.0)(=B A P ,求P B A ().12. 已知7.0)(=A P ,3.0)(=B P ,5.0)(=B A P ,求)(B A P .13. 已知P (B ) = 0.6,)(B A P =0.2,求)(AB P .14. 设随机变量X ~ N (3,4).求 P (1< X < 7)(Φ3841.0)1(=,Φ2977.0)2(=).15. 设)5.0,3(~2N X ,求2(P ≤X ≤)6.3.已知Φ9884.0)2.1(=,2977.0)2(=Φ.16. 设B A ,是两个随机事件,已知4.0)(=A P ,5.0)(=B P ,45.0)(=A B P ,求)(B A P +.17.已知某批零件的加工由两道工序完成,第一道工序的次品率为0.03,第二道工序的次品率为0.01,两道工序的次品率彼此无关,求这批零件的合格率.18.已知袋中有3个白球7个黑球,从中有放回地抽取3次,每次取1个,试求⑴恰有2个白球的概率;⑵有白球的概率.19. 268-16.某篮球运动员一次投篮投中篮框的概率为0.8,该运动员投篮3次,⑴求投中篮框不少于2次的概率;⑵求至少投中篮框1次的概率.20.某篮球运动员一次投篮投中篮框的概率为0.9,该运动员投篮3次,⑴求投中篮框不少于2次的概率;⑵求至少投中篮框1次的概率.21.某气象站天气预报的准确率为70%,在4次预报中,求⑴恰有3次准确的概率;⑵至少1次准确的概率.22.已知某批产品的次品率为0.1,在这批产品中有放回地抽取4次,每次抽取一件,试求⑴有次品的概率;⑵恰有两件次品的概率.23.某射手射击一次命中靶心的概率是08.,该射手连续射击5次,求:⑴命中靶心的概率;⑵至少4次命中靶心的概率.24.设箱中有3个白球2个黑球,从中依次不放回地取出3球,求第3次才取到黑球的概率.25.一袋中有10个球,其中3个黑球7个白球.今从中有放回地抽取,每次取1个,共取5次.求⑴恰有2次取到黑球的概率;⑵至少有1次取到白球的概率.26.有甲、乙两批种子,发芽率分别是0.85和0.75,在这两批种子中各随机取一粒,求至少有一粒发芽的概率.27.机械零件的加工由甲、乙两道工序完成,甲工序的次品率是0.01,乙工序的次品率是0.02,两道工序的生产彼此无关,求生产的产品是合格品的概率.28.一袋中有10个球,其中3个黑球7个白球.今从中依次无放回地抽取两个,求第2次抽取出的是黑球的概率.29. 两台车床加工同样的零件,第一台废品率是1%,第二台废品率是2%,加工出来的零件放在一起。
概率论与数理统计期末考试试卷及答案

姓名: 班级: 学号: 得分:
一.选择题(18 分,每题 3 分) 1. 如果 P ( A ) + P ( B ) > 1 ,则 事件 A 与 B 必定 ( A ) 独立; ( B ) 不独立; (C ) 相容; ( )
( D ) 不相容.
概率统计试卷 A (评分标准)
一. 选择题(15 分,每题 3 分) [ 方括弧内为 B 卷答案 ] C A C A D . . [ A D B C A ]
二. 填空题(18 分,每题 3 分) 1.
0 . 62 [ 0 . 84 ];
)
ì 1 / p , x 2 + y 2 < 1 , 设 ( X , Y ) ~ f ( x , y 则 X 与 Y 为 ) = í 其 他 . î 0 ,
)
( A ) 独立同分布的随机变量; (C ) 不独立同分布的随机变量; 4.
( B ) 独立不同分布的随机变量; ( D ) 不独立也不同分布的随机变量.
ˆ ( A) m 1 = 1 3 1 X 1 + X 2 + X 3 ; 5 10 2
1 6 1 2
)
ˆ 2 = ( B ) m
1 2 4 X 1 + X 2 + X 3 ; 3 9 9 1 1 5 X 1 + X 2 + X 3 . 3 4 12
域为( ) a = 0. 1
2 2 2 2 ( A) c 2 £ c 0 n ) ; ( B ) c 2 ³ c 0 n ) ; (C ) c 2 £ c 0 n ) ; ( D ) c 2 ³ c 0 n ) . . 1 ( . 1 ( . 05 ( . 05 (
《概率论与数理统计》练习题试卷及答案解析

《概率论与数理统计》练习题试卷及答案解析一.单项选择题(每小题2 分,共 20 分)1.某射手向一目标射击两次,A i 表示事件“第i 次射击命中目标”,i =1,2,B 表示事件“仅第一次射击命中目标”,则B =( )B A .A 1A 2 B .21A A C .21A A D .21A A 2.则( )DA .121=a B .61=a C .121=a D .41=a 3.设事件A 与B 相互独立,则有( )CA .0)(=AB P B .)()()(B P A P B A P +=C .)()()(B P A P AB P =D .)()(A P A B P =4.设随机变量X 服从正态分布),(2σμN ,则其概率密度函数的最大值为( )D A .0 B .1 C .π21 D .212)2(-πσ5. 设随机变量X 与Y 互相独立, 且X ~),,(211σa N Y ~),,(222σa N 则Y X Z +=仍服从正态分布,且( ) DA . Z ~),(22211σσ+a N B . Z ~),(2121σσa a N +C . Z ~),(222121σσa a N + D . Z ~),(222121σσ++a a N6.设随机变量X 服从[-1,2]上的均匀分布,则X 的概率密度)(x f 为( )AA .⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=.,0;21,31)(其他x x f B .⎩⎨⎧≤≤-=.,0;21,3)(其他x x fC .⎩⎨⎧≤≤-=.,0;21,1)(其他x x fD . ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=.,0;21,31)(其他x x f7.设,21X X ,3X 是总体~X ()2,σμN 的样本,则μ的无偏估计量是( )AA .3212110351X X X ++ B .321316131X X X ++ C .3211274131X X X ++ D .3211513151X X X ++8.某店有7台电视机,其中2台为次品,今从中随机地抽取3台,设X 为其中次品数,则数学期望EX =( )D A .73 B .74 C .75 D .76 9.设总体X ~N (2,σμ),X 1,X 2,…,X 10为来自总体X 的样本,X 为样本均值,则X ~( )CA .)10(2σμ,N B .)(2σμ,N C .)10(2σμ,N D .)10(2σμ,N 10.在假设检验中,H 0为原假设,H 1为备择假设,则第一类错误是( )BA. H 1成立,拒绝H 0B. H 0成立,拒绝H 0C. H 1成立,拒绝H 1D. H 0成立,拒绝H 1 二.填空题(每空 2 分,共 20 分)1.连续抛一枚均匀硬币4次,则正面至少出现一次的概率为___________.1615 2.设A ,B 为互不相容的两个随机事件,P (A )=0.3,P (B )=0.4,则)(B A P ⋃)=________.0.73.设随机变量X 的概率密度⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=,,0;10,A )(2其他x x x f 则常数A=_________.34.设随机变量X 是服从区间(μ,2)上的均匀分布,且1=EX ,则μ= . 1 5.设X 为连续随机变量,c 为一个常数,则P {X =c }=____________.06.设随机变量X 服从二项分布),(p n B ,且,44.1,4.2==DX EX 则二项分布的参数p = . 0.47.10X =E ,4=DX ,若{}04.010≤≥-c X P ,则常数c = . 108.已知E (X )=1,E (Y )=2,E (XY )=3,则X ,Y 的协方差Cov (X ,Y )=_____________.2 9.设二维随机变量(X,Y)的分布律为则P{XY=0}=___________。
《概率论与数理统计》期末复习试卷4套+答案

1、(10分)甲箱中有 个红球, 个黑球,乙箱中有 个黑球, 个红球,先从甲箱中随机地取出一球放入乙箱。混合后,再从乙箱取出一球,
(1)求从乙箱中取出的球是红球的概率;
(2)若已知从乙箱取出的是红球,求从甲箱中取出的是黑球的概率;
2、(8分)设二维随机变量的联合概率密度为:
求关于 的边缘概率密度,并判断 是否相互独立?
7、(8分)设有一种含有特殊润滑油的容器,随机抽取9个容器,测其容器容量的样本均值为10.06升,样本标准差为0.246升,在 水平下,试检验这种容器的平均容量是否为10升?假设容量的分布为正态分布。
( , )
第二套
一、 判断题(2分 5)
1、设 , 是两事件,则 。()
2、若 是离散型随机变量,则随机变量 的取值个数一定为无限个。()
2、(8分)设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为:
求边缘概率密度 ,并判断 与 是否相互独立?
3、(8分)设随机变量 的分布函数为:
求:(1) 的值;
(2) 落在 及 内的概率;
4、(8分)设随机变量 在 服从均匀分布,求 的概率密度;
5、(10分)设 及 为 分布中 的样本的样本均值和样本方差,求 ( )
第一套
一、 判断题(2分 5)
1、设 , 是两事件,则 。()
2、若随机变量 的取值个数为无限个,则 一定是连续型随机变量。()
3、 与 独立,则 。()
4、若 与 不独立,则 。()
5、若 服从二维正态分布, 与 不相关与 与 相互独立等价。()
二、选择题(3分 5)
1、对于任意两个事件 和 ()
5、袋中有5个球(3个新,2个旧),每次取一个,无放回地抽取两次,则第二次取到新球的概率是( )
概率论与数理统计期末考试试题及解答

概率论与数理统计期末考试试题及解答概率论与数理统计》期末试题一、填空题(每小题3分,共15分)1.设事件A,B仅发生一个的概率为0.3,且P(A)+P(B)=0.5,则A,B至少有一个不发生的概率为0.9.解:由题意可得P(AB+AB)=0.3,即0.3=P(AB)+P(AB)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=0.5-2P(AB),所以P(AB)=0.1,P(A∪B)=P(AB)=1-P(AB)=0.9.2.设随机变量X服从泊松分布,且P(X≤1)=4P(X=2),则P(X=3)=1-e^(-6)。
解:由P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=e^(-λ)+λe^(-λ),P(X=2)=λ^2e^(-λ)/2,且P(X≤1)=4P(X=2),可得λ=1,因此P(X=3)=λ^3e^(-λ)/3!=1-e^(-6)。
3.设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布,则随机变量Y=X在区间(0,4)内的概率密度为f_Y(y)=1/2,0<y<2;f_Y(y)=1,2<y<4;其它为0.解:设Y的分布函数为F_Y(y),X的分布函数为F_X(x),密度为f_X(x),则F_Y(y)=P(Y≤y)=P(X≤y)=P(-y≤X≤y)=F_X(y)-F_X(-y)。
因为X~U(0,2),所以F_X(-y)=0,即F_Y(y)=F_X(y)。
又因为f_Y(y)=F_Y'(y)=f_X(y),所以f_Y(y)=1/2,0<y<2;f_Y(y)=1,2<y<4;其它为0.另解:在(0,2)上函数y=x严格单调,反函数为h(y)=y,所以f_Y(y)=f_X(y)/h'(y)=f_X(y)/2y=1/2,0<y<2;f_Y(y)=f_X(y)/h'(y)=f_X(y)/2y=1,2<y<4;其它为0.4.设随机变量X,Y相互独立,且均服从参数为λ的指数分布,P(X>1)=e^(-2),则λ=2,P{min(X,Y)≤1}=1-e^(-2)。
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n05——06一.填空题(每空题2分,共计60分)1、A 、B 是两个随机事件,已知0.3)B (p ,5.0)(,4.0)A (p ===A B P ,则=)B A (p 0.6 ,=)B -A (p 0.1 ,)(B A P ⋅= 0.4 , =)B A (p 0.6。
2、一个袋子中有大小相同的红球6只、黑球4只。
(1)从中不放回地任取2只,则第一次、第二次取红色球的概率为: 1/3 。
(2)若有放回地任取2只,则第一次、第二次取红色球的概率为: 9/25 。
(3)若第一次取一只球观查球颜色后,追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后,再取第二只,则第一次、第二次取红色球的概率为: 21/55 。
3、设随机变量X 服从B (2,0.5)的二项分布,则{}=≥1X p 0.75, Y 服从二项分布B(98, 0.5), X 与Y 相互独立, 则X+Y 服从 B(100,0.5),E(X+Y)= 50 ,方差D(X+Y)= 25 。
4、甲、乙两个工厂生产同一种零件,设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1、0.15.现从由甲厂、乙厂的产品分别占60%、40%的一批产品中随机抽取一件。
(1)抽到次品的概率为: 0.12 。
(2)若发现该件是次品,则该次品为甲厂生产的概率为: 0.5 . 5、设二维随机向量),(Y X 的分布律如右,则=a 0.1,=)(X E 0.4,Y X 与的协方差为: - 0.2 ,2Y X Z +=的分布律为:6、若随机变量X ~)4 ,2(N 且8413.0)1(=Φ,9772.0)2(=Φ,则=<<-}42{X P 0.8185 ,(~,12N Y X Y 则+= 5 , 16 )。
7、随机变量X 、Y 的数学期望E(X)= -1,E(Y)=2, 方差D(X)=1,D(Y)=2, 且X 、Y 相互独立,则:=-)2(Y X E - 4 ,=-)2(Y X D 6 。
8、设2),(125===Y X Cov Y D X D ,)(,)(,则=+)(Y X D 309、设261,,X X 是总体)16,8(N 的容量为26的样本,X 为样本均值,2S 为样本方差。
则:~X N (8 , 8/13 ),~16252S )25(2χ,~52/8s X - )25(t 。
10、假设检验时,易犯两类错误,第一类错误是:”弃真” ,即H 0 为真时拒绝H 0, 第二类错误是:“取伪”错误。
一般情况下,要减少一类错误的概率,必然增大另一类错误的概率。
如果只对犯第一类错误的概率加以控制,使之<a , 而不考虑犯第二类错误的概率,这种检验称为: 显著性 检验。
二、(6分)已知随机变量X 的密度函数⎩⎨⎧≤≤=其它 ,010 ,)(2x ax x f求:(1)常数a , (2))5.15.0(<<X p (3)X 的分布函数F (x )。
解:(1)由⎰+∞∞-==3,1)(a dx x f 得 2’(2) )515.0(⋅<<X p =⎰⎰==5..15.015.02875.03)(dx x dx x f 2’ (3) ⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤=x x x 0x x F 1 , 110 , 0)(3 2’三、(6分)设随机变量(X ,Y )的联合概率密度为:⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它 , 010,10,2),(y x y y x f求:(1)X ,Y 的边缘密度,(2)讨论X 与Y 的独立性。
解:(1) X ,Y 的边缘密度分别为:⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==⎰⎰⎰∞+∞-其他,,其他010 22)()(01012)(1010y y ydx dx y x f y f x ydy x f Y X 4’(2)由(1)可见)()(),(y f x f y x f Y X ⋅=, 可知: X ,Y 相互独立 2’ 四、(8分)设总体X~N (0,2σ),。
n X X ,...,1是一个样本,求2σ的矩估计量,并证明它为2σ的无偏估计。
解: X 的二阶矩为:22)(σ=X E 1‘X 的二阶样本矩为∑==n k i X n A 1221 1’令: 22)(A X E =, 1’解得:2121i nk X n ∑==σ ,2σ的矩估计量2121i nk X n ∑==σ 2’σσ==∑=)1()ˆ(212i nk X n E E , 它为2σ的无偏估计量. 3’ 五、(10分) 从总体X ~) ,(2σu N 中抽取容量为16的一个样本,样本均值和样本方差分别是4,752==S X , 5.27)15(,26.6)15(,1315.2)15(2597.02502.0597.0===x x t 求u 的置信度为0.95的置信区间和2σ 的置信度为0.95的置信区间。
解: (1)n=16,置信水平025.02/,95.01==-αα,,1315.2)15(597.0=t4,752==S X 由此u 的置信水平为0.95的置信区间为:)1315.216275(⨯±, 即)0658.175(± 5’(2) n=16,置信水平025.02/,95.01==-αα,5.27)15(,26.6)15(2597.02502.0==x x42=S 由此2σ的置信水平为0.95的置信区间为:)585.9,182.2())15(415,)15(415(2025.02597.0=χ⨯χ⨯ 5’ 六 、 (10分)设某工厂生产工件的直径服从正态分布,要求它们的均值25.0,82≤=σu ,现检验了一组由16只工件,计算得样本均值、样本方差分别49.0,65.72==s x ,试在显著水平05.0=α下,对该厂生产的工件的均值和方差进行检验,看它们是否符合标准。
此题中,,5.27)15(,25)15(,13.2)15(,76.1)15(2025.0205.0025.05.0====χχt t解:(1)首先对工件的均值进行检验: H 0: 8:,81≠=u H u 1分 取统计量为16/8s X t -=, 可得拒绝域为: }13.2)15(16/8{025.0=≥-=t s X t , 2分经计算, 13.224/7.0865.716/8<=-=-=s x t ,不在拒绝域内,因此接受H 0.认为这批工件的均值符合标准。
2分 其次首先对工件的方差进行检验: H 0: 221225.0:,5.0>≤σσH 1分取统计量为2225.0)116(s -=χ, 可得拒绝域为: }25)15(5.049.015{205.022=≥⨯=χχ 2分 经计算, 254.295.0)116(222>=-=s χ,在拒绝域内,因此拒绝H 0.认为这批工件的方差不符合标准。
2分XX 大学(本科)试卷( B 卷)2005 -2006 学年第一学期一. 填空题(每小题2分,共计60分)1. 设随机试验E 对应的样本空间为S 。
与其任何事件不相容的事件为 不可能事件, 而与其任何事件相互独立的事件为 必然事件;设E 为等可能型试验,且S 包含10个样本点,则按古典概率的定义其任一基本事件发生的概率为 1/10。
2.3.0)(,4.0)(==B P A P 。
若A 与B 独立,则=-)(B A P 0。
28 ;若已知B A ,中至少有一个事件发生的概率为6.0,则=-)(B A P 0.3,=)(B A P 1/3 。
3、一个袋子中有大小相同的红球5只黑球3只,从中不放回地任取2只,则取到球颜色不同的概率为: 15/28。
若有放回地回地任取2只,则取到球颜色不同的概率为: 15/32 。
4、1)()(==X D X E 。
若X 服从泊松分布,则=≠}0{X P 11--e ;若X 服从均匀分布,则=≠}0{X P0 。
5、设),(~2σμN X ,且3.0}42{ },2{}2{=<<≥=<X P X P X P ,则=μ 2 ;=>}0{X P0.8 。
6、某体育彩票设有两个等级的奖励,一等奖为4元,二等奖2元,假设中一、二等奖的概率分别为0.3和0.5, 且每张彩票卖2元。
是否买此彩票的明智选择为: 买 (买,不买或无所谓)。
7、若随机变量X )5,1(~U ,则{}=40〈〈X p 0.75 ;=+)12(X E __7___, =+)13(X D 12 .8、设44.1)(,4.2)(),,(~==X D X E p n b X ,则==}{n X P 34.0,并简化计算=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑k k k k k 66026.04.062.7)4.06(6.04.062=⨯+⨯⨯。
9、随机变量X 、Y 的数学期望E(X)= -1,E(Y)=2, 方差D(X)=1,D(Y)=2, 且X 、Y 相互独立,则:=-)2(Y X E -4 ,=-)2(Y X D 6 。
10、设161,,X X 是总体)4,20(N 的容量为16的样本,X 为样本均值,2S 为样本方差。
则:~X N (20, 1/4 ),{}120>-X p = 0.0556 ,~16152S )15(2χ,~51/20s X - t(15)。
此题中9772.0)2(=Φ。
11、随机变量X 的概率密度⎩⎨⎧≤>=-0 ,00 ,)(x x e x f x λλ ,则称X 服从指数分布,=)(X E λ1。
12、做假设检验时,容易犯两类错误,第一类错误是:”弃真” ,即H 0 为真时拒绝H 0, 第二类错误是: 取伪 错误。
一般情况下,要减少一类错误的概率,必然 增加 另一类错误的概率。
如果只对犯第一类错误的概率加以控制,使之《a , 而不考虑犯第二类错误的概率,这种检验称为显著性检验,a 称为 显著水平。
13、设二维随机向量),(Y X 的分布律是:则X 的方差=)(X D 0.21 ;Y X 与的相关系数为:=XY ρ 3/7 。
二、 (7分)甲、乙、丙三个工厂生产同一种零件,设甲厂、乙厂、丙厂的次品率分别为0.2,0.1,0.3.现从由甲厂、乙厂、丙厂的产品分别占15%,80%,5%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,求该次品为甲厂生产的概率. 解:设321A ,A ,A 分别表示产品取自甲、乙、丙厂,有: %5)P(A 80%,)A (P %,15)p(A 321=== 2’B 表示取到次品,3.0)A B P(0.1,)A B (P ,2.0)A p(B 321===, 2’由贝叶斯公式:)B A (p 1=24.0)()(/)()(3111=⋅⋅∑=k k k A B P A p A B P A p (4’ 三、(7分)已知随机变量X 的密度函数⎩⎨⎧≤≤=其它 ,010,)(x ax x f求:(1)常数a , (2))5.00(<<X p (3)X 的分布函数F (x )。