浅谈解析几何中简化运算的常用策略
解析几何化减技巧
解析几何化减技巧解析几何是数学中一个重要的分支，它研究的是几何对象（如点、线、面）在坐标系中的表示和变换。
在解析几何中，我们经常需要化简一些复杂的表达式或方程，以提高计算的效率和准确性。
以下是一些常用的解析几何化简技巧：1. 代数运算：这是最基本的方法，包括加、减、乘、除、乘方等。
例如，对于两个向量的点积，我们可以使用分配律和结合律进行化简。
2. 坐标变换：如果我们有一个表达式涉及到多个坐标点或向量，我们可以考虑使用坐标变换来简化这个表达式。
例如，如果我们有两个参考系，并且知道它们之间的转换关系，我们就可以将一个坐标点从一种参考系转换到另一种参考系。
3. 向量运算：向量运算（如加法、数乘、点积、叉积等）在解析几何中非常常见。
理解这些运算的性质和规则可以帮助我们更有效地进行化简。
4. 矩阵运算：在解析几何中，矩阵经常被用来表示变换（如旋转、平移、缩放等）。
理解矩阵的运算法则（如乘法、转置、逆等）可以帮助我们更有效地进行化简。
5. 参数方程：对于一些复杂的几何形状（如椭圆、抛物线、双曲线等），我们经常使用参数方程来表示它们。
参数方程可以将一个复杂的几何问题转化为一个简单的代数问题，从而更容易进行化简。
6. 极坐标与直角坐标转换：在解析几何中，极坐标和直角坐标是两种常用的坐标系。
理解这两种坐标系之间的转换关系可以帮助我们更有效地进行化简。
7. 对称性：许多几何形状和表达式都具有对称性。
利用这些对称性可以帮助我们更有效地进行化简。
8. 代数恒等式：一些基本的代数恒等式（如平方差公式、完全平方公式等）在解析几何中非常有用。
掌握这些恒等式可以帮助我们更有效地进行化简。
9. 使用软件工具：现代的数学软件工具（如 MATLAB、Geometer's Sketchpad 等）可以帮助我们更方便地进行解析几何的化简和计算。
以上就是一些常用的解析几何化简技巧。
在实际应用中，我们需要根据具体的问题和情况选择合适的方法进行化简。
解析几何简化运算的技巧探究与思考
解析几何简化运算的技巧探究与思考作者：***来源：《数学教学通讯·高中版》2020年第06期[摘要] 解析几何问题的运算量较大，常给学生的解题造成困惑，因此解题时应尽可能地采用简化运算的技巧，降低思维难度，提高解题效率. 文章深入探讨定义法、设而不求、数形转化、参数法简化运算的思路，并开展相应的教学思考.[关键词] 解析几何;简化;含义;设而不求;数形转化;参数法高中数学常将曲线置于坐标系中，利用解析式来研究其性质，这也是解析几何内容研究的重要方法. 其中的解析式可以为代数，也可以是函数、对数等，在研究曲线性质时具有一定的优势，但有时分析思路复杂、运算量过大，极大地影响解题效率，实则在解析问题时可以采用一定的简化技巧，下面举例探究.关于简化运算的技巧探究解析几何中简化运算的技巧有很多，例如常见的定义法、设而不求、数形转化、巧设参数等，实际运算时可以结合具体问题合理选用简化技巧，在确保结果正确的前提下降低思维难度.技巧一：回归定义定义是圆锥曲线的本质属性，对于某些与曲线属性相关的解析几何问题可以考虑采用定义法来转化问题，构建思路.实际解题可以结合曲线图像，在曲线定义的基础上开展性质、结论探究.例1：已知椭圆C的解析式为+=1，F1为椭圆的左焦点，直线l经过点F1且倾斜角为60°，与椭圆C的交点为A和B，如果FA=2FB，则椭圆C的离心率为__________.分析：本题目为求椭圆离心率的填空题，常规解法是联立椭圆与直线的方程，然后结合其中的等量条件进行转化. 但按照该思路求解的运算量过大，此时可以考虑回归椭圆定义，结合平面几何知识简化运算.评析：本题巧妙地利用了椭圆的定义，结合其中的几何性质构建了相应的等量关系，从而转化出椭圆的离心率，有效地降低了计算量.定义法在求解周长、面积、最值等问题中均有着广泛的应用，在实际学习时需要归总椭圆、双曲线、抛物线等曲线的核心定义，技巧二：设而不求设而不求是简化运算的常用技巧，尤其适用于解析几何中曲线与直线的相交问题. 实际求解时设出交点坐标、联立方程后，可以不求交点坐标，而利用整体思想，利用韦达定理进行整体化简，从而达到简化过程的效果.例2：已知椭圆C的解析式为4x2+9y2=36，过点P（0，3）的直线l与椭圆相交于点A和B，若以线段AB为直径的圆刚好经过坐标原点，则直线l的表达式为_______.分析：求直线l的表达式需要对直线的斜率进行讨论，斜率不存在时显然不满足条件. 若设直线表达式为y=kx+3后与椭圆方程联立，所得的方程為复杂的一元二次方程，直接求交点坐标较为复杂，此时可以采用设而不求的方法，利用韦达定理关于“根与系数”的关系来构建数式，通过整体代换来求解斜率，需注意对方程的判别式进行分析.解：设直线l的表达式为y=kx+3，与椭圆的交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），联立椭圆与直线的方程，整理可得（9k2+4）x1+54kx+45=0，有两个解，则Δ>0，即（5k2）-4×45（9k2+4）>0. 根据韦达定理可得x1+x2=-，x1·x2=. 分析可知OA⊥OB，则x1·x2+y1·y2=0，变形可得y1·y2=，所以有+=0，可解得k=±（均满足条件），则直线l的表达式为y=±x+3.评析：上述求直线斜率时充分采用了设而不求、整体代换的简化方法，从而避免了解方程的复杂运算. 该方法同样适用于求解中点弦、交点弦问题中，为确保答案正确、无漏解，在求解时需要注意两点：一是对方程判别式合理分析;二是关注直线的斜率是否存在.技巧三：数形转化数形结合是重要的数学思想，在求解解析几何问题时也可以采用数形转化的简化技巧，对于某些问题把握其中的几何特性，从图形固有的特征或采用运动的观点分析其中的变化规律，可直接提取其中的等量关系，简化过程.例3：已知☉A的解析式为x2+（y-2）2=，椭圆C的解析式为x2+4y2=4，点P和Q分别是☉A和椭圆C上的动点，则PQ的最大值为__________.分析：本题为圆锥曲线中的双动点问题，若按照常规的设点分析，必然运算量过大，此时可以采用数形转化的简化技巧，利用图形来分析其中的隐含条件.解：根据题干信息绘制图2，设点Q的坐标为（x0，y0）. 由图可知PQ=PA+AQ，其中PA与圆的半径相等，为定值，因此AQ取得最大值时PQ获得最大值.点A（0，2），AQ=，结合x2+4y2=4可得AQ=（-1≤y0≤1）. 分析可知当y0=-时，AQ取得最大值，所以PQ的最大值为+.评析：数形转化的简化技巧有两大优势：一是可使抽象的问题直观化，降低思维难度;二是有利于把握图形特性，挖掘隐含条件. 上述就是利用数形转化确定了其中的定值规律，直接将双动点问题转化为了常规的单动点问题，极大地降低了运算难度.技巧四：巧设引参参数法是简化解析几何运算常用的技巧方法，特别是对于其中的最值问题、不等式问题、斜率问题，合理引参可以将其中的核心关系联系在一起，从而激活思路，取得事半功倍的解题效果.例4：已知点A和B是椭圆+=1（a>b>0）的左、右顶点，点P位于椭圆上且不与A和B 重合，AP=OA，设直线OP的斜率为k，证明k>.分析：求证跟OP的斜率有关的不等式k>，常规的方法是将直线OP设为一般方程，即y=kx，取点P为（x0，y0），然后联立整理，可得一元二次方程，后续通过变形分析来完成证明，但该过程的运算量较大. 此时可以考虑引入椭圆的参数方程，将点P的坐标参数化，直接利用点坐标求出相关斜率，完成证明.解：根据椭圆标准方程推知其参数方程为x=acosθ，y=bsinθ，（θ为参数），可设点P坐标为（acosθ，bsinθ）（0≤θ≤2π），线段OP的中点Qcosθ，sinθ. 因为AP=OA，所以AQ⊥OP，所以kAQ·k=-1，所以bksinθ+acosθ=-2a，分析可知2a≤<，所以k>，得证.评析：上述求证斜率取值范围时引入了椭圆参数方程，避开了复杂的联立方程，根据隐含条件直接分析斜率取值.需要注意在等价变形、缩放过程中确保原题条件不变、取值范围不变.关于简化运算的解后思考“多思少算”是解析几何问题求解中倡导的思想，上述针对解析几何问题深入探究了四种常用的简化运算的技巧，实则就是根据问题特征来调整分析思路，下面开展解后思考.1. 把握问题特性，理解问题本质把握特性、理解本质是简化运算技巧选定的基础，也是后续构建解题思路的意义所在. 例1中的离心率是描述曲线特性的要素，理解其几何意义是定义法简化过程的基础;而例2采用的设而不求则是充分把握了一元二次函数中“根与系数的关系”;例3的数形结合则是从圆的特性入手，把握了半径的定值特性实现了问题降维. 因此，教学中需要教师引导学生注重读题，关注问题特征，挖掘问题本质，多思少算简化求解.2. 开展多解探究，重视总结归纳上述四道例题呈现了四种简化运算的技巧，实则是与问题的多解特性有关，上述问题的常规思路也是高中数学需要学生充分掌握的通性通法，因此开展问题多解探究是十分重要的. 通过多解探究可以深刻认识问题，同时方法的对比中可以获得类型问题的优化策略.例如上述例4在设定点坐标时可以使用椭圆的标准方程，也可以使用参数方程，显然后者更有利于求解与斜率相关的问题. 因此开展解题教学中需重视分析解题方法，引导学生养成勤思考、多总结的学习习惯.3. 渗透思想方法，提升数学素养简化运算的方法技巧中蕴含着大量的数学思想，例如上述“设而不求”中的整体思想，“数形转化”中的数形结合思想，“巧设引参”中的参数和方程思想，实际上方法背后的数学思想才是其精髓所在，也是学习简化运算技巧的重点.因此在教学中需要合理渗透思想方法，引导学生关注方法背后的思想内涵，逐步养成以思想為指引，开展问题探究的习惯.由于数学思想较为抽象，教学中可以结合教材内容进行，使学生掌握思想方法的分析策略.总之，上述阐述的四种方法技巧具有一定的代表性，在实际解题时需要指导学生灵活使用，但需谨防过度思维，造成不必要的错误. 在教学中要大力提倡“多思少算”，引导学生重视问题分析，领悟简化运算技巧的思想内涵，提升学生的数学素养.。
“设而不求”,简化运算
“设而不求”，简化运算
作者：朱建平
来源：《新高考·数学基础》2018年第07期
“设而不求”是指利用题设条件，巧妙设元，通过整体替换再消元或减元，达到运算中以简驭繁的目的的一种解题方法.它的实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用.
解析几何问题中“设而不求”的解题策略的常见方法有：设而不求整体化归、利用韦达定理、代点相减法等等.
1.利用中点坐标公式设而不求
点评利用“设而不求”，不仅可以简化计算，而且使解法灵活生动.其核心思想就是整体思想，所得结果恰好满足题意.
2.利用代点相减法设而不求
点评此题利用“点差法”和中点公式求出直线的斜率公式，解题过程思路清晰，运算简洁明快，是解析几何常用方法.
3.利用韦达定理设而不求
分析此题解法多样，处理角度也很多，通过适当转化后可以利用根与系数的关系，“设而不求，整体思想”去解决.
点评此类问题主要是通过直线与圆联立方程组，通过韦达定理利用“设而不求”思想整体代人，逐步转化为关于参数的方程或不等式问题，避免了繁琐的求解運算，也降低了出错率，是解析几何运算中最有代表性的运算方法之一.
“设而不求”是用代数方法解决问题的一个好手段.所谓设而不求，就是指在解题过程中根据需要设出变量，但是并不具体地去直接解出变量的值.它给解这一类题提供了较好的切人点和较少的运算量，此类方法是以“设”为基础，而“不求”是关键、是技巧，从而得到需要的结论，
采用设而不求的策略，往往能避免盲目推演而造成的无益的循环运算，从而达到准确、快速、简捷的解题效果，。
谈解析几何简化运算的策略
｛ － １，狔２
－ ３）， 所 以
１－狓１ ＝－λ（狓２ －１），即 ３－狔１ ＝－λ（狔２ －３），
｛狓１ －λ狓２ ＝１－λ， ①因 为犆→犙 ＝λ犙→犇，同 理 可
狔１ －λ狔２ ＝３（１－λ）．②
｛得 狓１ ＋λ狓２ ＝（１＋λ）狓，③ 狔１ ＋λ狔２ ＝（１＋λ）狔． ④
① × ③ ，得 狓２１ －λ２狓２２ ＝（１－λ２）狓．⑤
② × ④ ，得狔２１ －λ２狔２２ ＝３（１－λ２）狔．⑥
⑤ ＋ ⑥ ，得狓２１ ＋狔２１ －λ２（狓２２ ＋狔２２）＝（１－λ２）（狓
＋３狔）．因 为 点犆，犇 在 圆犗 上 ，所 以狓２ １ ＋狔２１ ＝３，狓２ ２ ＋狔２ ２ ＝３，所 以３（１－λ２）＝（１－λ２）（狓 ＋３狔）．因 为λ ≠±１，所以狓＋３狔＝３，故点犙 在定直线狓＋３狔－３＝ ０上． ２ 有效利用条件
设而不求法是 一 个 大 的 解 题 策 略，在 具 体 操 作
时为简化运算也 常 常 会 有 一 些 一 般 化 思 考．如 设 直 线方程或点的坐 标 时，根 据 具 体 的 条 件 考 虑 选 择 合
适的形式，典型 的 情 况 就 是 如 果 一 条 直 线 的 斜 率 可
能不存在但其与狓 轴 必 相 交 时，常 考 虑 把 直 线 方 程 设为狓 ＝犿狔＋犫 形式．除了一般化思考外，笔者认为 如能注意如下一 些 小 的 技 巧 的 运 用，在 解 析 几 何 运
分析 本 题 的 常 规 解 法 是 设 犘（犪，犫），再 利 用 题 中 两 个条 件 各 列 一 个 方 程，通 过 解
方程组 得 到 点 犘 的 坐 标方 程．这
样做 有 一 定 的 计 算 量，考 虑 优
图１
操千曲而晓声,观百剑而识器——简化解析几何运算的策略
时， Ａ ＝ ｝为 最 小； 将
直线 绕点 Ｐ逆 时针 旋转 至相切 （ ， 重 合 ）有 Ａ ＝ Ｉ ；回转至 Ａ （ ０ ，一 ３ ） ，Ｂ （ ０ ，３ ）有 Ａ － ５为 最大 ，故 有 Ａ ＝
— 、 Ａ（ Ｂ）
０
Ｂ（ ａ）
图 １
＼
例３ ． 椭圆内车＋ 车＝ １ 有一点Ｐ （ １ ， １ ） ， 一直线
为、 ／ 的点 的轨迹 ， 根 据圆锥 曲线 的定 义 ．此轨迹
为双曲线 ．选 Ｃ ． 点评 ：本题 采用 了 “ 回归定义”的策略 ，达到 准
确判 断、灵 活解题 、避免 大量运算的麻 烦． 其 实，很 多解析几何 问题都是 由定 义派生 出来的 ，这时理解 定
免繁琐的推理运算 ，往往事半功倍 、别样精彩．
ｆ － Ｏ ｆｌ － 成等差数列， ￣Ｂ － ｆ 与 同向， 求双曲线的 离
心率．
求 简思维是 建立在对定 义 、概念深入 理解 的基 础
上 ，掌握其本质属性 ，运用相关 的概念 、定义对问题
的定性分析和定量计算有机结合起来 ，可 以使运算过 程 简捷 明快 ，因此我们在解题 中若能 回归定义 ，则很
以事半功倍． 解 析 ：由、 ／ （ ｘ ＋ ３ ） ２ ＋ （ ｙ 一 １ ） 一 Ｉ ｘ — ｙ ＋ ３ １ ＝ ０ ，得
一
平 分 线 盼 眭 质 定 理 得 ＝ 槲 ， 再 由 等 比 性 质 可 得 ］ ＝ ＝ 斟＝
１
，
即ｔ ａ ｎ ０
，由渐近线方 程 由 ＝ ，再
我们备战高考同样如此本文笔者通过认真研究近6年来的广东高考数学选做题发现对几何证明选讲部分内容的考查多集中在与圆相关的性质定理和相似三角形相似三角形的判定和性质定理射影定理圆的切线的判定和性质定理圆周角定理弦切角定理相交弦定理割线定理切割定理圆内接四边形的性质和判定定理等知识上难度不算大一般为中等难度题目
高中数学解析几何优化计算6大技巧
解析几何优化计算6大技巧中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面．为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程．技巧一回归定义，以逸待劳回归定义的实质是重新审视概念，并用相应的概念解决问题，是一种朴素而又重要的策略和思想方法．圆锥曲线的定义既是有关圆锥曲线问题的出发点，又是新知识、新思维的生长点．对于相关的圆锥曲线中的数学问题，若能根据已知条件，巧妙灵活应用定义，往往能达到化难为易、化繁为简、事半功倍的效果．【例题】如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是()A.2B.3C.32D.62【解析】由已知，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)，设双曲线C 2的实半轴长为a ，由椭圆及双曲线的定义和已知，1|＋|AF 2|＝4，2|－|AF 1|＝2a ，1|2＋|AF 2|2＝12，解得a 2＝2，故a ＝ 2.所以双曲线C 2的离心率e ＝32＝62.【答案】D [关键点拨]本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF 1|，|AF 2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a 的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量．[对点训练]1.如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是()A.|BF |－1|AF |－1 B.|BF |2－1|AF |2－1C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1解析：选A 由题意可得S△BCFS △ACF ＝|BC ||AC |＝x B x A ＝|BF |－p 2|AF |－p 2＝|BF |－1|AF |－1.2．抛物线y 2＝4mx (m ＞0)的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，若点A (－m,0)，则|PF ||P A |的最小值为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，由抛物线的定义，知|PF |＝x P ＋m ，又|PA |2＝(x P ＋m )2＋y 2P＝(x P ＋m )2＋4mx P ，则＝(x P ＋m )2(x P ＋m )2＋4mx P ＝11＋4mx P (x P ＋m )2≥11＋4mx P (2x P ·m )2＝12(当且仅当x P ＝m 时取等号)，所以|PF ||PA |≥22，所以|PF ||PA |的最小值为22.答案：22技巧二设而不求，金蝉脱壳设而不求是解析几何解题的基本手段，是比较特殊的一种思想方法，其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少，通过设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡，设而不求．【例题】已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的标准方程为()A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，＋y 21b 2＝1，＋y 22b2＝1，①②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝b 2a 2.又k AB ＝0＋13－1＝12，所以b 2a 2＝12.又9＝c 2＝a 2－b 2，解得b 2＝9，a 2＝18，所以椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.【答案】D [关键点拨](1)本题设出A ，B 两点的坐标，却不求出A ，B 两点的坐标，巧妙地表达出直线AB 的斜率，通过将直线AB 的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．(2)在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”；②“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多．[对点训练]1．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ，若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为()A.13B.12C.23D.34解析：选A 设OE 的中点为G ，由题意设直线l 的方程为y ＝k (x ＋a )，分别令x ＝－c 与x ＝0得|FM |＝k (a －c )，|OE |＝ka ，由△OBG ∽△FBM ，得|OG ||FM |＝|OB ||FB |，即12ka k (a －c )＝a a ＋c，整理得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率e ＝13.2．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)＋y 21b2＝1，＋y 22b 2＝1，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.∵y 1－y 2x 1－x 2＝－12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴－b 2a 2＝－12，∴a 2＝2b 2.又∵b 2＝a 2－c 2，∴a 2＝2(a 2－c 2)，∴a 2＝2c 2，∴c a ＝22.即椭圆C 的离心率e ＝22.答案：22技巧三巧设参数，变换主元换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等，利用换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，达到事半功倍．常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等．在换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或改变原题条件．【例题】设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |＞3.【解析】法一：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)．kx 0，＋y 20b2＝1，消去y 0并整理，得x 20＝a 2b2k 2a 2＋b2.①由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0.而x 0≠0，于是x 0＝－2a 1＋k 2，代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k＋4.又a ＞b ＞0，故(1＋k 2)2＞4k 2＋4，即k 2＋1＞4，因此k 2＞3，所以|k |＞ 3.法二：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，得x 20a 2＋k 2x 20b2＝1.因为a ＞b ＞0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a2＜1，即(1＋k 2)x 20＜a 2.②由|AP |＝|OA |及A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a 1＋k2，代入②，得(1＋k2)·4a2(1＋k2)2＜a2，解得k2＞3，所以|k|＞ 3.法三：设P(a cosθ，b sinθ)(0≤θ＜2π)，则线段OP的中点Qθ，b2sin|AP|＝|OA|⇔A Q⊥OP⇔k A Q×k＝－1.又A(－a,0)，所以k A Q＝b sinθ2a＋a cosθ，即b sinθ－ak A Q cosθ＝2ak A Q.从而可得|2ak A Q|≤b2＋a2k2A Q＜a1＋k2A Q，解得|k A Q|＜33，故|k|＝1|k A Q|＞ 3.[关键点拨]求解本题利用椭圆的参数方程，可快速建立各点之间的联系，降低运算量．[对点训练]设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆C：(x－5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，求r的取值范围．解：当斜率不存在时，有两条，当斜率存在时，不妨设直线l的方程为x＝ty＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入抛物线y2＝4x并整理得y2－4ty－4m＝0，则有Δ＝16t2＋16m＞0，y1＋y2＝4t，y1y2＝－4m，那么x1＋x2＝(ty1＋m)＋(ty2＋m)＝4t2＋2m，可得线段AB的中点M(2t2＋m,2t)，而由题意可得直线AB与直线MC垂直，即k MC·k AB＝－1，可得2t－02t2＋m－5·1t＝－1，整理得m＝3－2t2(当t≠0时)，把m＝3－2t2代入Δ＝16t2＋16m＞0，可得3－t2＞0，即0＜t2＜3，又由于圆心到直线的距离等于半径，即d ＝|5－m |1＋t 2＝2＋2t 21＋t 2＝21＋t 2＝r ，而由0＜t 2＜3可得2＜r ＜4.故r 的取值范围为(2,4)．技巧四数形结合，偷梁换柱著名数学家华罗庚说过：“数与形本是两相倚，焉能分作两边飞．数缺形时少直观，形少数时难入微．”在圆锥曲线的一些问题中，许多对应的长度、数式等都具有一定的几何意义，挖掘题目中隐含的几何意义，采用数形结合的思想方法，可解决一些相应问题．【例题】已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．【解析】设双曲线的左焦点为F 1，根据双曲线的定义可知|PF |＝2a ＋|PF 1|，则△APF 的周长为|PA |＋|PF |＋|AF |＝|PA |＋2a ＋|PF 1|＋|AF |＝|P A |＋|PF 1|＋|AF |＋2a ，由于|AF |＋2a 是定值，要使△APF 的周长最小，则|PA |＋|PF 1|最小，即P ，A ，F 1共线，由于A (0,66)，F 1(－3,0)，则直线AF 1的方程为x －3＋y 66＝1，即x ＝y26－3，代入双曲线方程整理可得y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)，所以点P 的纵坐标为26，所以＝12×6×66－12×6×26＝12 6.【答案】126[关键点拨]要求△APF 的周长的最小值，其实就是转化为求解三角形三边长之和，根据已知条件与双曲线定义加以转化为已知边的长度问题与已知量的等价条件来分析，根据直线与双曲线的位置关系，通过数形结合确定点P 的位置，通过求解点P 的坐标进而利用三角形的面积公式来处理．[对点训练]1．椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是()A.55B.655C.855D.455解析：选C 如图所示，设椭圆的右焦点为F ′，连接MF ′，NF ′.因为|MF |＋|NF |＋|MF ′|＋|NF ′|≥|MF |＋|NF |＋|MN |，所以当直线x ＝m 过椭圆的右焦点时，△FMN 的周长最大．此时|MN |＝2b 2a ＝855，又c ＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以此时△FMN 的面积S ＝12×2×855＝855.故选C.2．设P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M ，N 分别是圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4和圆C 2：(x－4)2＋y 2＝1上的点，设|PM |－|PN |的最大值和最小值分别为m ，n ，则|m －n |＝()A ．4 B.5C ．6D ．7解析：选C 由题意得，圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4的圆心为(－4,0)，半径为r 1＝2；圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1的圆心为(4,0)，半径为r 2＝1.设双曲线x 2－y 215＝1的左、右焦点分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)．如图所示，连接PF 1，PF 2，F 1M ，F 2N ，则|PF 1|－|PF 2|＝2.又|PM |max ＝|PF 1|＋r 1，|PN |min ＝|PF 2|－r 2，所以|PM |－|PN |的最大值m ＝|PF 1|－|PF 2|＋r 1＋r 2＝5.又|PM |min ＝|PF 1|－r 1，|PN |max ＝|PF 2|＋r 2，所以|PM |－|PN |的最小值n ＝|PF 1|－|PF 2|－r 1－r 2＝－1，所以|m －n |＝6.故选C.技巧五妙借向量，无中生有平面向量是衔接代数与几何的纽带，沟通“数”与“形”，融数、形于一体，是数形结合的典范，具有几何形式与代数形式的双重身份，是数学知识的一个交汇点和联系多项知识的媒介．妙借向量，可以有效提升圆锥曲线的解题方向与运算效率，达到良好效果．【例题】如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．【解析】把y ＝b 2代入椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，可得x ＝±32a ，则－32a 而F (c,0)，则FB －32a －c FC －c 又∠BFC ＝90°，故有FB ·FC －32a －c －c c 2－34a 2＋14b 2＝c 2－34a 2＋14(a 2－c 2)＝34c 2－12a 2＝0，则有3c 2＝2a 2，所以该椭圆的离心率e ＝c a ＝63.【答案】63[关键点拨]本题通过相关向量坐标的确定，结合∠BFC ＝90°，巧妙借助平面向量的坐标运算来转化圆锥曲线中的相关问题，从形入手转化为相应数的形式，简化运算．[对点训练]设直线l 是圆O ：x 2＋y 2＝2上动点P (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)处的切线，l 与双曲线x 2－y 22＝1交于不同的两点A ，B ，则∠AOB 为()A ．90° B.60°C ．45°D ．30°解析：选A ∵点P (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)在圆O ：x 2＋y 2＝2上，∴x 20＋y 20＝2，圆在点P (x 0，y 0)处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝2.2－y 22＝1，0x ＋y 0y ＝2及x 20＋y 20＝2得(3x 20－4)x 2－4x 0x ＋8－2x 20＝0.∵切线l 与双曲线交于不同的两点A ，B ，且0＜x 20＜2，∴3x 20－4≠0，且Δ＝16x 20－4(3x 20－4)·(8－2x 20)＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4x 03x 20－4，x 1x 2＝8－2x 203x 20－4∵OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋1y 20(2－x 0x 1)(2－x 0x 2)＝x 1x 2＋12－x 20[4－2x 0(x 1＋x 2)＋x 2x 1x 2]＝8－2x 203x 20－4＋12－x 204－8x 203x 20－4＋x 20(8－2x 20)3x 20－4＝0，∴∠AOB ＝90°.技巧六巧用“根与系数的关系”某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系．后者往往计算量小，解题过程简捷．【例题】已知椭圆x 24＋y 2＝1的左顶点为A ，过A 作两条互相垂直的弦AM ，AN 交椭圆于M ，N 两点．(1)当直线AM 的斜率为1时，求点M 的坐标；(2)当直线AM 的斜率变化时，直线MN 是否过x 轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．【解析】(1)直线AM 的斜率为1时，直线AM 的方程为y ＝x ＋2，代入椭圆方程并化简得5x 2＋16x ＋12＝0.解得x 1＝－2，x 2＝－65，所以－65，(2)设直线AM 的斜率为k ，直线AM 的方程为y ＝k (x ＋2)，k (x ＋2)，y 2＝1，化简得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0.则x A ＋x M ＝－16k 21＋4k2，x M ＝－x A －16k 21＋4k 2＝2－16k 21＋4k 2＝2－8k 21＋4k2.同理，可得x N ＝2k 2－8k 2＋4.由(1)知若存在定点，则此点必为－65，证明如下：因为k MP ＝y M x M ＋65＝2－8k 21＋4k 2＋65＝5k 4－4k 2，同理可得k PN ＝5k 4－4k2.所以直线MN 过x 轴上的一定点－65，[关键点拨]本例在第(2)问中可应用根与系数的关系求出x M ＝2－8k 21＋4k2这体现了整体思想．这是解决解析几何问题时常用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量．[对点训练]已知椭圆C ：x2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且经过点右焦点分别为F 1，F 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的内切圆半径为327，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．解：(1)由c a ＝12，得a ＝2c ，所以a 2＝4c2，b 2＝3c 2，将点P c 2＝1，故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)可知F 1(－1,0)，设直线l 的方程为x ＝ty －1，代入椭圆方程，整理得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0，显然判别式大于0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，△AF 2B 的内切圆半径为r 0，则有y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t2，r 0＝327，＝12r 0(|AF 1|＋|BF 1|＋|BF 2|＋|AF 2|)＝12r 0·4a ＝12×8×327＝1227所以12t 2＋14＋3t2＝1227，解得t 2＝1，因为所求圆与直线l 相切，所以半径r ＝2t 2＋1＝2，所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.。
例析高考中解析几何简化运算量的常用策略
评析:解析几何的计算常涉及一个参数或多个参数的运算。根据几何图形的特征,选择合适的参数,可使解题简捷巧妙。
四、先猜后证，绝处逢生
例4：（2009年高考山东卷理科22题）
设椭圆E:＋ ＝1（a,b>0）过M（2，2）、N(6,1）两点，O为坐标原点。
（1）求椭圆E的方程。
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B且OA⊥OB？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取析：设而不求，利用韦达定理整体代换可避免冗长的运算，这是直线与圆锥曲线位置关系问题常用处理办法。
三、引入参数，化繁为简
例3：（2016年高考全国卷Ⅰ理科20题）
设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C、D两点，过B作AC的平行线交AD于点E。
解析:（1）略。
（2）设∠MBA=θ〔θ∈（0，π）〕,则在△MAB中，|MA|2=|MB|2+|AB|2-2|MB|·|AB|·cosθ。结合|MA|+|MB|=4可得|MB|=。同理可得|NB|=，从而|MN|=。
此时,直线PQ的倾斜角为π-θ,方程为xcosθ=ysinθ+cosθ,|PQ|=44-cos2θ,所以S四边形PNQ=|MN|·|PQ|=，所以四边形的取值范围是[12，83）。
例析高考中解析几何简化运算量的常用策略
近年来，解析几何解答题往往在最后两题出现，是高考中区分中上层学生数学成绩的一个关键考点，能顺利解答解析几何题是数学分数跃上新台阶的重要条件。解析几何的主要特征是“算”，考生如果对运算方法运用不当，面临繁杂的运算将无从下手，最终只能望运算而兴叹，以失败告终。
例谈解析几何中简化运算的八条策略
例谈解析几何中简化运算的八条策略作者：李忠贵来源：《中学课程辅导高考版·学生版》2009年第12期解几问题是以代数方法求解几何问题,一般求解思路易找,规律性强,但是由于运算十分繁琐,常常会使同学们解题陷入困境,以致对求解此类问题丧失信心.因此,运用所学知识灵活处理、克服思维定势、尽可能减少运算量已成为迅速、准确求解此类问题的关键.对此,与同学们谈一下如何简化解几运算的策略.一、回归定义教材中给出了圆锥曲线的两种定义,第一定义展示了三类圆锥曲线各自独特的性质和几何特征;第二定义则深刻揭示了三类圆锥曲线的内在联系,使交点、准线和离心率构成一个和谐的整体.例1(09年四川高考题)已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是解:直线l2:x=-1为抛物线y2=4x的准线,由抛物线的定义知,P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离,故本题化为在抛物线y2=4x上找一个点P使得P到点F(1,0)和直线l2的距离之和最小,最小值为F(1,0)到直线l1:4x-3y+6=0的距离,即d min=|4-0+6|5=2.评注:1.定义是解决数学问题的原生力量.2.涉及焦点弦的计算问题,可充分利用圆锥曲线的定义,常常可收到避繁就简的效果.二、利用几何图形解析几何的研究对象就是几何图形及其性质,所以在处理解析几何问题时,除了运用代数方程外,还应充分挖掘几何条件,并结合平面几何知识,这往往能减少计算量。
例2 (09年连云港市联考题)设直线3x+4y+m=0与圆x2+y2+x-2y=0相交于P、Q 两点,O为坐标原点,若OP⊥OQ,则m的值为。
解:∵圆x2+y2+x-2y=0过原点,并且OP⊥OQ,∴PQ是圆的直径,圆心的坐标为M(-12,1)又M(-12,1)在直线3x+4y+m=0上,∴3×(-12)+4×1+m=0,∴m=-52即为所求.评注:此题若不充分利用一系列几何条件:该圆过原点并且OP⊥OQ,PQ是圆的直径,圆心在直线3x+4y+m=0上,而是设P(x1,y1)、Q(x2,y2)再由OP⊥OQ和韦达定理求m,将会增大运算量.三、正难反易有些问题正面解需要分类讨论,且讨论不全又容易出错,如用补集思想考虑其对立面,可达到化繁为简的目的。
简化解析几何运算技巧专题
专题：简化解析几何运算的5个技巧中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．特别是高考过程中，在规定的时间，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面．为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程．技法一巧用定义，揭示本质以数形结合思想为指导，把定量的分析有机结合起来，则可使解题计算量大为简化，使解题构筑在较高的水平上．[典例] 如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A ．2B ． 3C ．32D ．62[解析] 由已知，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)，设双曲线C 2的实半轴长为a ，由椭圆及双曲线的定义和已知， 可得⎩⎪⎨⎪⎧|AF 1|＋|AF 2|＝4，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|AF 1|2＋|AF 2|2＝12，解得a 2＝2，故a ＝2．所以双曲线C 2的离心率e ＝32＝62． [答案] D [方法点拨]本题可巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF 1|，|AF 2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a 的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量．[对点演练]抛物线y 2＝4mx (m ＞0)的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，若点A (－m,0)，则|PF ||P A |的最小值为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，由抛物线的定义，知|PF |＝x P ＋m ，又|P A |2＝(x P ＋m )2＋y 2P ＝(x P ＋m )2＋4mx P ，则⎝⎛⎭⎫|PF ||P A |2＝(x P ＋m )2(x P ＋m )2＋4mx P ＝11＋4mx P (x P ＋m )2≥11＋4mx P (2x P ·m )2＝12(当且仅当x P ＝m 时取等号)，所以|PF ||P A |≥22，所以|PF ||P A |的最小值为22． 答案：22对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题，涉及求中点弦所在直线的方程，或弦的中点的轨迹方程的问题时，常常可以用代点法求解．[典例] 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的标准方程为( )A ．x 245＋y 236＝1B ．x 236＋y 227＝1C ．x 227＋y 218＝1D ．x 218＋y 29＝1[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，①②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝b 2a 2．又k AB ＝0＋13－1＝12，所以b 2a 2＝12．又9＝c 2＝a 2－b 2， 解得b 2＝9，a 2＝18，所以椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1．[答案] D [方法点拨]本题设出A ，B 两点的坐标，却不需求出A ，B 两点的坐标，巧妙地表达出直线AB 的斜率，通过将直线AB 的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．[对点演练]过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2．∵y 1－y 2x 1－x 2＝－12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴－b 2a 2＝－12，∴a 2＝2b 2．又∵b 2＝a 2－c 2，∴a 2＝2(a 2－c 2)，∴a 2＝2c 2，∴c a ＝22．即椭圆C 的离心率e ＝22． 答案：22某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系．后者往往计算量小，解题过程简捷．[典例] (2016·全国甲卷)已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ．(1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值围． [解] 设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0． (1)当t ＝4时，E 的方程为x 24＋y 23＝1，A (－2,0)．由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4．因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2．将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1，得7y 2－12y ＝0．解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127．因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449．(2)由题意知t >3，k >0，A (－t ，0)．将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1，得(3＋tk 2)x 2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0． 由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t 3＋tk 2，得x 1＝t (3－tk 2)3＋tk 2，故|AM |＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t (1＋k 2)3＋tk 2．由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋t )，故同理可得|AN |＝6k t (1＋k 2)3k 2＋t ．由2|AM |＝|AN |，得23＋tk 2＝k3k 2＋t， 即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)．当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k (2k －1)k 3－2．t >3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝(k －2)(k 2＋1)k 3－2<0，即k －2k 3－2<0． 因此得⎩⎪⎨⎪⎧ k －2>0，k 3－2<0或⎩⎪⎨⎪⎧k －2<0，k 3－2>0，解得32<k <2． 故k 的取值围是(32，2)． [方法点拨]本例在第(2)问中可应用根与系数的关系求出x 1＝t (3－tk 2)3＋tk 2，这体现了整体思路．这是解决解析几何问题时常用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量．[对点演练](2016·实战考试)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且经过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，左、右焦点分别为F 1，F 2．(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的切圆半径为327，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．解：(1)由c a ＝12，得a ＝2c ，所以a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，将点P ⎝⎛⎭⎫1，32的坐标代入椭圆方程得c 2＝1， 故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1．(2)由(1)可知F 1(－1,0)，设直线l 的方程为x ＝ty －1， 代入椭圆方程，整理得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0， 显然判别式大于0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，△AF 2B 的切圆半径为r 0， 则有y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t 2，r 0＝327，所以S △AF 2B ＝S △AF 1F 2＋S △BF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝12|F 1F 2|·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12t 2＋14＋3t 2．而S △AF 2B ＝12|AB |r 0＋12|BF 2|r 0＋12|AF 2|r 0＝12r 0(|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|) ＝12r 0(|AF 1|＋|BF 1|＋|BF 2|＋|AF 2|) ＝12r 0·4a ＝12×8×327 ＝1227， 所以12t 2＋14＋3t 2＝1227，解得t 2＝1，因为所求圆与直线l 相切，所以半径r ＝2t 2＋1＝2， 所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2．利用曲线系解题，往往简捷明快，事半功倍，所以灵活运用曲线是解析几何中重要的解题方法和技巧之一．[典例] 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A ．x 236－y 2108＝1B ．x 29－y 227＝1C ．x 2108－y 236＝1D ．x 227－y 29＝1[解析] 由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，可设双曲线的方程为x 2－y 23＝λ(λ＞0)． 因为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，所以F (－6,0)是双曲线的左焦点，即λ＋3λ＝36，λ＝9，所以双曲线的方程为x 29－y 227＝1．[答案] B [方法点拨]本题利用共渐近线系双曲线方程，可使问题马上得到解决．避免了复杂的判断、可能的分类讨论、繁杂的解方程组，事半功倍．[对点演练]圆心在直线x －y －4＝0上，且经过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0和x 2＋y 2＋6y －28＝0的交点的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0B ．x 2＋y 2－x ＋7y －16＝0C ．x 2＋y 2－4x ＋4y ＋9＝0D ．x 2＋y 2－4x ＋4y －8＝0解析：选A 设经过两圆的交点的圆的方程为 x 2＋y 2＋6x －4＋λ(x 2＋y 2＋6y －28)＝0， 即x 2＋y 2＋61＋λx ＋6λ1＋λy －4＋28λ1＋λ＝0，其圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－31＋λ，－3λ1＋λ，又圆心在直线x －y －4＝0上，所以－31＋λ＋3λ1＋λ－4＝0，解得λ＝－7，故所求圆的方程为x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0．换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等，利用换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，达到事半功倍．常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等．在换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值围或改变原题条件．[典例] 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |＞3．[解] 法一：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)． 由条件，得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b 2＝1. 消去y 0并整理，得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b2．① 由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0． 而x 0≠0，于是x 0＝－2a 1＋k 2，代入①，整理得(1＋k 2)2＝4k 2⎝⎛⎭⎫a b 2＋4． 又a ＞b ＞0，故(1＋k 2)2＞4k 2＋4， 即k 2＋1＞4，因此k 2＞3，所以|k |＞3．法二：依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，得x 20a 2＋k 2x 20b 2＝1．因为a ＞b ＞0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a 2＜1，即(1＋k 2)x 20＜a 2．②由|AP |＝|OA |及A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a 1＋k 2， 代入②，得(1＋k 2)·4a 2(1＋k 2)2＜a 2， 解得k 2＞3，所以|k |＞3．法三：设P (a cos θ，b sin θ)(0≤θ＜2π)， 则线段OP 的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2cos θ，b2sin θ． |AP |＝|OA |⇔AQ ⊥OP ⇔k AQ ×k ＝－1．又A (－a,0)，所以k AQ ＝b sin θ2a ＋a cos θ，即b sin θ－ak AQ cos θ＝2ak AQ ．从而可得|2ak AQ |≤b 2＋a 2k 2AQ ＜a 1＋k 2AQ ，解得|k AQ |＜33．故|k |＝1|k AQ |＞3． [方法点拨]求解本题利用椭圆的参数方程，可快速建立各点之间的联系，降低运算量． [对点演练](2016·市质量检测)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且离心率为12，点P 为椭圆上一动点，△F 1PF 2面积的最大值为3．(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆的左顶点为A 1，过右焦点F 2的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，连接A 1A ，A 1B 并延长分别交直线x ＝4于R ，Q 两点，问RF 2―→·QF 2―→是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．解：(1)已知椭圆的离心率为12，不妨设c ＝t ，a ＝2t ，则b ＝3t ，其中t ＞0，当△F 1PF 2面积取最大值时，点P 为短轴端点， 因此12·2t ·3t ＝3，解得t ＝1，则椭圆的方程为x 24＋y 23＝1．(2)由(1)可知F 2(1,0)，A 1(－2,0)．设直线AB 的方程为x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 23＝1，可得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，则y 1＋y 2＝－6m 4＋3m 2，①y 1y 2＝－94＋3m 2，②直线AA 1的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，直线BA 1的方程为y ＝y 2x 2＋2(x ＋2)，则R⎝⎛⎭⎫4，6y 1x 1＋2，Q ⎝⎛⎭⎫4，6y 2x 2＋2，F 2R ―→＝⎝⎛⎭⎫3，6y 1x 1＋2，F 2Q ―→＝⎝⎛⎭⎫3，6y 2x 2＋2，则F 2R ―→·F 2Q ―→＝9＋6y 1x 1＋2·6y 2x 2＋2＝6y 1my 1＋3·6y 2my 2＋3＋9＝36y 1y 2m 2y 1y 2＋3m (y 1＋y 2)＋9＋9将①②两式代入上式，整理得F 2R ―→·F 2Q ―→＝0， 即F 2R ―→·F 2Q ―→为定值0．。
解析几何中简化运算的策略
解析几何中简化运算的策略在解析几何中，方程是刻画曲线性质的代数语言，而曲线又是描绘方程特征的图像语言，数与形的高度统一，使得两者浑然一体，相得益彰.在解决直线与圆锥曲线的问题时，常用方法就是将它们的方程转化为关于x 或y 的二次方程来解决，一般过程较繁.其实，相当一部分解几问题的运算量与选择的解题方法有关，只要把握问题本质，精心构思，就可以获得简捷明快的解题方法，不仅简化或避免复杂的运算、提高效率，而且能训练思维、开发智力、增强信心。
下面谈谈解几种简化运算的常用策略，供参考。
一．回归定义，彰显本质我们解决问题，总是希望寻找到最简单又不失本质的原理与方法，而这方面非“定义”莫属。
只要对问题进行深刻挖掘，彰显本质，然后利用定义解题，达到巧思妙解。
例1， 设)0,6(P ，Q 为圆922=+y x 上的动点，且M 在线段PQ 上，满足21=MQ PM ，求点M 的轨迹方程。
解：由21=MQ PM 想得到在OP 上取点R 使21=RO PR ，即取点)0,4(R ，则OQ MR //且MR 31=OQ 1=， 根据圆的定义知：M 点的轨迹是以R 为圆心、半径为1的圆。
所以M 点的轨迹方程为：()1422=+-y x例2．设F 是抛物线()02>=a ax y 的焦点，直线AB 过F 交抛物线于B A 、两点，点()b a M ,满足条件222b a =；（1） 证明：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切（2） 若P 是抛物线上一点，且PF +PM 的最小值为5，求b a 、的值。
解：（1）设AB 中点为C ，分别过C B A 、、点， 作准线l 的垂线，垂足分别为'''C B A 、、，由抛物线定义可知：AB =+=BF AF '2''CC BB AA =+ ，∴ 以AB 为直径的圆与准线相切（2）过M 作l MH ⊥于H ，交抛物线于点P ，则P 为所求。
高考数学复习 简化解析几何运算的若干方法和技巧
2008高考数学复习 简化解析几何运算的若干方法和技巧众所周知，运算复杂是成功解答解析几何的最大障碍之一；若在解题时选择的方法不恰当，又不注意探求优化解题过程、降低运算量的方法和技巧，则很容易陷入繁冗的运算而不能自拔，导致解题失败。
现介绍几种简化解析几何运算过程的方法和技巧，供大家参考。
一、巧用定义对于涉及圆锥曲线的焦点、准线有关的问题，若能恰当地利用圆锥曲线的定义，则能收到其他方法技巧所无法达到的效果。
例1 给定A(-2,2), 已知点B 是椭圆1162522=+y x 上的动点，F 是左焦点，当|AB|+53 |BF|取最小值时，求点B 的坐标。
解：如图1，由题意可知：a=5, b=4, c=3, e=c a =35 ,左准线方程为：x=-253 ,过B 点作左准线的垂线，垂足为N ，过点A 作左准线的垂线，垂足为M ，由椭圆的定义可知：|BN|=1e |BF|=53|BF|,于是，|AB|+53|BF|=|AB|+|BN| ≥|AN| ≥|AM|,当且仅当点B 是AM 与椭圆的交点时取等号，此时B(235-, 2)。
所以，当|AB|+53 |BF|取最小值时，点B 的坐标为B(235-, 2)。
评注：本题运用了椭圆的第二定义，真正发挥了定义的解题功能，达到了优化解题的目的。
二、巧用数形结合数形结合是解析几何的基本思想，它是在深刻分析方程或已知条件中的几何性质之下，以形助数的方法，往往使问题简捷、清晰地得以解决。
例2 椭圆14922=+y x 的焦点为F 1，F 2。
点P 为其上的一个动点，当∠F 1PF 2为钝角时，求点P 的横坐标的取值范围。
解：设以原点O 为圆心，OF 1（值 5 ）为半径的圆与椭圆14922=+y x 交一于A ，B ，C ，D （如图2），易求得其横坐标分别是553±.由此可知： 当点P 在椭圆弧AB 和CD 上，即在圆x 2+y 2=5内部，那么∠F 1PF 2是钝角， 故有.553553<<-p x 评注：本题若直接设椭圆上一点的横坐标，利用余弦定理来解，其运算量较大；现巧妙地借助于形，不但减少解题运算量，也给人一种耳目一新之感。
解析几何中简化运算的常用技巧
解析几何中简化运算的常用技巧技巧一：弦长公式的“巧用”.①直线AB的方程为，与曲线联立后的一元二次方程为，所以直线与二次曲线相交的弦长公式又可以化为：②1.对于公式①在直线弦长的运用.例题1.已知椭圆C（a>b>0)的离心率为，直线：x+2y=4与椭圆有且只有一个交点T.（I）求椭圆C的方程和点T的坐标；（Ⅱ)O为坐标原点，与OT平行的直线与椭圆C交于不同的两点A，B，直线与直线交于点P，试判断是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由.(1)(2) 由第(1)知 ,设直线与直线：x+2y=4联立得与直线椭圆联立得:点评：该方法在求弦长的时候，巧妙运用了弦长公式，该弦长的一个端点在直线上，另一个端点在曲线上，大大简化了计算量.1.对于公式②在直线弦长的运用.例题2. 设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.（I）（）.（Ⅱ）当与轴不垂直时，设的方程为，， .由得 .过点且与垂直的直线：，到的距离为，所以 .故四边形的面积.可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为 .当与轴垂直时，其方程为，，，四边形的面积为12.综上，四边形面积的取值范围为 .点评：该方法在求弦长的时候，巧妙运用了简化后的弦长公式，绕开了韦达定理，大大简化了运算量.技巧二：巧设直线方程在直线与圆锥曲线联立的问题中，设直线的点斜式方程是最常用的一种手段，但具体在已知直线过点设方程的是时候，还是很有讲究.当给定的点不在坐标轴上，最好设直线的斜截式方程，计算完后再代点，可大大简化运算量.当给定的点在坐标轴上的时候，则选择直线的点斜式方程为多.【2014年广东，理20，14分】已知椭圆的一个焦点为，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程．解：（1），，，，椭圆的标准方程为：．方法二：若一切线垂直轴，则另一切线垂直于轴，则这样的点共4个，它们的坐标分别为，．若两切线不垂直与坐标轴，设切线方程为，将之代入椭圆方程得：即显然，这四点也满足以上方程，点的轨迹方程为．点评：本题采用设直线的斜截式方程，大大简化了计算量.若果才用设直线的点斜式方程，则计算量和计算难度会繁琐很多.技巧三：巧用平面几何性质已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )A． B．C． D．【解析】设OE的中点为N，如图，因为MF∥OE，所以有＝，＝.又因为OE ＝2ON，所以有＝·，解得e＝＝，故选A．【答案】A此题也可以用解析法解决，但有一定的计算量，巧用三角形的相似比可简化计算．技巧四：设而不求，整体代换对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题，涉及求中点弦所在直线的方程，或弦的中点的轨迹方程的问题时，常常可以用“点差法”求解．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E 于A，B两点．若AB的中点坐标为M(1，－1)，则E的标准方程为( )A．＋＝1 B．＋＝1C．＋＝1 D．＋＝1【解析】通解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，①－②得＋＝0，所以kAB＝＝－＝.又kAB＝＝，所以＝.又9＝c2＝a2－b2，解得b2＝9，a2＝18，所以椭圆E的标准方程为＋＝1.优解：由kAB ·kOM＝－得，×＝－得，a2＝2b2，又a2－b2＝9，所以a2＝18，b2＝9，所以椭圆E的标准方程为＋＝1.【答案】D本题设出A，B两点的坐标，却不求出A，B两点的坐标，巧妙地表达出直线AB的斜率，通过将直线AB的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．技巧五巧妙“换元”减少运算量变量换元的关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而将非标准型问题转化为标准型问题，将复杂问题简单化．变量换元法常用于求解复合函数的值域、三角函数的化简或求值等问题．如图，已知椭圆C的离心率为，点A，B，F分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点，且S△ABF＝1－.(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线l：y＝kx＋m与圆O：x2＋y2＝1相切，若直线l与椭圆C交于M，N两点，求△OMN面积的最大值．【解】(1)由已知椭圆的焦点在x轴上，设其方程为＋＝1(a＞b＞0)，则A(a，0)，B(0，b)，F(c，0)(c＝)．由已知可得e2＝＝，所以a2＝4b2，即a＝2b，可得c＝b①.S△AFB＝×|AF|×|OB|＝(a－c)b＝1－②.将①代入②，得(2b－b)b＝1－，解得b＝1，故a＝2，c＝.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)圆O的圆心为坐标原点，半径r＝1，由直线l：y＝kx＋m与圆O：x2＋y2＝1相切，得＝1，故有m2＝1＋k2③.由消去y，得x2＋2kmx＋m2－1＝0.由题可知k≠0，即(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，所以Δ＝16(4k2－m2＋1)＝48k2＞0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.所以|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－4×＝④.将③代入④中，得|x1－x2|2＝，故|x1－x2|＝.所以|MN|＝|x1－x2|＝×＝.故△OMN的面积S＝|MN|×1＝××1＝.令t＝4k2＋1，则t≥1，k2＝，代入上式，得S＝2＝＝＝＝＝，所以当t＝3，即4k2＋1＝3，解得k＝±时，S取得最大值，且最大值为×＝1.破解此类题的关键：一是利用已知条件，建立关于参数的方程，解方程，求出参数的值，二是通过变量换元法将所给函数转化为值域容易确定的另一函数，求得其值域，从而求得原函数的值域，形如y＝ax＋b±(a，b，c，d均为常数，且ac≠0)的函数常用此法求解，但在换元时一定要注意新元的取值范围，以保证等价转化，这样目标函数的值域才不会发生变化．。
简化解析几何运算的5个技巧
简化解析几何运算的 5个技巧定义是导出其性质的“发源地”，解题时，应善于运用圆锥曲线的定义，以数形结合 思想为指导，把定量的分析有机结合起来，则可使解题计算量简化，使解题构筑在较高的 水平上.2［典例］如图，F i, F 2是椭圆Ci ：X4 + y 2= 1与双曲线C 2的公共焦点，A,B 分别是C i , C 2在第二、四象限的公共点•若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 一 2 3 C-3［方法演示］解析：由已知，得 F i ( — 3, 0), F 2( 3, 0), 设双曲线C 2的实半轴长为a , 由椭圆及双曲线的定义和已知，|AF i |+ AF 2|= 4,可得 |AF 2|— |AF i |= 2a , 解得 a 2= 2,」AF i |2+ |AF 2|2= i2,答案：D ［解题师说］本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF i |, |AF 21的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a 的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量.［应用体验］i .抛物线y 2= 4mx(m > 0)的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，若点A( — m,0)，则罟三|PA|的最小值为 _________ .解析：设点P 的坐标为(X p , y p ),由抛物线的定义，知|PF|= x p + m ，又|PA|2=(X p + m)2 + y P = (x P + m)2 + 4mx P ，贝U 鷲 2=XP ^m=- > - =片当且 P 'P ' P ' |PA|X P + m 2+ 4mx p4mx p 4mx p 2(当旦i+ (XP + mf "(吋硕2 仅当x p = m 时取等号)，所以，所以 盟的最小值为 申.|PA| 2 |PA| 2B. 3D.故a = 2.所以双曲线C 2的离心率e = 斗6.答案：-2设而不求，整体代换对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题，涉及求中点弦所在直线的方程，或弦 的中点的轨迹方程的问题时，常常可以用“代点法”求解.2 2［典例］已知椭圆E ：j + b 2= 1(a > b > 0)的右焦点为F(3,0)，过点F 的直线交 AB 的中点坐标为(1,— 1),贝U E 的标准方程为( )2 2 2y- = 1272—1 9［方法演示］解析：设 A(X 1, y 1), B(X 2, Y 2), 则 X 1+ X 2= 2, y p + y 2=— 2,吕1 + 36 36 22 y- = 1.X D. + 1818 B 两点.若 2A.45+2X Ch①—②得翌±2沖二空+ y l ±y L 2y l^ = 0ab，所以k AB = « —X 1 — X 2 b(X 1 + x 2) b ； a 2(y 1 + y2) a 22又k AB=出=-，所以* 2.又 9 = c 2= a 2— b 2, 解得 b 2= 9, a 2= 18,2 2 所以椭圆E 的方程为% + y= 1.18 9 答案：D ［解题师说］本题设出A , B 两点的坐标，却不求出A ,B 两点的坐标，巧妙地表达出直线率，通过将直线 AB 的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题.［应用体验］1 2 22.过点M(1,1)作斜率为一寸的直线与椭圆 C ： X2+書=1(a > b >0)相交于A ,- a b若M 是线段AB 的中点，则椭圆 C 的离心率等于 ____________ .AB 的斜B 两点,22.y i — b __ b x i + X 2 x i — X 2 孑 y i + y 2•••也__乎 __ i , x i + X 2_ 2, y i + y 2_ 2, X i — X 2 2又•/ b 2_ a 2— c 2,22222. C 2…a _ 2(a — c ),・.a _ 2c ,• • a_"^.即椭圆C 的离心率e _ 答案：2巧用“根与系数的关系”，化繁为简某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法 来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关 系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系•后者往往计算量小，解题过程简捷.2［典例］已知椭圆X4 + y 2_ i 的左顶点为 A ，过A 作两条互相垂直的弦 AM ，AN 交椭圆 于M ，N 两点.(1) 当直线AM 的斜率为i 时，求点M 的坐标；(2) 当直线AM 的斜率变化时，直线 MN 是否过X 轴上的一定点？若过定点，请给出证 明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由.［方法演示］解：⑴直线AM 的斜率为i 时，直线 AM 的方程为y _ x + 2,代入椭圆方程并化简得 5x + i6x + i2_ 0.解得 X i _— 2, X 2_— 5，所以 M — 5, 4 .⑵设直线AM 的斜率为k ,直线AM 的方程为y _ k(x + 2),解析:2 2欝 b 2=1, 设 A (X 1, y i ), B(X 2, y 2),贝y 2 21爭+ b 2= 1,b 22，.・.a 2_ 2b 2.0,化简得(1 + 4k 2)x 2+ 16k 2x + 16k 2-4 = 0. 2 —16k 2贝V X A + X M = 2,1 + 4k '2 2 216k- 16k 2— 8kX M — — X A2 = 2 —2 =・MA 1 + 4k 1 + 4k 1+ 4k由(1)知若存在定点，则此点必为 P — 5, 0 .证明如下:所以直线 MN 过x 轴上的一定点P — 6, 0 . ［解题师说］2 一 8 k 2本例在第(2)问中可应用根与系数的关系求出X M =2,这体现了整体思路.这是解1 + 4k决解析几何问题时常用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量.x 2 y 2 1C :孑+ b 2= 1(a > b >0)的离心率为2，且经过点别为F 1, F 2.(1)求椭圆C 的方程；⑵过F 1的直线I 与椭圆C 相交于A , B 两点，若△ AF 2B 的内切圆半径为 乎，求以 F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程.解：(1)由 C =1，得 a = 2c ,所以 a 2= 4c 2, b 2= 3c 2,a 2 将点P 1,3的坐标代入椭圆方程得c 2= 1,2 2故所求椭圆方程为x +y = 1.联立方程$x 2ay= k (x + 2 ,同理，可得2k 2— 8 k 2+ 4.因为k MPy M2 — 8k 2k1+ 4k 2+22 =2 — 8k 65k 24—同理可计算得k pN 5k 4— 4k 2.［应用体验］P 1, 2，左、右焦点分4 3⑵由(1)可知F1( —1,0)，设直线l的方程为x= ty—1,代入椭圆方程，整理得（4+ 3t 2）y 2 — 6ty — 9 = 0,显然判别式大于0恒成立， 设 A(x i , y i )，B (X 2, y 2),A AF 2B 的内切圆半径为 r o , 则有 y i +y 2= 4+3?, y i y 2= 4+3^, r o =攀， 1 1 _________________________ 2 ____所以 S A AF 2B = S A AF 1F 2+ S △ BF I F 2= ?|F i F 2||y i — y 2|= Q|F i F 2| : y i + y 2 2— 4y 『2 = 12 t 2+ 1 4 + 3t 2 . 111 而 S A AF 2B = 2|AB|r o + ^BF 2|r o + Q |AF 2|r o 1 =2"(|AB|+ |BF 2| + |AF 2|)1=尹(|AF i |+ |BF i | + |BF 2|+ |AF 2|)=嘉细=1x 8X蛙,2r0 4a 2 77 ，所以1^+t 3+1 =雯7三解得t2=i ,因为所求圆与直线i 相切，所以半径 所以所求圆的方程为（x — 1）2+ y 2= 2.r= — t"+ 1 = 2，利用曲线系解题，往往简捷明快，事半功倍，所以灵活运用曲线是解析几何中重要的 解题方法和技巧之一. 2 2［典例］已知双曲线X "— b "= 1（a >0, b >0）的一条渐近线方程是 y = 3x ，它的一个焦点 在抛物线y 2= 24x 的准线上，则双曲线的方程为 （ ） x = 1 — y "36 108 9 27 2 2 2 2x -y = 1 x D.- y "108 36 27 9 2 2 2 2 =1 =1 CA 2 2［方法演示］解析：由双曲线X 2 —着=1（a > 0，b > 0）的一条渐近线方程是y = 3x ，可设双曲线的方a b2程为 X 2-: =e 0).因为双曲线 2 2j — b "= 1（a >0，b >0）的一个焦点在抛物线y 2= 24x 的准线上,所以F( — 6,0)是双曲线的左焦点，即H 3入=36, X= 9,2 2所以双曲线的方程为x —y = i.9 27 答案：B ［解题师说］本题利用了共渐近线系双曲线方程，可使问题马上得到解决•避免了复杂的判断、可 能的分类讨论、繁杂的解方程组，事半功倍.［应用体验］4.圆心在直线 x — y — 4= 0上，且经过两圆 x 2+ y 2 + 6x — 4= 0和x 2+ y 2 + 6y — 28= 0的 交点的圆的方程为()2 2A. x + y — x + 7y — 32= 0B. x 2+ y 2— x + 7y — 16= 0C. x 2 + y — 4x + 4y + 9= 02 2D. x + y — 4x + 4y — 8= 0解析：选A 设经过两圆的交点的圆的方程为 x 2 + y 2 + 6x — 4 + ?(x 2 + y 2 + 6y — 28) = 0,x— y—4= 0 上，所以—&芒—4= 0，故所求圆的方程为 x 2+ y 2— x + 7y — 32 = 0.巧引参数，方便运换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等，利 用换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，达到事 半功倍.常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等.在换元过程中，还要 注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或改变原题条件.2 2［典例］设椭圆?+器=1(a > b > 0)的左、右顶点分别为 A ,B ，点P 在椭圆上且异于 A , B 两点，O 为坐标原点.若|AP|=|OA|,证明直线 OP 的斜率k 满足|k|>.3.［方法演示］证明：法一：依题意，直线 OP 的方程为y = kx ,设点P 的坐标为(x 0, y 0).即x2+y 2+总+4 + 28 入 0 1+入其圆心坐标为3 — _3X )1 + X—1+又圆心在直线解得入=—7,y °= kx 。
解析几何中的简化运算
解析几何中的简化运算在解析几何题目时，经常有这样的感觉，思路易找，但计算量太大，往往只开个头做不出正确结果。
因而在教学中引导学生探索简便易行的方法降低运算量，是培养和提高学生分析解决问题能力的重要一环。
下面介绍几种简化解析几何运算的方法和技巧：一、定义法与圆锥曲线的焦点、焦半径有关的问题，可用定义简化解题步骤。
例1.已知双曲线16x2-9y2=144，设F1、F2为双曲线的左右焦点，设P在双曲线上且|PF1|.|PF2|=32，求∠F1PF2的大小。
解：∵方程是-=1，∴a=3，c=5；又||PF1|-|PF2||=6且|PF1|·|PF2|=32，∴|PF1|2+|PF2|2-64=36，∴|PF1|2+|PF2|2=100，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，∴∠F1PF2=90°。
二、点差法与直线和圆锥曲线相交于弦的中点，与斜率有关的问题，运用点差法可获得简捷而巧妙的解题方法。
例2.已知抛物线y2=6x，过点P（4，1）引一弦使它恰好被点P平分，求此弦所在的直线方程。
解：设弦的两端点的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），斜率为k，∵y12=6x1，y22=6x2，两式相减得（y1+y2）（y1-y2）=6（x1-x2），∴=。
∵y1+y2=2，∴k=3，∴所求弦所在直线方程为y-1=(3(x-4)，即3x-y-11=0。
例3.已知椭圆+y2=1，求过点A（2，1）的直线被椭圆截得的弦中点的轨迹方程。
解：设弦的两端点坐标为（x1，y1）、（x2，y2），中点为（x，y），则：+y12=1，+y22=1；两式相减得：+（y1+y2）（y1-y2）=0∴＋(y1+y2)=0，∴x1+x2=2x，y1+y2=2y，∴x+2y=0；又=，∴x+2y=0，∴x2+2y2-2x-2y=0，∴所求的弦中点的轨迹方程为x2+2y2-2x-2y=0（夹在椭圆内的部分）。
三、几何法在解决直线与二次曲线的问题时，若恰当运用平面几何性质可避免烦琐的运算。
从一道高考题谈解析几何运算的简化策略
解 得 ｅ：旦 ＝ ．
（） ２ 由② 知 ，ｃ一 ＋２ｔ ｔ ａ ＝Ｃ，③
本 解 法 不 仅 在 这 里 适 用 ，实 际上 在 解 法 １和 解 法 ２中 也 适
用 ，这样 可以省去求根公式 的繁琐运算 ，快 速求得 问题 的答 案 ，
从而节省宝贵的时间．
因 Ｉ 孚， 以ＢＩ ＝ ． 为 Ｂ＝ 所 Ｉ ｚ｝ Ａｌ Ｆ＝
关 系 ，构 造 两个 三 角 形 ，通 过 余 弦 定 理 ，找 到 了关 于 ａ 、ｔ 、ｃ 的
两个 方 程 ， 而且 巧 妙 地 采 用 设 而 不 求 的 方 法 求 出 离心 率 ．运 算 过
ｌ １ Ａ ． 曰ｌ
因为 ： 蔚 ，所以ＩＦｌ ２Ｂ ２ Ａ ： ＩＦＩ ．
程 简 捷 、 明快 ，解 法 赏心 悦 目，给 人 以和 谐 之 美．本 解 法 很 好 地 诠 释 了数 形 结 合 在 简 化 解 析 几 何运 算 中的地 位 ． 五 、 活 用 参 数 ，提 纲 挈领
四 、数 形 结 合 。巧 妙 构 造
所 以 ｃ ａ ２ ｃ ａ ，解得 ｅ＝旦 ＝ ． ＋２ ＝一 （ 一２ ） 另 解 ：其 实 进 一 步 分 析 后 ，若 得 到 关 于 ｔ 的一 元 二 次 方 程 后 ，不解 出方程 的解 ｔ 。 ，也 可 结 合 韦 达 定 理 和 条 件 ｔ：一 ｔ 、ｔ 。 ２： 得 到 椭 圆 的 离 心 率 ，方 法 如下 ． 将 直 线 的参 数 方 程 代 入 椭 圆 整 理 后 得 到 （ 十ｂ） ＋４ ￣ 一 ３ ２ ｚ ｂｃ ｆ ｔ
３ ２
产生的原 因．但 比较上述两种解法，发 现解 法 ２是消去 后利 用
纵 坐 标 之 间 的 变 量 关 系进 行 计 算 ， 比 解 法 １的 运 算 相 对 快 捷 、
解析几何简化运算的策略研究
p 2 2 (x1- ) +y1 = m2+1 • | y1 | ， 2 1 | y1 - y2 | • 2 m +1 | y1y2 | 1 (2pm)2+4p2 2 • ½ p® £ £ 2 p2 m +1
知识链接
同理，|FB| = m2+1 • | y2 |
1 1 故：|FA| £ |FB| £ « ½
解析几何 简化运算的策略研究
主讲教师： 龚雷（杭州第九中学）
引例
学法提示
• 解决问题固然重要，但对于数学学习来说， 对问题解决过程的反思更为重要；
• 寻求多种解决问题的方法，并对其进行比 较，是掌握方法的有效手段； • 纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。方法 只能在运用过程掌握，运用有两种层次：一 是“模仿”，二是“变式、迁移”。
p )， 2 2 2 = 2px 并整理得：k2x2 - p(k2-2)x + p = 0 ． 代入 y
y = k(x-
4
2 ， x x = p2 ． 由韦达定理： x1 + x2 = p (1- 2 ) 1 2 k 4 p p 2 2 p (x1- ) +y1 = x1+ ，同理|FB| = x2+ 2 ． 又，|FA|= 2 2
x-
p my，即：x = my + = 2
知识链接
设A(x 证法三： 1，y1)、B(x2，y2)，并设 l 的方程为： x代入 y2 = 2px 并整理得：y2 - 2pmy - p2 = 0 ．
p my，即：x = my + p ， = 2 2
由韦达定理： y1 + y2 =2pm， y1 y2 = - p2 ．
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浅谈解析几何中简化运算的常用策略
解析几何难在运算，要想突破这一难关，除了平时要注意培养良好的意志品质外，更主要的是要掌握一些有效减少运算量的方法，希望以下几种方法，对大家能有所帮助。
策略一追根溯源，回归定义
圆锥曲线定义反映了圆锥曲线的本质特性，揭示了它们存在的条件及其所包含的性质，用定义解题，简捷明快，省时高效。
例1设是抛物线的焦点，直线过交抛物线于、两点，点满足条件；
(1) 证明：以为直径的圆与抛物线的准线相切；
(2) 若是抛物线上一点，且的最小值为5，求、的值。
分析：本题如果不用定义，就势必用点到直线的距离公式和两点间的距离公式，如（2）中，在求最小值时，遇到了两根式函数和的最值问题，相当复杂。
解：（1）设中点为，分别过、、点作准线的垂线，垂足分别为、、，由抛物线定义可知：
所以，以直径的圆与准线相切。
（2）过作于，交抛物线于点，则为所求
评注：利用圆锥曲线解题，应注意以下几种情形：
①涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题，常用第一定义结合正、余弦定理来解决；涉及焦点、准线、离心率、圆锥曲线上的点等问题，常用第二定义。
②研究有关点间的距离的最值问题时，常用第一定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用第二定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到其相应准线的距离，再结合图形利用几何意义去解决有关的最值问题。
策略二抓住本质，合理转化
转化是解题的精髓，就是从未知向已知，从复杂向简单的化归转化过程，它具有很强的灵活性。
常要求我们抓住问题的本质，解放思想，克服思维定势。
好的转化方法不仅可以减小运算量，而且可以让人叹为观止，使人的心灵受到美的熏陶。
例2已知点A(3,0) , B(0,3)和抛物线。
若抛物线和线段AB恰有一个公共点，求m的取值范围。
分析：本题可以先把两曲线交点问题，转化为方程根的个数问题，进一步再利用数形结合求解。
本题若利用方程根的分布求m 的范围，运算量会比较大。
解：把线段AB的方程y =3-x ( )代入抛物线，得
，于是原题化归为方在[0,3]内恰有一解。
令即与在[0,3]内有且只有一个交点，
在同一坐标系中作出的图像。
在方程中，
由得m+1=4
所以
所以当m+1=4 或m+1> 时，
符合题意，即m 的取值范围为
评注：高中常用的转化方法除了换元法、参数法、构造法、数形结合外，还有正难则反，特殊化原则；常量与变量的转化；立体问题平面化；函数与方程，等与不等之间的转化；实际问题与数学模型的转化。
策略三巧设方程，出奇制胜
合理设出所需曲线方程，可以省去诸多麻烦。
实际上，好的设法等于成功了一半。
例3 过抛物线的纵坐标为、，求证：
分析：本题的习惯解法需要考虑直线的斜率存在和不存在两种情形，前者运算较繁，而后者又极易被忽略，注意到该直线过定点，且斜率不会为0，又最后结果要的是两交点的纵坐标之积，所以可设直线方程为
证明：设过焦点的直线方程为，代入，消去x,整理得
由韦达定理，得
评注: 如果已知直线的横截距，或需要消去y时，这样设直线方程，不仅可以简化运算，而且避免了对直线斜率存在不存在的讨论（不过需要考虑直线的斜率可否为零）。
另外，适时选用曲线系方程，参数方程，都能收到简化运算之功效。
总之，在解析几何中，审清题意，抓住本质，明确目标是解题的基础，而选择合理的运算方法，掌握恰当的运算策略，对问题的顺利获解至关重要。