浅谈解析几何中简化运算的常用策略

浅谈解析几何中简化运算的常用策略

解析几何难在运算，要想突破这一难关，除了平时要注意培养良好的意志品质外，更主要的是要掌握一些有效减少运算量的方法，希望以下几种方法，对大家能有所帮助。

策略一追根溯源，回归定义

圆锥曲线定义反映了圆锥曲线的本质特性，揭示了它们存在的条件及其所包含的性质，用定义解题，简捷明快，省时高效。

例1设是抛物线的焦点，直线过交抛物线于、两点，点满足条件；

(1) 证明：以为直径的圆与抛物线的准线相切；

(2) 若是抛物线上一点，且的最小值为5，求、的值。

分析：本题如果不用定义，就势必用点到直线的距离公式和两点间的距离公式，如（2）中，在求最小值时，遇到了两根式函数和的最值问题，相当复杂。

解：（1）设中点为，分别过、、点作准线的垂线，垂足分别为、、，由抛物线定义可知：

所以，以直径的圆与准线相切。

（2）过作于，交抛物线于点，则为所求

评注：利用圆锥曲线解题，应注意以下几种情形：

①涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题，常用第一定义结合正、余弦定理来解决；涉及焦点、准线、离心率、圆锥曲线上的点等问题，常用第二定义。

②研究有关点间的距离的最值问题时，常用第一定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用第二定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到其相应准线的距离，再结合图形利用几何意义去解决有关的最值问题。

策略二抓住本质，合理转化

转化是解题的精髓，就是从未知向已知，从复杂向简单的化归转化过程，它具有很强的灵活性。常要求我们抓住问题的本质，解放思想，克服思维定势。好的转化方法不仅可以减小运算量，而且可以让人叹为观止，使人的心灵受到美的熏陶。

例2已知点A(3,0) , B(0,3)和抛物线。若抛物线和线段AB恰有一个公共点，求m的取值范围。

分析：本题可以先把两曲线交点问题，转化为方程根的个数问题，进一步再利用数形结合求解。本题若利用方程根的分布求m 的范围，运算量会比较大。

解：把线段AB的方程y =3-x ( )代入抛物线，得

，于是原题化归为方在[0,3]内恰有一解。

令即与在[0,3]内有且只有一个交点，

在同一坐标系中作出的图像。

在方程中，

由得m+1=4

所以

所以当m+1=4 或m+1> 时，

符合题意，即m 的取值范围为

评注：高中常用的转化方法除了换元法、参数法、构造法、数形结合外，还有正难则反，特殊化原则；常量与变量的转化；立体问题平面化；函数与方程，等与不等之间的转化；实际问题与数学模型的转化。

策略三巧设方程，出奇制胜

合理设出所需曲线方程，可以省去诸多麻烦。实际上，好的设法等于成功了一半。

例3 过抛物线的纵坐标为、，求证：

分析：本题的习惯解法需要考虑直线的斜率存在和不存在两种情形，前者运算较繁，而后者又极易被忽略，注意到该直线过定点，且斜率不会为0，又最后结果要的是两交点的纵坐标之积，所以可设直线方程为

证明：设过焦点的直线方程为，代入，消去x,整理得

由韦达定理，得

评注: 如果已知直线的横截距，或需要消去y时，这样设直线方程，不仅可以简化运算，而且避免了对直线斜率存在不存在的讨论（不过需要考虑直线的斜率可否为零）。另外，适时选用曲线系方程，参数方程，都能收到简化运算之功效。

总之，在解析几何中，审清题意，抓住本质，明确目标是解题的基础，而选择合理的运算方法，掌握恰当的运算策略，对问题的顺利获解至关重要。