偏最小二乘法回归系数值
PLS偏最小二乘法
偏最小二乘法(Partial Least Square) 通过最小化误差平方来寻找数据与函数间的最佳匹配，是一种参数估计方法，一般估计步骤包括：首先将解释变量和被解释变量标准化，并提取解释变量和被解释变量的主成分，例如提取解释变量的主成分，要求与被解释变量高度相关，这个过程体现了典型相关和主成分分析的思想。
其次做解释变量和被解释变量在主成分上的回归，可以分别得到残差，这个还是OLS的思想。
最后，按以上的步骤循环下去，直到新的主成分系数不再显著。
其实PLS仍然是OLS的一种扩展，目前在解决多重共线性问题领域的研究很成熟。
一般认为比岭回归、主成分分析等方法在解决多重共线性问题上更为有效。
此外，PLS与结构方程（SEM）在应用上相得益彰，我们知道SEM是大样本理论的产物，因此其应用受到诸多限制，尤其在小样本下，该模型几乎无法应用，而PLS恰好可以弥补这方面的缺陷。
研究结论认为PLS 在非正态分布、小样本、共线性的情况下，仍然很稳定。
偏最小二乘法是一种新型的多元统计数据分析方法，它于1983年由伍德(S.Wold)和阿巴诺(C.Albano)等人首提示来的,偏最小二乘法有机的结合起来了，在一个算法下，可以同时实现回归建模(多元线性回归)、数据结构简化(主成分分析)以及两组变量之间的相关性分析(典型相关分析)。
这是多元统计数据分析中的一个飞跃。
与传统多元线性回归模型相比，偏最小二乘回归的特点是：(1) 能够在自变量存在严重多重相关性的条件下进行回归建模；(2) 允许在样本点个数少于变量个数的条件下进行回归建模；(3) 偏最小二乘回归在最终模型中将包含原有的所有自变量；(4) 偏最小二乘回归模型更易于辨识系统信息与噪声（甚至一些非随机性的噪声）；(5) 在偏最小二乘回归模型中，每一个自变量的回归系数将更容易解释。
偏最小二乘法是一种多因变量对多自变量的回归建模方法。
主成分回归的主要目的是要提取隐藏在矩阵X中的相关信息，然后用于预测变量Y的值。
回归系数的估计方法 -回复
回归系数的估计方法-回复回归系数的估计方法是在回归分析中使用的一种统计技术。
回归分析用于研究因变量与自变量之间的关系，并且可以预测因变量的值。
回归系数是用来衡量自变量对因变量的影响程度的指标。
本文将介绍常用的回归系数估计方法，并对每个方法进行详细说明和比较。
回归系数的估计方法主要有：最小二乘法、最大似然估计和贝叶斯估计。
最小二乘法是回归分析中最常用的估计方法。
该方法的基本思想是通过最小化观测数据与回归线之间的残差平方和来估计回归系数。
残差是预测值与实际观测值之间的差异，在最小二乘法中，我们尝试找到一条回归线，使得所有观测值与该回归线的残差平方和最小。
通过最小二乘法估计的回归系数具有良好的统计性质，包括无偏性和最小方差性。
最小二乘法适用于线性回归和非线性回归模型。
最大似然估计是另一种常用的回归系数估计方法。
该方法的基本思想是找到一组回归系数，使得对观测数据的似然函数达到最大。
似然函数是描述观测数据在给定模型下出现的概率，通过最大化似然函数，我们可以得到最有可能生成观测数据的回归系数估计。
最大似然估计方法通常需要对数据的分布做出一些假设，例如正态分布假设。
与最小二乘法不同，最大似然估计方法能够提供回归系数的置信区间，用于评估回归系数的统计显著性。
贝叶斯估计是一种基于贝叶斯统计理论的回归系数估计方法。
该方法的特点是将先验分布与观测数据进行结合，得到后验分布，并且通过后验分布来估计回归系数。
在贝叶斯估计中，先验分布可以是任意的概率分布，可以通过专家知识或历史数据进行设定。
通过后验分布，我们可以得到回归系数的点估计和区间估计，并且可以对不确定性进行概括。
贝叶斯估计方法通常需要进行模型的较复杂的计算，但在面对数据不完备或先验不确定的情况下具有一定的优势。
在实际应用中，选择适合的回归系数估计方法取决于具体的问题和数据特征。
最小二乘法是一种简单直观的估计方法，适用于大多数的回归问题。
最大似然估计方法对数据的概率分布做出假设，可以提供回归系数的统计显著性。
偏最小二乘法算法
偏最小二乘法1.1基本原理偏最小二乘法(PLS)是基于因子分析的多变量校正方法，其数学基础为主成分分析。
但它相对于主成分回归(PCR)更进了一步，两者的区别在于PLS法将浓度矩阵Y和相应的量测响应矩阵X同时进行主成分分解：X二 TP+EY=UQ+F式中T和U分别为X和Y的得分矩阵，而P和Q分别为X和Y的载荷矩阵，E和F分别为运用偏最小二乘法去拟合矩阵X和Y时所引进的误差。
偏最小二乘法和主成分回归很相似，其差别在于用于描述变量Y中因子的同时也用于描述变量X。
为了实现这一点，数学中是以矩阵Y的列去计算矩阵X的因子。
同时，矩阵Y的因子则由矩阵X 的列去预测。
分解得到的T和U矩阵分别是除去了人部分测量误差的响应和浓度的信息。
偏最小二乘法就是利用各列向量相互正交的特征响应矩阵T和特征浓度矩阵U进行回归：U=TB得到回归系数矩阵，又称矢联矩阵E：B=(TT )F U因此，偏最小二乘法的校正步骤包括对矩阵Y和矩阵X的主成分分解以及对矢联矩阵B的计算。
12主成分分析主成分分析的中心目的是将数据降维，以排除众多化学信息共存中相互重叠的信息。
他是将原变量进行转换，即把原变量的线性组合成几个新变量。
同时这些新变量要尽可能多的表征原变量的数据结构特征而不丢失信息。
新变量是一组正交的，即互不相矢的变量。
这种新变量又称为主成分。
如何寻找主成分，在数学上讲，求数据矩阵的主成分就是求解该矩阵的特征值和特征矢量问题。
卞面以多组分混合物的量测光谱来加以说明。
假设有n个样本包含p个组分，在m个波长下测定其光谱数据，根据比尔定律和加和定理有：如果混合物只有一种组分，则该光谱矢量与纯光谱矢量应该是方向一致，而人小不同。
换句话说，光谱A表示在由p个波长构成的p维变量空间的一组点(n个)，而这一组点一定在一条通过坐标原点的直线上。
这条直线其实就是纯光谱b。
因此由ni个波长描述的原始数据可以用一条直线，即一个新坐标或新变量来表示。
如果一个混合物由2个组分组成，各组分的纯光谱用bl,b2 表示，则有：<=c i{b: + Ci2bl有上式看出，不管混合物如何变化，其光谱总可以用两个新坐标轴bl,b2来表示。
偏最小二乘法
已被广泛应用于近红外、红偏最小二乘法（PLS）是光谱多元定量校正最常用的一种方法外、拉曼、核磁和质谱等波谱定量模型的建立，几乎成为光谱分析中建立线性定量校正模型的通用方法〔1, 2〕。
近年来，随着PLS方法在光谱分析尤其是分子光谱如近红外、红外和拉曼中应用的深入开展，PLS 方法还被用来解决模式识别、定量校正模型适用性判断以及异常样本检测等定性分析问题。
由于PLS方法同时从光谱阵和浓度阵中提取载荷和得分，克服主成分分析（PCA）方法没有利用浓度阵的缺点，可有效降维，并消除光谱间可能存在的复共线关系，因此取得令人非常满意的定性分析结果〔3 ~ 5〕。
本文主要介绍PLS方法在光谱定性分析方面的原理及应用实例。
偏最小二乘方法（PLS-Partial Least Squares））是近年来发展起来的一种新的多元统计分析法现已成功地应用于分析化学，如紫外光谱、气相色谱和电分析化学等等。
该种方法，在化合物结构-活性/性质相关性研究中是一种非常有用的手段。
如美国Tripos公司用于化合物三维构效关系研究的CoMFA （Comparative Molecular Field Analysis）方法，其中，数据统计处理部分主要是PLS。
在PLS方法中用的是替潜变量，其数学基础是主成分分析。
替潜变量的个数一般少于原自变量的个数，所以PLS特别适用于自变量的个数多于试样个数的情况。
在此种情况下，亦可运用主成分回归方法，但不能够运用一般的多元回归分析，因为一般多元回归分析要求试样的个数必须多于自变量的个数。
§§ 6.3.1 基本原理6.3 偏最小二乘（PLS ）为了叙述上的方便，我们首先引进“因子”的概念。
一个因子为原来变量的线性组合，所以矩阵的某一主成分即为一因子，而某矩阵的诸主成分是彼此相互正交的，但因子不一定，因为一因子可由某一成分经坐标旋转而得。
在主成分回归中，第一步，在矩阵X的本征矢量或因子数测试中，所处理的仅为X矩阵，而对于矩阵丫中信息并未考虑。
偏最小二乘回归分析
x y xy 101.8389 b 2 2 , x x a y b x -28.6883
y
2 [ y ( a bx )] i i
n2
0.931912
利用肖维涅舍弃判据来剔除测量值中带有粗差的数 据，列表如下（n=16时,Cu=2.15)：
递推关系:
P0(x)=1, P1(x)=x,
2 P2 ( x) 1 ( 3 x 1) 2
则： a 28.7 0.4 b 101.8 0.1
即回归方程为：
y 28.7 101.8 x
附：临界相关系数 R表
N-2 a
0.05 0.01
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.997 0.950 0.878 0.811 0.754 0.707 0.666 0.632 0.602 0.576 1.000 0.990 0.959 0.917 0.874 0.834 0.798 0.765 0.735 0.707
1.3 相关关系
相关关系的描述 相关关系最直观的描述方式——坐标图（散点图）
非线性相关
零相关
正相关
负相关
相关系数 — 相关程度的度量
X和Y的总体 相关系数： •
Cov( X , Y ) Var ( X )Var (Y )
其中： Var(X)-----X 的方差 Var(Y)-----Y的方差 Cov（X，Y）-----X和Y的协方差
解： 1.列表
n x
y x2 y2 xy
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1.11
82.5 1.2321 6806.25 91.575
matlab中的偏最小二乘法(pls)回归模型,离群点检测和变量选择
matlab中的偏最小二乘法（pls）回归模型，离群点检测和变
量选择
在MATLAB中，可以使用以下函数实现偏最小二乘法回归模型、离群点检测和变量选择：
1. 偏最小二乘法（PLS）回归模型：
- `plsregress`：该函数用于计算偏最小二乘法（PLS）回归模型。
它可以输出回归系数、预测结果以及其他性能指标。
2. 离群点检测：
- `mahal`：该函数用于计算多元正态分布下的马氏距离，可以作为离群点的度量。
- `outlier`：该函数用于检测一维数据的离群点。
3. 变量选择：
- `plsregress`的输出结果中可以通过使用交叉验证和预测误差来选择最优的变量数量。
- `plsregress`的输出结果中的回归系数中可以通过设置阈值来选择较大的变量。
具体用法可以参考MATLAB的文档和示例代码。
偏回归系数、标准误、标准偏回归系数
标题：深度解析偏回归系数、标准误和标准偏回归系数在统计学中，偏回归系数、标准误和标准偏回归系数是重要的概念，在分析数据和建立模型时起着至关重要的作用。
本文将对这些概念进行全面解析，帮助读者深入理解它们的含义、计算方法以及在实际应用中的价值。
一、偏回归系数偏回归系数是指在多元回归分析中，某一自变量对因变量的影响程度。
通常表示为β，用来衡量自变量的变化对因变量的影响。
在多元回归模型中，每一个自变量都有一个对应的偏回归系数，用来表示它们对因变量的影响。
1.1 偏回归系数的计算方法偏回归系数的计算通常使用最小二乘法。
在最小二乘法下，对于每一个自变量，都可以通过回归分析得出相应的偏回归系数。
这些系数可以帮助我们理解自变量对因变量的影响方向和程度。
1.2 偏回归系数的意义在回归分析中，偏回归系数可以帮助我们理解自变量与因变量之间的关系。
通过对偏回归系数的分析，我们可以得知不同自变量对因变量的影响大小，从而可以更好地理解变量之间的关系。
二、标准误标准误是指在统计学中用来衡量估计量（例如回归系数）的精确程度。
它反映了样本统计量与总体参数之间的接近程度。
在回归分析中，标准误可以帮助我们评估回归系数的可靠性，从而确定变量间的关系是否显著。
2.1 标准误的计算方法在回归分析中，标准误可以通过对估计量的方差进行计算得出。
它通常与偏回归系数一同显示，帮助我们判断回归系数的显著性。
2.2 标准误的作用标准误是衡量回归系数估计值的精确程度的重要指标。
通过对标准误的分析，我们可以判断回归系数的估计是否可靠，从而确定自变量对因变量的影响是否显著。
三、标准偏回归系数标准偏回归系数是指在多元回归分析中，对各自变量标准化后得到的回归系数。
标准偏回归系数可以帮助我们比较不同自变量对因变量的影响大小，消除了自变量量纲不同的影响，更加客观地评估各自变量的重要性。
3.1 标准偏回归系数的计算方法标准偏回归系数是通过对偏回归系数进行标准化计算得出的。
专题6偏最小二乘回归ppt课件
3
一、偏最小二乘回归概述——偏最小二乘回归方法的产生背景(续)
在国内,最早对此进行系统研究的学者 是北京航空航天大学的王惠文教授。
4
一、偏最小二乘回归概述
偏最小二乘回归的基本思想
2 T
。一般地,若有ˆT2
ˆ
2 B
,
则回归方程会有更好的预测效果;若
ˆT2
ˆ
2 B
,
则回归方程不宜用于预测。
22
二、偏最小二乘回归的建模步骤
在PLS建模中,究竟该选取多少个成分为宜,这 可通过考察增加一个新的成分后,能否对模型的预 测功能有明显改进来考虑。
采用类似于抽样测试法的工作方式,把所有n 个样本点分成2部分:第1部分除去某个样本点i的 所有样本点集合(共含n-1个样本点),用这部分样本 点并使用h个成分拟合一个回归方程;第二部分是 把刚才被排除的样本点i代入前面拟合的回归方程, 得到 y j 在样本点i上的拟合值 yˆ hj(i)。
显提高。
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三、偏最小二乘回归的辅助分析技术
与典型相关分析对应的研究内容 与主成分分析对应的研究内容
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三、偏最小二乘回归的辅助分析技术
与典型相关分析对应的研究内容
1.精度分析
(1)th对某自变量xj的解释能力为
Rd (xj ;th ) r2 (xj ,th )
(2)th对X的解释能力为
1 p
m
Rd (xj ;t1,t2, ,tm ) Rd (xj ;th ) h1
(5)th对某因变量yk的解释能力为 Rd ( yk ;th ) r2 ( yk ;th )
多重共线性问题的偏最小二乘估计
多重共线性问题的偏最小二乘估计多重共线性是回归分析中常见的问题，指的是自变量之间存在高度相关性的情况。
在存在多重共线性的情况下，普通最小二乘法（OLS）估计的结果可能会出现严重的偏差，导致对模型的解释和预测能力产生负面影响。
为了解决多重共线性问题，偏最小二乘估计（PLS）成为了一种常用的方法。
偏最小二乘估计（PLS）是一种用来处理多元共线性问题的方法，它能够减少自变量之间的相关性，从而改善回归估计的效果。
下面我们将详细介绍偏最小二乘估计的原理、方法和应用。
一、多重共线性问题的原因和影响多重共线性通常是由于自变量之间存在较高的相关性而导致的。
当自变量之间存在线性相关性时，OLS估计的结果会变得不稳定，其标准误和t统计量可能会出现很大的偏差，从而影响对回归系数的显著性检验和对因变量的预测能力。
在多重共线性存在的情况下，自变量的系数估计可能会出现颠倒、符号错误等问题，导致对模型的解释产生困难。
多重共线性还会导致模型的方差膨胀因子（VIF）增大，从而使得模型的精确性下降。
解决多重共线性问题对于提高回归分析的准确性和稳定性非常重要。
二、偏最小二乘估计的原理偏最小二乘估计是一种基于主成分分析的方法，它通过将自变量进行线性变换，使得变换后的新自变量之间不再存在相关性，从而减少多重共线性的影响。
偏最小二乘估计的核心思想是通过一系列的主成分分析，找到一组新的自变量，使得与因变量的相关性最大，同时自变量之间的相关性最小。
具体来说，偏最小二乘估计通过以下步骤实现：1. 计算原始自变量矩阵的主成分分析得到新的自变量矩阵。
2. 然后，选取一个较小的主成分数，将原始自变量矩阵进行主成分投影，得到新的自变量矩阵。
3. 使用新的自变量矩阵进行回归分析，得到偏最小二乘估计的结果。
通过以上步骤，可以在减少自变量之间的相关性的最大程度地保留原始自变量矩阵对因变量的解释能力，从而提高回归分析的稳定性和精确性。
偏最小二乘估计有两种常用的方法：偏最小二乘回归（PLSR）和偏最小二乘路径分析（PLSPA）。
偏最小二乘回归方法(PLS)
偏最小二乘回归方法1 偏最小二乘回归方法(PLS)背景介绍在经济管理、教育学、农业、社会科学、工程技术、医学和生物学中，多元线性回归分析是一种普遍应用的统计分析与预测技术。
多元线性回归中，一般采用最小二乘方法(Ordinary Least Squares :OLS)估计回归系数，以使残差平方和达到最小，但当自变量之间存在多重相关性时，最小二乘估计方法往往失效。
而这种变量之间多重相关性问题在多元线性回归分析中危害非常严重，但又普遍存在。
为消除这种影响，常采用主成分分析(principal Components Analysis :PCA)的方法，但采用主成分分析提取的主成分，虽然能较好地概括自变量系统中的信息，却带进了许多无用的噪声，从而对因变量缺乏解释能力。
最小偏二乘回归方法(Partial Least Squares Regression：PLS)就是应这种实际需要而产生和发展的一种有广泛适用性的多元统计分析方法。
它于1983年由S.Wold和C.Albano等人首次提出并成功地应用在化学领域。
近十年来，偏最小二乘回归方法在理论、方法和应用方面都得到了迅速的发展，己经广泛地应用在许多领域，如生物信息学、机器学习和文本分类等领域。
偏最小二乘回归方法主要的研究焦点是多因变量对多自变量的回归建模，它与普通多元回归方法在思路上的主要区别是它在回归建模过程中采用了信息综合与筛选技术。
它不再是直接考虑因变量集合与自变量集合的回归建模，而是在变量系统中提取若干对系统具有最佳解释能力的新综合变量(又称成分)，然后对它们进行回归建模。
偏最小二乘回归可以将建模类型的预测分析方法与非模型式的数据内涵分析方法有机地结合起来，可以同时实现回归建模、数据结构简化(主成分分析)以及两组变量间的相关性分析(典型性关分析)，即集多元线性回归分析、典型相关分析和主成分分析的基本功能为一体。
下面将简单地叙述偏最小二乘回归的基本原理。
27第二十七章 偏最小二乘回归分析
线性组合： t1 = w11 x1 + L + w1m xm = w1 X ， u1 是因变量集 Y = ( y1 ,L , y p ) 的线性组
T
T
合： u1 = v11 y1 + L + v1 p y p = v1 Y 。为了回归分析的需要，要求：
T
① t1 和 u1 各自尽可能多地提取所在变量组的变异信息； ② t1 和 u1 的相关程度达到最大。 由两组变量集的标准化观测数据阵 E0 和 F0 ，可以计算第一对成分的得分向量，记
2 ⎧α = E T tˆ t ˆ1 0 1 ⎪ 1 ， ⎨ 2 T ˆ ˆ ⎪ ⎩β1 = F0 t1 t1
称 α1 , β1 为模型效应负荷量。
（3）用残差阵 E1 和 F1 代替 E0 和 F0 重复以上步骤。
ˆ = tˆ α ， F ˆ = tˆ β ，则残差阵 E = E − E ˆ ，F = F − F ˆ 。如果残差阵 F 记E 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0
-674-
ˆ1 和 u ˆ1 ： 为t
⎡ x11 tˆ1 = E0 w1 = ⎢ ⎢ M ⎢ ⎣ xn1 ⎡ y11 ⎢ ˆ1 = F0 v1 = ⎢ M u ⎢ yn1 ⎣ L x1m ⎤ ⎡ w11 ⎤ ⎡t11 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ M ⎥ ⎥⎢ M ⎥ = ⎢ M ⎥ L xnm ⎥ ⎦⎢ ⎣ w1m ⎥ ⎦ ⎢ ⎣t n1 ⎥ ⎦
⎡ y11 L y1 p ⎤ ⎡ x11 L x1m ⎤ ⎢ ⎥ F0 = ⎢ M M ⎥ ， E0 = ⎢ M ⎥ ⎢M ⎥ ⎢ yn1 L ynp ⎥ ⎢ ⎥ x x L nm ⎦ ⎣ n1 ⎣ ⎦
偏最小二乘回归分析建模的具体步骤如下： （1）分别提取两变量组的第一对成分，并使之相关性达最大。 假设从两组变量分别提出第一对成分为 t1 和 u1 ，t1 是自变量集 X = ( x1 ,L , xm ) 的
偏回归系数的估计值
偏回归系数的估计值回归分析是一种统计分析方法，用于建立自变量和因变量之间的关系模型。
在回归分析中，我们通常需要估计回归方程中的系数，这些系数反映了自变量对因变量的影响程度。
其中，偏回归系数是指当其他自变量保持不变时，某一自变量对因变量的贡献程度。
在进行回归分析时，我们通常使用最小二乘估计方法来估计回归方程的系数。
最小二乘估计方法通过最小化实际观测值与回归方程预测值之间的差距来求取最优的回归系数估计值。
这些估计值可以用来预测因变量的取值，同时也可以用于解释自变量对因变量的影响。
偏回归系数的估计值是指在多元回归分析中，已经控制了其他自变量的影响后所得到的某一自变量与因变量之间的关系系数。
通过控制其他自变量的影响，我们可以更准确地估计每个自变量对因变量的独立影响。
在实际分析中，我们可以使用多种统计软件来进行回归分析，并获取各个自变量的回归系数估计值。
例如，使用常见的回归分析软件包（如SPSS、R或Stata 等），我们可以运行回归模型并获取各个自变量的偏回归系数估计值。
偏回归系数的估计值通常通过t统计量进行检验。
这个t统计量可以用来判断偏回归系数是否显著不为零。
如果t统计量的p值小于显著性水平（通常为0.05），则我们可以拒绝假设，认为偏回归系数是显著不为零的，即该自变量对因变量的影响是显著的。
除了偏回归系数的估计值，我们还可以通过计算置信区间来评估回归系数的不确定性。
置信区间为回归系数的估计值加减一个标准误的范围，常用于判断回归系数的显著性。
需要注意的是，在进行回归分析时，我们应该考虑其他可能的因素，如共线性、异方差性等。
共线性可能导致回归系数的估计不准确，异方差性可能违反了回归模型的基本假设。
因此，在解释回归结果时，我们应该综合考虑这些因素，并小心解读偏回归系数的估计值。
总之，偏回归系数的估计值是回归分析中的重要结果之一，它反映了自变量对因变量的独立影响。
通过控制其他自变量的影响，我们可以更准确地估计每个自变量对因变量的影响程度。
回归系数的最小二乘法
回归系数的最小二乘法现在我们用最小二乘法来估计模型中的未知参数0β和1β.假设有n 组独立观测值：)()()(1122,,,,...,,n n x y x y x y （例1中的n=16）,则由（2）有 01,1,2,...,i i i y x i n ββε=++=()21,2,n,n 220101=1=10,...==(--)i i n ii i i i E D Q Q y x εεσεεεββεββ===∑∑且，，，相互独立记，称()01,Q ββ为偏离真实直线的偏差平方和。
最小二乘法就是10ββ和的估计^^,01ββ，使得()01^^0,1,,=min 01Q Q ββββββ⎛⎫ ⎪⎭⎝为此，将上式分别对01ββ、求偏导数，得n 01=10n 01=11-2(--)=-2(--)i i i i i i Q y x Q y x ββββββ∂⎧=⎪∂⎪⎨∂⎪⎪∂⎩∑∑令上式^^0101,,ββββ取代，得 n^^0=1^^01=1(y --)=0(y --)=0i i i i n i i i i x x x ββββ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∑∑于是有 ^^0111^^201111nn i i i i n n n i i i i i i i n x y x x x y ββββ=====⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩∑∑∑∑∑此方程组称为正规方程。
由正规方程解得^^01^122y x xy x y x x βββ--⎧=-⎪⎪⎨-=⎪⎪-⎩或^1121()()()ni ii n ii x x y y x x β==--=-∑∑ 其中2211111111,,,n n n n i i i i i i i i i x x y y x x xy x y n n n n ========∑∑∑∑用这种方法求出的估计^(0,1)i i β=称为i β的最小二乘估计，简称LS 估计。
（经验）回归方程为^^^^011()y x y x x βββ=+=+-显然，^1β是拟合直线的斜率，^1β是拟合直线在0x x =处的截距.n 个点()(),1,2,i i x y i n =⋅⋅⋅的几何重心(),x y 落在拟合直线上.为了便于计算，人们常用下列记号和等式的各种变形()()()()()()()()222=1=1=1=1=1=1=1222=1=1=1=-=-=---=-=-=-=-=-=-n n n xx i i i i i i i n n n nXY i i i i i i i i i i i i nn nyy i i i i i i i L x x x x x x nxL x x y y x x y y y x x y nxy L y y y y y y ny=⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑：这时^1β可简记为：^1/x y x xL L β= 注意：()()()2^1112211~n i i i n n i i i i x x yN x x x x σββ===⎛⎫- ⎪⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭∑∑∑,所以它是1β的无偏估计，同样，^0β也是0β的无偏估计。
一元线性回归方程中回归系数的几种确定方法
0 引 言
一元线性回归模型是统计学中回归分析预测理论的一种重要方法 ,应用于自然科学 、工程技术和经
济分析的各个领域 ,有较强的实用性·该方法的基本思想是 : 首先确定两个变量之间是否存在线性相
偏最小二乘法(PLS)简介
Ah+1=LS的T由公式T=XW计算出，B由公式B=WQ'计算。
相关文献
许禄，《化学计量学方法》，科学出版社，北京，1995。
王惠文，《偏最小二乘回归方法及应用》，国防科技出版社，北京，1996。
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Analysis, Volume 1: Methods. New York: Praeger.
Principal Components Analysis Is To Common Factor Analysis.
Technology Studies. volume 2, issue 2, 315-319.
Falk, R. F. and N. Miller (1992). A Primer For Soft Modeling.
偏最小二乘回归方法
讲演人：
简言之
偏最小二乘回归是一种集多元 线性回归分析、典型相关分析和主 成分分析的基本功能为一体的新型 多元统计分析方法。
此方法的优点：
（1）能在自变量存在严重多重 相关性的条件下进行回归建模；
（2）允许在样本点个数少于自 变量个数的条件下进行回归建模；
此方法的优点：
（3）偏最小二乘回归在最终模 型中将包含原有的所有自变量，易 于辨识系统信息与噪声，而且其自 变量的回归系数也将更容易解释。
ti 对某自变量 x j的解释能力为
Rd(xj ;ti ) r2(xj ,ti )
典型相关分析中的精度分析
ti 对某因变量yk 的解释能力为
Rd ( yk ;ti ) r 2 ( yk , ti )
ti 对X 的解释能力为
Rd ( X ;ti )
1 p
p k 1
Rd (xk ;ti )
t1, ,th 对X 的解释能力为
多因变量偏最小二乘算法推导
把（1）和（2）式写成
E0T F0c1 11
F0T E01 1c1
将（6）代入（5），有
E0T F0 F0T E01 121
（5）式 （6）式
（7）式
多因变量偏最小二乘算法推导
易知，1是矩阵 E0T F0F0T E0的特征 向量，对应的特征值为 12 。1 是目 标函数，它要求取最大值。
此方法的优点：
（4）偏最小二乘回归方法与其 他的建模方法相比，具有计算简单、 预测精度高，易于定性解释的优点。
多因变量偏最小二乘算法推导
首先将数据做标准化处理。
原自变量数据表 X (x1, x2 , xp )np 经标准化后的数据矩阵记为
E0 (E01, , E0 p )n p
两阶段最小二乘法的回归表格
两阶段最小二乘法的回归表格
在两阶段最小二乘法的回归分析中，通常会生成两个回归表格。
第一个表格显示第一阶段回归的结果，第二个表格显示第二阶段回归的结果。
以下是一个示例表格：
第一阶段回归结果（因变量：Y，自变量：X1, X2, X3）：
第二阶段回归结果（因变量：Y，自变量：Z1, Z2）：
在这个示例中，第一阶段回归是为了找到合适的工具变量（Z1和Z2）来预测内生解释变量（X1、X2和X3），然后这些工具变量被用于第二阶段回归以预测因变量（Y）。
在第一阶段回归中，X1、X2和X3的系数分别代表它们对Z1和Z2的影响。
在第二阶段回归中，Z1和Z2的系数代表它们对Y的影响。
偏最小二乘法回归系数值正负
偏最小二乘法回归系数值正负
以偏最小二乘法回归系数值正负为题，我将从人类的视角出发，用准确的中文描述这个主题。
在回归分析中，偏最小二乘法是一种常用的方法，它可以用来估计自变量对因变量的影响程度。
而回归系数则是衡量这种影响程度的指标，它的正负可以告诉我们自变量与因变量之间的关系是正相关还是负相关。
在实际应用中，回归系数值的正负可以对我们的研究结果产生重要的启示。
如果回归系数为正，表示自变量与因变量呈正相关关系，也就是说自变量的增加会导致因变量的增加；而如果回归系数为负，表示自变量与因变量呈负相关关系，也就是说自变量的增加会导致因变量的减少。
举个例子来说明，假设我们研究某城市的温度对空调用电量的影响。
我们收集了一段时间内的温度和空调用电量的数据，并使用偏最小二乘法进行回归分析。
结果显示，温度的回归系数为正，这意味着温度的增加会导致空调用电量的增加。
这个结果是符合常识的，因为在高温天气下，人们通常会增加空调的使用，从而导致用电量的增加。
另外一个例子是研究学生的学习时间和考试成绩之间的关系。
通过回归分析，我们发现学习时间的回归系数为正。
这意味着学习时间
的增加会导致考试成绩的提高。
这个结果也是符合我们的预期的，因为在相同的学习内容下，投入更多的时间和精力，自然会取得更好的成绩。
总结起来，偏最小二乘法回归系数值的正负可以为我们的研究提供重要的信息。
它可以告诉我们自变量与因变量之间的关系是正相关还是负相关。
通过这些结果，我们可以更好地理解变量之间的相互影响，为实际问题的解决提供参考和指导。
偏最小二乘法回归(Partial Least Squares Regression)
������2
黑色线条表示原始坐标系，蓝色的点是原始的 4 个 2 维的样本点，做完 PCA 后，得到 两个正交的特征向量坐标������1 和������2 。绿色点是样本点在������1 上的投影（具有最大方差） ，红色点 是在������2 上的投影。������1 的每个分量是绿色点在������1 上的截距，������2 是红色点在������2 上的截距。������������ ������������������ 中 的每个分量都可以看做是方向为������������ ， 截距为������������ 相应分量大小的向量， 如那个������1����� ������������������ 就得到了 X 在������������ 的所有投影向量，由于������1 和������2 正交，因此������1 ������1 + ������2 ������2 就相当于每个点的 橘色箭头的加和，可想而知，得到了原始样本点。 ������ 如果舍弃了一些特征向量如������2 ，那么通过������1 ������1 只能还原出原始点的部分信息（得到的绿 色点， 丢失了蓝色点在另一维度上的信息） 。 另外， P 有个名字叫做 loading 矩阵， T 叫做 score 矩阵。
其实 T 的列向量也是正交的，不太严谨的证明如下： ������ ������ ������ = (������������)������ (������������) = ������������ ������ ������ ������������ = ������������ (������������������������ )������ = ������������ ������������������������ ������ = ������ 其中利用了������ ������ ������ = ������������������������ ，这是求 P 的过程，������是对角阵，对角线上元素就是特征值λ。 这里对 P 做了单位化，即������������ ������ = ������ 。这就说明了 T 也是正交的， P 是������ ������ ������的特征向量矩阵， 更进一步，T 是������������ ������ 的特征向量矩阵（������������ ������ ������ = ������������ ������ ������������ = ������������������������������ ������ = ������������)。 这样经过 PCA 以后，我们新的样本矩阵 T（m*r）是满秩的，而且列向量正交，因此直 接代入最小二乘法公式，就能得到回归系数θ。 PCA 的另一种表示： ������ ������ ������ ������ ������ = ������1 + ������2 + ������3 + ⋯ + ������n = ������1 ������1 + ������2 ������2 + ������3 ������3 + ⋯ + ������������ ������������ = ������������������ （假设 X 秩为 n） 这个公式其实和上面的表示方式������ = ������������没什么区别。 ������ = ������������ → ������������������ = ������������������������ → ������ = ������������������ （当然我们认为 P 是 n*n 的，因此������������ = ������−1） 如果 P 是 n*r 的，也就是舍弃了特征值较小的特征向量，那么上面的加法式子就变成了 ������ ������ ������ ������ ������ = ������1 + ������2 + ������3 + ⋯ + ������������ + ������ = ������1 ������1 + ������2 ������2 + ������3 ������3 + ⋯ + ������������ ������������ + ������ = ������������������ + ������ 这里的 E 是残差矩阵。 其实这个式子有着很强的几何意义， ������������ 是������ ������ ������第������ 大特征值对应的 归一化后的特征向量，������������ 就是 X 在������������ 上的投影。������������ ������������������ 就是 X 先投影到������������ 上，还以原始坐标系 得到的 X’。下面这个图可以帮助理解：
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偏最小二乘法回归系数值
一、偏最小二乘法回归系数值的定义
偏最小二乘法回归系数值是用来量化自变量与因变量之间关系强度的参数，用来衡量自变量和因变量之间关系的强度和方向的统计量。
它通过最小化预测误差方和来估计回归系数，从而得到回归方程。
二、偏最小二乘法回归系数值的意义
偏最小二乘法回归系数值是在回归分析中，偏最小二乘法是一种常用的方法，它通过对自变量和因变量进行线性回归分析，得出回归系数值，从而揭示出自变量对因变量的影响程度。
三、偏最小二乘法回归系数值的特点
偏最小二乘法回归系数值的特点在于自变量的变换过程，它使用了典型相关分析的目标函数和主成分分析的约束方程，变换是求解组间相关性最强的变量，不过它的约束条件是控制变换向量的范数。
四、偏最小二乘法回归系数值的影响
从形式上看，它使用了典型相关分析的目标函数和主成分分析的约束方程。
另一个角度看，偏最小二乘的回归参数也是使用最小二乘估计的，所以它在回归参数求解的时候，对于多个因变量的参数是单独求解的。
在偏最小二乘法回归分析中，回归系数值的正负表示自变量和因变量之间的相关关系方向，正值表示正相关，负值表示负相关。
回归系数值的绝对值大小则表示自变量对因变量的影响程度。
一般来说，如果回归系数值的绝对值较大，说明自变量对因变量的影响程度较大，反之则较小。
五、解释偏最小二乘法回归系数值的注意事项
首先，回归系数值并不是一个概率或概率比值，它只表示自变量和因变量之间的相关关系强度和方向。
其次，回归系数值的大小并不代表预测的准确性，预测的准确性需要使用其他统计方法进行评估。
最后，回归系数值并不是固定不变的，它们会随着样本数据的变化而变化。
六、偏最小二乘回归系数值的计算步骤
1.收集数据，建立样本矩阵。
2.对样本矩阵进行标准化处理。
3.计算样本矩阵的协方差矩阵。
4.对协方差矩阵进行特征值分解。
5.提取主成分，保留前k个主成分。
6.建立回归模型，使用主成分作为自变量，因变量为原始数据中的因
变量。
7.对回归模型进行参数估计，得到回归系数值。
总之，偏最小二乘法回归系数值是用来衡量自变量和因变量之间关系的强度和方向的统计量，其正负表示相关关系方向，绝对值大小表示影响程度。
在解释回归系数值时，需要注意它们并不代表概率或预测准确性，而是反映自变量和因变量之间的相关关系强度和方向。