第八章刚体的平面运动习题解答
合肥工业大学理论力学答案08刚体平面运动
八、刚体的平面运动8.1 如图所示，O 1A 的角速度为ω1，板ABC 和杆O 1A 铰接。
问图中O 1A 和AC 上各点的速度分布规律对不对？8.2如图所示，板车车轮半径为r ，以角速度ω 沿地面只滚动不滑动，另有半径同为r 的轮A 和B 在板车上只滚动不滑动，其转向如图，角速度的大小均为ω，试分别确定A 轮和B 轮的速度瞬心位置。
[解] 板车作平动，轮A 、B 与板车接触点 E 、F 的速度相同，且r v v v O F E ω=== 对A 轮由基点法求轮心A 的速度 A E AE =+v v v ，r v AE ω=∴ r v A ω2=，且A 轮的速度瞬心在E 点下方r 处。
同理可得B 轮的速度瞬心就在轮心B 处。
8.3直杆AB 的A 端以匀速度v 沿半径为R 的半圆弧轨道运动，而杆身保持与轨道右尖角接触。
问杆AB 作什么运动？你能用几种方法求出杆AB 的角速度？E FPOE v Av Fv Ov[解] AB 杆作平面运动。
(一) 瞬心法AB 杆作平面运动，速度瞬心为P 。
Rv AP v AAB2==ω (二)基点法D A DA =+v v v ，DA v v AB A DA ωθ==sin又 DA ＝2R cos(90o －θ)＝2R sin θ ∴ Rv AB 2=ω(三)自然法： d d AB tϕω=，而R S ϕ2= ∴d d 2d d S R v t t ϕ==， d d 2vt R ϕ= ∴ Rv AB 2=ω 8.4如图所示四连杆机构OABO 1中，OA=O 1B=AB/2，曲柄OA 的角速度ω=3rad/s 。
当OA 转到与OO 1垂直时，O 1B 正好在OO 1的延长线上，求该瞬时AB 杆的角速度ωAB 和曲柄O 1B 的角速度ω1。
[解]取AB 为研究对象，AB 作平面运动。
以A 为基点，画B 点速度合成图 由B A BA =+v v v(rad/s)32230sin o==∴⋅=⋅==ωωωωAB OAAB OA v v AB AB ABABBBvvvDAv Dv Dv111cos3022(rad/s)B BAv v OA O Bωωω=︒=⋅=∴=8.5图示曲柄摇机构中，曲柄OA以角速度oω绕O轴转动，带动连杆AC在摇块B内滑动，摇块及与其固结的BD杆绕B铰转动，杆BD长l；求在图示位置时摇块的角速度及D点的速度。
第八章-2 刚体的平面运动
aB aAx aAy aBA a
√ √
√
n BA
aAy
A
aAx
方向 √ √ 大小
√
？
√
？ AB
将上式向 轴投影
a BA
2 AB
aAy
AB
n a BA
n aB a Ax a Ay 2 aBA 74.36(cm / s 2 )
aB 1 n (a Ax a Ay ) aBA 2 2
a
① 加速度没有投影定理。 ② 加速度瞬心存在，但一般不与速度瞬心重合。 ③ 由于加速度瞬心寻找很困难，求解中只用基点法。
半径为 R 的轮子 在水平面上纯滚，已知某瞬 时轮心的速度为 vO，加速 度为aO .求轮上速度瞬心的 加速度和 B 点的加速度。
例
aBY aO aBX B O C aCX
aB
B
aAx
n aB BA
§8-5 运动综合应用举例
工程中的机构大都由数个物体组成，各物体间通过联 结点而传递运动。为分析机构的运动，首先要分清各 物体都作什么运动，计算联结点的速度和加速度。 平面运动理论用来分析同一平面运动刚体，或刚体间 接触处没有相对滑动的机构的运动量联系。当两刚体 相接触而有相对滑动时，则需要点的合成运动理论。 复杂机构可能同时有平面运动和点的合成运动问题， 应分清关系、综合处理。
B’ B
30°
vB’A
vB' A 30 3 mm/ s
AE
vB ' A 3 rad / s AB 2
从而得槽杆AE的角速度
求加速度
1、选滑块B为动点，动系与槽杆AE固结。 aa = a e + a r+ a C ( 4 ) 2、以 A 点为基点，求 B’点的加速度
第八章刚体的平面运动
其中，i ，j 为x，y 轴的单位矢量。
14
2. 速度投影定理
同一平面图形上任意两点的速度在这两点连
线上的投影相等。
证明：
vB =vA +vBA
vBA vB
∵(vB )AB= (vA )AB+ (vBA) AB
A
B
vA
vA
而vBA 垂直AB，在AB两点连线上的投影为零
∴ (vB )AB= (vA )AB
O
30 A 60 60 B vB 已知方向，可求出连杆CB的速度瞬
vA
心Cv2。
36
例题
刚体的平面运动
例题8
因为
CCv2 CB tan 30
3l 3
故得连杆CB角速度的大小
C
Cv2
Cv1
vC
CB
vC CCv 2
3 l
vA
它的转向沿逆时针。于是滑块B 速
度的大小为
O
30 A
vA
60 60 B vB
M3和M4各点的加速度大小。
39
例题
刚体的平面运动
例题9
解： 因在此瞬时O点的加速度是已知的，
M3
故选O点为基点，则齿轮节圆边缘上任一
点M 的加速度为：
aO vO M4
M2
RO
a O
因为任一瞬时齿轮的角速度 vO ，
R
M1
因此，可对此式求导数，从而求得齿轮
的角加速度
O
ψ
A vB
vA=u
vB
u
tan
,
vBA
u
sin
,
所以
AB
vBA l
u l
理论力学-刚体的平面运动案例
大小 0
?
2 AB
AO
?
2evr
方向
沿aet方向投影
0
at e
aC
at e
aC
3v 2 4l
AB
aet AO
3 3v2 8l 2
另解： 1.取坐标系Oxy
2. A点的运动方程
xA l cot
3.速度、加速度
xA l sin 2 v
v sin 2
l
v l
sin
2
v2 l2
aB
aA
at BA
an BA
ar
aC
大小 aB
aA ?
2 AE
AB
?
2 AE vr
方向
沿
a
t B
方A 向投影
aB
cos 30o
aA
sin 30o
at BA
aC
沿 a方r 向投影
aB
sin 30
aA
cos 30
an BA
ar
ar 65 mm s2
AE
at BA
AB
3 rad s2 6
第八章 刚体的平面运动
例8-1 已知：椭圆规尺的A端以速度vA沿x 轴的负向运动， 如图所示，AB=l。
求：B端的速度以及尺AB的角速度。
解： 1. AB作平面运动 基点： A
2. vB vA vBA 大小 ？ vA ? 方向
vB vA cot
vBA
vA
sin
AB
vBA l
vA
l sin
DE
vD DE
vB l
5rad
s
BD
vDB BD
第八章刚体的平面运动习题解答
基点法
瞬心法
8-10在瓦特行星机构中，杆O1A绕轴O1转动，并借连杆AB带动曲柄OB绕轴O转动（曲柄OB活动地装在O轴上），如图8-37所示。齿轮Ⅱ与连杆AB固连于一体，在轴O上还装有齿轮Ⅰ。已知 ；又杆O1A的角速度 。试求当 且 时，曲柄OB和齿轮Ⅰ的角速度。
图8-37
瞬心法
基点法
8-11图8-38所示的双曲柄连杆机构中，滑块B和E用杆BE连接，主动曲柄OA和从动曲柄OD都绕O轴转动。主动曲柄OA作匀速转动，角速度的大小为 。已知各部件的尺寸为： 。试求当曲柄OA垂直于滑块的导轨方向时，从动曲柄OD和连杆DE的角速度。
图8-59
以O为动点，杆AB为动系
(1)速度分析
(2)加速度分析
圆轮O
以O为基点，分析C点
向y
8-33图8-60所示机构中，已知曲柄OA以匀角速度 绕定轴O转动，OA=100mm，l=500mm。在图示位置， ，试确定杆BD的角速度和角加速度。
图8-60
以A为动点，杆AB为动系
(1)速度分析
(2)加速度分析
图8-43
速度分析
加速度分析
8-17边长l=400mm的等边三角板ABC在其所在平面内运动，如图8-44所示。已知某瞬时点A的速度 ，加速度 ，方向均沿AC；点B的速度大小为 ，加速度大小为 。试求该瞬时点C的速度和加速度。
图8-44
即
(1)
向图示x、y方向投影
(2)
向图示x、y方向投影
8-18图8-45所示机构中，曲柄OA长为 ，以匀角速度 绕轴O转动；滑块B可在水平滑槽内滑动。已知AB=AC=2l，在图示瞬时，OA铅直，试求此时点C的速度及加速度。
图8-62
《理论力学》第八章_刚体的平面运动习题解
vE
vO
v0
1 (157.05 52.35) 52.35(mm / s) （方向：向上。） 2
vD
[习题8-6] 两刚体Ｍ，Ｎ用铰Ｃ连结，作平面平行运动。已知ＡＣ＝ＢＣ＝６００ｍｍ，在图 示位置，ｖＡ＝２００ｍｍ／ｓ， ｖＢ＝１００ｍｍ／ｓ，方向如图所示。试求Ｃ点的速度。 解：
y
x
'
O
'
B
vB
300
A
60
0
O
0 v A
解：
v A OA 0 200 3 600(rad / s)
v B v A v BA [v B ] AB [v A ] AB
v B cos 30 0 v A 600
vB 600 692.84(mm / s) 0.866
C3 0
A
Rr t 2 2r
故，动齿轮以中心Ａ为基点的平面运动方程为：
x A ( R r ) cos y A ( R r ) sin
t 2
2
t 2
2
A
Rr t 2 2r
[习题8-3] 试证明：作平面运动的平面图形内任意两点的连线中点的速度等于该两点速度的矢 量和之一半。 已知：如图所示， AC CB ， 求证： vC 证明：
300
v B v A v BA
ve
O
vBA AB 200 2 400(mm / s)
v B v A v BA 2v A v BA cos 150 0
2 2
5332 400 2 2 533 400 0.866
刚体的平面运动
O1O2 0.05 + O1 A = + 0.1 D tan 30 tan 30D
ω ABD =
0.2 = 1.072 rad / s 0.1866
ω ABD
P
vD = PD ⋅ ω ABD = ( PA + AD ) ⋅ ω = (0.1866 + 0.05) ⋅1.072 = 0.254 m / s
O1 B 与连杆间成 30° 角．如 OA = r , AB = 2 3r , O1 B = 2r ,求在该瞬时，滑块 B 的切向和法
向加速度。 解: AB 杆作平面运动,速度分析如图
vB cos 60D = v A , vB = 2v A = 2rωO
n 2 2 故 B 点的法向加速度： aB = vB / O1 B = 2rωO
刚体的平面运动(一)
一、填空题 1、刚体的平面运动可分解为 随基点的平移 和 绕基点的转动 ； 平移的速度和加速度 与基 点的选择有关，_转动的角速度和角加速度_与基点的选择无关。
2、若已知刚体上任一点的速度 v 和刚体的角速度 ω ，那么速度瞬心的位置应在_过该点与 v 垂 直的直线上_，距该点的距离_____ v / ω _____；若瞬心在无穷远，则此时角速度为__零___， 刚体作___瞬时平移__。 3、刚体定轴转动时，轴上各点的速度__为零___，加速度__为零__；而绕速度瞬心转动时，速 度瞬心的速度__为零__，加速度 二、判断题 (× ) 1、刚体的平面运动与刚体的平动其相似之处是刚体上各点的运动轨迹都在同一平面内。 (× ) 2、平面图形上任意两点的速度在固定坐标轴上的投影相等。 (√) 3、平面图形的角速度不等于零，则图形上不可能存在两个或两个以上速度为零的点。 (√) 4、作平面运动的平面图形上(瞬时平动除外)，每一瞬时都存在一个速度瞬心。 三、选择题 1、一圆盘作平面运动,如图所示的速度分布情况中,可能出现的是 A.图(a) B.图(b) C.图(c) A 。 D.图(d) 不一定为零 。
刚体平面运动习题
刚体平面运动习题第八章刚体平面运动的练习1.真或假(勾选正确和交叉错误)8-1。
刚体的平面运动是一种运动，在这种运动中，刚体上的任何一点与固定平面之间的距离总是平行的。
()8-2。
平面图形的运动可以看作基点的平移和围绕基点的旋转的组合。
()8-3。
平面图形上任意两点的速度都相等地投影在一个固定的轴上。
()()()8-6。
瞬时速度中心的速度为零，加速度为零。
()8-7。
刚体的平移也是一种平面运动。
()2。
填空(在横线上写出正确答案)8-8。
在直线轨道上纯滚动时，圆轮与地面接触点的速度为。
8-9。
平面图上任意两点的速度在上投影中相等。
8-10。
瞬时刚体平移时的角速度是:刚体上每个点的速度；每个点的加速度。
3.简短回答问题8-11。
确定图中所示平面运动物体的瞬时速度中心的位置。
AbabaccωOboaωOdbω(b)Co(a)(c)图8-11 (d)8-12。
如果一个刚体在一个平面上运动，下面平面图中A和B的速度方向是正确的吗？问题8-12图(c)8-13。
下图中O1A和AC的速度分布是否正确？8-14。
当圆形车轮在曲线上滚动时，某一瞬时车轮中心的速度vo和加速度ao，而车轮的半径是R，即车轮中心的角度加速度是多少？如何确定瞬时速度中心的加速度的大小和方向？蟹爪兰O1VβA01ωO2P 8-13图8-148-15。
为什么用基点法计算平面图中单个点的加速度时没有科里奥利加速度？4.计算问题8-16。
椭圆规AB由曲柄OC驱动，曲柄OC以均匀的角速度ω O绕O轴旋转。
如图所示，如果以C为基点，OC=BC=AC=r，试着找出椭圆规AB的平面运动方程。
8-17。
半径为R的齿轮由曲柄OA驱动，沿半径为R的固定齿轮滚动，如图所示。
曲柄以均匀的角加速度α绕O轴旋转，并设定初始角速度ω。
角加速度α？0.角落？？0.如果选择移动齿轮的中心C点作为基点，试着找出移动齿轮的平面运动方程。
yay rarαφBMMoxorBx 8-16图ωOO图8-178-18。
第八章刚体的平面运动习题解答
轮O
即
B处，选摇杆为动系，轮O上的B点为动点
向
故
8-23图8-50所示平面机构中，已知套筒A的速度大小 是一常量，当OA连线水平时，OA=AD=R， 。试求该瞬时杆AB的角速度和角加速度。
图8-50
加速度分析
杆AB
以导套C为动系，杆AB上C点为动点
杆BC
故
向
向 （求 ）
8-24图8-51所示机构中曲柄OA长为2l，以匀角速度 绕轴O转动。在图示瞬时，AB=BO，OAD= 。试求此时套筒D相对于杆BC的速度和加速度。
图8-33
瞬心法
基点法
8-7在如图8-34所示的筛动机构中，筛子BC的摆动是由曲柄连杆机构所带动。已知曲柄长OA=0.3m，转速为n=40r/min。当筛子运动到与点O在同一水平线上时， ，试求此时筛子BC的速度。
图8-34
速度投影定理
8-8长为l=1.2m的直杆AB作平面运动，某瞬时其中点C的速度大小为vC=3m/s，方向与AB的夹角为 ，如图8-35所示。试求此时点A可能有的最小速度以及该瞬时杆AB的角速度。
习题
8-1椭圆规尺AB由曲柄OC带动，曲柄以匀角速度 绕轴O转动，初始时OC水平，如图8-28所示。OC=BC=AC=r，取C为基点，试求椭圆规尺AB的平面运动方程。
图8-28
8-2半径为R的圆柱缠以细绳，绳的B端固定在天花板上，如图8-29所示。圆柱自静止下落，其轴心的速度为 ，其中g为常量，h为轴心A至初始位置的距离。试求圆柱的平面运动方程。
圆盘
故
向
即
8-21图8-48所示机构中，圆轮A的半径R=0.2m，圆轮B的半径r=0.1m，两轮均在水平轨道上作纯滚动。在图示瞬时，A轮上C点在最高位置，轮心速度vA=2m/s，加速度aA=2m/s2，试求轮B滚动的角速度和角加速度。
工程力学A 参考习题之刚体的平面运动习题及解答
刚体的平面运动习题及解答已知：OA 的转速n=40r/min,OA=r=0.3 m求：图示瞬时，筛子BC 的速度。
解: A ，B 两点速度如图所示,图中ππω3460n 2==rad/s由速度投影定理得： 0B A cos60.v v = 解出筛子BC 平动的速度为：m/s513.2r 2 v 2v A B ===ω 254.0.==ωCD v D m/s已知：1m.0DE BD OA===,,m 31.0EF =s /rad 4OA =ω;求 EF 杆的角速度ω和滑块F 的速度F v 。
解: 各点速度分析如图所示, AB 杆为瞬时平动,故4.0.OA OA A B ===ωv v m/sBC 杆的速度瞬心为点D ，三角形DEC 绕D 点作定轴转动，得BB CE v B Dv .DE DC.DE v ===v由 FEE Fv v v +=解出462.0cos30v 0E F ==v m/s ，333.1EF FEEF ==v ω rad/s已知：滚子纯滚动，m12r R AB OA====,s /rad 2=ω求 图示瞬时点B 和点C 的速度与加速度。
解: 先作速度分析如图（a ）所示, C2.R A B ===ωv vm/s42rB B ===ωωv rad/s2.828.r 22.C ===ωωB PC v m/s取A 为基点，对B 点作加速度分析如图（a ）所示 有BAn BA A B n B a a a a a ++=+ττ大小：？r vB22R ω ？ 0R BA 2=ω 方向： 如图所示向AB 轴投影得 0a B =τ，故B 点加速度为8rvaa B2Bn B === 2s /m最后取B 为基点，对C 点作加速度分析如图（b ）所示，即CBCB n B C a a a a τ++=大小：？r vB2r B 2ωr rar BB ==τα方向： 如图所示 故C 点加速度为11.31aaa CB2n B2C =+=2s/m已知：r OA =,r 32AB = ，轨道半径2r B O 1=，OA 杆的角速度和角加速度为O ω和O α； 求： 图示瞬时滑块B 的加速度。
理论力学课后答案08
第8章 刚体平面运动概述和运动分解三、选择题1．( D )2． ( B )。
3． ( B )4． ( D )5．( C )6． ( C )7．( C )。
8． ( B )。
四、计算题8-1 如图8.30所示的两齿条以1v 和2v 同方向运动。
在两齿条间夹一齿轮，其半径为r ，求齿轮的角速度及其中心O 的速度。
解：齿轮作平面运动，以B 为基点，分析A 点的速度。
由AB B A v v v +=作A 点的速度合成图如图所示。
由图可知21v v v v v B A AB -=-= 齿轮的角速度为rv v ABv AB O 221-==ω再以B 为基点，分析O 点的速度。
由OB B O v v v +=作O 点的速度合成图如图所示。
由图可知齿轮中心O 的速度2212v v r v v v v O OB B O +=+=+=ω8-2 曲柄OA = 17cm ，绕定轴O 转动的角速度1rads O A /ω=，已知AB = 12cm ，BD = 44cm ，BC = 15cm ，滑块C 、D 分别沿着铅垂与水平滑道运动，如图8.31所示瞬时OA 铅垂，求滑块C 与D 的速度。
图8.30 图8.31解：由A v 和D v 的速度方向，可知杆BD 作瞬时平动。
从而可知B v 方向水平向左。
C 点的速度方向垂直向下。
BD 作瞬时平动，可知滑块D 的速度为 )/(17171s cm OA v v OA A D =⨯=⋅==ω 杆BC 作平面运动，上速度投影定理，有)90cos(cos o ϕϕ-=C B v v根据图示的结构，经过数学计算，可知6778.040157cos ==ϕ，7352.0sin =ϕ，代入上式，可得)/(6.15sin cos sin cos s cm v v v A B C ===ϕϕϕϕ8-3 曲柄OA 绕定轴O 转动的角速度25rad s O A ./ω=，OA = 28cm ，AB = 75cm ，BC = 15cm ，r = 10cm ，轮子沿水平面滚动而不滑动。
东北大学理论力学第八章 刚体的平面运动(作业解析)
⑶ 由速度合成定理求解
va ve vr
? √ √ √
aBA
n aBA v r
C D
大小 方向
? √
aB
va
ve
E
AB
AB
A
va vr ve
3 3 15求解 n aB aA aBA aBA
ω1 ve O1D 6.19 rad/s
Northeastern University
8-23
已知OA=50mm,ω=10 rad/s,θ=β=60°,O1D＝70mm,求摇杆 O1C的角速度和角加速度。 y A vA n aBA a A 60 aBA B ⑶ 取A点为基点, 60 O1 O 由基点法求B vr vB aB 点加速度 D aA v v a D 1 n ve aB aA aBA aBA
绝对运动：直线运动 相对运动：直线运动 牵连运动：平面运动
vA 1 rad/s CA
B
vr
C D
AB
ve
E
A
va
vA
AB杆瞬心为C AB
ve CD AB 0.2 m/s
Northeastern University
8-27
已知AB = 0.4m,vA＝0.2m/s。图示位置,θ= 30°,AD=DB,求此 瞬时DE杆的速度和加速度。
大小 方向 ？ √ √ √ ? √ √ √
a A OA 2
C
n 2 aBA BA AD 0
将此方程沿y方向投影得 0 aA a BA cos30
τ 2a A aBA ω2 aBA AD BA 3 3
理论力学(8.4)--刚体的平面运动习题解答
第八章作业答案
1、解 取C 为基点。
将规尺的平面运动分解为随基点的平移和绕基点的转动。
故规尺AB 的平面运动方程为
2、解 筛子BC 作平移，如图b 所示。
3、解 杆AB 作瞬时平移。
杆BC 的速度瞬心在点D，故
由速度投影定理得
杆EF 的速度瞬心在点P
4、解
5、解 （1）杆AB 作曲线平移
以C 为基点，则
（2）ω 为常数，ωC 为常数， 0
=α
6、解 速度分析，如图7b 所示，杆AB 瞬心在点P
加速度分析，如图c 所示。
以A 为基点
7、解 轮A 的瞬心在点P，如图b 所示。
以套筒上点C 为动点，动系固结于杆BE
由速度投影定理得
加速度分析，如图c、d 所示。
以套筒上点C 为动点，BE 为动系。
以B 为基点
8、解 速度分析，如图b 所示。
加速度分析，如图c 所示。
哈工大理论力学教研室《理论力学Ⅰ》(第7版)章节题库-刚体的平面运动(圣才出品)
第8章刚体的平面运动一、选择题1．图8-1所示平面图形上A、B两点的加速度与其连线垂直且ɑA≠ɑB，则此瞬时平面图形的角速度ω、角加速度α应该是（）。
A．ω≠0，α＝0B．ω＝0，α≠0C．ω＝0，α＝0D．ω≠0，α≠0图8-1【答案】B2．图8-2所示各平面图形的速度分布为：（a）v A＝－v B，v A不垂直AB，这种速度分布是（）。
A．可能的B．不可能的不垂直AB，，这种速度分布是（）。
A．可能的B．不可能的图8-2【答案】B；B3．在图8-3所示机构中，则ω1（）ω2。
A．＝B．＞C．＜图8-3【答案】C4．在图8-4所示机构的几种运动情况下，平面运动刚体的速度瞬心为：（a）（）；（b）（）；（c）（）；（d）（）。
A．无穷远处B．B点C．A、B两点速度垂线的交点D．A点E．C点图8-4【答案】D；B；A；C5．已知图8-5所示平面图形上B点的速度v B，若以A为基点，并欲使是B点相对于A点的速度，则A点的速度v A（）。
A．与AB垂直B．沿AB方向，且由A指向BC．沿AB方向，且由B指向AD．与AB成φ角图8-5【答案】B二、填空题1．边长为L的等边三角形板在其自身平面内运动，已知B点的速度大小为，方向沿CB，A点的速度沿AC方向。
如图8-6所示，则此时三角板的角速度大小为______；C点的速度大小为______。
图8-6【答案】2．已知作平面运动的平面图形上A点的速度v A，方向如图8-7所示。
则B点所有可能速度中最小速度的大小为______，方向______。
【答案】；沿AB方向图8-73．已知作平面运动的平面图形（未画出）上某瞬时A点的速度大小为v A，方向如图8-8所示，B点的速度方位沿mn，AB＝l，则该瞬时刚体的角速度ω为______,转向为______。
【答案】；顺时针图8-8三、判断题1．作平面运动的平面图形上（瞬时平移除外），每一瞬时都存在一个速度瞬心。
（）【答案】对2．研究平面运动图形上各点的速度和加速度时，基点只能是该图形上或其延展面上的点，而不能是其他图形（刚体）上的点。
《理论力学》第八章-刚体平面运动试题及答案
理论力学8章作业题解8-2 半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。
如曲柄OA 以匀角加速度a 绕O 轴转动，且当运动开始时，角速度00=w ，转角0=j 。
求动齿轮以中心Ａ为基点的平面运动方程。
解：图示，A 轮平面运动的转角为=A j ∠C 3AC 2=j +∠CAC 2由于弧长CC 1=CC 2，故有 ∠CAC 2=r R /j ，所以22/t rr R r r R r R A a j j j j +=+=+=A 轮平面运动方程为ïïîïïíì+=+=+=+=+=22212212)sin()()sin()()cos()(cos )(tr r R t r R r R y t r R r R x A A A a j a j a j8-6两刚体M ，N 用铰C 连结，作平面平行运动。
已知AC=BC=600mm ，在题附图所示位置s mm v s mm v B A /100,/200==，方向如图所示。
试求C 点的速度。
解：由速度投影定理得()()0==BC C BC B v v 。
则v C 必垂直于BC 连线，v C 与AC 连线的夹角为30°。
由()()AC A AC C v v = 即得：s mm v v A C /200== ，方向如题4-6附图示。
解毕。
8-9 图所示为一曲柄机构，曲柄OA 可绕O 轴转动，带动杆AC 在套管B 内滑动，套管B 及与其刚连的BD 杆又可绕通过B 铰而与图示平面垂直的水平轴运动。
已知：OA ＝BD ＝300mm ，OB ＝400mm ，当OA 转至铅直位置时，其角速度ωo ＝2rad/s ，试求D 点的速度。
C 12Aj C解 (1)平面运动方法： 由题可知：BD AC w w =确定AC 杆平面运动的速度瞬心。
套筒中AC 杆上一点速度沿套筒(为什么？)s rad IAOA IA v A AC /72.00=´==w w , s mm BD BD v AC BD D /216=´=´=w w D 点加速度如何分析？关键求AC 杆角加速度(=BD 杆角速度) 基点法，分析AC 杆上在套筒内的点(B’)：(1) tA B n A B A B a a a a ¢¢¢++=r r r r大小：× ∠ ∠ × 方位：× ∠ ∠ ∠ 再利用合成运动方法：动点：套筒内AC 杆上的点B’，动系：套筒。
第八章刚体平面运动河南科技大学理论力学课后
如图 a 听示.在诵动机掏中. OA 制•■：-迎 H R = 40 r . min . OA = 03 mZBAO =90° 樓此斷时踊f BC 的速度,解離于UC 作平移.如圏 0所示的位置.巾与GBO 夹瀚沏3(r . n- OA-応卞"° xO30 - 0.40 n in.'sJ30由速度投靈定理仟/屈=(%)应潯订日应」Vj = v 3 co&60°\<=5启■中如=PA 毋屈由儿何光系PA = Q A + PO[ = O A + q 。
： co-t30D = 0.10 + 0 05^3 tnVj> - PD ■肉上=(亠4£) + PA)宓型 ~ (0.05 + 0.10 + 0.05-^) x 1 07 =0.253 m8-3一 -- 08^ = 2.51 mscos 60°8-4 W㈣连打机杓r 连杆曲卜嗣环1块 雷枫曲D 如阳 齐斤石-机椅由曲榊 蒂功。
己知曲稱的角=2rads : = 0,1m F 水O X O 2 = 0.05m - .lD=0.05m ：蚩Q*船買时平行于11Q 与"5在同1直线上；曲卩=30J 求角&ABD 的角速度和点Q 的速度(a)0>)常 三桶板ABD f$平面运动.在图 所示应置的速度瞬心莊点P ，设三角柢箱速度为由題涯徊 ljAB U ：沟0」0x2O .IO +.V?二 1 07 rals 疫】節子的IS 动是由曲柄杆机掏所带动.已知曲柄「BC ■, O I- ■ R 陀£ I:时. 把JM 值优入上式，得图 总所示机构申.己知；a4-3Z> = D£ = 01iu . £P = 0.1V3m ：=4rad/s n 在图 g 所示位豐时.^9iOA UWI 哉阳 亚山 且丘D 川尸祀网1 枯鬥线卜-<岷自于更求杆肚的用恕煜Hl A F 的这燧n解 机构中，杆肿• 3C UI£F 作平面运动，曲柄①I 和「角块CDE {] 轴转动，而 滑块歩尸悴平務，此时杆a hv 2. 均沿水平方向M 图 4所示，所^AB 作■时 平移.v s = v i = =U.40m.5叫丄DC. v s ±DB.杆銘的速度・希莊点D 故DC v c = ------ v EDBv nri> =DE -^-= -------- v. =0 40 ms ■ h 向沿打羽就国 b)DC DB由逾度投庠定埋初“ -tos (p =： V £由几何关系知.在△血尸中・V5 .1COS 卩=—,Sill =—v F = —— - 0.462 ni'S ( t :3两H 空的:速麼瞬心在点P I8-7高理转动的製置如團-2折示・杆qq 境q 轴轴动，转速为％ ° o 少用钗琏擅1 ■ ■ I ；■ X ：丙洁动齿轮m转动时轮II 在半径为与的阖定内齿純上预动，并便半轻为厅的轮】绕a 轴转动•轮I 上装肓砂卷 随同轮1高速转动. MI —= 11. 旳=900 rAiun ■.耒讪垃的4述)<a) (b)8-6解 轮II 柞纯锻功.其速度瞬心在点只 如图 b 所示.* 二 QQg 4r 3)(y 4■=J P* Op = F&Gf］勺fi?2 = ' 二 GJJ' ■ ** r 2轮D ®轮I 的炖点Q 的速廈^c ~ -v Oi 二 2(耳 + )CJ 4码 =土= 2(斤+陀)防4 =十'>厠4 =(1+—)«4 =12fi)4n n八 f\场=12??4 = 10 800 r/'niin (i )口缶=rfi )j =r-(2®}3 = 4r<y 2a c = J{4r/F +=2忑心孑=ll.Slm^ Q = ^48-12 解“)越度分析 、」=R& 时曲瞬时平*矢11 =0 * 叫=1二=人少=2 m/s ・<y# = —^- = r 壮=G>s • y/lr = 2V2r (i?=、迂丘他=2.828 in s (2)加速虺甘析j 二 Re ：)2加定轴转动.以討由基点・则=°aBa3 - a A + a £A方向 t4t曲衲CM 以恒定的角連度血=2rad 居境拙口釋动「并借勁连朴曲驱动T 诗为r 的轮子在半栓为R 的圆弧擠中作无滑动的渡动.设OA=AB=R^2r=l^ 求图 N 所示麟 时点丹和点亡的連婕与加連厦oAQA.(a) (b)(c)丸小悬?加卜.戌向曲9向投影.存8-13 8-13-出旦为哎斜屏时曲柄与水平鶴阖康仙.的连村腼写曲柄皿 逵直.滑块B 左圆 形19内滑蚩b 韭时半栓6B4HJ 杆腼 刑成孔"低 UiCM=r ・AB - 2^3r . O {B = 2r t .K 在该解时・■： m s 的i 卩向和法向加辻.度#取=也 <?PS 30O = 4^r&G将听=旳亠(I ； = AT ： +玄］+临亠咗4分别向抽刃T 轴广投巒.得al =aicos3G°+占右 cos3(F-aL sin 30fl - a ； m 30°□； = a\ sm d0° + 灯二 sm3O°*f7^ cos30* + iij cos30a 心命6二处知孕％ 代人式(lh ⑵.解得口； (2任o —羽述)因此滑块冷的加遽度为晒=2r^0~ ■ <J B =T ' (-a c 一 V5%‘)8-14解\-^\iOA 匕也卫抽峑嗫和加速愷为fm = rc^0 i a A 二 r (y 0 ・ a A = ra 0 以点/为基点分析杆屈上点R 的速度与加遠度，如图 燈为乩图 g 所示.则戌JJ 的逮H.⑴在图2所不机构屮，曲柄CM 长为F •绕轴。
理论力学第7版第八章刚体的平面运动
ve va cos r1 sin( ),
2
ve O2 A
sin( )sin cos
1
vr va sin r1 cos( )
ac
2 2 v r
si
n
(2 cos
2
)
1
2
r
方向：与 v e相23同。
aa ae ar aC
——点的加速度合成定理 a a an
[例2] 曲柄滑杆机构
已知: OA＝l, =45o 时，,;
求：小车的速度与加速度．
解：动点：OA杆上 A点;
动系：固结在滑杆上;
绝对运动：圆周运动， 相对运动：直线运动，
牵连运动：平动；
va ve vr
大小 l ? ?
方向 √ √ √
ve va cos l cos45
2 l()
2
小车的速度： v ve
为牵连点。若二者不重合，动
系应扩大到参考体之外。此时
桥式吊车
，牵连点就不是动参考体上的
点，而是动系上的点。
动点: 物块A
相对运动: 直线
动系: 固结于小车 牵连运动: 平动
牵连点:A’
绝对运动: 曲线
8
绝对速度 ：va ——绝对运动中,动点的速度 相对速度 ：vr ——相对运动中,动点的速度
牵连速度 ：ve ——牵连运动中,牵连点的速度
4
动点：AB杆上A点 动系：固结于凸轮Ｏ'上
定系：固结在地面上 绝对运动： 沿AB的直线运动 相对运动： 曲线（圆弧） 牵连运动： 直线平动
5
分析动点、动系改变，对运动分析的影响:
动点：A(在AB杆上) 动系：偏心轮 静系：地面
第8章刚体的平面运动习题
第8章 刚体平面运动习题1.是非题（对画√，错画×）8-1.刚体平面运动为其上任意一点与某一固定平面的距离始终平行的运动。
（ ） 8-2.平面图形的运动可以看成是随着基点的平移和绕基点的转动的合成.( ) 8-3.平面图形上任意两点的速度在某固定轴上投影相等。
（ ） 8-4.平面图形随着基点平移的速度和加速度与基点的选择有关。
（ ） 8-5.平面图形绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选择有关。
（ ） 8-6.速度瞬心点处的速度为零，加速度也为零。
（ ） 8-7.刚体的平移也是平面运动。
（ ） 2.填空题（把正确的答案写在横线上）8-8.在平直轨道作纯滚动的圆轮，与地面接触点的速度为 。
8-9.平面图形上任意两点的速度在 上投影相等。
8-10.某瞬时刚体作平移，其角速度为 ；刚体上各点速度 ；各点加速度 。
3.简答题8-11.确定图示平面运动物体的速度瞬心位置。
题8-11图(a) (b)(c)8-12.若刚体作平面运动，下面平面图形上A 、B 的速度方向正确吗？ 题8-12图(a) (b) (c)8-13.下面图形中O 1A 和AC 的速度分布对吗？8-14.圆轮做曲线滚动，某瞬时轮心的速度o v 和加速度o a ，轮的半径为R ，则轮心的角加速度等于多少？速度瞬心点处的加速度大小和方向如何确定？题8-13图B8-15.用基点法求平面图形个点的加速度时，为什么没有科氏加速度？ 4.计算题8-16.椭圆规尺AB 由曲柄OC 带动，曲柄以匀角速度o ω绕O 轴转动，如图所示，若取C 为基点，OC=BC=AC=r ，试求椭圆规尺AB 的平面运动方程。
8-17.半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动，如图所示。
曲柄以匀角加速度α绕O轴转动，设初始时角速度0=ω、角加速度0=α、转角0=ϕ，若选动齿轮的轮心C 点为基点，试求动齿轮的平面运动方程。
题8-16图题8-17图8-18.曲柄连杆机构，已知OA =40cm ，连杆AB =1m ，曲柄OA 绕O 轴以转速180=n r/min 匀速转动，如图所示。
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习 题8-1 椭圆规尺AB 由曲柄OC 带动，曲柄以匀角速度O ω绕轴O 转动，初始时OC 水平，如图8-28所示。
OC = BC = AC =r ，取C 为基点，试求椭圆规尺AB 的平面运动方程。
图8-28t t r y t r x O O C O C ωϕωω===sin cos8-2 半径为R 的圆柱缠以细绳，绳的B 端固定在天花板上，如图8-29所示。
圆柱自静止下落，其轴心的速度为3/32gh v A =，其中g 为常量，h 为轴心A 至初始位置的距离。
试求圆柱的平面运动方程。
图8-293/32gh v A = 3/22gh v A= 3/g a A = 3/2gt x A = 0=A y )3/(2r gt A =ϕ8-3 杆AB 的A 端以等速v 沿水平面向右滑动，运动时杆恒与一半径为R 的固定半圆柱面相切，如图8-30所示。
设杆与水平面间的夹角为θ，试以角θ表示杆的角速度。
图8-30瞬心法θθθθωcos sin cot sin 2R v R v AIv A === 基点法 θsin v v CA =θθθθωcos sin cot sin 2R v R v CA v CA ===8-4 图8-31所示两平行齿条同向运动，速度分别为v 1和v 2，齿条之间夹一半径为r 的齿轮，试求齿轮的角速度及其中心O 的速度。
图8-31AB B A v v v += ωr v v 221+= r v v 221-=ω OB B O v v v += 2212v v r v v O +=+=ω8-5 两直杆AC 、BC 铰接于点C ，杆长均为l ，其两端A 、B 分别沿两直线运动，如图8-32所示。
当ADBC 成一平行四边形时，m /s 4.0m /s,2.0==B A v v ，试求此时点C 的速度。
图8-32CB B CA A C v v v v v +=+=向x︒=︒+-60cos 30cos B CA A v v v 38.02/3214.02.030cos 60cos =⨯+=︒︒+=B A CA v v v 向ξ ︒-=︒-30cos 60cos CB B A v v v3130cos 60cos =︒︒+=A B CB v v v m/s 306.038.023314.02314.030cos 2222==⨯⨯⨯-+=︒-+=CB B CB B C v v v v v8-6 图8-33所示机构中，OA =200mm ，AB =400mm ，BD =150mm ，曲柄OA 以匀角速度rad/s 4=ω绕轴O 转动。
当︒=45θ时，连杆AB 恰好水平、BD 铅直，试求该瞬时连杆AB 及构件BD 的角速度。
图8-33瞬心法800==ωOA v Arad/s 414.122400800====AB A AB AI v ω 24002400=⨯==AB AB B BI v ωrad/s 711.32381502400====BD v B BD ω 基点法8-7 在如图8-34所示的筛动机构中，筛子BC 的摆动是由曲柄连杆机构所带动。
已知曲柄长OA =0.3m ，转速为n =40r/min 。
当筛子运动到与点O 在同一水平线上时，︒=90OAB ，试求此时筛子BC 的速度。
图8-34π4.04030π3.0=⨯⨯==ωOA v A 速度投影定理A B v v =︒60cosm/s 2512.0π8.0260cos ===︒=A A B v v v8-8 长为l=1.2m的直杆AB作平面运动，某瞬时其中点C的速度大小为v C=3m/s，方向与AB 的夹角为︒60，如图8-35所示。
试求此时点A 可能有的最小速度以及该瞬时杆AB 的角速度。
图8-35︒-+=30cos 222AC C AC C A v v v v v对AC v 求导，并令其等于0，得︒=30cos C AC v v 即AC A v v ⊥时m/s 5.130sin =︒=C A v v ︒=30cos C AC v vrad/s 33.435.26.0233==⨯==AC v AC AB ω8-9 如图8-36所示的四连杆机构中，连杆AB 上固连一块直角三角板ABC ，曲柄O 1A 的角速度恒为rad/s 21=ω，已知O 1A =0.1m ，O 1 O 2=AC ＝0.05m ，当O 1A 铅直时，AB 平行于O 1 O 2，且AC 与O 1A 在同一直线上，︒=30ϕ 。
试求此时直角三角板ABC 的角速度和点C 的速度。
图8-36基点法m /s 2.021.01=⨯==ωA O v Am/s 32.030tan =︒=A BA v v rad/s 0718.1135.021.0305.02.031.005.032.0=+=+=+==AB v BA ABC ω m/s 2536.00718.105.02.0=⨯+=+=+=ABC A CA A C AC v v v v ω瞬心法305.01.030cot 05.01.011+=︒+=+=I O A O AIm /s 2.021.01=⨯==ωA O v Arad/s 0718.1305.01.02.0=+==AI v A ABC ω m/s 2536.00718.1)305.01.005.0(=⨯++==ABC C CI v ω8-10 在瓦特行星机构中，杆O 1A 绕轴O 1转动，并借连杆AB 带动曲柄OB 绕轴O 转动（曲柄OB 活动地装在O 轴上），如图8-37所示。
齿轮Ⅱ与连杆AB 固连于一体，在轴O 上还装有齿轮Ⅰ。
已知m 5.1m,75.0m,33.0121====AB A O r r ；又杆O 1A 的角速度rad/s 61=O ω 。
试求当︒=60γ 且︒=90β 时，曲柄OB 和齿轮Ⅰ的角速度。
图8-37瞬心法360cos =︒=AB AI 35.160tan =︒=AB BI m/s 5.4675.011=⨯==O A A O v ωrad/s 5.135.4===AI v A AB ω m/s 325.25.135.1=⨯==AB B BI v ω rad/s 75.336.0325.2===OB v B OB ω m/s 38.15.1)33.035.1(=⨯-==AB C CI v ω rad/s 633.038.1I ===OC v C ω 基点法 m/s 5.4675.011=⨯==O A A O v ωm/s 325.2235.430cos =⨯=︒=A B v v rad/s 75.336.0325.2===OB v B OB ω m /s 25.230sin =︒=A BA v vrad/s 5.15.155.2===AB v BA AB ω m/s 38.15.133.0325.2=⨯-=-=CB B C v v v rad/s 633.038.1I ===OC v C ω8-11 图8-38所示的双曲柄连杆机构中，滑块B 和E 用杆BE 连接，主动曲柄OA 和从动曲柄OD 都绕O 轴转动。
主动曲柄OA 作匀速转动，角速度的大小为rad/s 12=O ω。
已知各部件的尺寸为：m 312.0m,12.0m,26.0m,12.0m,1.0=====DE BE AB OD OA 。
试求当曲柄OA 垂直于滑块的导轨方向时，从动曲柄OD 和连杆DE 的角速度。
图8-38 m 24.01.026.02222=-=-=OA AB OBm 12.012.024.0=-=-=EB OB OE杆AB 瞬时平动m/s 2.1121.0=⨯==O A OA v ωm /s 2.1==A B v v杆EB 平动m /s 2.1==B E v v杆DE 平面运动(瞬心法)︒=∠=∠=∠30EIO DEO EDO312.0==DE EI 36.0=DIrad/s 3310310312.02.1====EI v E DE ω m/s 32.1331036.0=⨯==DE D DI v ω rad/s 31012.032.1===OD v D OD ω加速度分析(讨论)杆AB 瞬时平动222m/s 4.14121.0=⨯==O A OA a ω2m/s 624.01.04.144.14tan =⨯=⨯==OB OA a a A B ϕ (向右) 杆EB 平动 2m/s 6==B E a a杆DE 平面运动(基点法)以E 为基点，分析D 点n τn τDEDE E D D a a a a a ++=+ 36)310(12.022n =⨯==OD D OD a ω 34)3310(312.022n =⨯==DE DE DE a ω 向n τn 30cos 30sin 30cos DEE D D a a a a +︒=︒-︒ ︒-︒-=︒-︒-︒=30sin 30cot )(30sin 30cos 30cos n n n n τDE E D DE E D Da a a a a a a 3222343)636(=⨯--= 2τrad/s 5.3173355063110012.0322=====OD a D OD α (逆时针)8-12 图8-39所示机构中，已知：m;31.0m,1.0m,1.0m,1.0====EF DE BD OA 曲柄OA 的角速度为rad/s 4=O ω。
在图示位置时，OA 垂直于水平线OB ；B 、D 和F 位于同一铅直线上；又DE 垂直于EF 。
试求此时杆EF 的角速度和点F 的速度。
图8-39 杆AB 瞬时平动 m/s 4.041.0=⨯==O A OA v ωm /s 4.0==A B v v杆BC 平面运动(瞬心法)，瞬心在D 点rad/s 41.04.0===BD v B BC ωCDE C CDv ω== 杆EF 平面运动(瞬心法)3.0=EI 32.0=FIm/s 4.041.0=⨯==CDE E DE v ωrad/s 3333.1343.04.0====EI v E EF ω m/s 4619.0338.03432.0==⨯==EF F FI v ω8-13 半径为r 的圆柱形滚子沿半径为R 的固定圆弧面作纯滚。
在图8-40所示瞬时，滚子中心C 的速度为C v 、切向加速度为τC a 。
试求此时滚子与圆弧面的接触点A 以及同一直径上最高点B 的加速度。
图8-40 rv C =ω r a C τ=α r R v a C n C -=2 n AC τAC n C τC A a a a a a +++=r v r a C nAC 22==ω ττC AC a r a ==α r r R Rv r v r R v aa a C C C n AC nC A )(222-=+-=+= n BC τBC n C τC B a a a a a +++=τC BC a r a ==ατ r v r a C n BC 22==ω ττ2C BC C B a a a a =+=ττr r R v r R r R v r v a a a C C C nCn BC nB )()2(222--=--===8-14 绕线轮沿水平面滚动而不滑动，轮的半径为R 。