有关数列中不等式问题的几种常见处理方法

有关数列中不等式问题的几种常见处理

方法

在高中数学的教学中，数列中的不等式证明是数列知识与不等式知识的交汇，经研究发现这类问题主要从考查等差数列、等比数列的基本知识入手，侧重考查

证明不等式的常用方法，对这个问题的归纳探究完善，能帮助学生构建一个很好

的思维框架。

1.比较法解决数列中的不等式证明问题

例1 设等比数列的首项为，公比，求证：是单调递增数列.

证明数列的通项公式为： ( ),

∴ ,又∵ , >0,

∴ ( ),

∴ ( ).

因此，数列是单调递增数列.

注：比较法有时也可用平方作差、作商

2.数学归纳法，是证明数列不等式的重要方法

例2在数列中，，且 ( )，

求证： ( ).

证明当时，因，故不等式成立.

假设不等式当时成立，即，

当时，

∵，

即不等式当时也成立.

∴对一切自然数，都有 ( ).

注：凡与正整数相关的命题均可考虑用数学归纳法.

3.利用函数解决数列中的不等式问题

递推数列的通项公式和前项和可看成函数的表达式.如等差数列的通项公式

，可视为关于的一次函数；前项和的公式

，可视为关于的二次函数等等，利用这些函数的图像和单

调性证不等式.

1.

放缩法解决数列中的不等式问题

在不等式的证明中，常常用舍掉一些正（负）项或在分式中放大（或缩小）

分母或分子这种证明方法，通常称为放缩法. 数列不等式证明中常用的放缩技巧：技巧一：对通项进行裂项便于采用裂项相消法

裂项相消法，就是将分母进行适当放缩以便于加减相消，放缩时要根据理论

要求把握好度，如果放缩的恰到好处，能取得意想不到的效果.常见的放缩方向：，， .

技巧二：以某一不等关系为依据进行逐层递推放缩

逐层递推法，就是根据题目要求建立起相邻两项的不等关系，利用逐层递推寻求各项与首项的不等关系，从而建立一个新的不等关系.

技巧三：对分母进行恰当的放缩将复杂分母简化构造新的等比数列.

技巧四：对通项进行变形创造裂项条件.

技巧五：利用二项定理展开对通项进行整体放缩.

根据数列的特征，运用二项式定理作适当放大或缩小，使某些数列不等式得到证明，又称不等式的这种证明方法为二项式法.

技巧六：利用单调性放缩.

在放缩时主要采用两种方法：① 构造数列② 构造函数

技巧七：利用重要不等式放缩：① 均值不等式法② 利用有用结论

其中重要不等式为：

例3已知数列的前n项和满足： .

③ 证明：对任意的整数，有 .

分析③ 观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的

放缩，使之能够求和.而左边=，如果我们把上式中的分母中的去掉，就可利用等比数列的前n项公式求和，由于-1与1的交替出现，容易想到将式中两项两相地合并起来并一起进行放缩，尝试知：，，因此，可将保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可求和.这里需要对进行分类讨论.

解

③ 当为偶数( )时，

<

=

<

当是奇数( )时,为偶数，

<

所以对任意整数，有 .

注：本题的解题关键是并项后进行适当的放缩.

数列中的不等式问题是中学数学中的重要知识和数列中的难点，往往一道数列中的不等式题可以用多种方法解，而有时一种解法中又包含了好几种解法.深入挖掘和提炼数列不等式问题的解法，能更好的为中学数学教学服务.由于笔者的能力有限，总结以上四种常用方法，在今后教学中，还将继续完善。

4