2012年安徽高考数学理21题第_2_问的深度解析_杨兴军

恒 成 立 ，所 以
２槡ｃ－１≤０，０＜ｃ≤４１ ．
下面用数学归纳法证明当 ０＜ｃ≤４１ 时，数 列｛ｘｎ｝
是递增数列．即证ｘｎ＜槡ｃ≤２１ （过 程 略，值 得 一 提 的 是 由ｘｋ＜槡ｃ≤２１ 推ｘｋ＋１ ＜ｆ（ｘｋ）＜ｆ（槡ｃ）＝槡ｃ≤２１ 时，用
了ｆ（ｘ）＝－ｘ２ ＋ｘ＋ｃ的单调性）．
２ 解 答 的 剖 析 及 背 景 的 揭 示
② 利用 实 数 理 论 猜 测 出 数 列 ｛ｘｎ｝极 限 ａ，并 将 ｘｎ→ａ转化为ｘｎ－ａ→０ 后证明之．
③ 通过计算出ｆ（ｘｎ）－ｆ（ｘｎ－１ ）或 者 利 用 拉 格 朗 日中值定理（即ｘｎ＋１ －ｘｎ＝ｆ（ｘｎ）－ｆ（ｘｎ－１ ）＝ｆ′（ξ）· （ｘｎ－ｘｎ－１ ），ξ∈ （ｘｎ－１ ，ｘｎ）），将 问 题 转 化 为 函 数 在 不 动点附近的单调性 或 者 导 数 在 不 动 点 附 近 （包 括 不 动 点处）的符号问题（前提是先确定ｘ１ 与ｘ２ 大小），然后 利用函数单调性解决问题．
数学 背 景 的 数 列 题，涉 及 离 散 系 统、不 动 点 理 论、极 限
理论．
顺便提一点，参 考 解 答 中 最 难 想 到 的 等 式 ② 主 要
来自于极限理论和 不 动 点 理 论．首 先，由 于 高 中 新 课
标教材已 删 去 极 限 理 论，不 得 不 把 ｘｎ→槡ｃ转 化 为槡ｃ－
·点 点 突 破·
◇ 安徽 杨兴军
数列是高中 数 学 主 干 知 识，也 是 高 考 重 点 考 查 对 象 ，由 于 其 涉 及 面 广 、综 合 性 强 、对 思 维 要 求 高 等 特 点 ，
常被用来命 制 压 轴 题．２０１２ 年 安 徽 高 考 数 学 理 科 第 ２１题就是一道数列压轴题，它 在 继 承 了 传 统 数 列 压 轴 题特点（以等差、比 数 列 或 可 化 为 等 差、比 数 列 的 递 推 数列 为 模 型，结 合 函 数、不 等 式、数 学 归 纳 法 等 知 识 综 合 考 查 ）基 础 上 加 入 了 特 殊 的 背 景 和 视 角 ，让 人 有 耳 目 一新之感，难倒 了 不 少 师 生．本 文 旨 在 剖 析 第 ２ 问 参 考解答以揭示其 背 景 和 本 质，并 在 此 基 础 上 寻 求 此 类 问 题 的 一 般 解 法 ，供 教 学 参 考 ．
②
由 ① 、② 知 ，１ －槡ｃ－ｘｎ ＞０，即
ｘｎ＜１ －槡ｃ，
③
由②及ｘｎ≥０ 得，对任意ｎ≥１ 都有
槡ｃ－ｘｎ＋１ ≤（１ －槡ｃ）（槡ｃ－ｘｎ），
④
反复运用④得
槡ｃ－ｘｎ≤（１ －槡ｃ）ｎ－１ （槡ｃ－ｘ１ ）＜
（１ －槡ｃ）ｎ－１ ，
⑤
③、⑤相加得，２槡ｃ－１＜（１ －槡ｃ）ｎ－１ 对 任 意ｎ≥１
要使数 列 ｛ｘｎ｝递 增，必 须 有 １－ｘｎ －ｘｎ－１ ＞０ （当 然 ｘ２ ＞ｘ１ ），即ｘｎ＋ｘｎ－１ ＜１，从 而 需 要 ｘｎ ＜２１ ，由 极 限
理论得槡ｃ≤２１ ，０＜ｃ≤４１ ．
（评 注 ：笔 者 认 为 如 果 能 “对 称 地 使 用 ”题 中 的 迭 代 关系更具普遍意义，很多考生 由 ｘｎ ＜ｘｎ＋１ ＝ －ｘｎ２ ＋ｘｎ
别解１ 由ｘｎ＜ｘｎ＋１ ＝ －ｘｎ２ ＋ｘｎ＋ｃ 得ｘｎ＜槡ｃ对
任意ｎ≥１ 成 立，又 由槡ｃ－ｘｎ＋１ ＝ （１ －槡ｃ－ｘｎ）（槡ｃ－
ｘｎ）知 ，ｘｎ ＜１ －槡ｃ，由 极 限 理 论 得 ，ｌｉｍｘｎ ≤１ －槡ｃ，即 ｎ→ ∞ 槡ｃ≤１ －槡ｃ，０＜ｃ≤４１ ．
别解２ 在别解 １ 中由ｘｎ＜槡ｃ及ｘｎ＜１ －槡ｃ相 加
｛ｘｎ｝有极限．设极限为ａ（ａ≥０），由 函 数 ｆ（ｘ）连 续 性
可得，ａ＝ｌｉｍｘｎ＋１ ＝ｌｉｍｆ（ｘｎ）＝ｆ（ｌｉｍｘｎ）＝ｆ（ａ），即ａ
ｎ→ ∞
ｎ→ ∞
ｎ→ ∞
是 函 数ｆ（ｘ）的 不 动 点 ，从 而ａ＝槡ｃ，这 就 说 明槡ｃ也 是 数
列 ｛ｘｎ｝的 极 限 ． 基于以上分析，可 以 说 本 题 是 一 道 有 着 丰 富 高 等
ｘｎ→０，这就解释了为什么用槡ｃ减去ｘｎ＋１ 了；
其次，根据不 动 点 理 论，在 递 推 式 ｘｎ＋１ ＝ －ｘｎ２ ＋
ｘｎ＋ｃ两边只有同 时 减 去 不 动 点槡ｃ才 能 使 等 式 两 边 产
生相同的结构．
３ 一 些 别 解
弄清楚本题的 背 景 以 后，我 们 就 可 以 在 此 基 础 上 给出一些其他的解 法 （针 对 必 要 性 方 面），以 求 丰 富 对 本质的理解．
１）缘 起 ２０１２ 年安徽高 考 数 学 理 科 卷 总 体 感 觉 比 较 平 实 但不平淡，有 不 少 创 新 点，理 ２１ 题 是 备 受 关 注 的 一 题 ，由 于 参 考 解 答 推 理 性 太 强 且 让 人 有 种 “帽 子 底 下 蹦 出 个 兔 子 ”之 感 ，不 免 让 笔 者 产 生 研 究 的 冲 动 ． ２）解 答 的 剖 析 ① 思路点评．解答分 ２ 个环节： ａ．寻求｛ｘｎ｝为递增数列的必要条件，即０＜ｃ≤４１ ； ｂ．证明所求的条 件 也 具 有 充 分 性．实 际 上，这 是 解决求充要条件的一般模式．其 中 环 节 ａ是 解 答 关 键 （从考后对学 生 的 调 查 可 看 出），环 节 ａ突 破 了 环 节 ｂ 基本上就能落实了． ② 难点分析．环节ａ主要是通过构建２ 个不等式
＋ｃ推出ｘｎ ＜槡ｃ是 不 具 有 普 遍 意 义 的，这 也 是 造 成 考
生浅尝辄止现象的根本原因） 别 解５ 在别解４ 中ｘｎ＋１ －ｘｎ＝ｆ（ｘｎ）－ｆ（ｘｎ－１ ）
可以 比 较 容 易 地 计 算 出 来，一 般 来 说，当 ｆ（ｘｎ ）－ ｆ（ｘｎ－１ ）不好计算时，可以利用拉格朗日中值定理 得 到 ｆ（ｘｎ）－ｆ（ｘｎ－１ ）＝ｆ′（ξｎ）（ｘｎ－ｘｎ－１ ），ξｎ∈（ｘｎ－１ ，ｘｎ），
得２ｘｎ
＜１，ｘｎ
＜２１
，由
极
限
理
论
得ｌｉｍｘｎ ｎ→ ∞
≤２１
，即
槡ｃ≤２１ ，０＜ｃ≤４１ ．
（评注：以 上 ２ 种 解 法，回 避 了 参 考 解 答 中 ④、⑤ 两式）
别解３ 由ｘｎ＜ｘｎ＋１ ＝ｆ（ｘｎ）得，对 任 意ｎ≥１，ｘｎ
满足ｘ＜ｆ（ｘ），又 ０≤ｘｎ ＜槡ｃ，所 以，必 须 满 足 在 ｘ∈
读者朋 友，您 能 用 以 上 方 法 一 展 身 手 吗？ （２０１０ 年高考全国数学卷Ⅰ理科第２２ 题）：已知数列｛ａｎ｝中， ａ１ ＝１，ａｎ＋１ ＝ｃ－ａ１ｎ ．（１）设ｃ＝２５ ，ｂｎ＝ａｎ１－２，求 数 列｛ｂｎ｝的通项公式；（２）求使不等式ａｎ＜ａｎ＋１ ＜３ 成 立 的ｃ 的取值范围．
要使｛ｘｎ｝递增，必须使ｆ′（ξｎ）＞０，由 于 ０≤ｘｎ＜槡ｃ，所 以ξｎ∈［０，槡ｃ），只 要 确 定 在 ｘ∈ ［０，槡ｃ）上ｆ′（ｘ）＞０即 可．而ｆ′（ｘ）＝－２ｘ＋１ 在ｘ∈［０，槡ｃ）上递减，所以只 需ｆ′（槡ｃ）≥０，即 ０＜ｃ≤４１ ．
（评注：本方法 告 诉 我 们 ｛ｘｎ｝的 单 调 性 问 题，关 键
下面从几个方面来揭示本题的背景： 首先，本 题 中 的 递 推 公 式 ｘｎ＋１ ＝ －ｘｎ２ ＋ｘｎ ＋ｃ （ｎ∈Ｎ＊ ）是 一 类 特 殊 的 递 推 公 式，它 是 由 二 次 函 数 ｆ（ｘ）生成的迭代关 系，因 而 数 列｛ｘｎ｝被 称 为 递 归 数 列 （其中ｘ１ ＝０ 被称为初值），这类数列来自高等数学中 的离散动力系统理论．
（作 者 单 位 ：安 徽 省 六 安 第 二 中 学 ）
１ 试 题 及 解 答
为便于考查分 析，下 面 摘 引 省 教 科 院 提 供 的 题 目 及 其 第 （２）问 的 略 解 ．
题目 数列｛ｘｎ｝满足 ｘ１ ＝０，ｘｎ＋１ ＝ －ｘｎ２ ＋ｘｎ＋ ｃ （ｎ∈Ｎ＊ ）
（１）证 明：｛ｘｎ｝是 递 减 数 列 的 充 分 必 要 条 件 是 ｃ＜０；
［０，槡ｃ）上，ｙ＝ｘ 图象在ｙ＝ｆ（ｘ）＝ －ｘ２ ＋ｘ＋ｃ 下 方， 因为ｆ（ｘ）开口向下，故只有当槡ｃ在对称轴ｘ＝２１ 左侧
才能确保数列｛ｘｎ｝为递增数列，即槡ｃ≤２１ ，０＜ｃ≤４１ ．
（评注：本方法 是 部 分 师 生 的 解 法，体 现 数 形 结 合 思想的形象直观引领作用）
１８
别解４ ｘｎ＋１ －ｘｎ＝ｆ（ｘｎ）－ｆ（ｘｎ－１ ）＝ （１－ｘｎ－ｘｎ－１ ）（ｘｎ－ｘｎ－１ ），
（２）求ｃ 的 取 值 范 围 ，使 ｛ｘｎ｝是 递 增 数 列 ． （１）略 ． （２）略 解：假 设 ｛ｘｎ ｝是 递 增 数 列，由 ｘ１ ＜
ｘ２ ＜ｘ３ 得０＜ｃ＜１． 由ｘｎ＜ｘｎ＋１ ＝－ｘｎ２ ＋ｘｎ＋ｃ知，对任意ｎ≥１ 都有
０≤ｘｎ＜槡ｃ，
①
注意到
槡ｃ－ｘｎ＋１ ＝（１ －槡ｃ－ｘｎ）（槡ｃ－ｘｎ），
在于ｆ（ｘ）的 导 数 ｆ′（ｘ）在 不 动 点槡ｃ附 近 具 有 什 么 符
号 ，这 是 问 题 的 本 质 ）．
４ 总 结
从以上背景和本质的揭示过程中我们可以看出， 解决递归数列的单调性问题主要方法有３ 种：
① 利用函数图象及不动点数形结合的思考问题， 先 得 出 待 求 参 数 范 围 ，再 用 数 学 归 纳 法 进 行 证 明 ，这 种 方 法 比 较 形 象 直 观 ，能 减 小 解 决 问 题 的 难 度 ．
（ｘｎ＜１ －槡ｃ及槡ｃ－ｘｎ＜（１ －槡ｃ）ｎ－１ ）相加来获得ｃ的范
围，而这 ２ 个不等式都是由等式 ② 演变来的，因 此，环 节ａ的 难 点 体 现 在 等 式 ② 的 构 建．环 节 ｂ 中 把 证 明 数
列｛ｘｎ｝为递增数列转 化 为 证 明 ｘｎ ＜槡ｃ≤２１ ，其 中 实 现
数学归纳法 成 功 递 推 的 关 键 是 运 用 二 次 函 数ｆ（ｘ）的 单调性．