浅析三角函数的有界性的应用

[ ] [ ] 又#% --"，于 ，所以#++"% 0,于 ， ( ) 所以 0$Bn # +于 $1.
所以 cj6 = /I +3 这 考查学生对辅助角公式的应用与对三角函数有
界性的熟练度.
例 3 求函数 c = Bn2 # - Z/simsc - 1 ( # % R)的最 大.
分析 先利用三角函数公式恒等变换,根据三角函数
解这道题利用三角函数公式将原式化为二次方程,再
结合有界
答案.
总结 最值问题在数学问题解决中一直占重要地位,
有综合性•所以利用 函数的有界性解 函数的最
，可以提高学生对 函数的理解，熟
函数的
知识， 灵 应用的状态，提高学生的核心素养.
!参考文献】
[1] 肖桂宏.三角函数最值问题的基本题型分析[J].中 国高新区，2018(11)：106.
知识，以及提高学生的核心素养的最终
的.
!关键词】三角函数；有界性;值域
函数一直在数学课程中占有重要的位置.但因为
其内容多，一直以来都是学生学习的难点.
函数
的有界 发，利用有界性解最
，提高学生对 函
数的理解.下面以五个典型的 ，体会 函数有界性的
应用. 例 1 函数(#) =asin#+<( a, < 为常数)，若(#) %
式和
诱 式. 解 cosBcosBcosC
= -亍cos2C+亍cos(A -B) • cosC.
令# 二 cosC,c = cosBcosBcosC,原式可化为 #2 - cos( A B) # + 2c = 0,由判别式大于零，I cosC I $ 18c $ cos2 ( A B) $1，可得y$ +则最大值是
3 Bnn#+ 4 3 3 3 Bnn#+ 4
3
由 Isiii#1 W1 得ymin = -7,ymax =—〒
解法二(反函数法)
c [ ]• 解之可得 % 一7, -〒
由以上解 程,可知分数形式的三角函数利用有界
性，有 解法. 例5 ! △ABC中，求cosBcosBcosC的最大值. 分析 解这道题需要用到三角函数的积化
的有界 ， 求
.
( 兀) 解
c = Bn2# -
//simocc — 1
= -^ - Bn 26
+2
.
3
因为|4#| $1 ,所以cj6二亍
这 用到了三角函数中的降幕公式和辅助角公式, 有综合 .
例4求函数c=2sln#~5的最值. 3n 4
分析 根据函数的特点有两种做法:分离变量法;反函 数.
解法一(分离变量法) v 二2--B-n-----5二--2-—-2-3-X-------1------ .
这 如果想不 弦函数有界性的 质，那么解这
道题就会有难度.
[ ] 例2 求函数c = Bn# + cob + 3，# % -于，~4 的最
大. 分析 这道题可以利用辅助角公式将其变形,然后利
用三角函数有界性求解.
( j 解 c = Bn# + cosc; + 3 = // -""sin# +//coss + 3
[2] 曹 ，刘•三角函数中的最值问题求解[J].中 学数学月刊，2017(11) ：48 -50.
[3] 余云•注重有界性，挖掘“隐”条件[J].数学学习 与研究，2017(12)：125.
[4] 王宁•高中数学最值问题的类型研究# D] •西安：西 北大学，2017.
[5] 梅.三角函数最值问题的解题策略[J] •科技资 ，2015( 33) ：134 -136.
[6] 章 •三角函数最值问题的解题技巧[J].新课程 研究' 教)，2008(9):142 -143.
数学学习与研究2019. 20
解题技巧与方法."；*•
■ JIETI JIQIAO YU FANGFA
嚴靳三角為45琦界榷56用
◎王丹张淑敏(青海师范大学数学与统计学院，青海西宁810008)
!摘要】三角函数内容多，学生不容易掌握， 本文从
wenku.baidu.com
三角函数的有界性出发，利用有界性解五个有关三角函数
的
，让学生对三角函数的理解更
，达 练
三角函数的
[-7，1 ]，求<0S3最大值. 分析题中有 信息：三角函数有界性；定义域为
#% R.
｛XX， ｛ 解当 a>0 T，
"解得 ：=，3.
当a =0时,不合
｛ - ｛ a+<=-7，
a = -4，
当 a<0 时, a+< = 1.解得 <=-3；
综上<=3.
为 I COS3 I $ 1，所以 I <0S3 I $ 3，最 是 3.