高等数学教学设计——中值定理
高等数学 中值定理
F ( x )＝3 x 2 f ( x ) x 3 f ( x ) ，可以用罗尔定理证明. 提问 2：设 f ( x ) C [1, 2] , f ( x ) D (1, 2) ,且 f (2) 8 f (1) ， (1, 2) , s .t . 3 f ( ) f ( ) 0 . 3 提示：构造函数 F ( x ) x f ( x ) ， F ( x )＝-3 x 2 f ( x ) x 3 f ( x ) ，
f ( x ) f ( x0 ) [或 f ( x ) f ( x0 ) ], x U ( x0 ) ， O x 若 f ( x ) D ( x0 ) ，则 f ( x0 ) 0 . 证明：由于 f ( x ) f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) 0 , x U ( x0 ) ，那么 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim 0 ,(因 x x0 0 ) x x0 x x0 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim 0 ,(因 x x0 0 ) , x x0 x x0 所以 f ( x0 ) 0 . 2.【罗尔 Rolle 定理】 y C 设 f ( x ) C [a , b ] , y f (x) f ( x ) D( a , b ) ,且 A B f (a ) f (b) ，
2
在区间 [ 1, 3] 上罗尔定理成立. 提示： f ( x ) x 2 x 3 ( x 3)( x 1) C [ 1, 3]
2
f ( x ) 2 x 2 D( 1, 3) ， f ( 1) f (3) 0 满足罗尔定理的条件， 所以 1 ( 1, 3) ，使得 f (1) 0 例 2 不用求出 f ( x ) ( x 1)( x 2)( x 3) 的导数,试判 别方程 f ( x ) 0 有几个实根.以及根所在的范围. 解： 显然 f ( x) 在区间 [1, 2] , [2, 3] 上都连续, f ( x ) 在区间 (1, 2) , (2, 3) 内都可导,且 f (1) f (2) f (3) ,
泰勒中值定理教案
泰勒中值定理教案教案标题：泰勒中值定理教案教案目标：1. 了解泰勒中值定理的概念和原理；2. 掌握泰勒中值定理的应用方法；3. 培养学生的数学推理和问题解决能力。
教案步骤：引入：1. 引导学生回顾导数的概念和应用，以及泰勒展开式的相关知识。
2. 提出问题：当我们用泰勒展开式近似计算一个函数的值时，我们如何确定近似值的准确性呢？探究：3. 介绍泰勒中值定理的概念和原理，包括拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
4. 通过示例和图示解释泰勒中值定理的几何意义和应用场景。
实践：5. 给出一些具体函数的问题，要求学生利用泰勒中值定理计算近似值，并评估近似值的准确性。
6. 组织学生进行小组讨论，分享解题思路和结果，并互相评价和纠正。
7. 指导学生在实际问题中应用泰勒中值定理，例如在物理、经济等领域中的应用。
拓展：8. 引导学生思考泰勒中值定理的局限性和适用范围，并与其他数学理论进行比较和讨论。
9. 鼓励学生进一步探究和研究泰勒中值定理的相关拓展内容，如带余项的估计等。
总结：10. 总结泰勒中值定理的概念、原理和应用方法。
11. 强调泰勒中值定理在数学和实际问题中的重要性，并鼓励学生继续深入学习和应用。
教学资源：1. 教材：根据教学大纲和学生的学习水平选择合适的教材章节和习题；2. 多媒体：投影仪、电脑等设备，用于展示示例和图示；3. 小组讨论材料：提供给学生进行小组讨论和分享的问题和解题思路。
评估方式：1. 参与度评估：观察学生在课堂讨论和活动中的积极程度；2. 解题能力评估：布置作业或小测验，考察学生对泰勒中值定理的理解和应用能力；3. 问题解决能力评估：设计开放性问题，要求学生运用泰勒中值定理解决实际问题，并评估解决方案的合理性和准确性。
教案建议和指导：1. 在引入部分，可以通过提出问题引发学生的思考和兴趣，激发学习动力；2. 在探究部分，可以通过图示和实例来帮助学生理解泰勒中值定理的几何意义和应用场景；3. 在实践部分，可以设计一些具体的问题，让学生进行实际计算和评估，加强对泰勒中值定理的应用能力；4. 在拓展部分，可以引导学生进行更深入的探究和研究，培养学生的自主学习和探索能力；5. 在评估方式中，可以结合不同形式的评估，全面考察学生的学习情况和能力发展。
教案微分中值定理
微分中值定理教案章节一：预备知识1.1 函数的极限教学目标：理解函数极限的概念，掌握极限的计算方法。
教学内容：引入函数极限的概念，探讨极限的性质和计算方法，如夹逼定理、单调有界定理等。
教学方法：通过具体例子和问题引导学生理解极限的概念，利用图形和数学分析软件演示极限过程，让学生体会极限的意义。
1.2 连续函数教学目标：理解连续函数的概念，掌握连续函数的性质和判断方法。
教学内容：介绍连续函数的定义，探讨连续函数的性质，如保号性、保界性等，学习连续函数的判断方法。
教学方法：通过具体例子和问题引导学生理解连续函数的概念，利用图形和数学分析软件演示连续函数的性质，让学生掌握判断连续函数的方法。
教案章节二：微分中值定理2.1 罗尔定理教学目标：理解罗尔定理的内容和意义，学会运用罗尔定理解决问题。
教学内容：介绍罗尔定理的定义，探讨罗尔定理的条件和结论，学习如何应用罗尔定理解决问题。
教学方法：通过具体例子和问题引导学生理解罗尔定理的内容，利用图形和数学分析软件演示罗尔定理的应用，让学生学会运用罗尔定理解决问题。
2.2 拉格朗日中值定理教学目标：理解拉格朗日中值定理的内容和意义，学会运用拉格朗日中值定理解决问题。
教学内容：介绍拉格朗日中值定理的定义，探讨拉格朗日中值定理的条件和结论，学习如何应用拉格朗日中值定理解决问题。
教学方法：通过具体例子和问题引导学生理解拉格朗日中值定理的内容，利用图形和数学分析软件演示拉格朗日中值定理的应用，让学生学会运用拉格朗日中值定理解决问题。
教案章节三：微分中值定理的应用3.1 导数的应用教学目标：理解导数的概念，掌握导数的计算方法。
教学内容：引入导数的概念，探讨导数的性质和计算方法，如求导法则、高阶导数等。
教学方法：通过具体例子和问题引导学生理解导数的概念，利用图形和数学分析软件演示导数过程，让学生体会导数的意义。
3.2 函数的单调性教学目标：理解函数单调性的概念，掌握函数单调性的判断方法。
中值定理与洛必达法则教案
中值定理与洛必达法则教案中值定理和洛必达法则是微积分中重要的概念和工具，它们在解决函数的极限、连续性和导数等方面起到关键的作用。
本教案将介绍中值定理和洛必达法则的概念、原理以及应用，并讲解相应的解题方法和技巧。
一、中值定理的概念和原理1.1 中值定理的引出和意义中值定理是微积分中的一个基本定理，它描述了函数在某个区间内的平均变化率与瞬时变化率之间的关系。
它在数学和物理等领域中有广泛的应用，可以帮助我们理解函数的性质和解决实际问题。
1.2 齐次连续函数的中值定理如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，并且在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c)等于函数在区间[a,b]上的平均变化率。
1.3 一般函数的中值定理如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，并且在开区间(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c)等于函数在区间[a,b]上的瞬时变化率。
二、中值定理的应用2.1 判定函数在某一区间内的极值利用中值定理，我们可以判断函数在某一区间内的极值。
根据中值定理，当函数在某一点的导数为零时，该点是函数的极值点。
2.2 寻找函数在某一区间内满足特定条件的点通过应用中值定理，我们可以寻找函数在某一区间内满足特定条件的点。
例如，我们可以利用中值定理证明方程f(x)=0在某一区间内有根。
三、洛必达法则的概念和原理3.1 洛必达法则的引出和意义洛必达法则是解决函数极限问题的一种重要方法，它能够帮助我们求解一些不确定型的极限，特别是当分子与分母都趋于零或无穷大时。
3.2 洛必达法则的基本公式如果函数f(x)和g(x)在某一点a处连续，并且满足在该点的邻域内g'(x)不为零，那么当x趋于a时，如果f(x)和g(x)的极限存在或为无穷大，那么f'(x)/g'(x)的极限等于f(a)/g(a)或无穷大。
四、洛必达法则的应用4.1 解决不定型的极限洛必达法则可以帮助我们解决一些不定型的极限，例如0/0、∞/∞、0·∞等形式的极限。
微分中值定理教案
微分中值定理教案一、教学目标1. 理解微分中值定理的概念和意义。
2. 掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的证明和应用。
3. 能够运用微分中值定理解决实际问题。
二、教学内容1. 罗尔定理：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，在区间(a, b)内可导，并且在区间端点处的函数值相等，即f(a) = f(b)，则在区间(a, b)内至少存在一点c，使得f'(c) = 0。
2. 拉格朗日中值定理：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，在区间(a, b)内可导，则在区间(a, b)内至少存在一点c，使得f'(c) = (f(b) f(a))/(b a)。
3. 柯西中值定理：若函数f(x)和g(x)在区间[a, b]上连续，在区间(a, b)内可导，且f'(x)和g'(x)在区间(a, b)内至少有连续的一阶导数，则当f(x)和g(x)满足f(a) = f(b)和g(a) = g(b)时，有(f(b) f(a))/(g(b) g(a)) = f'(c) / g'(c)，其中c是区间(a,b)内某个点。
三、教学方法1. 采用讲授法，讲解微分中值定理的概念、证明和应用。
2. 利用示例和练习题，让学生巩固微分中值定理的理解和应用。
3. 通过小组讨论和报告，培养学生的合作和表达能力。
四、教学步骤1. 引入微分中值定理的概念，讲解罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的定义和意义。
2. 对每个定理进行详细的证明，并结合示例进行解释。
3. 布置练习题，让学生应用微分中值定理解决问题。
4. 组织小组讨论和报告，让学生深入理解和探讨微分中值定理的性质和应用。
五、教学评估1. 课堂练习题的完成情况，评估学生对微分中值定理的理解和应用能力。
2. 小组讨论和报告的表现，评估学生的合作和表达能力。
3. 课后作业和考试，评估学生对微分中值定理的掌握程度。
六、教学拓展1. 探讨微分中值定理的推广形式，如蒙日中值定理和泰勒公式。
3-1第一节 微分中值定理
再证明只有一个实根,用反证法.假设还有x1∈(a,b), x1∈(a,b),x1≠x0,使f(x1) =0.那么由罗尔定理知道,必 定存在一点ξ ∈(a,b),使f ‘(ξ)=0,则与题设导数恒 不为零相矛盾.因此方程f(x)=0只有一个实根x0.
高 二 拉格朗日(Lagrange)定理 等 定理2 设函数f(x)在闭区间[a,b] 数 y f(x)=k B 学 A 电 上连续,在开区间(a,b)内可导,则 f(b) f(ξ) 子 f(a) x 教 在(a,b)内至少存在一点ξ,使得 o a ξ1 ξ2 b 案
高 等 数 学 电 子 教 案
(中值定理与导数的应用)
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
高 等 数 学 电 子 教 案
第三章
微分中值定理与导数的应用
这一章提供了各种各样的方法来研究函数。这其中 又提供了两种求极限的方法---洛必达法则与泰勒式；另 外利用微分中值定理,函数的单调性，凹凸性，泰勒公式
a
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
即f(a)=f(b)，且除了端点外
b
处处有不垂直于x轴的切
线。
高 等 数 学 电 子 教 案
可发现在曲线弧的最高点或最低点C处，曲线有水
平的切线.如果记C点的横坐标为ξ ，那么有 f ' ( ) = 0。我 们用数学语言来描述这个情况,先介绍费马定理。
引理(费马定理) 设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内有
武 汉 科 技 学 院 数 理 系
m ξ2 b
x
高 等 数 学 电 子 教 案
定理1的几何意义是: 对于满足条件的f(x)在(a,b)内至少有
一点ξ(即中间值),使f(x)在x=ξ时有水平切线,即f ’(ξ)=0. 罗尔中值定理: 若函数y=f(x)满足条件 (1)在闭区间[a,b]上连续;
中值定理 教案
中值定理教案教案标题：中值定理教案教案目标：1. 理解中值定理的概念和意义；2. 掌握中值定理的基本原理和应用方法；3. 能够运用中值定理解决实际问题。
教案大纲：一、引入（5分钟）1. 引发学生对中值定理的兴趣，例如提问：你们有没有遇到过两个不同时间段之间的平均速度相等的情况？2. 引导学生思考：如何证明这个平均速度相等的情况？二、概念讲解（15分钟）1. 介绍中值定理的概念：中值定理是微积分中的重要定理之一，它描述了一个函数在一个区间上连续且可导时，一定存在一个点使得该点的导数等于该函数在该区间上的平均变化率。
2. 解释中值定理的意义：中值定理可以帮助我们证明某些函数存在零点、证明某些函数的单调性等。
三、中值定理的基本原理（20分钟）1. 介绍罗尔定理：当一个函数在闭区间的两个端点处取相等的函数值时，必定存在至少一点使得该点的导数为零。
2. 介绍拉格朗日中值定理：当一个函数在闭区间上连续且可导时，必定存在至少一点使得该点的导数等于该函数在该区间上的平均变化率。
四、中值定理的应用方法（20分钟）1. 运用罗尔定理解决函数存在零点的问题；2. 运用拉格朗日中值定理证明函数的单调性；3. 运用拉格朗日中值定理解决函数的最值问题。
五、实例分析与讨论（15分钟）1. 提供几个实际问题，引导学生运用中值定理解决；2. 学生分组讨论并展示解决过程和答案。
六、练习与总结（15分钟）1. 课堂练习：提供一些练习题，让学生巩固所学知识；2. 总结中值定理的要点和应用方法。
七、作业布置（5分钟）1. 布置作业：要求学生完成一定数量的中值定理相关题目；2. 强调作业的重要性，并鼓励学生主动思考和解决问题。
教学辅助材料：1. 中值定理的定义和证明过程的PPT；2. 中值定理相关的练习题；3. 实际问题的案例材料。
教学评估：1. 课堂练习的答案和讨论；2. 学生对中值定理的理解和应用能力；3. 作业完成情况和质量。
教学延伸：1. 鼓励学生进一步探究其他中值定理的应用领域，如泰勒中值定理等；2. 引导学生进行更复杂的中值定理证明和应用的研究。
《高等数学》微分中值定理的说课设计
注： ①罗尔定理 的条件是充 分的 ， 结论 是定性的． ② 推广 ：
罗 尔 定 理 的第 三 个 条 件 ｆ （ ａ ） ＝ ｆ （ ｂ ） 一般很难保 证 ， 我 们 尝 试 去 掉这 个 条 件 ， 会 有 什 么 样 的结 论 产 生 呢 ？由此 引 出拉 格 朗 日中 值定理． 关 于 拉 格 朗 日中值 定 理 ， 我 们 采 用 的 证 明方 法 是 找 原 函 数 ： 要证ｆ ， （ 毫 ） ＝
２ ０ １ ５ 年 第 ８ １ 期是 试 周 刊
等 数 学 》微 分 中 值 定 理 的 说 课 设 计
朱 碧
（ 河南工业大学 理学院 ， 河南 郑 州 ４ ５ ０ ０ ０ １ ）
摘 要： 微 分 中值 定 理 作 为 微 分 学 的 核 心 概 念 之 一 ， 在 高 等 数 学 中具 有 相 当重 要 的 地 位 和 作 用 ， 是 导数 应 用 的 理论 基 础 ． 对 积 分 学的 发 展 ， 具 有 承 前 启 后 的 重要 作 用． 关键词 ： 微 分 中值 定 理 教 材 分 析 教 学 策略 教 学体 会
ｆ ， （ ∈ ） ＿ ｆ ， （ ∈ ） ： ｌ ｉ ｍ
△ ｏ ＿
垒 二 ≥ ０
．
△Ｘ
ｆ ， （ 毛 ） ： ∈ ） ： ｌ ｉ ｍ
△ｘ —ｏ ．
坚 ≤ ０
△ｘ
．
） － 【 】 ．
学 生 已较 好 地 掌 握 了 函数 极 限 和 函数 的 导 数 相 关 知 识 。 正 迫 切 地 想 知 道 导 数 到 底 有 什 么 用 ，这 种 求 知 欲 正 好 是 学 习 本节 内容 的前提 ． 另外， 本班学 生数 学基 础较好 （ 分层 教学Ａ 班） ， 思 维比较活跃 ， 对 数 学 新 内 容 的 学 习 有 相 当 大 的 兴 趣 和 积 极 性 。这 为本 课 的 学 习 奠 定 了基 础 ．但 是 本 节 内容 理 论 性 强， 抽象度 高 ， 内容 思 维 量 大 ， 对 类 比归 纳 ， 抽象 概括 ， 联 系 与 转Байду номын сангаас化 的 思 维 能 力 有 较 高 的要 求 ． 学 生 学 习起 来 有 一 定 难 度 ．
《高等数学》中微分中值定理的教学处理
（ ! (） （ ( * ’） （ ( * )） 证明： 设# （ "）) "% ， $ （ "）) "， （ % "）) ! 显然 （ ! "） ， # （ "） ， $" （ "） 满足定理 % 的条件， 则 至少存在一点 !* （ ’， )） 使 （ ! ’ ） ’% $ （ ! ) ） )% （ ! ( ） (% !& （ !） % ’ ! ) ( & ! ! & )&
收稿日期： !$$% —$G —$# 基金项目： 院教改课题资助项目
作者简介： 张国辉 （ &G#? —） ， 男， 湖南衡阳人， 衡阳师范学院数学系讲师 @
!""# 年第 $ 期
张国辉： 《 高等数学》 中微分中值定理的教学处理
%&& ’
’ ’ 但以上两例都是可以用例 % 的方法解决的 （要 求学生验证） 。 进一步提出， 该结论是不是可以再推广呢？ 让学生讨论， 教师适当引导， 可以得出下面的 结论： 定理 %( 设函数 （ ! "） ， # （ "） ， $ （ "） 均在 ［ %， &］ 上 连续在 （ %， &） 上可导， 则至少存在 （ ! %） # （ %） $ （ %） ! &） # （ &） $ （ &） ) " （ %， &） ， 使 （ !* !（ !） #（ !） $（ !） （ ! %） # （ %） $ （ %） 证明： 设( （ "）) （ ! &） # （ &） $ （ &） （ ! "） # （ "） $ （ "） 显然 ( （ "） 在 ［ %， &］ 上连续， 在 （ %， &） 上可导， 且 ( （ %）) ( （ &）) " 由洛尔 定 理 知 至 少 存 在 一 点 ! * （ %， &） ， 使 (’ （ !）) " （ ! %） # （ %） $ （ %） ! &） # （ &） $ （ &） 定理证毕。 即 （ !（ !） #（ !） $（ !） 显然， 我们已经把微分中值定理推广到三个函 数的情形， 此时。学生的情绪高涨， 趁热打铁， 继续 提问， 可 不 可 以 推 广 到 四 个 函 数 呢？情 况 又 怎 么 样呢？ 考察函数： （ ! %） # （ %） $ （ %） （ ) %） ( （ "）) （ ! &） # （ &） $ （ &） （ ) &） （ ! *） # （ *） $ （ *） （ ) *） （ ! "） # （ "） $ （ "） （ ) "） 经过分析发现， 如果 （ ! "） ， # （ "） ， $ （ "） ， ) （ "） 均 在 ［ %， &］ 上连续， 在 （ %， &） 上可导， 则至少存在两点 （ %， &） ， 使 (’ （ !% ）) " ， (’ （ !! ）) " ， 于是， 由 !% ， !! * 罗尔定理进一步得到： 定理 !( 设 （ ! "） ， # （ "） ， $ （ "） ， ) （ "） 均在 ［ %， &］ 上连续在 （ %， &） 上二阶可导， 则对 （ %， &） ， 至少存在一点 !* （ %， &） ， 使 -** （ ! %） # （ %） $ （ %） （ ) %） （ ! &） # （ &） $ （ &） （ ) &） （ ! *） # （ *） $ （ *） （ ) *） !+ （ !） #+ （ !） $+ （ !） )+ （ !） 证明： 对-** （ %， &） 设 )" ’
高等数学第10课微分中值定理18
f a
(a)
(x
a)
，
4
10 微分中值定理 第
课
因为 f (x) 在 [a ，b] 上连续，在 (a ，b) 内可导，所以 F(x) 在 [a ，b] 上连续，在 (a ，b) 内可导，并且
F(a)
f
(a)
f
(a)
f
(b) b
f a
(a)
(a
a)
f
(a)
f
(a) 0
F(b)
f
(b)
f
(a)
f
(b) b
f a
(a)(ba) Nhomakorabeaf (b) [ f (a)
f (b)
f (a)] 0
所以 F(a) F(b) ，由罗尔中值定理知至少存在一点
(a ，b) ，使得 F( ) 0 ．而
F (x)
f
(
x)
f
(a)
f
(b) b
f a
(a)
(x
a)
f (x)
f (b) f (a) ba
课 微分中值定理
f (x) f (x0 ) 0 ． x x0
由 f (x) 在 x0 处可导及函数极限的保号性得
f (x0 )
f(x0
)
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
0，
f (x0 )
f(x0
)
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
0，
所以 f (x0 ) 0 ．
又 因 为 f (x) 2x 4 2(x 2) ， 由 f (x) 0 得 x 2 ， 2(1，3) ，所以 2 ．
微分中值定理教案
微分中值定理教案教案章节：第一章导数的基本概念教学目标：1. 理解导数的定义及其几何意义；2. 掌握导数的计算方法；3. 理解导数在函数研究中的重要性。
教学内容：1. 导数的定义；2. 导数的几何意义；3. 导数的计算方法；4. 导数在函数研究中的应用。
教学步骤：1. 引入导数的定义，解释导数的几何意义；2. 通过实例演示导数的计算方法；3. 引导学生思考导数在函数研究中的作用，例如求函数的极值、单调性等。
教学评估：1. 课堂讲解；2. 学生作业；3. 学生提问和讨论。
教学资源：1. PPT课件；2. 数学教材；3. 几何画板等。
教学作业：1. 练习导数的计算；2. 思考导数在实际问题中的应用。
教案章节：第二章微分中值定理教学目标：1. 理解微分中值定理的内容及其意义；2. 学会运用微分中值定理解决实际问题。
教学内容：1. 微分中值定理的定义；2. 微分中值定理的证明；3. 微分中值定理的应用。
教学步骤：1. 引入微分中值定理的定义，解释其意义；2. 通过PPT课件演示微分中值定理的证明过程；3. 引导学生思考微分中值定理在实际问题中的应用，例如求函数的极值、单调性等。
教学评估：1. 课堂讲解；2. 学生作业；3. 学生提问和讨论。
教学资源：1. PPT课件；2. 数学教材；3. 几何画板等。
教学作业：1. 练习微分中值定理的应用；2. 思考微分中值定理在其他数学领域的应用。
教案章节：第三章罗尔定理教学目标：1. 理解罗尔定理的内容及其意义；2. 学会运用罗尔定理解决实际问题。
教学内容：1. 罗尔定理的定义；2. 罗尔定理的证明；3. 罗尔定理的应用。
教学步骤：1. 引入罗尔定理的定义，解释其意义；2. 通过PPT课件演示罗尔定理的证明过程；3. 引导学生思考罗尔定理在实际问题中的应用，例如求函数的极值、单调性等。
教学评估：1. 课堂讲解；2. 学生作业；3. 学生提问和讨论。
教学资源：1. PPT课件；2. 数学教材；3. 几何画板等。
拉格朗日中值定理教案
拉格朗日中值定理教案教案：拉格朗日中值定理目标：1.了解拉格朗日中值定理的概念和背景；2.掌握拉格朗日中值定理的数学表达式和推导过程；3.学会应用拉格朗日中值定理解决实际问题。
知识点：1.拉格朗日中值定理的概念和意义；2.拉格朗日中值定理的数学表达式；3.拉格朗日中值定理的证明过程。
教学过程：一、拉格朗日中值定理的概念和意义（20分钟）1.引入：拉格朗日中值定理是微积分中的重要定理之一，它为我们提供了一种在一个区间内计算函数的平均变化率的方法，有助于我们理解函数在一些区间内的性质和行为。
2.概念解释：拉格朗日中值定理是指在给定的区间[a,b]上，若函数f(x)满足一定条件（连续且可导），则存在一个数c，使得f'(c)等于函数f(x)在区间[a,b]上的平均变化率，即f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
3.意义解释：拉格朗日中值定理告诉我们，若函数f(x)满足一定条件，它在区间[a,b]上的平均变化率可以取到与该区间两端点对应的瞬时变化率相等的一些时刻的瞬时变化率。
这样的结果对于理解函数的变化规律和求解实际问题有很大的帮助。
二、拉格朗日中值定理的数学表达式和证明过程（40分钟）1.数学表达式：拉格朗日中值定理的数学表达式为f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)，其中a<c<b，函数f(x)在区间[a,b]上连续且可导。
2.证明过程：我们可以通过引入一个辅助函数g(x)，构造一个新的函数F(x)=f(x)-g(x)，然后利用罗尔定理证明在函数F(x)上存在一个点c，使得F'(c)=0。
由于F(x)=f(x)-g(x)，所以F'(x)=f'(x)-g'(x)。
根据罗尔定理，我们可以得到存在一个点c，使得F'(c)=f'(c)-g'(c)=0，即f'(c)=g'(c)。
由于g(x)在[a,b]上是一个常数函数，所以g'(x)=0。
中值定理教案
中值定理教案标题：中值定理教案一、教学目标：1. 理解中值定理的概念和基本原理；2. 掌握中值定理的应用方法；3. 培养学生的数学思维和解决实际问题的能力。
二、教学准备：1. 教师准备：中值定理的相关教材、教具和多媒体课件；2. 学生准备：课前预习相关知识，准备纸笔。
三、教学过程：1. 导入（5分钟）引入中值定理的概念，通过提问学生对函数的理解和函数在实际问题中的应用，激发学生的学习兴趣。
2. 理论讲解（15分钟）a. 介绍中值定理的基本概念：中值定理是微积分中的重要定理之一，指出在某些条件下，函数在某个区间内的平均变化率等于函数在该区间内某一点的瞬时变化率。
b. 解释中值定理的原理和推导过程，引导学生理解中值定理的数学意义和应用背景。
c. 通过示例演示中值定理的具体应用，如证明某个函数在某个区间内存在一个点使得函数的导数等于某个给定的值。
3. 案例分析与讨论（20分钟）选择一些具体的实际问题，引导学生运用中值定理解决问题。
例如：某辆汽车行驶了100公里，求证在这100公里内至少有一点时，汽车的速度等于汽车的平均速度。
通过让学生分组讨论、提出解决方案，再进行整体讨论，培养学生的合作能力和解决问题的能力。
4. 练习与巩固（15分钟）布置一些练习题，包括计算题和应用题，让学生通过实际操作巩固中值定理的应用方法。
提醒学生注意解题过程中的思路和方法，鼓励他们多进行推理和思考。
5. 总结与拓展（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调中值定理在解决实际问题中的重要性和应用价值。
鼓励学生进行更多的拓展学习，深入了解中值定理的应用领域和相关研究。
四、课堂作业：布置一些练习题，要求学生独立完成，并在下节课前交上。
五、教学反思：教师根据学生在课堂上的表现和作业的完成情况，进行教学反思，及时调整教学策略，为下一节课的教学做好准备。
拉格朗日中值定理教学设计
拉格朗日中值定理教学设计教学设计：拉格朗日中值定理一、教学目标：1.了解拉格朗日中值定理的概念、公式及其在求函数极值、证明一元函数连续性等方面的应用；2.能够熟练运用拉格朗日中值定理，解决简单的实际问题；3.培养学生的逻辑思维和数学推理能力。
二、教学内容：1.拉格朗日中值定理的概念及基本公式；2.拉格朗日中值定理在极值问题中的应用；3.拉格朗日中值定理在连续性证明中的应用。
三、教学过程：1.导入（10分钟）教师通过举例引出问题：如果一辆汽车在段时间内行驶了150公里，问在这段时间内这辆车必然存在一个时刻，它的瞬时速度等于它的平均速度？2.导入目标（5分钟）教师由导入问题引出拉格朗日中值定理，解释拉格朗日中值定理的应用价值和意义。
3.拉格朗日中值定理概念与公式（20分钟）教师给予学生一个具体的数学问题，通过图示和数学计算，引出拉格朗日中值定理的基本公式。
然后，对概念进行深入讲解，即如何理解拉格朗日中值定理。
4.拉格朗日中值定理在极值问题中的应用（30分钟）（1）教师通过一个实际问题来引出拉格朗日中值定理在求函数极值问题中的应用，如"求证在区间[0,1]上函数f(x)=-x^3+3x^2+2x-1在x=1/3处取得极值"。
（2）教师引导学生通过拉格朗日中值定理来解决该问题，即先求取函数f(x)在[0,1]上的导数f'(x)，然后通过拉格朗日中值定理得到一个介于0和1之间的值c，使得f'(c)=0，进而得到函数的极值点。
5.拉格朗日中值定理在连续性证明中的应用（25分钟）（1）教师引出一个函数在一些点的连续性证明问题，如"证明函数f(x)=x^2在x=2处连续"。
6.拓展应用：拉格朗日中值定理在微分中的应用（20分钟）教师给出一个具体的微分问题，通过拉格朗日中值定理帮助学生求解。
如"证明函数f(x)=x^3在[a,b]上的其中一点c处的切线与割线的斜率之差为(f(b)-f(a))/(b-a)"。
(完整版)拉格朗日中值定理教案
拉格朗日中值定理教案 授课人：***一、教材分析微积分学是高等数学的重要的部分，是近代数学的伟大成果之一。
它为我们研究函数和变量提供了重要的方法。
微分中值定理（罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，泰勒定理等）是微分学的重要组成部分，在导数的应用中起着桥梁作用。
拉格朗日中值定理，建立了函数值和导数之间的定量联系，成为我们讨论怎样由导数的已知性质推断函数所具有的性质的有效工具。
二、教学重点和难点教学重点：学习罗尔定理，类比探求和理解拉格朗日中值定理。
教学难点：探求拉格朗日中值定理条件，运用定理研究函数单调性。
三、教学目标1、通过学习罗尔定理，类比学习理解拉格朗日中值定理，培养学生分析，抽象，概括，迁移的学习能力。
2、通过学习定理，发现数学知识的融会贯通，培养数形结合的思想，以及严密的思维方法。
四、授课过程1、知识回顾费马定理：设函数)(x f 在0x 的某领域内有定义，且在0x 可导。
若0x 为f 的极值点，则必有0)0(='x f 。
它的几何意义在于，若函数)('x f 在=x 0x 可导，那么在该点的切线平行于x 轴。
2、新科讲授首先看一个定理，可以看作是拉格朗日中值定理的引理。
（板书）罗尔定理:如果函数)(x f 满足(1)在闭区间[]b a ,上连续;(2)在开区间()b a ,内可导;(3))()(b f a f = .那么在()b a ,内至少存在一点ξ，使得函数在该点的导数等于零，即0)(='ξf . 罗尔定理的几何意义在于：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端高度相同，则至少存在一条水平切线。
如图，)(x f 的图像曲线弧AB ，点C 处的切线平行于x 轴，即0)(1='ξf 。
注（1）点D 处也是符合定理结论的点 ，故应注意原定理中的至少存在一点，而不是唯一存在的。
（2）定理的三个条件缺少任何一个，结论都会不一定成立；接下来看下面三个函数的图像：然后给出罗尔定理的严格数学证明：()()[]3,03)3(]1,1[)2(011,00,1)1(2∈-=-∈=⎪⎩⎪⎨⎧=∈=x x y x x y x x x y （1） （2）（3） -1 1 -1 1 3证明：因为f 在[]b a ,上连续，所以必然存在最大值和最小值，分别设为m M ,，下面分两种情况来讨论：（1）若m M =，则f 在[]b a ,是常函数，从而结论显然成立；（2）若m M >，则因()()b f a f =，使得最大值M 和最小值m 至少有一个是在 ()b a ,内某一点ξ处取到，从而ξ是f 的极值点。
微分中值定理教案
微分中值定理教案一、教学目标1. 理解微分中值定理的概念和意义。
2. 掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的证明和应用。
3. 能够运用微分中值定理解决实际问题。
二、教学内容1. 罗尔定理：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，在区间(a, b)内可导，并且在端点处的函数值相等，即f(a) = f(b)，则在区间(a, b)内至少存在一点c，使得f'(c) = 0。
2. 拉格朗日中值定理：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，在区间(a, b)内可导，则在区间(a, b)内至少存在一点c，使得f'(c) = (f(b) f(a))/(b a)。
3. 柯西中值定理：如果函数f(x)和g(x)在区间[a, b]上连续，在区间(a, b)内可导，且满足f'(x)g'(x) ≠0，则存在一点c∈(a, b)，使得(f(b) f(a))/(g(b) g(a)) = f'(c)/g'(c)。
三、教学方法1. 采用讲解、例题和练习相结合的方式进行教学。
2. 通过图形和实际例子帮助学生理解微分中值定理的意义和应用。
3. 引导学生运用微分中值定理解决实际问题，培养学生的数学思维能力。
四、教学步骤1. 引入微分中值定理的概念，引导学生理解微分中值定理的意义和作用。
2. 讲解罗尔定理的证明和应用，让学生掌握罗尔定理的基本思想和运用方法。
3. 讲解拉格朗日中值定理的证明和应用，让学生理解拉格朗日中值定理的数学意义和实际应用。
4. 讲解柯西中值定理的证明和应用，让学生掌握柯西中值定理的证明方法和应用范围。
5. 通过例题和练习题，让学生巩固微分中值定理的应用，并培养学生的解题能力。
五、教学评价1. 课堂讲解的清晰度和连贯性。
2. 学生对微分中值定理的概念和意义的理解程度。
3. 学生对罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的证明和应用的掌握程度。
4. 学生通过练习题解决问题的能力和数学思维能力的培养。
微分中值定理与导数的应用教案
微分中值定理与导数的应用教案一、教学目标1. 理解微分中值定理的概念和意义。
2. 学会运用微分中值定理解决实际问题。
3. 掌握导数的基本性质和运算方法。
4. 能够运用导数研究函数的单调性、极值和最值等问题。
二、教学内容1. 微分中值定理：洛必达定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。
2. 导数的应用：函数的单调性、极值和最值问题。
三、教学方法1. 采用讲授法，讲解微分中值定理的概念和运用方法。
2. 利用案例分析法，分析实际问题中的导数应用。
3. 借助图形演示法，直观展示函数的单调性、极值和最值等问题。
四、教学准备1. 教案、PPT课件。
2. 相关案例资料。
3. 图形演示软件。
五、教学过程1. 导入：回顾导数的基本概念，引导学生思考导数在实际问题中的应用。
2. 微分中值定理讲解：a. 介绍洛必达定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的定义和条件。
b. 通过例题讲解定理的应用方法和步骤。
3. 导数的应用讲解：a. 介绍函数的单调性及其判断方法。
b. 讲解如何利用导数求函数的极值和最值。
c. 通过案例分析，让学生掌握导数在实际问题中的应用。
4. 课堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的主要内容进行总结，强调微分中值定理和导数在实际问题中的应用。
6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学案例分析1. 案例一：物体运动的速度与时间的关系分析：物体在某段时间内的平均速度等于这段时间内的瞬时速度。
解答：利用微分中值定理，求出物体在某一瞬间的瞬时速度，进而分析物体的运动状态。
2. 案例二：商品价格的变动与需求量的关系分析：商品价格的变动会影响需求量，需求量与价格之间存在某种关系。
解答：利用导数研究商品价格的单调性，从而分析需求量的变化趋势。
七、课堂互动与讨论1. 问题一：如何理解微分中值定理的意义？解答：微分中值定理揭示了函数在某一点的导数与函数在该点的值之间的关系，为我们研究函数的性质提供了重要依据。
微分中值定理教案09
课程名称课程名称 高等数学高等数学年级年级 专业 授课教师授课教师授课时间授课时间学时授课授课 题目题目微分中值定理教学教学 目标目标知识目标：知识目标：掌握微分中值定理、, 培养学生联系的、辩证统一的思想；培养学生解决实际问题的能力。
生解决实际问题的能力。
技能目标：技能目标：会利用高等数学的知识解决问题素质目标：素质目标： 学会用高数的思维考虑问题学会用高数的思维考虑问题 教学教学 重点重点微分中值定理、教学教学 难点难点微分中值定理、教学教学 方法方法讲授法、讨论法、案例教学法讲授法、讨论法、案例教学法 教学教学 准备准备教师教师:: 教案学生：预习相关知识教学过程设计教学过程设计教学内容教学内容教师活动教师活动 学生活动学生活动第一节 微分中值定理一、罗尔中值定理一、罗尔中值定理 定理1如果函数f(x)f(x)满足下列条件：满足下列条件：满足下列条件： （1）在闭区间［）在闭区间［a a ，b ］上连续；］上连续； （2）在开区间（）在开区间（a a ，b)b)内可导；内可导；内可导；（3）在区间两端点的函数值相等，即f(a)=f(b)f(a)=f(b)。
则至少存在一点ξ∈(a (a，，b)b)，使得，使得f ′(ξ)=0)=0。
罗尔中值定理的几何意义是：若连续曲线y=f(x)的弧AB 上处处具有不垂直于x 轴的切线且两端点的纵坐标相等，则在这弧上至少能找到一点，使曲线在该点处的切线平行于x 轴（如图4-1-1所示)。
例1 设f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)， 不求导数判断f ′(x)=0实根的个数，并指出所在范围。
解 因为f(1)=f(2)=f(3)=0f(1)=f(2)=f(3)=0，，所以f(x)在［在［11，2］，［2，3］上满足罗尔中值定理条件，因此有f ′(x)=0(x)=0，于是在（，于是在（，于是在（11，2）内至少有一个实根，在（2，3）内至少有一个实根，又因f ′(x)为二次多项式，故f ′(x)=0只能有两个实根，分别在区间（别在区间（11，2）及（）及（22，3）内。
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4.1微分中值定理单元教学设计
一、教案头
二、教学设计
4.2函数的极值和最值单元教学设计
一、教案头
二、教学设计
案例应用 案例1 求12
1312
3+++=
x x x y 的极值
案例2 讨论2
-x e y =的极值
案例3 有一块宽为2a 的长方形铁皮，将宽的两个边缘向上折起，做成一个开口水槽，其横截面积为矩形，高为x,问高x 取和值时水槽的流量最大？
案例4 铁路线AB 距离为100公里，工厂C 距A 为20公里，AC 垂直于AB ，今要在AB 上选定一个点D 向工厂修筑一条公路，已知铁路与公路每公里货运费之比是3:5，问D 点选在何处才能使从B 到C 的运费最少？ 案例5 现在用一张铝合金材料加工一个日字型窗框，问它的长和宽分别为多少时，才能是窗户的面积最大，最大面积是多少？如下图
4.3函数图像的描绘 单元教学设计
一、教案头
任务1 函数的凸凹性和拐点 任务2 函数的渐近线. 任务3 按步骤描绘函数图像
案例1（注水曲线凸凹） 设水以常数0,/3
>a s am 注入下图的容器中，请做出水上升的
高度关于时间t 的函数)(t f y =，并阐明此函数的拐点和凸凹性。
案例2 描绘函数2-)
1(42
x
x y +=
的图像。
案例3（最值问题） 要用铁皮造一个容积为V 的圆柱形闭合油罐，问底半径r 和高h 等于多少时，能使所使用的铁皮最省？这时候的半径r 和高h 的比值是多少？
案例4（最值问题） 要建造一个上面是半球形，下面是圆柱形的粮仓，其容积是V ，问当圆柱体的高h 和底半径r 为何值时，粮仓所使用的建筑材料最省？
二、教学设计
渐近线
（1）斜渐近线 若)(x f 满足：k x
x f x =∞
→)
(lim
，且b kx]-[f(x)lim =∞→x
则曲线)(x f y =有渐近线b kx y += 如下图：
例 求曲线3-223
x x x y +=的斜渐近线
例 求曲线2
2-12
3x
x y +=的斜渐近线 （2）垂直渐近线
如果C x →(或者+→C x 或者-C x →)时，
∞→)(x f 。
则C x =是)(x f 的垂直渐近线
例 求5
-1
x y =
的垂直渐近线 例 求曲线2
2-12
3x x y +=的垂直渐近线
（3）水平渐进线
如果∞→x (或者+∞→x 或者∞→-x )时，
C x f →)(。
则C y =是函数的水平渐近线
案例应用 案例1 设水以常数
0,/3
>a s am 注入下图的容器中，请做出水上升的高度关于时间t 的函数)(t f y =，并阐明此函数的拐点和凸凹性。
参考图像
案例2 描绘函数2-)
1(42
x
x y +=
的图像。
8
10
12
14
16
6
4
2
2
45510
???? ? ??。