均值不等式的证明方法
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柯西证明均值不等式的方法 by zhangyuong （数学之家）
本文主要介绍柯西对证明均值不等式的一种方法，这种方法极其重要。 一般的均值不等式我们通常考虑的是n n G A ≥： 一些大家都知道的条件我就不写了
n
n n x x x n
x x x ......2121≥+++
我曾经在《几个重要不等式的证明》中介绍过柯西的这个方法，现在再次提出:
8444844)()(:
4422)()(abcdefgh
efgh abcd h g f e d c b a abcd
abcd cd ab d c b a d c b a ≥+≥+++++++=≥+≥+++=+++八维时二维已证，四维时：
这样的步骤重复n 次之后将会得到
n n n
x x x x x x n
2221221 (2)
...≥+++
令A n
x x x x x x x x x x n
n n n n n =+++======++......;,...,2122111
由这个不等式有
n n n n n
n n n n
n A x x x A x x x A n nA A 2
121212221)..(..2
)2(--=≥-+=即得到 n
n n x x x n
x x x ......2121≥+++
这个归纳法的证明是柯西首次使用的，而且极其重要，下面给出几个竞赛题的例子:
例1：
1
1121
01(1,2,...,)11(...)n
i i i
n
n n a i n a a a a =<<=≥--∑若证明
例2：
11
1211(1,2,...,)1
1(...)
n
i i i n
n n
r i n r r r r =≥=≥++∑
若证明
这2个例子是在量在不同范围时候得到的结果，方法正是运用柯西的归纳法：
给出例1的证明：
12121221221234211(1)2(1)(1)11,(1)(2)2(1)
22(1)2(1)2211111111n a a a a a a p a q a q p p q p q pq q p q q q p q a a a a =+≥⇔---≥----=+=⇔--≥-+⇔-+≥⇔+≥+⇔≥+++≥+----≥
当时
设，而这是元均值不等式因此因21
12
1221
1212221
12
2
11211(...)...(...)11
22(2)1111()111n
n
n n n n
n
n
i i
n
n n n n
n n
n n
i i n
n i i
a a a a a a a a a a G n a G G
G G
n
a G =++-==≥
--=====+-≥
=
----≥
--∑∑∑此令有即
例3:
1115,,,,1(1),,111,,11()()11n n
i i i i i i i
i i
n n n
i i i i i i n
n i i i i i i i i i i i n r s t u v i n R r S s n n T t U u V v n n n r s t u v RSTUV r s t u v RSTUV =>≤≤=====++≥--∑∑∑∑∑∏已知个实数都记，求证下述不等式成立：
要证明这题，其实看样子很像上面柯西的归纳使用的形式
其实由均值不等式，以及函数1
()ln 1
x x e f x e +=-是在R 上单调递减
因此
1(
)1
n
RSTUV RSTUV RSTUV ≥
=
+≤
-
我们要证明：
1
1
(
)1
n
i i i i i i i i i i i r s t u v r s t u v =+≥
-∏证明以下引理
:
1
1
(
)1
n
n i i i x x =+≥-∏
2
12
12
2
12121212
2
121212121212
1212
2
1212
2
11
2()()
11
(1)(1)
2(1)(1)(1)
2(1)
(1)(1)2(1)
11
()()
11
i
i
x x
n
x x
A A x x x x x x x x
A x x x x A x x x x x x x x
A x x x x
A x x A x x
x G
x G
++
=⇔≥
--
=⇔+++++++
-+++≥+--++--
++--
⇔++≥+
++
•
--
时，
令
显然成立
因此
2
2
2
2
1
2
2
1
1
()
1
1
()
1
1
()
1
n
n
n n
n
n
n
n
n
n
n
n
i n
n
n
i
i i
G G
G
G G
G
G
x
x
-
-
-
=
=
+
≥=
-
+
=
-
+
≥
-
∏
∏
，
因此
所以原题目也证毕了
这种归纳法威力十分强大，用同样方法可以证明Jensen:
)
2
(
2
)
(
)
(
2
1
2
1
x
x
f
x
f
x
f+
≥
+，则四维:
)
4
(
4
)
2
(
2
)
2
(
2
)
(
)
(
)
(
)
(4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
+
+
+
≥
+
+
+
≥
+
+
+
一直进行n次有
)
2
...
(
2
)
(
...
)
(
)
(
2
2
1
2
2
1
n
n
n
n x
x
x
f
x
f
x
f
x
f+
+
+
≥
+
+
+
，
令A
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x n
n
n
n
n n
=
+
+
+
=
=
=
=
=
=
+
+
...
...
;
,...,2
1
2
2
1
1
1
有)
(
)
2
)
2(
(
2
)
(
)
2(
)
(
...
)
(
1A
f
A
n
nA
f
A
f
n
x
f
x
f
n
n
n
n
n=
-
+
≥
-
+
+
+
所以得到
)
...
(
)
(
...
)
(
)
(
2
1
2
1
n
x
x
x
f
n
x
f
x
f
x
f
n
n
+
+
+
≥
+
+
+