正方体做截面的方法
正方体截面的作法_黄沙利
正方体截面的作法黄沙利 指导老师 胡云浩(安徽省砀山中学高三(30)班,235300) 我们知道:过不共线的三点作一多面体的截面,只需作出不共线的三点确定的平面与多面体的各可能相交平面的交线即可;又因为两点确定一直线,故只需作出两相交平面的两公共点即可.正方体截面的作法问题是立体几何中的常见问题,也是同学们学习的难点,本文给出正方体截面的作法两例,供同学们参考.例1 如图1,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,P ,Q ,R 分别是棱CC 1,A 1D 1,A 1B 1的中点,试作出过这三点的截面.图1 图2作法 如图2所示,连接Q R 并延长,分别与C 1B 1、C 1D 1的延长线相交于点E 、F ,则E ,P 为面PQR 与面BB 1C 1C 的两公共点,F ,P 为面PQR 与面DD 1C 1C 的两公共点.连接EP ,交BB 1于点M ,连接FP 交DD 1于点N ,则R ,M 为面P QR 与面A A 1B 1B 的两公共点,Q ,N 为面P QR 与面A A 1D 1D 的两公共点,再连接RM ,QN ,则五边形PMRQN 即为所求平面.例2 如图3,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,P ,Q ,R 分别是三对互为异面直线的棱DC ,AA 1,B 1C 1的中点,试作出过这三点的截面.作法 如图4所示,取C 1D 1的中点N ,连接PN ,∵PN ∥QA 1,∴设NA 1的延长线与PQ 的延长线交于点M ,则M ,R 为面P QR 与面A 1B 1C 1D 1的两公共点;连接MR 并延长,分别交A 1B 1、D 1C 1的延长线于点E 、F ,则P ,F 为面PQR 与面D 1C 1CD 的两公共点;再连接FP 并延长分别交CC 1、D 1D 的延长线于点G 、S ,则Q ,S 为面PQR 与图3 图4面AA 1D 1D 的两公共点,连接QS 交AD 于点T ,再连接PT ,QE ,RG ,则六边形PTQERG 即为所求平面.∵PN ∥QA 1,Q 为A A 1的中点,∴A 1为MN 的中点.∵A 1E ∥FN ,∴NF =2A 1E①又∵R 为B 1C 1的中点,∴EB 1=C 1F .由①得2(A 1B 1-EB 1)=12A 1B 1+EB 1,即EB 1=12A 1B 1,∴E 为A 1B 1的中点.易得G ,T 也分别为C 1C ,AD 的中点,∴PTQER G 为正六边形.注 在得到线段QE ,ER 后,也可根据线面平行的性质定理,在面ABCD ,D 1DCC 1内作P T ∥ER ,PG ∥EQ ,即可得到点T ,G ,同样可得截面六边形PTQE RG .思考 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,P ,Q ,R 分别是三对互为异面直线的棱DC ,AA 1,B 1C 1上任一点(端点除外),你能类似作出过这三点的截面吗?(收稿日期:2009-12-25)64数学通讯———2010年第4期(上半月) ·课外园地·。
平面截正方体典例解析
正方体截面问题
用平面去截一个几何体，截面的情况可以帮助我们更好地认识几何体，对于一个几何体不同切截方式，所以得截面可能出现不同的情况.下面让我们来探索用平面截正方体所得截面的形状.
我们知道正方体有六个面，用一个平面去解正方体至少要经过三个面，最多经过六个面.所以出现的截面只可能是三角形、四边形、五边形和六边形.
一、截面是三角形
用一平面截正方体，当平面经过正方体的三个面时，所得的截面的形状为三角形.所得的三角形可能是锐角三角形（如图1）；等腰三角形（如图2）；等边三角形（如图3）.其中等边三角形三个顶点是正方形的顶点.
图1 图2 图3
二、截面是四边形
用一个平面截正方体，当平面经过正方体的四个面时，所得截面可能是正方形、长方形、梯形.
①用平行于底面的一个平面去截正方体时，按图4方式得到的截面是正方形.
图4
②按图5或图6或图7的方式切截，得到的截面是长方形
图5 图6 图7
③按图8的方式所得截面为梯形.
图8
三、截面是五边形
用平面截正方体，当平面经过正方体的五个面时，所得截面是五边形.如图9.
图9
四、截面是六边形
用平面截正方体，当平面经过正方体的六个面时，所得截面是六
边形，如图10.
图10
总结：用一个平面截正方体，截面可以是三角形，四边形，五边形，六边形。
但是由于正方体共有六个面，所以截面不可能是七边形.。
正方体的截面展开图
正方体的截面与展开图一、正方体的截面：
二、正方体的展开图：
第一类：中间四连方，两侧各有一个，共六种， 如下图：
第二类：中间三连方，两侧各有一、两个，共三种。
如图7、8、9
前
图1
前
图2
前
图3
前
图4 前
图5
前
图6
第三类：中间二连方，两侧各有两个，只有一种。
如图10
第四类：两排各有三个，只有一种如图11.
前
图9
前
图8
前
图7
前
图10
前
图11
如何快速识别正方体的展开图：
一：“田”字、“一”字、“7”字，“凹”字不能法。
因为正方体的每个顶点处只有3条棱，故不可能有四个面相连，所以含有“田”的图形一定不是正方体的表面展开图，同样含有“一”、“7”“凹”字的图形也不是的表面展开图。
如下图：
二、标面法：
所谓标面法就是在所给的图形上结合空间想像，标出正方体的上、下、左、右、前、后。
如果标出后的图形的这6个面既完整、又不重复，那么就是正方体的表面展开图。
否则就不是。
标面时最好选定中间的正方形为定面。
“田”字
“凹”字
“一”字
“7”字。
向量法作正方体截面
向量法作正方体截面光山县第二高级中学陈宏天已知正方体棱上的三点（不在同一侧面内）作正方体的截面，是一个古老的话题，对有些同学来说也是一个难题。
正方体的截面问题分为两大类，一类是已知的三点中有两点在同一侧面的棱上，此类问题较易解决；另一类是已知的三点没有任何两点在同一侧面内，这一类截面问题的解决有“垂线法”和“向量法”两种，“垂线法”早有书籍介绍，但“向量法”却鲜为人知。
现将两种方法介绍如下：一、垂线法【问题】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知M、N、P分别是棱AB、CC1、D1A1上的点，求作过点M、N、P的正方体的截面。
【分析】此类问题的难点在于已知的三点没有任何两点在正方体的同一侧面内，解题的方向是把该问题转化为第一类问题，即在已知的点中有两点在正方体的同一侧面内。
设过点M、N、P的正方体的截面所在的平面为α，则平面α与平面AD1相交（公理3），我们有理由相信平面α与棱AA1相交于一点，不妨设该点为R，如果我们能确定R在棱AA1上的位置，问题就转化为第一类问题。
【作法】过点P作棱AD的垂线，记垂足为Q，连接QM、AC、PM，记QM ∩AC＝O，过点O作线段MQ的垂线，交线段PM于点O1，显然点O1∈平面α，又点O1∈平面ACC1A1，所以直线NO1与直线AA1共面且相交，其交点即为点R，余下过程略。
二、向量法如图建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，M(1,a,0)，N(0,1,b)，P (c ,0,1)，设R (1,0,r )是正方体截面与棱AA 1的交点，则四点MNPR 共面，即向量RM 、RN 、RP 共面，因为),,0(r a RM -=、),1,1(r b RN --=、)1,0,1(r c RP --=，根据平面向量基本定理知，存在实数对),(μλ，使得RN RM RP μλ+=，所以),1,1(),,0()1,0,1(r b r a r c --+-=--μλ，从而⎪⎩⎪⎨⎧-+-=-+=-=-r b r r a c μμλμλμ101，消去λ、μ得1)1(+-+-=c ac bc b a r ，即得R 在棱AA 1上的具体位置，同理可得正方体截面与其它棱的交点位置，但过程要比确定R 点的位置简单的多。
立体几何中截面问题重难考点归纳总结
高三二轮专题复习立体几何中截面问题重难考点归纳总结作空间几何体截面的常见方法：（1）直接连接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程；（2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线；（3） 作延长线找交点法：若直线相交但是立体图形中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线；（4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面.考点一：截面形状的判断1．在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面．平面以任意角度截正方体，所截得的截面图形不可能为（） A ．等腰梯形B ．非矩形的平行四边形C ．正五边形D ．正六边形2．在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面，如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别是棱B 1B 、B 1C 中点，点G 是棱CC 1的中点，则过线段AG 且平行于平面A 1EF 的截面图形为（ ）A ．矩形B ．三角形C ．正方形D ．等腰梯形3．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个垂直于圆柱底面的平面去截这个组合体﹐则截面图形可能是______（填序号）．4．（多选题）一个正方体内有一个内切球，用一个平面去截，所得截面图形可能是图中的（ ）A ．AB ．BC ．CD ．D5．在正方体中，M ，N ，Q 分别为棱AB ，的中点，过点M ，N ，Q 作该正方体的截面，则所得截面的形状是（） A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形考点二：求截面面积6．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为16的正方形，则该圆柱的表面积为（） A ． B ． C ． D ． 7．已知球O 的表面积为，则过球Q 一条半径的中点，且与该半径垂直的截面圆的面积为___________. 8．已知圆锥的侧面积为，若其过轴的截面为正三角形，则该圆锥的母线的长为___________. 9．已知正四棱柱中、的交点为，AC 、BD 的交点为，连接，点为的中点.过点且与直线AB 平行的平面截这个正四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1，则正四棱柱的体积为______________.111-ABCD A B CD 111,B B C D 1O 2O 12O O 24π20π8π29π11A C 11B D 1O 2O 12O O O 12O O O 1111ABCD A B C D -10．已知正四棱柱中，，，则该四棱柱被过点，C ，E 的平面截得的截面面积为______. 11．已知圆锥的侧面积为20π，底面圆O 的直径为8，当过圆锥顶点的平面截该圆锥所得的截面面积最大时，则点O 到截面的距离为______________.12．在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面. 如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，点是棱的中点，则过线段且平行于平面的截面的面积为A ． B． C ． D13．已知棱长为的正四面体，，，分别是棱，，的中点，则正四面体的外接球被三角形所在的平面截得的截面面积是（ ）A ．B ．C ．D ． 14．已知三棱锥的所有棱长均相等，四个顶点在球的球面上，平面经过棱，，的中点，若平面截三棱锥和球所得的截面面积分别为，，则（ ） ABC ．D ． 15．已知正方体的长为2，直线平面，下列有关平面截此正方体所得截面的结论中，说法正确的序号为______．①截面形状一定是等边三角形：②截面形状可能为五边形；③截面面积的最大值为④存在唯一截面，使得正方体的体积被分成相等的两部分．16．已知某圆锥轴截面的顶角为，过圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为，则该圆锥的1111ABCD A B C D -1124BE BB ==143AB AA =1A 1111ABCD A B C D -,E F 111,B B B C G 1CC AG 1A EF 198894ABCD E F N AB AC AD ABCD EFN 73π83π103π163πA BCD -O αAB AC AD αA BCD -O 1S 2S 12S S =38π364π1111ABCD A B C D -1AC ⊥αα120 2底面半径为（） ABC ．D ．17．在长方体中，已知，，分别为，的中点，则平面被三棱锥外接球截得的截面圆面积为___________.考点三：求截面周长18．如图，在正方体中，，为棱的中点，为棱的四等分点（靠近点），过点作该正方体的截面，则该截面的周长是___________.19．已知在棱长为6的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱C 1D 1，B 1C 1的中点，过A ，E ，F 三点作该正方体的截面，则截面的周长为________．20．正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，所有棱长均为2，点E ，F 分别为棱BB 1，A 1C 1的中点，若过点A ，E ，F 作一截面，则截面的周长为（ ）1111ABCD A B C D -122AA AB AD ===E F 1BB 11D C 11A BCD 1C CEF -1111ABCD A B C D -4AB =E BC F 11A D 1D ,,A E FA ．B ．C ．D ．21．在三棱锥中，，截面与，都平行，则截面的周长等于（ ）A ．B ．C ．D ．无法确定考点四：截面最值问题22．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，的正三角形，三棱锥的体积为，为的中点，则过点的平面截球所得截面面积的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 23．正四面体ABCD 的棱长为4，E 为棱AB 的中点，过E 作此正四面体的外接球的截面，则该截面面积的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 24．已知球O 是正三棱锥A -BCD （底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，BC =3，AB =E 在线段BD 上，且BD =3BE ．过点E 作球O 的截面，则所得截面面积的最小值是（ ） A ． B． C ． D ．25．如图，四边形为四面体的一个截面，若四边形为平行四边形，，，则四边形的周长的取值范围是___________.26．如图，设正三棱锥的侧棱长为，，分别是上的点，过作三棱锥的截面，则截面周长的最小值为________.+A BCD -AB CD a ==MNPQ AB CD MNPQ 2a 4a a P ABC -O PA PB PC ==ABC ∆P ABC -16Q BC Q O 13,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦13,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]46ππ，[]412ππ，[]4ππ，[]6ππ，2π3π4π5πEFGH ABCD EFGH 4AB =6CD =EFGH P ABC -240APB ∠=︒,E F ,BP CP ,,A E F AEF27．正三棱锥，点在棱上，且，已知点都在球的表面上，过点作球的截面，则截球所得截面面积的最小值为___________.考点五：有关截面的综合问题28．如图，在正方体中，点P 为线段上的动点（点与，不重合），则下列说法不正确的是（ ）A ．B ．三棱锥的体积为定值C ．过，，三点作正方体的截面，截面图形为三角形或梯形D ．DP 与平面所成角的正弦值最大为 29．（多选题）在棱长为2的正方体中，以下结论正确的有（）A ．三棱锥外接球的体积是B ．当点在直线上运动时，的最小值是P ABC -AB ==E PA 3PE EA =P A B C 、、、O E O ααO 1111ABCD A B C D -11A C P 1A 1C BD CP ⊥C BPD -P C 1D 1111D C B A 131111ABCD A B C D -11B A DC -Q 1BC 1A Q QC +8+C ．若棱，，的中点分别是，，，过，，三点作正方体的截面，则所得截面面积为D ．若点是平面上到点和距离相等的点，则点的轨迹是直线30．（多选题）如图，正方体的棱长为1，P 为的中点，Q 为线段上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面多边形记为S ，则下列命题正确的是（ ）A ．当时，S 为等腰梯形B ．当时，S 与的交点R 满足C ．当时，S 为六边形D ．当时，S31．（多选题）在正方体中，，点E ，F 分别为，中点，点P 满足，，则（ ）A ．当时，平面截正方体的截面面积为B ．三棱锥体积为定值 AB 1AA 11CDEFG E F G M 1111D C B A D 1C M 11A D 1111ABCD A B C D -BC 1CC 12CQ =34CQ =11C D 113C R =314CQ <<1CQ =1111ABCD A B C D -2AB =AB BC 1AP AA λ= [0,1]λ∈1λ=PEF 941P ECC -C ．当时，平面截正方体的截面形状为五边形D ．存在点P ，二面角为45°10,3λ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦PEF P EF A --Word 版见：高考高中资料无水印无广告word 群559164877详细解析1．C 【详解】画出截面图形如图：可以画出等腰梯形，故A 正确；在正方体中，作截面（如图所示）交，，，分别于点，，，，根据平面平行的性质定理可得四边形中，，且，故四边形是平行四边形，此四边形不一定是矩形，故B 正确；经过正方体的一个顶点去切就可得到五边形．但此时不可能是正五边形，故C 错误；正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，且可以画出正六边形，故D 正确． 故选：C1111ABCD A B C D EFGH 11C D 11A B AB CD E F G H EFGH //EF HG //EH FGEFGH高中数学教研群 QQ 群号929518278 精品资料每天更新2．D 【详解】取的中点，如图连接、、、，由题意得：，， 不在平面内，平面内，∴平面.不在平面内，平面内，∴平面.，平面，平面平面，过线段且平行于平面的截面图形为等腰梯形．故选：．3．①⑤【详解】由题意，当截面过旋转轴时，圆锥的轴截面为等腰三角形，此时①符合条件； 当截面不过旋转轴时，圆锥的轴截面为双曲线的一支，此时⑤符合条件， 综上可知截面的图形可能是①⑤.故答案为：①⑤4．AB 【详解】由组合体的结构特征可知：当截面过球与正方体切点时可知A 正确、C 错误；当截面过正方体的对角面时可知B 正确；此题是正方体的内切球，可知D 错误.故选：AB5．D 【详解】如图所示：分别为中点，M ，N ，Q 确定平面， 且，故，，故，同理可得，，，故截面为六边形.故选：D. BC H AH GH 1D G 1AD //GH EF 1//AH A F GH 1A EF EF ⊆1A EF ||GH 1A EF AH 1A EF 1A F ⊆1A EF ||AH 1A EF GH AH H = ,GH AH ⊆1AHGD ∴1//AHGD 1A EF AG AEF 1AHGDD ,,EF H 111,,AD DD B C αNH MQ ∥N α∈NH α⊂,Q H αα∈∈QH α⊂FQ α⊂EF α⊂EM α⊂6．B 【详解】根据题意，所得截面是边长为4的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面是半径为的圆，且高为4，所以其表面积.故选：B. 7．【详解】 设球的半径为，则，解得.设截面圆的半径为，由题知：， 所以截面圆的面积.故答案为： 8．【详解】 设圆锥的底面半径为r ，圆锥的母线为l ,又圆锥过轴的截面为正三角形，圆锥的侧面积为， ∴， ∴.故答案为：. 9．3【详解】设正四棱柱的底面边长为a ，高为h ，由题知当截面平行于平面时，截面面积最小；当截面为平面时，截面面积最大，2()22222424S =⨯+⨯⨯=πππ32ππR 248R ππ=R =r r ==232S ππ==32π2329π22,9l r rl ππ==23l =23ABCD 11A B CD因为过点且与直线AB 平行的平面截这个正四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1，所以， 于是正四棱柱的体积为.故答案为：3.10．由题意，正四棱柱中，，， 可得，在上取点，使得，连接，则有， 所以四边形是平行四边形，由勾股定理可得，所以所以， 所以四边形是平行四边形的面积为， 故答案为：O 21a ⎧=⎪⎨=⎪⎩13a h =⎧⎨=⎩1111ABCD A B C D -23a h =1111ABCD A B C D -1124BE BB ==143AB AA =1118,2AA BB CC BE ====1DD F 12D F =1,A F CF 11,//A F CE A F CE =1A ECF 11A E CE A C ====2221111cos 2A E CE A C A EC A E CE +-∠===⨯1sin A EC ∠=1A ECF 11sin A E EC A EC ⨯⨯∠==11设圆锥的底面圆的半径为r ，高为h ,母线长为l ,则，∴，h =3,由于h<r ,所以圆锥的轴截面为钝角三角形，所以过圆锥顶点的平面截该圆锥所得的截面为直角三角形时面积最大，如图，△SAB 为截面三角形，SO 为圆锥的高，设点O 到截面的距离为d ，则∴，即， ∴，即点O. 12．B 【详解】取BC 的中点H ，连接，4,20r rl ππ==5l =25,2SAB AB S == 14,2AOB OA OB S ===⨯= 1133SAB AOB S d S h ⋅=⋅ 12513323d ⨯⋅=d =,AH GH因为面AHGD1，面AHGD1，面AHGD1，同理，面AHGD1，又，则平面AHGD1∥平面A1EF，等腰梯形AHGD1，，故选B．13．D【详解】过点作平面的垂线，垂足为，交平面于点，设该四面体外接球球心为，连接，作图如下所示：因为四面体为正四面体，且面，故点为△的外心，则该四面体的球心一定在上，不妨设外接球球心为；因为分别为的中点，则//，//，又，且面，面，故平面//平面，故面，又为中点，故也为中点.因为正四面体的所有棱长为，故1,EF BC GH EF⊄GH⊂EF∴∥1A E∥1A E EF E⋂=98A BCD H EFN'O O,OB BHABCD AH⊥BCDH BCD AH O,,E F N,,AB AC AD EF BC FN CD,EF FN F BC CD C⋂=⋂= ,EF FN⊂EFN,BC CD⊂BCD EFN BCDAO'⊥EFN E AB'O AHABCD4243BH==则设该四面体的外接球半径为，即，则， 在△中，，即， 解得即外接球球心到平面， 设平面截外接球所得圆的半径为，则，解得，故截面圆的面积为.故选：D. 14．B 【详解】设平面截三棱锥所得正三角边长为a ，截面圆的半径为r ，则， 由正弦定理可得， ，故选：B15．④【详解】如图可知，截面形状可以是等边三角形、六边形、正六边形，∴①②明显错误；截面面积的最小值可以趋向于零，故③错误；当截面为正六边形时，截面过正方体的中心，此时正方体的体积被分成相等的两部分．故④正确.故答案为：④AH ===12O H AH ='=R OA OB R ==OH AH R R =-=Rt OHB 222OH BH OB +=222R R ⎫+=⎪⎪⎭R =OO R AO =-==''O EFN EFN r 222r +=2163r =163παA BCD -21S =sin 60a r ==︒22243πa S πr ∴==12S S =∴16．A 【详解】如图，由题可知，，又过圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为，∴，即， 在中，.故选：A. 17．【详解】 以点为原点建立空间直角坐标系如图所示：120APB ∠= 30ABP ∠= 22122l =2l =Rt POB cos302r l === 98πD依题意得：，，，则，，所以，则；设为中点，因为则，所以点为三棱锥外接球的球心，则设球心到平面的距离为，又因为为中点，所以点到平面的距离为，由于，所以故截面圆的半径为，所以截面圆面积为. 故答案为：18如图，取的中点，取上靠近点的三等分点，()0,2,0C ()1,2,1E ()0,1,2F ()1,0,1EC =-- ()111EF ,,=-- 1010EC EF ⋅=+-= EF EC ⊥O CF EF EC ⊥1EO OC FO C O ===O 1C CEF -12R CF ==O 11A BCD h O CF F 11A BCD 2h 111244h C D ==⨯=h =r ==98π98π11C D H 1CC 1C G连接，易证，则五边形为所求截面.因为，所以， 则， 故该截面的周长是.19．如图，延长EF ，A 1B 1，相交于点M ，连接AM ，交BB 1于点H ，延长FE ，A 1D1，相交于点N ，连接AN，交DD 1于点G ，连接FH，EG，可得截面为五边形AHFEG .因为ABCD-A 1B 1C 1D1是棱长为6的正方体，且E ，F 分别是棱C 1D 1，B 1C 1的中点，由中位线定理易得：EF ＝：AG ＝AH ＝EG ＝FH AH ＋HF ＋EF ＋EG ＋AG ＝故答案为：20．B 【详解】如图，在正三棱柱中，延长AF 与CC 1的延长线交于M ，连接EM 交B 1C 1于P ，连接FP ，则四边形AEPF 为所求截面.,,,,AE EG GH HF FA //,//AE HF AF EG AEGHF 4AB =111182,3,1,3BE CE C H D H A F D F CG =======143C G =103AE EG ==5,GH HF AF ===AE EG GH HF AF ++++=+111ABC A B C -过E 作EN 平行于BC 交CC 1于N ，则N 为线段CC 1的中点，由相似于可得MC 1=2，由相似于可得：， 在中，，则，在中，，则在中，，则在中，， 由余弦定理：，则故选：B.21．A 【详解】 设，因为平面，平面平面，平面，所以，同理可得，，，故四边形为平行四边形， 所以，. 因为，所以，， 1MFC MAC △1MPC △MEN 111242,2333PC PC B P =⇒==1Rt AA F 112,1AA A F ==AF ==Rt ABE △2,1AB BE ==AE ==1Rt B EP 1121,3B E B P ==PE ==1C FP 11141,,603C F C P FC P ==∠=︒2224413121cos 60339PF ⎛⎫=+-⨯⨯⨯︒= ⎪⎝⎭PF ==AM k CM=//AB MNPQ ABC MNPQ MN =AB ÌABC //MN AB //PQ AB //MQ CD //NP CD MNPQ 11MN PQ AB AB k ==+1MQ NP k CD CD k==+AB CD a ==1a MN PQ k ==+1ak MQ NP k==+所以四边形的周长为. 故选：A.22．A 【详解】设在底面上的射影为，因为，所以为的中心，由题可知，，由，解得 在正中，可得.从而直角在中解得. 进而可得，，，因此正三棱锥可看作正方体的一角， 正方体的外接球与三棱锥的外接球相同，正方体对角线的中点为球心. 记外接球半径为，则所以过的平面截球所得截面的面积最大为； 又为中点，由正方体结构特征可得 由球的结构特征可知，当垂直于过的截面时， MNPQ 2211a ak MN PQ MQ NP a k k ⎛⎫+++=+= ⎪++⎝⎭P ABC M PA PB PC ==M ABC ∆ABC S ∆1136P ABC ABC V PM S -∆=⨯⨯=PM =ABC ∆AM =ABC 1PA =PA PB ⊥PB PC ⊥PC PA ⊥P ABC -P ABC -O R R Q O 2max 34S R ππ==Q BC 1122OQ PA ==OQ Q截面圆半径最小为. 因此，过的平面截球所得截面的面积范围为. 故选：A.23．A 【详解】如图，将正四面体补为边长是ABCD 的外接球为正方体 的外接球，球心O在体对角线的中点，且球的半径；当OE 垂直于截面时，截面面积最小，截面圆的半径为面积为；当截面过球心O 时，截面面积最大，截面圆的半径为，面积为故选:A24．A【详解】解：如图，O 1是A 在底面的射影，由正弦定理得，△BCD 的外接圆半径r ==2min 12S r ππ==Q O 13,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦R =12r ==4π1r R =6π1031sin 602r =⨯=由勾股定理得棱锥的高AO 1；设球O 的半径为R ，则，解得，所以OO 1=1；在△BO 1E 中，由余弦定理得 所以O 1E =1；所以在△OEO 1中，OE；当截面垂直于OE. 故选：A25．【详解】解：四边形为平行四边形，；平面，平面， 平面；又平面，平面平面，，同理可得；设，， ，， ； 又，，， ，且； 四边形的周长为 ，；四边形周长的取值范围是．故答案为：26．将正三棱锥的三个侧面展开如图，由图可知，为使的周长最小，只需让四点共线即可，则当为与交点时，的周长最小，由题意，，∴，得的周长3==()223R R =-2R =2113211,O E =+-⨯==2π(8,12) EFGH //EH FG ∴EH ⊂/ ABD FG ⊂ABD //EH ∴ABD EH ⊂ ABC ABC ABD AB =//EH AB ∴//EF CD EH x =EF y =∴EH CE AB CA =EF AE CD AC =∴1EH EF CE AE AC AB CD CA AC AC+=+==4AB =Q 6CD =∴146x y +=614x y ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭04x <<∴EFGH 2()2[6(1)]4xl x y x =+=+-12x =-81212x ∴<-<∴EFGH (8,12)(8,12)AEF 1,,,A E F A ,E F 1AA ,BP CP AEF 140BPC CPA APB ∠=∠=∠=︒1120APA ∠=︒1AA ===AEF的最小值为故答案为：27．【详解】，，， 同理，故可把正三棱锥补成正方体（如图所示），其外接球即为球，直径为正方体的体对角线，故，设的中点为，连接，则.所以，当平面时，平面截球O 的截面面积最小，，故截面的面积为.故答案为：28．D 【详解】由题可知平面，所以，故A 正确； 由等体积法得为定值，故B 正确； 设的中点为，当时，如下图所示：3π4PA PC PB === AB AC BC ===222PA PC AC ∴+=2CPA π∴∠=2CPB BPA π∠=∠=O 2R =PA F OF OF =OF PA ⊥3OE ==OE ⊥αα=3π3πBD ⊥11ACC A BD CP ⊥113C BPD P BCD BCD V V S AA --==⋅⋅ 11A C M 1P MC ∈此时截面是三角形，当时，如下图所示：此时截面是梯形，故C 正确；选项D ，在正方体中，连接，则为在平面上的射影，则为与平面所成的角，设正方体的棱长为1，，则当取得最小值时，的值最大，即时，， 所以D 不正确. 故选：D.29．ACD 【详解】对于A ：三棱锥的外接球即为正方体的外接球，因为正方体的外接球的直径即为正方体的体对角线，即所以外接球的体积是，故选项A 正确；1D QC 1PMA ∈1D QRC 1D P 1D P DP 1111D C B A 1D PD ∠DP 1111D C B A 1PD x =DP =1sin D PD ∠x 1sin D PD ∠111D P A C ⊥x 1sin D PD ∠11B A DC -1111ABCD A B C D -2R =R 34π3V =´=对于B ：把沿翻折到与在同一个平面（如图所示），连接，则是的最小值，其中是边长为的等边三角形，是直角边为的等腰直角三角形，所以， 即故选项B 错误；对于C ：分别取棱，，的中点，，，连接，，，，，，则易知过，，三点的截面是正六边形，1BCC 1BC 11A C B △1A C 1A C 1A Q QC +11A C B △1BCC 211A C A Q QC =+==1A Q QC +11A D 1CC BC H M N EF FH HG GM MN NE E F G EFHGMN所以截面面积为故选项C 正确；对于D ：因为是平面上到点和距离相等的点，所以点的轨迹是平面与线段的垂直平分平面的交线，即点的轨迹是平面与平面的交线，所以点的轨迹是直线，即选项D 正确．故选：ACD.30．ABD 【详解】解：过点A ，P ，Q 的平面截正方体，当时，其截面形状为梯形如图1，特别地当时，截面形状为等腰梯形， 当时，其截面形状为五边形如图2． 若，则，所以． 当时，与重合，其截面形状为四边形如图3，此时，因为P 为的中点，且，所以为的中点，所以，同理，所以四边形为平行四边形，所以四边形为菱形，其面积为ABD 正确． 故选：ABD.31．BCD 【详解】A 选项中，当时，与重合，则截面为等腰梯形，其面积为，故A 选项错误； 1(62⨯=M 1111D C B A D 1C M 1111D C B A 1DC 11A BCD M 1111D C B A 11A BCD 11A D M 11A D 102CQ <≤12CQ =112CQ <<34CQ =1113C Q C R QC CM ==113C R =1CQ =Q 1C PQ AP =BC CP AD ∕∕Q MN PC AE ∕∕QE AP ∕∕APQE APQE 112AC PE ⋅==1λ=P 1A 92B 选项中，因为平面，故P 到平面的距离不变，故三棱锥体积为定值．故B 选项正确：C 选项中，当时，其截面刚好为五边形，时，截面为五边形；故C 选项正确；D 选项中，当点P 与重合时，其二面角正切值为，此时二面角大于45°， 所以存在点P ，二面角为45°，D 选项正确；故选：BCD ．1//AA 1ECC 1ECC 1P ECC -13λ=103λ<<1A P EF A --。
正方体的截面图(共27张PPT)
以截面最多只能有六条边。
最大面积的截面：
有两个图形〔长方形跟正六边形〕比较可能， 來比较看看吧。
可是用看的实在看不出哪个大
那就用来算算吧！
先算长方形面积
长方形比较好算，只要长乘以高
宽就是正方体边长n了 那长就依照华氏定理 两股为n，斜边长即对角线长
n2n2 2n2 2n
而这三边比就是直角三角形30度.60度.90度 只要把它当成一长方体对角线
直角三角形、等腰三角形、钝角三角形…
面积就是的底乘以组高除以合二 ，所以角Ｂ的一半为60度。
所以角Ｂ就是120度啦！
因此这六边形是正六边形 。
大于四边之其它形状截面：
六边形以上的多边形无法切出來， 为什么？
因为正方体每个面只能有一个图 形的边，才是一个直的截面，才 能切成一直线，每个面只能有一
算就好了〔见右图〕
依长方体对角线公式：
X Y Z 2
2
2〔ＸＹＺ各代表长方体的长、宽、高。〕
所以：
BC ( 1 n ) 2 ( 1 n ) 2 n 2
2
2
3 n2 2
2
三角形就完成边长了（右上图）
算ＡＣ到Ｂ之高
( 2 n)2 ( 6 n)2
2
4
但有人想如果我这样切〔下面二图〕
不就可切出直角跟钝角吗 ？
Ｏ Ｏ
答案是：沒有这种切法。
因为你看看，此两图虽然两条边都在正方体
之一面上，但是有一条边是存在于正方体內 ，而这样就不是截面了。所以这是不可能出
現直角或钝角三角形。
面积最大的三角形截面：
四边形截面：
正方形：
长方形：
四边形截面：
梯形：
运用_几何画板_作正方体的截面
移动直线 E F , 作直线 E F 与线段 A 1B 1 的交点, 并过交点作与线段 B C 平行的直线 且作出其与线段 C 1D 1 的交点.
(6) 移动直线 E F 到不同的位置, 观察过 直线 E F 且与棱 B C 平行的平面与各棱的交 点, 按顺序选取这些点, 单击“作图 多边形 内部”作出截面图. 共应作出 6 个平行四边 形.
1 不是 f
(x )
的周期, 则
T k
是f
(x ) 的最小正周期.
然而, 这一方法并不可靠.
反例: f 1 (x ) = sin 10x - sin 3x , T 1 =
2Π, f 2 (x ) = sin 3x , T 2 = 23Π, T 1, T 2 的最小 公倍数 T = 2Π.
和 函 数 f (x ) = f 1 (x ) + f 2 (x ) =
文[ 3 ] 证明了: 当 T 1 = p Α, T 2 = qΑ(p , q 是互质的自然数. Α为正实数, 且 p ≠ q) 时,
f (x ) 的最小正周期为 p qΑ或k pnqΑ(n > k ≥ 1, n, k 是自然数, (n, k p q) = 1).
实际上, 我们可证明这里 k = 1, 即有:
题. 具体作法如下:
1 按照斜二测画法作出水平放置的
正方体直观图 (如图 1)
2 作辅助线
(1) 作 直 线
B B 1, 直线 B A , 直
线 B C, 在直线 B C
上作一点 E, 在直
线B A 上作一点 F ,
正方体中几种常见的截面作法
新教育·上旬刊正方体中几种常见的截面作法□海南师范大学附属中学廖云霞如果用一个平面去截几何体,那么该平面与这个几何体的各个面相交,由交线围成的平面图形叫几何体的截面。
打个比方,木匠用锯子将某个小木块锯成两块,“锯口”就是我们所说的截面。
本文将以正方体为载体,展开讨论关于截面的如下两个问题:一是过三点(均在棱上)作正方体的截面的做法;二是截面面积或周长的计算。
通过研究正方体的截面问题,我们能更好地揭示空间图形与平面图形之间的内在联系。
因为正方体的各个面都是平面,所以用平面去截它所得的截面必是多边形。
由于截面至少与正方体的三个面相交,至多与六个面相交,所以截面的形状只能是三角形、四边形、五边形、六边形四种。
截面与正方体每一个面的交线由两个公共点决定,所以只要找到截面与正方体某个面的两个公共点,就能做出截面与该面的交线。
公共点与交线的求得,主要依据为:1.公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。
2.公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面,及公理2的三个推论。
3.公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
4.面面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。
5.如果三个平面两两相交,那么所得三条交线平行或共点。
例1.已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,E 是棱AB 的中点,F 是棱CC 1的中点。
做过D 1、E 、F 三点的截面,并求截面图形的周长。
图1作法1(延长线法):如图1,分别延长D 1F 、DC 交于点P ;连接PE ,交BC 于点N ;延长PE ,交DA 的延长线于点S ;连接D 1S ,交AA 1于点M ,则五边形D 1MENF 即为所求作的截面图形。
由三角形相似可得A 1M=3MA,CN=2NB ,易得截面五边形D 1MENF 的周长为11213√+95√)。
《数学探究活动(一)：正方体截面探究》
教师给出截面的概念,学生理解截面的边是平面和几何体各面的交线.
教师继续提出问题：正方体是立体几何中的一个重要模型,它是一种非常对称的几何体.
如果我们拿一个平面去截一个正方体,那么会得到什么形状的截面图呢？
学生分组,利用手中的橡皮泥（或萝卜）及小刀做实验,先用橡皮泥捏一个正方体（或用
萝卜切块）,再用小刀截手中的正方体,得到一个截面并观察,完成6个探究任务,得出答案.
北师大版同步教材精品课件
高中数学 GAOZHONGSHUXUE
《数学探究活动（一）： 正方体截面探究》
学而优 · 教有方
情景引入
高中数学 GAOZHONGSHUXUE
教学内容
按照习惯,我们是不吃西瓜皮,只吃西瓜瓤的.现在有一个外皮已经洗净的西瓜,设想一下,你 一般是如何吃到里面的瓢的呢？
师生互动
教师拿出一个西瓜,让学生抽象出它是哪一种空间图形. 学生回答,一致认为它应该是球体. 教师进一步提出左边的问题让学生抢答,并进一步要求学生思考：刀经过的面是一个什么 形状的图形呢？ 学生回答后,教师再请学生上台演示切西瓜,验证答案.
2.正方体截面
（1）锐角三角形、等边三角形、等腰三角形
（2）正方形、矩形、非矩形的平行四边形、菱形、梯形、等腰梯形 （3）五边形、六边形、正六边形 3.例 4.小结与作业
学而优 · 教有方
教学研讨
高中数学 GAOZHONGSHUXUE
教学设计中设计了一系列跨度很大的探究问题串,探究的难点是分类找出所有可能的截 面,并证明哪些形状的截面一定存在或者一定不存在.经历通过动手操作试验、猜想、验证 答案等活动,逐渐深入地探究观察,有利于培养学生发现问题、分类讨论、作图表达、推理 论证等能力.
探究5：能否截出正五边形？为什么？
立体几何中的截面问题
立体几何中的截面问题一．基本原理：过正方体（长方体）上三点做截面.1.三点中有两点共面例1.如图，在正方体ABCD－A 1B 1C 1D 1中，E，F，G 分别在AB，BC，DD 1上，求作过E，F，G 三点的截面．思路：当三点中有两点共面时，做截面的思路就是先找共面两点所在直线与该平面所有的棱交点，而这些交点由同时在另外一个平面中，即该截面和正方体某个侧面的交点，这样利用公理1，逐次相连找到所有的交点，即可得到截面.解析：作法：①.由于F E ,共面，在底面AC 内，过F E ,作直线EF ，与DA 于L ，显然，此时L 即在侧面D A 1内，又在欲求截面内，而该截面与侧面D A 1又交于点G ，根据公理1，截面与侧面D A 1交于L .同理，过F E ,作直线EF 与DC 的延长线交于M ，此时M 即在侧面1DC 内，又在欲求截面内，根据公理1，截面与侧面1DC 交于M .②在侧面D A 1内，连接LG 交1AA 于K .③在侧面1DC 内，连接GM 交1CC 于H .④连接FH KE ,.则五边形EFHGK EFHGK 即为所求的截面．练习1.（三点两两共面）P，Q，R 三点分别在直四棱柱AC 1的棱BB 1，CC 1和DD 1上，试画出过P，Q，R 三点的截面作法．解析：作法：（1）连接QP，QR 并延长，分别交CB，CD 的延长线于E，F.（2）连接EF 交AB 于T，交AD 于S.（3）连接RS，TP.则五边形PQRST 即为所求截面．例2.（三点所在的棱两两异面）如图，长方体1111D C B A ABCD -中，R Q P ,,分别为111,,CC AB D A 上三点，求过这三点的截面.分析：此题的难点在于R Q P ,,三点均不在同一个侧面（底面）中，这样我们就暂时无法通过侧面（底面）中连线与棱的交点来找到截面的边界点，于是需要先做出一个平面来，让上面三点RQ P ,,中有两点共面，这就转化成例1的情形，从而解决问题.解：如图，作1//BB QE 交11B A 与E ，则1,RC QE 确定一个平面，转化为例1的情形.连接QR EC ,1,交于点F ；连接PF 交1111,B A D C 延长线于H G ,；连接HQ 交11,BB AA 延长线于J I ,；连接JR 交BC 于K .则KRGPIQK 为所作截面.例3.利用平行关系确定截面在三棱锥A BCD -中，AB CD a ==，截面MNPQ 与AB ，CD 都平行，则截面MNPQ 的周长等于（）A．2a B．4a C．a D．无法确定解析：设AM k CM=，因为//AB 平面MNPQ ，平面ABC 平面MNPQ MN =，AB Ì平面ABC ，所以//MN AB ，同理可得//PQ AB ，//MQ CD ，//NP CD ，故四边形MNPQ 为平行四边形，所以11MN PQ AB AB k ==+，1MQ NP k CD CD k ==+.因为AB CD a ==，所以1a MN PQ k==+，1ak MQ NP k ==+，所以四边形MNPQ 的周长为2211a ak MN PQ MQ NP a k k ⎛⎫+++=+= ⎪++⎝⎭.故选：A.二．截面的的画法小结1.确定截面的主要依据有（1）平面的四个公理及推论．（2）直线和平面平行的判定和性质．（3）两个平面平行的性质．2.作截面的几种方法（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。
正方体做截面的方法
正方体做截面的方法正方体做截面的方法正方体是一种常见的几何体，它有六个面，每个面都是一个正方形。
在制作模型、建筑设计和工程绘图等领域中，经常需要对正方体进行截面处理。
本文将介绍三种简单易行的方法，帮助您快速准确地做出正方体的截面。
方法一：手工绘制法步骤一：准备工具和材料需要用到的工具有：铅笔、橡皮、直尺、量角器和刀片。
材料为白纸或透明纸。
步骤二：绘制正方体根据实际需求，用直尺和量角器在纸上画出一个正方体。
可以先画出一个长宽高相等的长方体，再将其四周连接起来形成一个立方体。
步骤三：确定截面位置根据要求确定截面位置，并用铅笔在立方体上标记出来。
可以选择水平、垂直或斜向进行截面。
步骤四：描绘截面形状在标记处用量角器测量所需角度，在纸上画出对应形状的图案。
可以根据实际需求选择圆形、椭圆形、矩形或其他形状。
步骤五：割开截面用刀片将纸张沿着截面线割开，即可得到所需的正方体截面。
方法二：计算机绘图法步骤一：打开绘图软件使用计算机上的绘图软件，例如AutoCAD、SketchUp等，打开一个新的绘图文件。
步骤二：绘制正方体在绘图界面上选择3D模式，根据实际需求绘制一个正方体。
可以使用立方体工具或画线工具进行绘制。
步骤三：确定截面位置在正方体上选择截面工具，并根据实际需求确定截面位置。
可以选择水平、垂直或斜向进行截面。
步骤四：描绘截面形状在截面界面上使用画线工具描绘所需形状的图案。
可以根据实际需求选择圆形、椭圆形、矩形或其他形状。
步骤五：导出截面图像完成描绘后，将所得到的2D平面导出为图片格式，如PNG、JPG等。
即可得到所需的正方体截面图像。
方法三：3D打印法步骤一：准备3D打印机使用3D打印机进行正方体截面的制作，需要先准备好3D打印机和相关软件。
步骤二：建立模型在3D建模软件中建立一个正方体模型，并根据实际需求确定截面位置。
步骤三：导出STL文件完成建模后，将所得到的3D模型导出为STL格式的文件。
STL是一种常见的3D打印文件格式，能够被大多数3D打印机所识别。
正方体的截面问题
数理化 解题研究2019年第28期总第449期正方体的截面问题武增明(云南省玉溪第一中学653100)摘要：正方体的截面问题，涉及到截面形状的判定、截面面积和周长的计算、截面图形的计数、截面图形 的性质的判定、截面图形的面积和周长的最值（取值范围）的求解.本文仅举例说明正方体的截面面积和周长 的最值（取值范围）的求解方法以及截面图形的性质的判定方法.关键词：正方体；截面；面积；最值;性质中图分类号:G 632文献标识码:A文章编号：1008 -0333(2019)28 -0010-03一个平面与一个正方体表面的交线围成的封闭平面 图形称为正方体的截面图形，简称正方体的截面.正方体 的截面，对三角形来说，可以是锐角三角形、等腰三角形、 等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形；对四 边形来说，可以是等腰梯形、平行四边形、菱形、矩形，但 不可能是直角梯形；对五边形来说，可以是任意五边形， 但不可能是正五边形；对六边形来说，可以是正六边形. 正方体的截面至多是六边形.判断正方体的截面的形状 的理论依据是，高中立体几何中确定平面的三个公理及 其三个推论.正方体的截面问题，涉及到截面形状的判定、截面面 积和周长的计算、截面图形的计数、截面图形的性质的判 定、截面图形的面积和周长的最值（取值范围）的求解.本 文仅介绍正方体的截面面积和周长的最值（取值范围）的 求解方法，以及截面图形的性质的确定方法.解决这三个 问题的关键都是截面形状的判定.下面举例说明.―、正方体的截面面积的最值问题例1 (2018年高考全国卷I .理12)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面a 所成的角都相等，则 a 截此正方体所得截面面积的最大值为A . 了B •丁C .—D.y解析因为在正方体/^(^-^^"，中，/^//^：/) //4,B , //C ,£», ,AD //BC //B , C j /AK D ,,A A j /B B j /CC , //所以当平面a 与棱所在的直线所成的角 相等时，正方体的所有棱所在的直线与平面a 所成的角都相等，由正方体的性质易得平面与棱所在的直线所成的角相等，则平面a //平面七BC ,或平面 a 为平面由图易得当平面a 过棱C ,£>,,的中点时，a 截此正方体所得截面面积最大，此时截面是边长为f的正六边形，如图1.则其面积为6x f x (f )2=手,故选 A .评注根据正方体的性质确定平面a 的位置是解题 的关键.图1图2例2 (2004年湖南省数学竞赛试题）过正方体4BCD的对角线仙,的截面面积为S ,记S ,和S 2分别为S 的最大值和最小值，则^为（）.V f#2/J2/6A . 2B . 2L . 3D . 3解析由已知可得如图2,设正方体的棱长为1，故当 M ，/V 分别为A 4,，(：(：,的中点时，截面的面积最小，最小为+勝xBZ ),•当截面为就时，截收稿日期:2019 - 07 - 05作者简介：武增明（1965. 5 -),男，云南省玉溪市易门县人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学及其研究. —10—2019年第28期总第449期数理化解题研究面的面积最大，最大为1x W=力.故S,，于D, /!是从而选C.S23D;........2/D x C, Q Ax/-L/Z)；-B i二、正方体的截面的周长问题例3在正方体/^(：£>-/1",/),中，若过/)1；8的平面截正方体所得的平面四边形的周长的最小值为则正方体的体积K=( )•A.27B. 16C.9D.8分析先由四边形是平行四边形将四边形的周长转化为2( BA/ + MD,),再将正方体的侧面 展开，得到BM+ MD,的最小值，由已知条件求得a的值即 可求解.解析设正方体的棱长为a,如图3,M，yv分别是平面四边形A与A4,,CC,的交点，由题意可知四边形是平行四边形，所以四边形BM Z),；V的周长为2(BM+ MD.).图3沿将正方体的侧面展开，在矩形B Z W,中，易知当且仅当三点共线时, + MD,取得最小值，为V§a.所以二4尽，得a=2, 所以 F= 23 =8.评注解答本题的关键是将正方体的侧面展开，找 到使得平面四边形的周长取得最小值时点M的位置.解析对于①，②，如图5,因为正方体4SCZ) - 的棱长为1,当时，，这时过P，P三点的截面与正方体表面交于点D,,= f，且,截面S为等腰梯形；当0 < C(?< ^■时，过/>，(？三点的截面与正方体表面的交点在棱上，截 面S为四边形，故①，②正确.对于③，④，⑤，如图6,延长(?/?交的延长线于点/V,连接4/V交4, £»,于点M，连接MC,.取/!£»的中点G,作C////PC»交DD,于点//，可得，GH// AN，R GH =专 AN.设 CQ(+<«吳1)，则 = = 2i/ /!RC,「.当-时，可得C,f f:，故③正确.当+<t<l时，S为五，ND'D,R2tC,R1J\R=~2边形，故④错误.当《 = 1时,M为/l,D,的中点，S为菱形狀=尸c,，，：及』的面积=菱三、正方体截面图形的性质问题例4 (2013年高考安徽卷.文15理15)如图4,正方体/1BCZ)-义fi,C,/?,的棱长为1,P为6C的中点，()为 线段CC,上的动点，过点/I，P，（(的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是____(写出所有正确命题的编号）.①当0<(^<士时，S为四边形；②当时，S为等腰梯形；③当C(?= |时，S与C,£>,的交点/?满足C,尺=+;④当|< 1时,S为六边形；⑤当〇?=丨时，S的面积为形 /1PC,A/ 的面积二 2S A C，抑=2x士 f，故⑤正确.故所有正确命题的编号为①，②，③，⑤.例5 (2005年全国高中数学联赛试题）如图7,已知正方体/1B C D任作平面《与对角线/1C,垂直，使得平面a与正方体的每个面都有公共点.记这样得到 的截面多边形的面积为S,周长为Z.则（）.A. S为定值，/不为定值B. S与/均为定值C. S不为定值，/为定值C.S与Z均不为定值解析先考察特殊情形.不妨设正方体棱长为1.如图7，取£，F，C,//，/,1/分别为六条棱的中—11—数理化 解题研究2019年第28期总第449期点，显然，正六边形是符合要求的截面，它的周长 =於,面积S , =¥.当截面为正W D 时，其周长/2 =3/5"，面积 S 2=f .注意到= Z 2 ,S , #S 2，由此可以断定S 不为定值，而/ 有可能为定值.再考察一般情形•设六边形W, G ,//,/,为任意一个符合要求的截面，则此截面与前面两个特殊的截面平行.由相似三角形对应边成比例，得£丨尸,_B ,£,Z ),B ,所以=在A A=在B A ，J ,E , +E ,F , =^2(A ,E , +B lE l)—=^/2 .同理,另四边之和为2尽.因此，六边形■/,£，,(；,//,/,的周长为定值3^.故选C .评注解本题应用了由特殊到一般的思维方法，这 是求解复杂问题的常用方法之一.参考文献：[1]陆珂•截面[J ].中学数学教学参考（上旬），1995(4) ：43 -45.[2] 傅钦志•立体几何中的截面问题[J ].中等数学，2007(3) ：5 -9.[3] 蒋孝国•立体几何中的最值问题[J ] •数学通讯(上半月），2016(3) :40-43.[责任编辑：杨惠民]一个正三角形面积最值的求法探究许银伙(福建省泉州外国语中学362〇00)摘要：本文对一个正三角形的面积最值问题，分别运用坐标法、几何性质法、三角函数法、向量法、复数 法等多种知识，从不同角度和方法进行分析解决，提高知识应用能力.关键词：三角函数；坐标法；向量法；正三角形中图分类号：G 632文献标识码：A文章编号：丨008 -0333(2019)28 -0012 -03问题已知中，乙/l 〇e =90°，04=l ，O B =W ， 等边A £F C 的三个顶点分别在A /10S 的三边上运动，求 A £F C 面积的最小值•分析一以边〇/1,所在直线分别为*,y 轴，建立 直角坐标系，通过正三角形的直观性质三边相等和已知 条件求出的长度关系，进而求出的最小值.解法一如图1，建立平面直角坐标系，则点/!(1，〇)，B (0，万），设点 £(*。
作正方体截面方法
作正方体截面方法
要作出正方体的截面，可以采用以下方法：
1. 确定截面的形状和位置：根据正方体的几何特性，可以确定截面的形状为正方形。
要确定截面的位置，可以通过调整正方体的摆放角度或者选择不同的截取平面来实现。
2. 准备工具和材料：需要用到的工具有直尺、量角器、铅笔和白纸等。
材料可以选择白纸或透明纸，用于绘制正方体和截面。
3. 绘制正方体：根据正方体的几何特性，使用直尺和量角器在纸上画出一个正方形，并使用铅笔和橡皮修改线条，确保正方体的四个边相等且垂直。
4. 确定截面位置：根据要求确定截面的位置，可以使用铅笔在正方体上标记出截面的位置。
可以选择水平、垂直或斜向进行截取。
5. 绘制截面：根据截面的位置，使用直尺和量角器在纸上绘制出正方形截面。
可以使用铅笔和橡皮修改线条，确保截面与正方体的边界线相交。
6. 检查截面：最后检查绘制的截面是否符合要求，即是否为正方形且与正方体的边界线相交。
如果符合要求，则可以确定所绘制的截面为正确的正方体截面。
通过以上步骤，可以准确地绘制出正方体的截面。
研究性学习 正方体的截面
陕西省商洛中学数学研究性学习结题报告课题：正方体截面问题班级：高一年级十九班小组：数学兴趣小组指导老师：阮涛组长：李文涛廉育杰王龙赵琦范宇坤刘永强屈宁波寇煜辉大题小做：问题1：什么叫几何板的截面？答：一个几何和一个平面相交所得到的平面图形（包含它的内部），叫做几何体的截面。
问题2：截面的边是如何得到的？答：截面的边是平面和几何体各面的交线。
问题3:正方体是立体几何中一个重要的模型，它是一种非常对称的几何体。
如果我们拿一个平面去截一个正方体那么会得到什么形状的截面图呢？截面图最多有几条边？答：因为正方形只有六个面，所以它与平面最多有六条交线，即所截到得截面图最都有六条边。
所以截图可能是三角形，四边形，五边形，六边形。
探究1：截面图为三角形时，有几种情况？1.是否可以截出等腰三角形：（1）解析:如上图，一正方体被一平面所截后得到截面abc 若截面三角形abc是以为bc底的等腰三角形，那么只要三角形Aba全等于三角形Aca就可以截到。
所以，截到等腰三角形的情况存在。
（2）做法：在一棱AA’上取a在棱AB.AC上取Ab.等于Ac.就可得到以bc为底的等腰三角abc。
（3）证明:因为角bAa等于角cAa，Aa边公用，Ab等于Ac，所以三角形全等于三角形。
所以ba等于ca,所以三角形abc是以为bc底的等腰三角形。
2.是否可以截出等边三角形:（1）解析一正方体被一平面截后得到三角形abc，若三角形abc是等边三角形，只要三角形aAb,aAc,bAc两两全等就可以得到。
所以，截到等边三角形的情况存在。
（2）做法：在棱AA’,AB.AC上分别取Aa等于Ab等于Ac 就可以得到三角形abc为等边三角形。
（3）证明:因为Aa等于Ab等于Ac，角bAa等于角cAa,所以，三角形bAa全等于三角形cAa。
所以ab等于ac。
同理可证ba等于bc,ca等于cb。
所以三角形是等边三角形。
3.是否可以截出直角三角形：解析：若一正方体被一平面截后角acb是直角，那么就有：ac2+cb2=ab2.因为角adb是直角，所以ab2=db2+ad2;因为角adc是直角，所以ac2=ad2+cd2;因为角bdc是直角，所以bc2=db2+cd2.所以ad2+cd2+db2+cd2=db2+ad2.化简后得2cd2=0.所以，这截得是普通三角形，不是直角三角形。
用一个平面去截正方体截面形状总结
用一个平面去截正方体截面形状总结
体积、体积流量和应力水平是用来识别正方体截面形状的三个重要指标。
这里介绍三
种常见的正方体截面形状：正贯、斜贯、自由贯。
正贯正方体截面是指所有的边都是同一长度的正方体，一个表面上的物体将沿着正方
体对称布置。
正贯正方体截面的体积最大，因此是流体运动的最完整的状态，也是力学的
最佳状态。
此外，由于有四个平行面，因此可以有效地利用热量与流体动力学模型来解释
有关流体运动的结果。
斜贯正方体截面即其中一边比其余边更长的正方体，它可以有效地将空气泵注入流体中，以实现降低压力的目的。
一般来说，斜贯正方体的体积较小，可以减少管路的布置空间，但流量会受到一定的影响。
自由贯形正方体截面指其边长不完全一致的正方体，这种布局有利于控制气泡的大小。
当气泡大小分散，可以使体积流量稳定，从而在有限的试验时间内有效地提高气泡的均匀性。
然而，自由贯形正方体的有效截面面积较小，因此可能会导致体积流量开始变化。
从应力的方面考虑，正贯和斜贯结构的正方体截面会产生更大的流动和撞击应力，而
自由贯形的正方体截面则会更有利于应力的均衡分布。
总的来说，三种截面形状的正方体的应用各有不同，根据实际情况，比如体积、体积
流量和应力等，有助于决定应用时的最佳类型。
因此，在设计实验室以及各种工业和生物
应用中，使用不同形状的正方体截面是很有效的，可以帮助减少流体运动的不稳定性。
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正方体做截面的方法
介绍
正方体是一种常见的几何体形状，它具有六个相等的正方形面。
要制作正方体的截面，我们可以通过以下方法实现。
方法一：平行于底面切割
首先，确定截面切割的位置。
可以选择在正方体的顶部、底部或中间位置进行切割。
接下来，使用直尺和铅笔，在正方体的两个相邻边上绘制一条平行线，作为截面的边界。
然后，使用锯子或其他适当的工具沿着绘制的线慢慢切割，确保切割平直。
最后，清理切割后的截面，确保边缘平滑。
方法二：垂直于底面切割
首先，确定截面切割的位置。
可以选择在正方体的顶部、底部或中间位置进行切割。
接下来，使用直尺和铅笔，在正方体的一个面上绘制一条垂直线，作为截面的边界。
然后，将正方体放置在一个固定的支撑上，确保它稳定而不会滚动。
使用锯子或其他适当的工具沿着绘制的线慢慢切割，确保切割平直。
最后，清理切割后的截面，确保边缘平滑。
注意事项
•在进行切割操作时，务必注意安全，戴好护目镜和手套。
•如果使用锯子进行切割，请确保锯片锋利，以获得更好的切割效果。
•在切割完成后，务必清理截面和工作区域，以防止意外伤害。
结论
通过以上两种方法，我们可以制作出正方体的截面。
这些方法简单易行，但在进行操作时要格外小心。
制作截面有助于我们更好地理解正方体的结构和特性，对于学习几何学和工程学都具有重要意义。