高中数学 第2章 变化率与导数章末复习课学案 北师大版选修2-2-北师大版高二选修2-2数学学案

第2章 变化率与导数

导数的定义求导

【例1】 利用导数的定义求函数y ＝x 2

＋1的导数．

思路探究：根据求导的步骤求解即可． [解] y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )

Δx

＝lim Δx →0

(x ＋Δx )2

＋1－

x 2

＋1

Δx

＝lim Δx →0

2x ·Δx ＋(Δx )2

Δx [(x ＋Δx )2

＋1＋x 2＋1]

＝lim Δx →0

2x ＋Δx

(x ＋Δx )2

＋1＋

x 2＋1

＝x

x 2＋1

.

导数定义的理解

函数f (x )在点x ＝x 0处的导数是f (x )在x 0点附近的平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)

Δx ；

当Δx 趋于0时的极限，即f ′(x 0)＝lim Δx →0

Δy

Δx

，这是数学上的“逼近思想”． 对于导数的定义，必须明确定义中包含的基本内容和Δx →0的方式，掌握用定义求导数的三个步骤以及用定义求导数的一些简单变形．

1．设f (x )在x 处可导，则lim Δh →0

f (x ＋h )－f (x －h )

2h

＝( )

A ．2f ′(x )

B ．1

2f ′(x ) C ．f ′(x ) D ．4f ′(x )

C [lim Δh →0

f (x ＋h )－f (x －h )

2h

＝lim Δh →0

f (x ＋h )－f (x )＋f (x )－f (x －h )

2h

＝12lim Δh →0 f (x ＋h )－f (x )h ＋12lim Δh →0 f (x )－f (x －h )h ＝f ′(x )．]

导数的几何意义的应用

3

(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；

(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标． 思路探究：(1)点(2，－6)在曲线上，利用y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；

(2)点(0,0)不在曲线上要先设切点(x 0，f (x 0))再将(0,0)代入切线方程求切点即可求得． [解] (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． ∵f ′(x )＝(x 3

＋x －16)′＝3x 2

＋1，

∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为y －(－6)＝13(x －2)， 即y ＝13x －32． (2)设切点为(x 0，y 0)，

则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 2

0＋1，

y 0＝x 30＋x 0－16，

∴直线l 的方程为y ＝(3x 2

0＋1)(x －x 0)＋x 3

0＋x 0－16. 又∵直线l 过点(0,0)，

∴0＝(3x 2

0＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16， 整理得，x 30＝－8， ∴x 0＝－2．

∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，

得切点坐标为(－2，－26)，k ＝3×(－2)2

＋1＝13. ∴直线l 的方程为y ＝13x ， 切点坐标为(－2，－26)．

利用几何意义求切线时的关键

利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q (x 1，

y 1)，则切线方程为y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)，再由切线过点P (x 0，y 0)得

y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)，

① 又y 1＝f (x 1)，

②

由①②求出x 1，y 1的值，

即求出了过点P (x 0，y 0)的切线方程．

2．已知曲线y ＝1

x

.

(1)求曲线在点P (1,1)处的切线方程； (2)求曲线过点Q (1,0)的切线方程； (3)求满足斜率为－1

4的曲线的切线方程．

[解] ∵y ＝1x ，∴y ′＝－1

x

2.

(1)∵点P (1,1)在y ＝1

x

上，

∴k ＝y ′|x ＝1＝－1

1

2＝－1．

∴在点P (1,1)处的切线方程为：y －1＝－(x －1)． ∴切线方程为：x ＋y －2＝0.

(2)∵点Q (1,0)不在曲线y ＝1x

上，可设切点为A ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x 0，1x 0，

∴在A 点处的切线方程为：y －1x 0＝－1

x 20

(x －x 0)．

∴切线方程为：y ＝－1x 20x ＋2

x 0

.

又∵切线过点Q (1,0)，∴－1x 20＋2

x 0

＝0，

∴2x 0－1＝0，∴x 0＝1

2.

∴切线方程为y ＝－4x ＋4.

(3)设切点坐标为B ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x 1，1x 1，

则切线的斜率为k ＝－1

x 21

.

又∵－1x 21＝－14，∴x 2

1＝4，

∴x 1＝2或－2，

∴切点为B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12或B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12，

∴切线方程为：y －12＝－1

4(x －2)，

或y ＋12＝－1

4

(x ＋2)，

∴切线方程为：y ＝－14x ＋1或y ＝－1

4

x －1．

求函数的导数

(1)y ＝(1＋x 2

)cos x ； (2)y ＝ln x x

－2x

；

(3)y ＝e －ax 2

＋bx .

思路探究：认真分析解析式的特征，判断函数是由基本初等函数的和、差、积、商构成还是复合构成，然后选择相应的求导法则进行运算．

[解] (1)∵y ＝(1＋x 2

)cos x ， ∴y ′＝2x cos x ＋(1＋x 2)(－sin x ) ＝2x cos x －sin x －x 2

sin x . (2)∵y ＝ln x x

－2x ，

∴y ′＝(ln x )′x －x ′ln x x 2－2x ln 2＝1－ln x x

2

－2x ln 2． (3)y ＝e u ，u ＝－ax 2

＋bx .

y x ′＝y u ′·u x ′＝e u ·(－ax 2＋bx )′

＝e u

·(－2ax ＋b )＝(－2ax ＋b )e －ax 2

＋bx .

运算法则求导的注意点