贝塞尔函数的推导
贝塞尔函数的递推公式
贝塞尔函数的递推公式
贝塞尔函数 (Bessel Function) 是一类特殊函数的总称，它是
贝塞尔方程的标准解函数。
在物理和工程中，贝塞尔函数是最常用的函数之一。
它涉及到许多重要的数学和物理学问题，如波动问题、有势场问题等。
贝塞尔函数的具体形式随着方程中实数α的变化而变化，α被称为贝塞尔函数的阶数。
实际应用中，常见α为整数 n，对应 n 贝塞
尔函数。
贝塞尔函数的递推公式可以通过使用贝塞尔方程的通解形式推
导出来。
具体来说，设 y0(x) 为贝塞尔方程的标准解函数，则 y1(x) 满足以下递推公式:
y1(x) = -x^2y0""(x) - 2xy0(x) + y0(x)^2
其中，"表示求导。
这个递推公式可以用来构建贝塞尔函数的任
意阶导数和解函数。
贝塞尔函数在数学和物理学中的应用非常广泛，除了上述问题外，它还与级数展开、格林函数、刘维尔定理等数学问题相关。
因此，掌握贝塞尔函数的递推公式和解函数对于数学和物理学的学习都具有
重要意义。
贝塞尔函数的推导
贝塞尔函数的推导贝塞尔函数是数学中一类重要的特殊函数，它以法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯的朋友、法国工程师亚伯拉罕·路易·贝塞尔的名字命名。
贝塞尔函数广泛应用于数学和物理领域，特别是在描述波动现象、振动问题、椭圆边界值问题、量子力学等方面。
首先我们考虑下面的微分方程：(1) x^2y'' + xy' + (x^2 - n^2)y = 0其中y''表示y对x的二阶导数，y'表示y对x的一阶导数，n为常数。
为了得到贝塞尔函数的解，我们假设y的解可以表示为一个无穷级数：(2) y(x) = Σ[Anxn]其中An为待定系数。
将公式(2)代入微分方程(1)中，得到：x^2Σ[Anxn] + x(2Σ[Annxn-1]) + Σ[Anxn+2] - n^2Σ[Anxn] = 0根据级数的性质，我们可以重新排列上述方程，指定每一项的系数为零：(3) Σ[(n(n-1)Anxn + An+2xn+2 - n^2Anxn)] = 0为了使上述方程对于所有x都成立，我们要求每一项的系数都为零，即：(4)n(n-1)An+An+2-n^2An=0现在我们来解上述递归关系(4)。
首先我们假设解可以表示为一个无穷级数：(5)An+2=(n^2-λ^2)/(n(n+1))An其中λ为待定的常数。
将上式代入递归关系(4)中，得到：(6)n(n-1)An+((n^2-λ^2)/(n(n+1)))An-n^2An=0(7)(n^2-λ^2)An=0由于An对于所有n都不为零，因此上式成立的唯一条件是λ^2=n^2、于是我们可以得到两个解，即λ=n和λ=-n。
对于λ=n的情况，我们得到递归关系：(8)An+2=(n^2-n^2)/(n(n+1))An(9)An+2=0由于An+2=0，我们可以得到An=0，An+2=0，An+4=0，...，即An的系数为零。
第五章-特殊函数(下)-贝塞尔函数
u |t 0 ( x, y ).
于是有
亥姆霍兹 方程
T a 2T 0,
Vxx V yy V 0.
T (t ) Ae
a 2 t
方程(4)的解为
.
由边界条件(2)有
V | x 2 y 2 R 2 T (t ) 0,
V | x 2 y 2 R 2 0.
4
这个问题归结为求解下列定解问题：
ut a 2 (u xx u yy ) ( x 2 y 2 R 2 ), u | x 2 y 2 R 2 0,
(1) (2) (3)
u |t 0 ( x, y ).
应用分离变量法求这个问题的解。为此，令 u( x, y, t ) V ( x, y)T (t ), 代入方程(1)得
12
x 2 y xy ( x 2 n 2 ) y 0.
y ( x) a k x s k
k 0
(12) (13)
(a0 0),
y a k ( s k ) x s k 1 ,
k 0
y a k ( s k 1)( s k ) x s k 2
k 0
k 2
13
x 2 y xy ( x 2 n 2 ) y 0.
y ( x) a k x s k
(12) (13)
a k ( s k ) 2 n 2 x s k a k 2 x s k 0,
k 0
k 2
15
y ( x) a k x s k
k 0
05第五章贝赛尔函数
西安理工大学应用数学系
2. Bessel函数－Bessel方程的解 函数－ 函数 方程的解
用广义幂级数法求解该方程。由常微分方程理论， 用广义幂级数法求解该方程。由常微分方程理论，设方程的解 ∞ 为 y= a x s + k , ( a ≠ 0, s为常数 )
∑
k =0
k
0
各阶导数为
y ' = ∑ k = 0 ( s + k )ak x
ut = a2 (uxx + uyy ) 该问题的数学模型为： 该问题的数学模型为： u x2 +y2 =R2 = 0 u t=0 = ϕ(x, y)
用分离变量法求解。 用分离变量法求解。 令
x2 + y2 < R2, t > 0
u(x, y,t) =V(x, y)T(t) 代入方程得
9 ′ ′ ′ x J3/2 (x) + xJ3/2 (x) +(x − )J3/2 (x) = 0 4
2 2
证明： 证明：因
1 ′ = x J3/2(x) + x J3/2(x) ′ y 2 3 1 1 − − 1 2 ′ ′ ′ ′ y′ =− x J3/2(x) + x 2 J3/2(x) + x2 J3/2(x) 4
s +1
∞
x y " = ∑ k = 0 ( s + k )( s + k − 1)ak x s + k = a0 s( s − 1) x + a1 ( s + 1) sx
s
+ ∑ k = 2 ( s + k )( s + k − 1)ak x s + k
贝塞尔函数详细介绍(全面)
(−1) m x 2 n + 2 m −1 = x n J ( x) = x n ∑ n + 2 m−1 n −1 2 m!⋅Γ(n + m) m =0
∞
d x n J n ( x ) = x n J n −1 ( x ) dx d −n x J n ( x) = − x − n J n +1 ( x) dx
y = AJ n ( x) + BYn ( x)
A、B为任意常数， n为任意实数
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
三 贝塞尔函数的性质
(−1) m x J n ( x) = ∑ ⋅ m = 0 m! Γ ( n + m + 1) 2
∞ n+2m
J α ( x) cos απ − J −α ( x) Yn ( x) = lim α →n sin απ
= −3J1 ( x) + 2 J1 ( x) + J1 ( x) − J 3 ( x) = − J 3 ( x)
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
(4)
d n x J n ( x) = x n J n −1 ( x) dx = − xJ1 ( x ) + ∫ x −1 J1 ( x )dx 2 = − xJ1 ( x) + 2 ∫ J1 ( x)dx d −n x J n ( x) = − x − n J n +1 ( x) = − xJ1 ( x ) − 2 ∫ dJ 0 ( x) = − xJ1 ( x) − 2 J 0 ( x ) + C dx ′ (5) ∫ x 3 J 0 ( x )dx = ∫ x 2 dxJ1 ( x ) = x 3 J 1 ( x ) − 2 ∫ x 2 J1 ( x)dx J n −1 ( x) − J n +1 ( x) = 2 J n ( x) 2n J n −1 ( x) + J n +1 ( x) = J n ( x) 3 2 3 2 = x J 1 ( x ) − 2 ∫ dx J 2 ( x ) = x J 1 ( x ) − 2 x J 2 ( x ) + C x
贝塞尔函数
xn1Jn1 ax C
7. 证明y Jn (ax)满足 x2 y '' xy ' (a2x2 n2 ) y 0
Jn (t )满足以下Bessel方程
t 2Jn(t ) tJn (t ) (t 2 n2 )Jn(t ) 0
令 t ax, 即可
a2 x2Jn(ax) axJn (ax) (a2 x2 n2 )Jn(ax) 0
在求特征值问题时推导出常微分方程：
ห้องสมุดไป่ตู้
r2F "r r F 'r r2 n2 F r 0
令x r
记
y(
x)
F
r
x2
d2y dx 2
x
dy dx
x2 n2
yx 0
n 阶贝塞尔方程:
方程的一个特解（n 阶第一类贝塞尔函数）
Jn
x
1m
m0
1 2n2m
m!
n
1 m
1
xn2m
1
lim
m
1m
4(m 1) n m 1
2n2m m!n m!
可以判定这个级数在整个数轴上收敛．
正
J n
x
m0
2n2m
1m m! n
m
1
xn2m
4.
d dx
J
0
ax
a
d
d (ax)
J
0
ax
aJ1
ax
5.
d dx
[ xJ1
ax
]
d
d (ax)
[axJ1
ax
]
axJ
0
ax
6. (1) xJ2 xdx ?
第五章 贝塞尔函数1
q 1 1 q 1 1 q2 p 1 p 1 p q2 p 1 p 1 = (1 x ) ( x x x ) dx = (1 x ) [ x x (1 x)]dx p 0 p 0 q 1 q 1 q 1 = B( p, q 1) B ( p, q ) B ( p, q ) B( p, q 1) p p p q 1
第五章 贝塞尔函数
一、贝塞尔方程的引出 二、贝塞尔方程的求解
三、贝塞尔函数的递推公式 四、函数展开贝塞尔函数的级数 五、 应用
§ 5.1 贝塞尔方程的引出
例：设有半径为R的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒 保持为零度，且初始温度为已知，求圆盘内的温度分布规律。
问题归结为求解下述定解问题：
2 2 u u u 2 2 2 2 a ( ), x y R ; t 2 2 x y 2 2 2 u ( x, y ), x y R ; t 0 u x2 y 2 R2 0;
2 q 1 ( 2 2 )
d d
令： = cos , sin ( 0, 0< 则： ( p ) ( q ) 4
0 0
2
), d d d d
2 0
2
2( p +q ) 1 2
e
sin 2 p 1 cos 2 q 1 d d
0
=2 e 2( p +q ) 1d 2 2 sin 2 p 1 cos 2 q 1 d
2 x
=
0
e x x ( p +q ) 1dxB( p, q) ( p q)B( p, q)
贝塞尔函数-5
代入 Lplace 方程
1
(
u )
1
2
2u
2
2u z 2
0
如果圆柱上、下两底的边界条件不是齐次的，而圆柱的侧面的边界条件是 齐次的，就得出
() A1 sinn A2 cos n
Z(z) B1e z B2e z
2
d d
2R
2
x2 22
x4 24 (2!)2
x6 26 (3!)2
(1)k
x2k 2k (k!)2
n=1 ；m=0→∞ ：
J1(x)
x 2
2
x3 3 2!
25
x5 2!
3!
27
x7 3!
4!
(1)k
22k
1
x 2k1 k!(k
1)!
取出第一个级数 J0( x)的第 k+1 项求导数, 得
x7 27 3! 4!
(1)k
x 2k1 22k1 k!(k 1)!
d (1)k1 dx
x2k2 22k2[(k 1)! ]2
(1)k
(2k 2)x2k1 22k2[(k 1)! ]2
(k 1)! (k 1)k!
(3 1)! 4! (3 1)3!
x 2
)n2m
1
(1)m
(
x 2
)
n2
m
n m 1
(
1
m 1
1
)
m0 m!(n m)! k0 k 1 k0 k 1
贝塞尔公式详细推导过程
贝塞尔公式详细推导过程《贝塞尔公式的详细推导过程》引言：贝塞尔公式是数学中一种重要且广泛应用的公式，它的推导过程相对较复杂、细致，但却十分精彩。
在本文中，我们将详细介绍贝塞尔公式的推导过程，让读者对这一公式有更深入的理解。
一、贝塞尔公式的定义：贝塞尔公式是一种用连分数表示的数学公式，其一般形式为：J_n(x) = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \cos(n\theta - x\sin\theta)d\theta其中，J_n(x) 表示第n阶贝塞尔函数，x 是实数，\theta 表示角度，\pi 表示圆周率。
二、推导过程：1. 首先，我们从欧拉公式 e^ix = \cos(x) + i\sin(x) 出发，将其展开得到：e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)2. 接下来，我们将展开中的i\sin(x) 转化为两个实数的乘积。
我们知道，正弦函数的定义式为：\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}代入之前的展开式，得到：i\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2}3. 现在，我们用这个展开式来推导贝塞尔公式。
我们首先将贝塞尔函数展开成幂级数形式：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}4. 接下来，我们将展开式中的 e^{ix} 替换为 \cos(x) + i\sin(x)：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} \left(\cos(x) + i\sin(x)\right)5. 然后，我们将正弦函数用欧拉公式展开为两个指数函数的乘积：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} \left(\cos(x) + i\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2}\right)6. 继续推导，我们可以将指数函数的乘积展开为两项之差：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} \left(\cos(x) + \frac{i e^{ix}}{2} - \frac{i e^{-ix}}{2}\right)7. 现在，我们可以将展开式中的 i 消去：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} \left(\cos(x) + \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2}\right)8. 之后，我们可以将展开式进行拆分，分别对两项进行求和，并利用复数的性质对其中的复数部分进行化简：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \left(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}\cos(x) + \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2}\right)9. 最后，我们可以将两个求和式进行整理，将其中的复数部分转化为积分形式：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}\cos(x) + \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \cos(n\theta -x\sin\theta)d\theta10. 将整理后的展开式中的求和式转化为连分数形式，即可得到贝塞尔公式：J_n(x) = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \cos(n\theta - x\sin\theta)d\theta结论：通过上述推导过程，我们可以将贝塞尔公式从指数函数的展开式推导得到，将其转化为连分数形式。
贝塞尔函数
20.3.1 贝塞尔函数的递推公式由贝塞尔函数的级数表达式（20.2.1）容易推出1J ()J ()d []d v v x x x x x νν+=- (20.3.1) 1d [J ()]J ()d vv v v x x x x x -= (20.3.2)以上两式都是贝塞尔函数的线性关系式. 诺伊曼函数N ()v x 和汉克尔函数也应该满足上述递推关系．若用()v Z x 代表v 阶的第一或第二或第三类函数,总是有1d [()]()d vv v v x Z x x Z x x -= (20.3.3)1d [()]()d vv v v x Z x x Z x x --+=- (20.3.4)把两式左端展开, 又可改写为1()()()v v vZ x Z x Z x x ν+'-=- (20.3.5) 1()()v v vZ Z x Z x x ν-'+= (20.3.6)从(20.3.5)和(20.3.6)消去Z ν或消去Z ν'可得11()()2()v v vZ x Z x Z x +-'=- 112()()()v v v vZ x Z x Z x x +-=-+即为从)(1x Z v -和)(x Z v 推算)(1x Z v +的递推公式.上式也可以写成为11()()2()v v v vZ x Z x Z x x -++= （20.3.7）11()()2()v v Z x Z x Z x ν-+'-= （20.3.8）任一满足一组递推关系的函数)(x Z v 统称为柱函数．例 20.3.1 求2J()d x x x⎰【解】 根据公式 (20.3.8) 11()()2()v v Z x Z x Z x ν-+'-= 有201J ()J ()2J ()x x x '=-21111111J ()d J ()d 2J ()d J ()2[J ()J ()d ]J ()2[J ()J ()d ]J ()2J ()x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x c'=-=--'=-+=--+⎰⎰⎰⎰⎰20.3.2贝塞尔函数正交性和模1．正交性对应不同本征值的本征函数分别满足2()2()2dJ d []{[]}J ()0 d d m m m i m i m k k ρρρρρ+-= (20.3.9)2()2()2dJ d []{[]}J ()0 d d m m m j m j m k k ρρρρρ+-= (20.3.10)将(20.3.9)乘以()J ()m m j k ρ，将(20.3.10)乘以()J ()m m i k ρ，然后两式相减，再积分，利用分部积分法得到()2()2()()0()()()()0{[][]}J ()J ()d d d [J ()J ()J ()J ()]|0d d m m m m i j m i m j m m m m m i m j m j m i k k k k k k k k ρρρρρρρρρρρρρρ-=-=⎰故当 ()()m m i j k k ≠时()()0J ()J ()d 0m m m i m j k k ρρρρρ=⎰(20.3.11)2．贝塞尔函数的模()m n N22()22()20001[]()[J ()]2m m nm n n n m Nk H ρρρλλ=-+ （20.3.12）20.3.3 广义傅立叶－贝塞尔级数按照施－刘型本征值问题的性质，本征函数族()J ()m m n k ρ是完备的，可作为广义傅立叶级数展开的基．定义在区间],0[0ρ上的函数)(ρf ，可以展开为广义的傅立叶－贝塞尔级数为 ()1()J ()m n m n n f f k ρρ∞==∑ （20.3.13）其中广义傅氏系数()()21()J ()d []m n m n m nf f k Nρρρρρ=⎰(20.3.14)20.3.4 贝塞尔函数的母函数（生成函数）1. 母函数（生成函数） 考虑解析函数)1(2),(zz x ez x G -=在+∞<<z 0内的罗朗展式（注意，此处的x 为参变数，不是复变数z 的实部）．因为∑∞==02!)2(k k k z xz k x e ， ∑∞=---=-02)(!)2(1l ll zx z l x e故 ∑∑∞=∞=---=00)1(2)(!)2(!)2(k l ll k k z z x z l x z k x e对于固定的z ，以上两级数在+∞<<z 0内是可以相乘的，且可按任意方式并项．令,,2,1,0, ±±==-n n l k 得1()22000(1)(1)(,)()[()]!!2()!!2x l l z k l k l l n nzk l n l x xG x z ez z k l n l l ∞∞∞∞-+-+===-∞=--===+∑∑∑∑ 故(,)J()nnn G x z x z ∞=-∞=∑ (20.3.15)称)1(2zz x e -为贝塞尔函数的母函数（或生成函数）．2.加法公式利用母函数公式(,)J()nnn G x z x z ∞=-∞=∑故有1()211()()22(,)J() (,)(,)J ()J ()x y z mzmn x y z z knzzk nk n G x y z e x y z eeG x z G y z x zy z +∞-=-∞∞∞--=-∞=-∞+==+===∑∑∑比较两边的mz 项的系数，即得加法公式J ()J()J ()m km k k x y x y +∞-=-∞+=∑ (20.3.16)3．贝塞尔函数的积分表达式利用母函数公式(20.3.30)和罗朗展式的系数表达式，得到1()211J ()d (0,1,2,)2πi x z zm m C ex z m z -+==±±⎰其中C 是围绕0=z 点的任意一条闭曲线．如果取C 为单位圆，则在C 上，有i z e θ=．从而得到2π2πi sin i 1i i(sin )0011J ()()(i )d d 2πi 2πx m x m m x e e e e θθθθθθθ---==⎰⎰2π01J ()c o s (s i n )d , (0,1,2,)2πm x x m m θθθ=-=±±⎰ （20.3.17）其中积分式中的sin(sin )x m ϕϕ-的项已被省去，因为在[0,2π]上其积分为零．式(20.3.10)就是整数阶贝塞尔函数的积分表达式． 特别若0m =时，有π001J ()cos(sin )d πx x θθ=⎰ （20.3.18）。
第7章贝塞尔(Bessel)函数
⎡∞ ⎢ ⎢⎣ l =0
(−1)l ⎛ (n + l)!l ! ⎜⎝
x 2
⎞n+2l ⎟⎠
⎤ ⎥t n ⎥⎦
=
∞ n=−∞
J n (x)t n
母函数.
x (t−1)
e2 t
2. 贝塞尔函数的积分表达式
∫ 由洛朗系数公式
ak
=
1
2π i
f (x,t) L t k +1 dt
得积分表达式
x (t−1)
∫ J n ( x )
12
( i i ) 当ν = n (整数)时, J−n (x) = (−1)n Jn (x)P6线9 已性证相明关.不构
成通解. ∞ ∑ 故另一特解应为 y2 (x) = aJn (x) ln X + X −ν Dk X k k =0
但是用上式计算 a 和Dk 通常不易.
因此引入一个与 Jn 线性无关的特解.即诺伊曼函数(Neumann）
k =0
k =2
∞
∑ (1+ 2ν )C1x1+ν + [k(k + 2ν )Ck + Ck−2 ]xk+ν = 0
k =2
由x 的同次幂系数之和为零，得
⎧(1 + ⎨⎩k (k
2ν )C1 = + 2ν )Ck
0, +
(ν
Ck −2
> 0) =0
⎧⎪C1 ⎨⎪⎩Ck
= =
0 k
−Ck −2
(2ν + k
3
求正则解的步骤：
为方便起见，设正则奇点 z0 = 0 （对于一般的 z0点，只需把 z → z − z0 ）
物理方程中的贝塞尔函数解析振动与波动问题
物理方程中的贝塞尔函数解析振动与波动问题物理学中的方程描述了自然界中发生的各种现象和规律。
其中，贝塞尔函数在解析振动和波动问题中具有重要的应用。
贝塞尔函数是一类特殊的数学函数，它的形式可以通过贝塞尔微分方程得到。
本文将介绍贝塞尔函数的定义、性质以及在物理学中的应用。
一、贝塞尔函数的定义与性质1. 贝塞尔函数的定义贝塞尔函数可由贝塞尔微分方程推导而得，它的一般形式为：\[J_n(x) = \sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^m}{m!(m+n)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2m+n}\]其中，\(J_n(x)\)表示贝塞尔函数，\(n\)为整数阶，\(x\)为自变量。
贝塞尔函数常被用来描述振动和波动问题。
2. 贝塞尔函数的性质贝塞尔函数具有以下几个重要的性质：（1）零点：贝塞尔函数\(J_n(x)\)有无穷多个零点，其中第一个正零点记作\(x_{n1}\)，第二个正零点记作\(x_{n2}\)，以此类推。
（2）正交性：不同阶的贝塞尔函数在一定区间内满足正交条件，即：\[\int_0^1 J_n(x)J_m(x)x\,dx = 0 \quad (n \neq m)\]这个性质在求解物理问题中起到重要的作用。
（3）递推关系：贝塞尔函数满足递推关系，即\[J_{n-1}(x) - \frac{2n}{x}J_n(x) + J_{n+1}(x) = 0 \]二、贝塞尔函数在振动问题中的应用贝塞尔函数在振动问题中广泛应用，尤其是在圆形薄膜和圆柱薄壳的振动中。
通过求解贝塞尔函数的特征值问题，可以得到薄膜或薄壳的固有频率和振动模态。
以圆形薄膜的振动为例，假设薄膜的边界固定，可推导出薄膜的振动方程。
通过将边界条件代入振动方程，并求解贝塞尔函数的特征方程，可以得到薄膜的固有频率和振动模态，这对于研究薄膜的声学性质和结构特性非常重要。
三、贝塞尔函数在波动问题中的应用贝塞尔函数在波动问题中也有广泛的应用。
第七章 贝塞尔函数
2 x 1 n 1 (n m 1)! x n 2 m N n ( x) J n ( x)(ln ) ( ) π 2 π m0 m! 2 m x n2m (1) ( ) n m 1 m 1 1 1 1 2 ( ) π m 0 m!(n m)! k 0 k 1 k 0 k 1 0.5772 为欧拉常数． 其中，
故 x 0为 p( x), q( x) 的奇点
数学物理方法
x 2 y xy ( x 2 2 ) y 0
0 xb
下面应用奇点邻域的幂级数解法：贝塞尔方程的求 解．设方程的一个特解具有下列幂级数形式：
y x Ck x k Ck x k
k 0 k 0
(1) x J v ( x) n ! ( v n 1) 2 n 0
n
2 n v
讨论： (1)当 不为整数时，例如 J ( x) 为分数阶贝塞尔函数：
J ( x), J ( x),
1 2 1 2
等, 当 x 0 时，
2n
x J ( x) 2
可证明， Nv ( x) 是贝塞尔函数方程的解，
Neumann 函数曲线
数学物理方法
cos( π)J ( x) J ( x) N ( x) sin( π) 是一个特解，它既满足贝塞尔方程，又与J n ( x) 线性无关．
这样我们可以得到
我们定义第二类贝塞尔函数（又称为诺依曼函数）为
l 从零开始，故
x n J n ( x) ( ) (1) n l 2 l 0
x 2l 2 n x 2l n ( ) ( ) 2 (1) n ( 1)l 2 (n l )!l ! (n l )!l ! l 0
第五章-贝塞尔函数
第五章-贝塞尔函数n阶第一类贝塞尔函数()J xn第二类贝塞尔函数，或称Neumann函数()Y xn第三类贝塞尔函数汉克尔（Hankel）函数，(1)()H xn第一类变形的贝塞尔函数()I xn开尔文函数（或称汤姆孙函数）n阶第一类开尔文（Kelvin）第五章贝塞尔函数在第二章中，用分离变量法求解了一些定解问题。
从§2.3可以看出，当我们采用极坐标系后，经过分离变量就会出现变系数的线性常微分方程。
在那里，由于只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所以得到了欧拉方程。
如果不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程。
本章将通过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量，引出在§2.6中曾经指出过的贝塞尔方程，并讨论这个方程解的一些性质。
下面将看到，在一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入一类特殊函数，称为贝塞尔函数。
贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交完备性。
§5.1 贝塞尔方程的引出下面以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程。
设有半径为R 的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零摄氏度，且初始温度为已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。
这个问题可以归结为求解下述定解问题：222222222222220(),,0, (5.1)(,),, (5.2)0, t x y R u u u a x y R t t x y u x y x y R u ϕ=+=∂∂∂=++<>∂∂∂=+≤= (5.3)⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩用分离变量法解这个问题，先令(,,)(,)()u x y t V x y T t =代入方程（5.1）得22222()V VVT a T x y∂∂'=+∂∂或22222 (0)V V T x y a T Vλλ∂∂+'∂∂==-> 由此得到下面关于函数()T t 和(,)V x y 的方程20T a T λ'+=（5.4）22220V VV x y λ∂∂++=∂∂ （5.5）从（5.4）得2()a t T t Ae λ-=方程（5.5）称为亥姆霍兹（Helmholtz ）方程。
2.2 贝塞尔函数的性质_11
(7)
其中，m 1,2, , J n (k m a) 0
n
R' ' R'(k n ) R 0
2 2 2 2
2 d dR 2 2 n R 0 k 即 d d
n 2 dJ n (k m ) n 2 d n (k m ) d d
可算出
可算出
如由
由(4) : 知J v ( x)和J v ' ( x) J v 1 ( x)
如由 J1 ( x) J 2 ( x) J1 ' ( x)
仿此继续下去 J v (x)
注：
当v n时亦可用母函数法推得 上述递推公式
③ 用来计算含Jv(x)的积分：
例1： 解：
(3) (4) :
(5)
(6)
2v x
J v ( x) J v 1 ( x) J v 1 ( x)
② 只要查J0(x)和J1(x)表可计算出任一Jn(x)
由(3) :
知J v 1 ( x)和J v ( x) J v ' ( x)
J 0 ( x) J1 ' ( x) J1 ( x)
J n ( x)
2π
1
π
π
e
i( x sin n )
d
(n 0,1,2,....)
或着，J n ( x)
1
π
π
cos( x sin θ-nθ )d
0
二、贝塞尔函数的递推公式
d v v [ x J v ( x)] x J v 1 ( x) (1) dx d [ x v J ( x)] x v J ( x) ( 2) v v 1 dx
5.2-贝塞尔函数的递推公式
x n2m 2n2m m!(n
, m 1)
(18)
J n (x)
(1) m
m0
x n2m 2n2m m!(n
, m 1)
(19)
情形 2
如果 n 为整数(包括0)，
J n (x) (1)n J n (x).
这就说明了J n (x) 与 J n (x) 当 n(n 0)为整数时是
线性相关的。 为了求出贝塞尔方程的通解，我们
(26)
事实上，在(18)式的两边乘上 x n ,然后对 x
求导，得
d
dx
xn J n (x)
d dx
m0
(1)
m
x2m
2
n2m
m!(n
m
1)
令
m
1
k,
(k
(1)m
m1
0,1, 2,),
2n2m1 (m
得
x 2m1 1)!(n
m
1)
k 0
(1) k 1
x 2k 1 2n2k1 k!(n 1
x n J n (x) nxn1J n (x) x n J n1 (x),
x n J n (x) nxn1 J n (x) x n J n1 (x),
11
d
dx
xn J n (x)
x n J n1 (x),
(25)
d
dx
xn J n (x)
x n J n1 (x).
(26)
如果将以上两式左端的导数表出，化简后则得
x
(27) (30)
同样可得
J1 2
2 cos x.
x
(31)
应用公式(27)得
1
贝塞尔公式
贝塞尔公式
S-标准偏差（%）。
n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于20-
30个。
i-物料中某成分的各次测量值，1~n。
贝塞尔公式推导时用残差代
替真误差，n个个残差中任何一个残差可以从另外n-1个残差中推算出来，独立的残差项只有n-1个，也就是自由度为n-1。
贝塞尔函数是贝塞尔方程的解，它们和其他函数组合成柱调和函数。
除初等函数外，在物理和工程中贝塞尔函数是最常用的函数，它们以19
世纪德国天文学家F.W.贝塞尔的姓氏命名，他在1824年第一次描述过它们。
贝塞尔函数的具体形式随上述方程中任意实数。
贝塞尔函数是数学上的一类特殊函数的总称。
一般贝塞尔函数是下列
常微分方程（一般称为贝塞尔方程）的标准解函数。
贝塞尔方程是一个二
阶常微分方程，必然存在两个线性无关的解。
针对各种具体情况，人们提
出了这些解的不同形式。
下面分别介绍不同类型的贝塞尔函数。
标准偏差的计算步骤是∶
步骤一、（每个样本数据一样本全部数据之平均值）。
步骤二、把步骤一所得的各个数值相加。
步骤三、把步骤二的结果除以（n-1）（"n"指样本数且）。
步骤四、从步骤三所得的数值之平方根就是抽样的标准偏差。
贝塞尔函数的性质
贝塞尔函数的性质贝塞尔函数的性质ν+∞∑n nx 21ν+∞∑n nx 21()(()1)n n n ννν+Γ=++Γ+d J x J x()()()()J x J x d'诺伊曼函数也有与第一类贝塞尔函数相同的递推关系式，只不过将上述(1)—(6)中的换成() vJ x()vN x二. 半整数阶贝塞尔函数一般地有三、贝塞尔方程的固有值问题考虑贝塞尔方程的固有值问题固有值为2λω=(1)求固有函数、固有值(2)证明固有函数正交性(3)求固有函数的模作变换,r x ω=2220 ()()()()0(13)()0|(0)|r R r rR r r R r R R R λν'''⎧++-=⎨=<∞⎩ ，222()()()()0x y x xy x x v y x '''++-=(1)求固有函数、固有值2 d dν所以22n()()()0.Rmm n J r J r rdr ννωωωω-=⎰但，因此,,m n m n ωω≠≠0()()0()Rm n J r J r rdr m n ννωω=≠⎰22 R Rν21四、贝塞尔函数的零点由于正弦函数和余弦函数在0到∞之间振动无限多次，因此从上列渐近公式可以看出，与应该有无穷多个实零点。
)(x J ν)(x N ν性质一: 与有无穷多个实零点，)(x J ν)(x N ν且当时，其相邻两个零点之间距离接近于+∞→x π按照罗尔定理，可得如下推论:推论：与有无穷多个实零点。
)(x J ν''()N x ν由的级数表示形式可得，)(x J ν()(1)()J x J x ννν-=-因此可知当v 为实数时，若x 是的零点–x 也是的零点.)(x J ν)(x J ν性质二: 的无穷多个实零点是在x 轴上关于原)(x Jd第四章-贝塞尔函数的性质3131则该方程必有两个线性无关的解, 假设通解为1122()()().J x C y x C y x ν=+由边界条件可得11221122()()()0,()()()0,J a C y a C y a J a C y a C y a νν=+='''=+=因为1221()()()()0,y a y a y a y a ''-≠120,0.C C ∴==所以()0.J x ν≡这个矛盾说明了的零点都是单零点。
第十七章贝塞尔函数
第十七章 贝塞尔函数贝塞尔方程是拉普拉斯方程在柱坐标系中分离变量得到的。
17.1 贝塞尔方程及其解贝塞尔方程：()02'''2=-++y v x xy y x修正贝塞尔方程：()022'''2=+++y v x xy y x当v 不是整数时，贝塞尔方程通解是：()()()x BJ x AJ x y v v -+=当v 是整数m 时，由于()()()x J x J m mm1-=-，因此其通解为()()()x BY x AJ x y m m +=17.1.1 第一类贝塞尔函数第一类贝塞尔函数()x J v 的级数形式为()()[]kv kk v x k v k x J 2021!11+∞=⎪⎭⎫⎝⎛++Γ-=∑及()()[]kv kk v x k v k x J 2021!11+-∞=⎪⎭⎫⎝⎛++-Γ-=∑式中Γ是伽马函数。
当v 是整数时()∞=++-Γ1k v （k=0,1,2，…，v-1）所以当v=m （整数）时，上述级数实际上是从k=m 开始的，即()()[]km kk v x m k k x J 202!!11+∞=⎪⎭⎫⎝⎛+-=∑填空：()()()x J x J m mm--=1当x 很小时，保留级数中头几项，可得()()x v x x J vv +Γ⎪⎭⎫⎝⎛≈12()⋯---≠,3,2,1v特别是()100=J ，()00=m J ()⋯=,3,2,1m当x 很大时 ，()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--≈-2324cos 2x v x x x J v οπππ17.1.2 第二类贝塞尔函数定义：()()()ππv x J x J v x Y v v v sin cos --=；注意，()()()x Y x Y n nn 1-=-性质：当x 很小时，保留级数中头几项，可得：()()kv x Y vv Γ⎪⎭⎫⎝⎛-≈ππ21()0≠v ；()xx Y ln 20π≈()0=v当x很大时，其近似为()⎪⎭⎫ ⎝⎛--≈24sin 2πππv x x x Y v第三类贝塞尔函数第三类贝塞尔函数由第一、第二类贝塞尔函数组合得到，通常定义为：()()()()x iY x J x H v v v +=1()()()()x iY x J x H v v v -=2由于他们的线性组合是贝塞尔方程的两个解，故贝塞尔方程的通解可以写成: ()()()21v v BH AH x y += 。
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贝塞尔函数的推导
一、什么是贝塞尔函数
贝塞尔函数是一类特殊的数学函数，以法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯的朋友雅各布-路易·贝塞尔（Jacob Ludwig Carl Bessel）之名命名。
贝塞尔函数在物理学、工程学、计算机图形学等领域都有广泛应用。
贝塞尔函数可以由贝塞尔微分方程推导而来，表达式中包含了贝塞尔函数的阶数和自变量。
贝塞尔函数包括贝塞尔第一类函数（记作Jn(x)）和贝塞尔第二类函数（记作Yn(x)），它们是贝塞尔微分方程的两个线性无关解。
二、贝塞尔函数的推导
贝塞尔函数的推导是从贝塞尔微分方程出发，通过一系列变换和求解得到的结果。
下面将详细介绍贝塞尔函数的推导过程。
2.1 贝塞尔微分方程
贝塞尔微分方程是一个二阶常微分方程，表示为：
x^2y’’ + xy’ + (x^2 - n^2)y = 0
其中，y’’表示y对x的二阶导数，y’表示y对x的一阶导数，n为贝塞尔函数的阶数。
2.2 贝塞尔函数的级数解
通过将贝塞尔微分方程进行级数展开，得到贝塞尔函数的级数解。
假设贝塞尔函数的级数解表示为：
y(x) = Σ An*x^(n+r)
代入贝塞尔微分方程，得到：
Σ (n+r)(n+r-1)An x^(n+r) + Σ (n+r)An*x^(n+r) + Σ (x^2 - n2)An x(n+r) = 0整理得到：
Σ [(n+r)*(n+r-1) + (n+r) + (x^2 - n^2)] * An*x^(n+r) = 0
由于An与x无关，所以方程中每一项系数都必须为零，即：
(n+r)*(n+r-1) + (n+r) + (x^2 - n^2) = 0
化简得到：
(n+r)^2 - n^2 = 0
解得：
r = ±n
所以，贝塞尔函数的级数解可以表示为：
y(x) = Σ A*x^(n+r)
其中，r为贝塞尔函数的阶数。
2.3 贝塞尔函数的通解
贝塞尔函数的通解是将级数解带入初始条件得到的。
通常情况下，当x趋近于0时，贝塞尔函数的值趋近于有限值。
对于贝塞尔第一类函数Jn(x)，如果将级数解带入初始条件Jn(0) = 1，得到：
Jn(x) = x^n * Σ ((-1)^k * (x/2)^(2k+n))/(k! * (k+n)!), k从0到无穷大
对于贝塞尔第二类函数Yn(x)，如果将级数解带入初始条件Yn(0) = -∞，得到：
Yn(x) = x^-n * Σ ((-1)^k * (x/2)^(2k-n))/(k! * (k-n)!), k从0到无穷大
综上所述，贝塞尔函数的通解包括贝塞尔第一类函数Jn(x)和贝塞尔第二类函数
Yn(x)。
三、贝塞尔函数的性质
贝塞尔函数具有一些特殊的性质，下面将介绍几个常见的性质。
3.1 渐进性质
贝塞尔函数在自变量趋近于无穷大时具有渐近性质。
贝塞尔第一类函数Jn(x)在x
趋近于无穷大时，可以近似表示为：
Jn(x) ≈ √(2/(πx)) * cos(x - (n+1/2)π/2)
贝塞尔第二类函数Yn(x)在x趋近于无穷大时，可以近似表示为：
Yn(x) ≈ √(2/(πx)) * sin(x - (n+1/2)π/2)
3.2 递推关系
贝塞尔函数之间存在递推关系，可以通过递推关系计算不同阶数的贝塞尔函数。
贝塞尔函数的递推关系可以表示为：
Jn+1(x) = (2n/x) * Jn(x) - Jn-1(x)
Yn+1(x) = (2n/x) * Yn(x) - Yn-1(x)
3.3 正交性质
贝塞尔函数具有正交性质，对于不同的贝塞尔函数阶数n和m，有：
∫[0, 1] x * J n(x) * Jm(x) dx = 0（n ≠ m）
∫[0, 1] x * Yn(x) * Ym(x) dx = 0（n ≠ m）
3.4 递归形式
贝塞尔函数还可以用递归形式表示，可以通过递归形式计算贝塞尔函数的值。
贝塞尔函数的递归形式表示为：
Jn(x) = (-1)^n * J-n(x)
Yn(x) = (-1)^n * Y-n(x)
其中，J-n(x)和Y-n(x)表示贝塞尔函数的负阶形式。
四、贝塞尔函数的应用
贝塞尔函数在许多领域都有广泛的应用，下面将介绍几个常见的应用领域。
4.1 电磁场理论
贝塞尔函数可以用于描述电磁场的辐射和散射现象。
在电磁场理论中，贝塞尔函数可以表示电磁场的波函数，进而计算电磁场的辐射和散射特性。
4.2 信号处理
贝塞尔函数可以用于信号处理中的滤波和频谱分析。
通过贝塞尔函数，可以设计数字滤波器，对信号进行频率选择性处理。
4.3 计算机图形学
贝塞尔函数在计算机图形学中有广泛的应用。
通过利用贝塞尔函数的特性，可以绘制平滑曲线和曲面，实现图形的变形和形状控制。
4.4 天体力学
贝塞尔函数可以用于天体力学中的行星轨道计算和天体引力场模拟。
贝塞尔函数可以表示天体力学中的轨道运动和引力场分布。
结论
贝塞尔函数是一类特殊的数学函数，通过贝塞尔微分方程的推导得到。
贝塞尔函数具有级数解和通解，可以用于描述各种物理现象。
贝塞尔函数具有一些特殊的性质，如渐进性质、递推关系、正交性质和递归形式。
贝塞尔函数在电磁场理论、信号处理、计算机图形学和天体力学等领域都有广泛的应用。
对于研究贝塞尔函数的推导和应用，有助于理解和掌握贝塞尔函数在不同领域的应用和数学性质。