理论力学小论文-滚动摩阻.
圆环滚动时摩擦力的分析
圆环滚动时摩擦力的分析王嘉航【摘要】Rolling is a common motion in the practice,and it is a difficulty to determine friction in force analysis.This paper,taking circular ring for example,analyzes the friction in different cases in which the ring is taken as rigid body or deformable body.When the ring taken as rigid body does pure rolling on the plane at the same time with the couple,the differential equation of plane motion is used to analyze friction which is also suitable for the analysis of the rolling circular ring on the sloping plane.%滚动是实际中常见的一种运动形式,物体在滚动时摩擦力的分析是一个难点。
以圆环为例,分析圆环在被看作刚体和变形体两种力学模型时在不同情况下的摩擦力,当圆环作为刚体受力和力偶同时作用在水平面上纯滚动时,用平面运动微分方程对摩擦力进行推导判定,该方法同样可适用于在斜面上滚动的物体。
【期刊名称】《淮阴工学院学报》【年(卷),期】2012(021)001【总页数】3页(P28-30)【关键词】摩擦;刚体;变形体;纯滚动【作者】王嘉航【作者单位】苏州科技学院土木工程学院,江苏苏州215011【正文语种】中文【中图分类】O313.20 引言在第七届全国周培源大学生力学竞赛试题中有一道“杂耍圆环”的题目:演员用细铁棍推动匀质圆环在水平地面上匀速纯滚动，假设圆环保持在铅垂平面内滚动，又知铁棍与圆环之间的静摩擦因数为f s，圆环与地面间的滚动摩阻系数为δ。
浅谈滚动刚体的摩擦力
浅谈滚动刚体的摩擦力作者：李飞凤来源：《成才之路》2010年第26期摘要:摩擦力是我们生活中最平常的力,它直接影响我们的日常生活和产生不同的效应。
摩擦力,就我们所学的知识来说它有不同的分类。
本文主要是从实例出发谈了一下生活中常见的物体先滚还是先滑的判断条件,并详细讨论了对滚动刚体所受摩擦力的方向的简易判法。
关键词:摩擦力;静摩擦力;滚动摩擦力引言:摩擦力是我们日常生活离不开的一种力,自从盘古开天以来摩擦力伴随着我们人类的发展而逐渐地让我们大家对它有了新的认识和发现。
本文主要从实例中提出物体先滚还是先滑的判断条件,并详细讨论了对滚动刚体所受摩擦力的方向的简易判法。
一、滚动摩擦力物体滚动时,接触面一直在变化着,物体所受的摩擦力,称为“滚动摩擦力”。
它实质上是静摩擦力。
接触面愈软,形状变化愈大,则滚动摩擦力就愈大。
一般情况下,物体间的滚动摩擦力远小于滑动摩擦力。
在交通运输及机械制造工业上广泛应用滚动轴承,就是为了减少摩擦力。
例如,火车的主动轮的摩擦力是推动火车前进的动力,而被动轮所受之静摩擦则是阻碍火车前进的滚动摩擦力。
二、刚体摩擦力方向的判断如果把刚体与接触物均看做绝对刚体,就不必考虑滚动摩擦力矩的影响,以下讨论均以此假设为前提。
作纯滚动的刚体,它与其他物体接触点处的速度为零,因此触点处如有摩擦力存在,必为静摩擦力。
由于静摩擦力的大小和方向均与运动状态有关,对我们来说,判断较为困难。
为此,我提出一个较为简易的具体的判断方法,如下。
判断作纯滚动刚体的静摩擦力的方向,可先假设其不受到静摩擦力的作用,判断出此时触点相对于接触面运动的加速度方向或运动趋势,为保证刚体作纯滚动,接触点受摩擦力的方向应与假定无摩擦力时的加速度方向相反。
这里所指的加速度是指触点沿接触面的切向加速度。
下面以实例说明。
①恒力F作用在半径为r的均质小球的质心C处,使之在粗糙的平面上作纯滚动,如图1所示。
若假定摩擦力f不存在,因F过质心,故小球有向F方向平动的趋势,因此触点A也有向F方向运动的趋势,所以静摩擦力f水平向左,以阻碍触点A向右运动。
文档：滚动摩擦的力学分析
滚动摩擦的力学分析近日有媒体报道：号称“东北奇人”的王春太仅靠眼皮就能拉动一辆重达一吨多的桑塔纳。
刚读到这则消息时感觉是有点悬。
薄薄的眼皮在一吨多的汽车面前微乎其微。
而事实上，从力学的角度分析,表演者所克服的并不是一吨多的重力，而是汽车在不刹车的情况下滚动摩擦的一点阻力，阻力在有设计的前提下是很小的。
类似的“神奇”表演，只要掌握技巧人人皆可为之。
那么什么是滚动摩擦呢,它的大小又是由什么因素决定的呢?如图一所示：水平面上放置一个刚体圆盘仍可以保持静止。
下面进行受力分析：竖直方向上: G + N = 0 (1)水平方向上：Q + f = 0 (2)似乎圆盘可以静止，但是如果对质心O列力矩平衡方程：f * r = 0 (3)显然与（2）是构成矛盾，由此可见圆盘所受到的阻力不能简单的由f表示。
从轮子的受力分析可以看出，假如约束反力仅有f和N 则轮子不可能保持静止，因为只f和Q构成了使轮子发生滚动的力偶。
由经验得知，当力Q较小时，轮子并不滚动，这就必然存在着一个阻止轮子滚动的力偶M与力偶(Q，f)相平衡。
这个阻止轮子滚动的力偶即称为滚动摩擦力偶或称为滚动摩阻力偶。
滚动摩擦力偶的发生是由于实际的接触物体并不是刚体，所以当两物体压紧时，接触处发生变形，因此，接触面对滚子的反力就不再像图一所示的那样，而是一个分布的阻力，如图二（a）所示，随着水平力Q的增加，分布的阻力不再对称A点，而是向滚动方向有一偏移，接触面分布阻力的合力只作用在B点(如图二)。
将其分解为法向反力N和摩擦力F并把它们向A点简化，法向反力N向A点平移时须附加一个力偶，力偶矩为:M = x * N (4)阻碍轮子滚动的作用由这个力偶矩来量度，称为滚动摩擦力偶。
实际上作用力Q只要满足：Q * R > M (5)圆盘就可以转动了。
搞清楚了阻碍圆盘滚动的因素以后，我们来研究这个滚动摩擦力偶M的大小到底是有什么决定的。
首先回忆一下静摩擦力。
粗糙水平面上放置的物体在受到水平外力Q仍保持静止时。
刚体滚动论文
1.2.2刚体做纯滚动时静摩擦系数满足的条件4
1.2.3刚体做“匀速”纯滚动时的摩擦力5
1.2.4刚体作“变速”纯滚动时的摩擦力6
2刚体的有滑滚动7
2.1有滑滚动的摩擦力7
2.1.1圆轮不受外力牵引8
2.1.2圆轮受外力牵引8
2.2刚体的有滑滚动运动分析9
3有滑滚动到纯滚动之间的转化10
“匀速”纯滚动为平动状态和转动状态都不发生变化的纯滚动，“变速”纯滚动是平动状态和转动状态都发生变化的纯滚动，下面对这两种情况进行讨论。
如1.2.1中我们令 c=0, =0，即式(1- 3)、(1-4)分别为0时。
即： =0， =0
化简得： =
讨论：
1）当 =0时，有 =-F，y=-r或者 =F=0.
如果 <0,-即y< ,那么 <0;
如果 =0,即y= ,那么 =0;
如果 >0,即y> ,那么 >0.
当作用线刚好在y= 时，静摩擦力可以为零，因此静摩擦力的大小和方向完全取决于外力作用线的位置。
2）当 ，而F=0时,有 = >0.
因此在粗糙斜面上的刚体只受支持力和重力作用，静摩擦力总是沿着斜面向上，刚体作沿斜面向下或者向上的无滑滚动【4】。
当F< 时， >0, y>0
因此若有外力作用时，在粗糙斜面上刚体可能作“匀速”纯滚动，但外力作用线只能是特殊值 。这时摩擦力的大小和方向都取决于F和mgsin 的大小。
1.2.4
令 c≠0, ≠0,即 c= + ≠0
= ≠0
由 c= r,即 + = ,
解之，得 =
讨论如下：
1）当 =0，而F≠0时， =
理力优秀论文 自行车车轮运动时的力学分析和应用
图2自行车车轮运动时的力学分析和应用XX学号：10XXXX 专业：车辆工程（轨道交通）班级：1 任课教师：王斌耀内容摘要：本文结合了理论力学的一些基本原理，分析了车轮在骑行运动时的受力特点，并考虑了不同车胎在骑行中带来的不同的影响，方便人们在购买自行车时选择所需的自行车胎，以及车胎在生活中的保养方法。
关键词：自行车、车胎、分析、建议正文自行车是我们生活中最常见的交通工具之一，其中蕴含着很多的力学原理，车胎作为自行车最重要的部分之一，在我们选择、保养时很有必要了解它的特性。
笔者这里主要分析了车胎部分的力学原理。
图1.各种各样的自行车1.车轮运动时的受力分析自行车的前轮后轮看似没有什么区别，都是相对于地面作纯滚动，但是它们的受力情况有着根本的区别，后轮作为主动轮，是整个车体的驱动部分，它的受力分析如图2 所示，后轮在车轴的部分有一个经过传导得到的来自于人的力偶M1；地面对车轮的力系是一个平面力系，可以简化为一个力偶M，以及滚动摩擦力F S，因为摩擦力的方向是与物体相对运动趋势相反,主动轮动起来时,轮子最下面一点与地面接触.此点相对于地面来说是向后运动的，所以地面给后轮的滚动摩擦力向前,这个滚动摩擦力F S就是推动整个车向前的动力。
接下来是对前轮进行受力分析。
如图3所示,类似对图1的分析，由于前轮作为从动轮图3图4.一种车胎的花纹本身不会自发运动,因为后轮动了整个车身必然向前动起来(包括不会自发运动的前轮)因为地面不会动,那么前轮相对地面来说向前运动，所以地面给前轮的摩擦力向后，由此，我们可以得到一个向后的滚动摩擦力F S ’，整个车体受到的合力为向前的动力，为F=F S -F S ’-F K,其中，F K 为车体在运行过程中所受到的风阻力。
由此可见，在相同骑行者、相同路面、相同风力环境的情况下，影响车速的主要原因是车胎所受到的滚动摩擦力，即F S -F S ’。
当然还有一种情况，当骑行者不再踩踏板的时候，两个轮子都变成了“从动轮”，这时的受力情况和图3一样，整个车体受到的力为与运动方向相反的阻力。
滚动摩阻(擦)的概念
不计凸轮与挺杆处摩擦，不计挺杆质量；
求： 挺杆不被卡住之 值。
解： 取挺杆，设挺杆处于刚好卡住位置。
解得： 则：挺杆不被卡住时， 。
例4-4
已知： 物块重 P, 鼓轮重心位于 各尺寸如图所示：
求： 制动鼓轮所需铅直力F。
处，闸杆重量不 计，
解：分别闸杆与鼓轮 设鼓轮被制动处于平衡状态 对鼓轮， 对闸杆， 且 而 解得
得
得
当
时，
处无滑动
先设 处摩擦力达最大值，取杆与轮，受力图不变
对杆 得 但 对轮
不变
得
（1）
此时 共有 在 即在 当
（4） 四个未知数
时，解得 时， 处不会先滑动。
时，解得
（2） （3）
处无滑动
例4-7 用几何法求解例5-2。 解: 物块有向上滑动趋势时，
物块有向下滑动趋势时，
利用三角公式与 得
例4-5 已知： 均质木箱重
求：（1）当D处为拉力
时，木箱是否平衡?
（2）能保持木箱平衡的最大拉力。
解：（1）取木箱，设其处于平衡状态。
解得
而
因
木箱不会滑动；
又
木箱无翻倒趋势。
木箱平衡
（2）设木箱将要滑动时拉力为
又 解得 设木箱有翻动趋势时拉力为
解得 能保持木箱平衡的最大拉力为 * 对此题，先解答完（2），自然有（1）。
求： 抽拉抽屉不被卡住之e值。
解： 取抽屉，设抽屉刚好被卡住
又 联立解得 则抽屉不被卡住， 。
例4-13 已知： 尺寸如图；
各构件自重不计，
求： 保持系统平衡的力偶矩 。
解： 设
时，系统即将逆时针方向转动，
画两杆受力图。
滚动摩擦
泰博提出，当硬兹金属球在弹性表面上滚动时，所测得的 滚动阻力是由材料的滞后顺失造成的。为了证明这一点， 他用硬钢球于铅直载荷的作用下在一软钢平面上滚动，此 时滚动阻力随滚动次数而变化，如图2所示，塑性的成槽 作用在反复几百次滚动后就停止了，此时的滚动阻力是25 克，沟槽宽度为0。45毫米，单滚动10000次行程后，由于 滚道宽度的增加，微滑作用变得更加重要，并且若微滑作 用起显著作用时，滚动阻力应当上升。但四验表明，这时 的滚动阻力仅为15克，而且经历40000次和20000次行程后 分别下降到12克和9克。这一切都说明微滑不起主要作用， 仅能用弹性滞后理论才能完满地解释滚动阻力。也就是说 弹性接触时的滚动阻力归因于材料在机械负荷下的滞后耗 损们。
实际的滚动是相当复杂的， 这不仅是由于很多因素都能影响 滚动阻力的大小，而且主要还因为在滚动中往往产生一个不可忽 略的切向摩擦力(主要是因为滑动引起的)，一些有表面牵引力作 用的滚动，如驱动轮的滚动就是这种情况，这时在滚动物之间可 能出现明显的滑动。但是有一种类型的滚动，例如一个圆柱或一 个球沿着一个平面无约束地作直线滚动的情况，这时在滚动物之 间不出现相对滑动。 这种滚动可以看作是纯滚动， 也称自由滚动。 以下我们仅研究自由滚动。
由此 , 柯林斯提出了刚塑性理论 , 它建立在 下面两个基本假定的基础上: (1)A. 材料的变形完全是塑性的 , 弹性形变 应被忽略.在这种情况下,残余应力的 影 响不复存在. (2)B.用直线近似地代表圆柱和表面的接触 弧.这意味着接触弧长要比圆柱半径小得多.
我们可以把滚动圆柱看成一个有轴的轮子 , 这个轴装 在一个没有摩擦的轴承上 , 而沿圆柱单位长度的载荷 W 也垂直作用在这个轴承上 . 克服滚动阻力驱使圆轮 前进有两种方法 , 一个是在轴承上施以一个单位长度 的水平力F,另一个则是在轴上施以一个单位长度的转 矩Q理论和实验表明,在不同的受力情况下将出现不同 类型的塑性变形以及不同的滚动阻力 . 在仅受水平牵 引力F的情况下,滚动阻力系数为
析说滚动摩擦力
第41卷第12期2020 年物 理教师P H Y S IC S T E A C H E RVol. 41 No. 12(2020)析说滚动摩擦力周启勇(深圳中学，广东深圳 518000)摘要：初、高中教材对滚动摩擦力只是简单地提及一下，并没有具体分析.本文以圆柱体为例，从刚体纯滚动 和有滑滚动两种情况分别对滚动摩擦力方向、大小、做功情况及一般物体滚动运动时摩擦力产生原理分析 析说.关键词：滚动摩擦力；刚体；纯滚动；有滑滚动；功在教学中有学生甚至教师对滚动摩擦力只停 留中的教材中“滚动摩擦力小于滑动摩擦力”，那 滚动摩擦力到底有何特点？它的大小、方向又如 何？本文通过几个例题的分析，逐步析说滚动摩 擦力•1刚体滚动运动时的摩擦力1.1当刚体纯滚动中时，静摩擦的大小与方向的 判断例1.质量为772、半 径为尺的匀质实心圆柱 体，受一水平向右的力F 的作用下，在水平面上作纯滚动，力F 的作用线到质心转轴的垂直 距离为r ，如图1.解析：由牛顿第二定律F —/=w a.刚体转动定理F r +/i ? = ，其中J w 尺2，而a =邱，联立解得说明：刚体纯滚动时的静摩擦力的大小不仅 同拉力F 有关，还与圆柱体的半径i ?以及圆心到 水平力F 作用线的垂直距离r 有关•当i ?、r 为定 值时，静摩擦力同水平外力F 成正比.讨论：（1)当F = 〇时，/=〇,圆柱体不受静摩 擦力，圆柱体靠惯性运动.(2) 当时，/<0,圆柱体受静摩擦力同它的运动方向相同，方向向右.(3)当0<r <|■时，/>0,圆柱体受静摩擦力同它的运动方向相反，方向向左.(4) 当r =|时，/=0,圆柱体不受静摩擦力.由此可知，刚体纯滚动时，静摩擦的大小与 方向要视情况来定，基本方法是列动力学方程 求解.1.2刚体有滑滚动摩擦力方向的确定例 2.当刚体在滚动 中有滑动运动时，摩擦力 实为滑动摩擦力，方向与 “相对运动”的方向相反.设有一底面半径为i ?的 均匀圆柱体，质心的平动 速度为W ，绕质心转动的 角速度为w ，如图2所示.讨论：(1)如果则圆柱体最低点有与I t 方向相反的滑动.滑动摩擦力/方向与相对运动方 向相反，则/方向与w c 相同；大小由滑动摩擦力 公式得/=p N .(2)如果则圆柱体最低点有与t /c 方向相同的滑动.滑动摩擦力/方向与相对运动方 向相反，则/方向与W 相反；大小由滑动摩擦力 公式得/=A <N .(3)如果_R 〇)=w c ，则圆柱体最低点有与i t 方 向没有相对滑动，即纯滚动，没有相对运动，如果 有摩擦力，实为静摩擦力.1.3纯滚动时静摩擦力做功问题例 3.设圆柱体 由静止开始沿水平面 作纯滚动，外力F 与作用于圆心〇点且水平，当运动距离为5时，速度达到w 角速度为〇；，如图3.61Vol. 41 No. 12(2020)物理教师P H Y S IC S T E A C H E R第41卷第12期2020 年解析：此时转动动能为以〇为轴，这个动能是静摩擦力的力矩做的功产生的 w, =J/RcW=J/d5 = /5，所以f s=-^r m R2a/.4而由 ，当r=0 时，/=i F.则质心的平动动能£平动=(F—f)s=—m R2c〇2.因此圆柱体总能量转动+平动=-^++尺2⑴ 2 =—m R2〇j2.4若假设在平面光滑情况下，运动相同的位移，圆柱体只平动不转动，总动能等于力F所做的功£光滑=F s=3/s=寻由此说明有、无静摩擦力总能量相等，说明静 摩擦力不改变其总能量，即静摩擦力不做功.但静 摩擦力又使圆柱体产生了绕质心转轴的转动动能，所以静摩擦力作用只是将平动动能转换成转动动能.1.4有滑滚动时摩擦力做功问题例4.如例1中，如做初状态只o><vc的有滑滚动，滑动摩擦力/方向与W相反，最开始时，ic =幻0，£0=£0〇，则在Z时刻时，如图4有摩擦力f z=fj.N=f x m g.动力学方程m a=_/Ltmg;fxmgR=lp=-^m R2p.运动学方程V c=t;0+a i;cu =cu〇+l3t.当阶时，有滑滚动过程结束，随之开始 作无滑滚动，摩擦力/=0.则从有滑滚动到纯滚动的时间 f= -7^°^,此时处=?-〇\W〇R,c o=3邱 32 vq H- q j q R3R，物体将保持质心速度及转动的角速度恒定的纯滚动.由动能定理W,=E-E…=(j m v^+j U )-(Y wt;〇2"I-)=~~-Q m(v〇—a j〇R)2.其中负号表示滑动摩擦力对圆柱体做负功，即圆柱体的动能减少.例5.如例1中，如做初状态只〇^>处_的有滑滚动，滑动摩擦力/方向与W相同，如图5最开始时，=，〇>=〇>〇,贝l j /时刻时，有摩 擦力f=/u N=/u m g.动力学方程f jim g=m a-,fjL mg R=~I[i=—-Ym R2p.运动学方程vc=va-\-a t-,ai=c o〇+^.当尺〇;=处时，有滑滚动过程结束，随之开始 作无滑滚动，摩擦力/=0.则从有滑滚动到纯滚动的时间《=此时_2v Q-\-〇J〇R—2v〇+〇)〇i?W c=~3—~'W=~~3R’物体将保持质心速度及转动的角速度恒定的纯滚动.由动能定理W/=E-E…=(y m t;c2+y W)-(-|-wu〇z+-|-/a)02)=—^-m(v〇—〇j〇R)2.其中负号表示滑动摩擦力对圆柱体做负功，即圆 柱体的动能减少.说明：例4、例5亦可用角动量守恒来分析. 取地面上任一点为转轴，则角动量守恒，开始时=L’+Lc=|wi?2w。
滚动阻力成因分析与影响因素分析
滚动阻力的成因分析与影响因素分析报告车辆1203班第2组汽车在水平道路上等速行驶时受到的道路在行驶方向上的分力称为滚动阻力，主要有车轮的弹性变形、路面变形和车辙摩擦等。
本文主要针对滚动阻力的成因和影响因素研究分析。
一、滚动阻力的成因分析近代摩擦学关于滚动摩擦的理论认为：滚动体在力的推动下滚动，在赫兹接触区内除存在赫兹正压力外，还存在切向力，从而使接触区被分为微观滑动区和黏着区，在黏着区内只有滚动而无滑动，微观滑动区内还存在着滑动，认为滚动摩擦阻力由以下四个因素构成：弹性滞后、黏着效应、微观滑动、朔性滞后。
但在车轮滚动过程中，热弹性滞后、黏着效应、微观滑动、朔性滞后引起的能量损失所占比例很小，因此，主要原因在于弹性滞后。
当弹性轮胎在硬路面（混凝土路、沥青路）上滚动时，轮胎的变形是主要的。
由于弹性材料的粘弹性性能，弹性轮胎在硬支撑路面上行驶时，加载变形曲线和卸载变形曲线不重合导致能量损失，此能量系损耗在轮胎各部分组成相互间的摩擦以及橡胶、棉线等物质间的分子间摩擦，最后转化为热能消失在空气中，是轮胎变形时做的工不能全部收回。
这种损失称为弹性物质的迟滞损失。
（如右图）这种迟滞损失表现为一种阻力偶。
当车轮不滚动时,地面对车轮的法向反作用力的分布是前后对称的；当车轮滚动时,由于弹性迟滞现象,处于压缩过程的前部点的地面法向反作用力就会大于处于压缩过程的后部点的地面法向反作用力,这样,地面法向反作用力的分布前后不对称,而使他们的合力zF相对于法线前移一个距离a,它随弹性迟滞损失的增大而变大。
即滚动时有滚动阻力偶矩T Fzfa=•,阻碍车轮滚动。
（如下图）由此可见，滚动阻力的作用形式为ff fTF Wf Fr==。
另一方面，当轮胎在松软的路面上滚动时，轮胎的变形很小，主要是路面下凹变形，在车轮前方实际形成了具有一定坡度的斜面，对车轮前进产生阻力。
还有车轮轴承内部也存在着磨擦，这些磨擦和变形都要损耗发动机的动力，从而形成了汽车行驶中的滚动阻力。
滚动摩擦力
滚动摩擦力编辑滚动摩擦力，是物体滚动时，接触面一直在变化着，物体所受的摩擦力。
它实质上是静摩擦力。
接触面愈软，形状变化愈大，则滚动摩擦力就愈大。
一般情况下，物体之间的滚动摩擦力远小于滑动摩擦力。
在交通运输以及机械制造工业上广泛应用滚动轴承，就是为了减少摩擦力。
例如，火车的主动轮的摩擦力是推动火车前进的动力。
而被动轮所受之静摩擦则是阻碍火车前进的滚动摩擦力。
目录1定义2产生3说法滚动阻力力矩N·e不是摩擦作用摩擦的辅助作用4计算方法5相关区别1定义摩擦分为静摩擦、滑动摩擦和滚动摩擦。
一物体在另一物体表面做无滑动的滚动或有滚动的趋势时，由于两物体在接触部分受压发生形变而产生的对滚动的阻碍作用，叫“滚动摩擦”。
滚动摩擦一般用阻力矩来量度，其力的大小与物体的性质、表面的形状以及滚动物体的重量有关。
滚动摩擦实际上是一种阻碍滚动的力矩。
当一个物体在粗糙的平面上滚动时，如果不再受动力或动力矩作用，它的运动将会逐渐地慢下来，直到静止。
这个过程，滚动的物体除了受到重力、弹力外，一般在接触部分受到静摩擦力。
由于物体和平面接触处产生形变，物体受正压力力作用而陷入支撑面，同时物体本身也受压缩而变形，当物体向前滚动时，接触处前方的支撑面隆起，而使支撑面作用于物体的合弹力N的作用点从最低点向前移。
正是这个弹力，相对于物体的质心产生一个阻碍物体滚动的力矩，这就是滚动摩擦。
对于初中学生来说，他们还未掌握力矩的概念，就不要把滚动摩擦讲成是一种摩擦力，只能讲一个物体在另一个物体上滚动时所受到对滚动的阻碍作用。
2产生滚动摩擦的产生是由于物体和平面接触处的形变引起的。
物体受重力作用而压入支承面，同时本身也受压缩而变形，因而在向前滚动时，接触前方的支承面隆起，这使得支承面对物体的弹力N的作用点从最低点向前移，所以弹力N与重力G不在一条直线上，而形成了一个阻碍滚动的力偶矩，这就是滚动摩擦。
滚动摩擦的大小用力偶矩来量度，且与正压力成正比，比例系数δ叫做滚动摩擦系数，它在数值上相当于弹力对于滚动物体质心的力臂，因此它具有长度的量纲；它跟滚动物体和支承面的材料、硬度等因素有关，与半径无关。
台球桌上的力学
桌球台上的力学简要：桌球是一项大家喜闻乐见休闲放松的体育运动。
在桌球台上，我们经常能看到白球穿梭于彩球之间，通过击打摩擦碰撞等环节，最终将目标球打入了桌子四周的六个袋中。
在这样一个系列的动作中，我们可以看到许许多多力学知识的应用，所以本文主要分析了其中的部分力学应用。
关键字：碰撞，摩擦，动量守恒一、模型建立：我们只考虑白球目标球和球袋在同一直线上的情况，就如有图1所示。
可以把杆的击打看作是一个水平方向的一个冲量S ，不考虑摩擦力的冲量，如下图2所示，可看作S 作用在直径上。
每个小球质量为m ，半径为R ，在纯滚动时所受的滚动摩阻为M 。
来球间的距离为L 1,目标球到球袋的距离为L 2，受到S 的作用后球的速度为v ，叫速度为ω。
打击后球只作纯滚动时的击打高度为h ，碰撞后的白球的速度为v 1 ，叫速度为ω1，目标球的速度为v 2，叫速度为ω2，设两个碰撞时完全弹性碰撞，且摩擦力足够大（打中后目标球进行纯滚动），其他两在计算过程中再给以定义。
二、推理计算及结论：先求出能够进行纯滚动的击打高度h 。
计算过程如下： Sh=J ω 其中ωR=vS=mv图12225752mR mR mR J =+=带入上式有,得:ω257mR Sh =ωmR S = R h 57=杆打击高度为7/5R 时，以什么样的S 击打白球都可以进行纯滚动。
此时：m S v = mRS=ω在纯滚动时接触点无相对滑动，所以无摩擦力，以球心为转动轴列方程，则有：εJ M =- 以o 为转动轴的221mR J =dtd mR M ω221=- 把dt 乘到左边，在对两边积分 ⎰⎰=-02021ωωd mR Mdt tt 为白球停止为止的时间 2212122SRmR S mR mR Mt ===ω M SR t 2= 且有 22mR M-=ε 设θ为停止为止球转过的角度，则有mMS mM S mM S M SR mR M M SR mR S t t 44422221221222222=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∙∙-∙=+=εωθ 球的中心移动的距离为L 0，则有mMRS R L 420==θ R L L 210-<时 即 R L mM RS 2412-<()RR L mM S 241-<时白球击不中目标球。
对滚动轮所受摩擦力的探讨
对滚动轮所受摩擦力的探讨2.1对滚动摩擦力的错误认识中学阶段常会遇到这样一个模型：一个放在粗糙平面上的圆柱形物体，给它一个初速度v0后，圆柱形物体向前纯滚动，圆柱体在滚动过程中会逐渐停下来。
很多学生认为这是由于圆柱体受到了一个向后的“滚动摩擦力”作用而停下来，其实不然。
下面笔者从动力学角度对这一常见模型予以分析。
如图1所示，将物体和平面都看成刚体，则物体受到重力G和地面支持力N的作用，若物体还受到沿接触面向后的“滚动摩擦力f”的作用，对圆柱体应用牛顿第二定律f=m·ac，圆柱体质心做减速运动;而由于圆柱体为刚体，取质心为参考点对圆柱体应用转动定律f·R=■mR2·β，角加速度β方向和角速度ω方向相同，圆柱体将做顺时针方向的加速转动。
这显然与刚体在水平面上做无滑纯滚动条件相矛盾，所以认为圆柱体受到一个向后的“滚动摩擦力”的观点显然是错误的。
事实上，生活中观察到的圆柱体的滚动角速度ω是越来越小的，那是因为圆柱体在滚动的过程中除了受到静摩擦力f外，还受到一个阻碍滚动的阻力矩作用。
如图2所示，圆柱体在水平面上做无滑滚动时，物体和支持面接触处会产生形变，使支持力作用点相对于最低点向前移动了一小段距离x（图2为放大后的效果，实际肉眼难以分辨）。
N'在竖直方向与重力G相互抵消，却产生了与静摩擦力f的力矩M=f·R方向相反的阻力矩M0=N'·x。
在阻力矩的作用下圆柱体减速滚动。
2.2滚动摩擦力的产生滚动摩擦力实际上是指一物体在另一物体表面滚动或有滚动趋势时，由于两物体在接触部分受压发生形变，接触面间的支持力偏离重心而产生阻碍物体滚动的阻力矩的作用，这种阻碍作用叫“滚动摩擦力”。
滚动摩擦力一般用阻力矩来量度，其力的大小与物体的性质、表面形状以及滚动物体的重量有关。
当一个物体在粗糙的平面上滚动时，如果不再受动力或动力矩作用，它的运动将会逐渐慢下来，直到静止。
摩擦力的存在与影响：从滑动到滚动
摩擦力的存在与影响：从滑动到滚动摩擦力是我们日常生活中经常遇到的物理现象之一。
它在我们周围的许多实际情况中都有重要作用，无论是在我们行走、开车，甚至是在机械装置中。
摩擦力的存在对我们的生活和工作都有深远的影响，它不仅是一种阻碍运动的力量，也是一种促进运动的力量。
本文将探讨摩擦力从滑动到滚动的存在与影响。
摩擦力的基本概念摩擦力是一种与两个物体相对运动或相对静止时产生的力。
当两个物体相互接触并发生相对运动时，摩擦力就会出现。
摩擦力的作用是阻碍物体相对运动的趋势，使得物体需要消耗更多的能量才能继续运动。
在滑动和滚动中，摩擦力的作用方式略有不同。
滑动摩擦力在两个物体相对滑动的过程中，摩擦力是通过物体表面的微观不平整和接触表面形成的。
这种摩擦力的大小与物体表面间的粗糙程度、压力和物体间的相互作用力有关。
滑动摩擦力的大小可以由以下公式表示：\[ F_f = \mu \times F_n \]其中，\[ F_f \] 为滑动摩擦力，\[ F_n \] 为法线作用力，\[ \mu \] 为动摩擦系数，它表示了两个物体间的摩擦程度。
滚动摩擦力与滑动摩擦不同，滚动摩擦是在物体滚动时产生的摩擦力。
在滚动过程中，物体与地面接触的是一个点或一条线，而不是整个表面。
这使得滚动摩擦力相对于滑动摩擦力来说要小很多。
滚动摩擦力的大小取决于物体表面的特性，如光滑度以及物体的形状。
通常情况下，圆形物体在滚动时会产生较小的滚动摩擦力。
摩擦力对运动的影响摩擦力不仅会影响物体的运动方式，还会影响物体的速度和加速度。
在滑动过程中，摩擦力会减缓物体的速度，使得物体在相对光滑的表面上移动时需要更多的力。
在滚动过程中，摩擦力虽然相对较小，但同样会对物体的速度和加速度产生影响。
而且，滚动摩擦力还可能使物体产生滚动阻力，从而影响物体的滚动速度。
结论摩擦力是我们日常生活中不可或缺的物理现象之一。
它在滑动和滚动过程中都有着重要的作用，无论是在我们步行、开车，还是在机械装置中。
《理论力学》 摩擦2
2 2 1 fs ( W1 FSD W2 ) fs ( W1 FQ 2max W2 ) 3 3 4
FQ 2max
4 fs (2W1 3W2 ) 3(3 fs )
FSD
FSE
FQ 4 3FQ
4
5. 系统能保持平衡的FQ为
FQ max min FQ1max , FQ 2max
D
A W1
3. 假设D处先达到临界状态，则在临界状态下
FSD fs FND 2 2 fs 1 fs ( FSD W1 ) FSD W1 FQ1max 3 3(1 fs ) 4 8 fs FQ1max W1 3(1 fs )
4. 假设E处先达到临界状态, 则在临界状态下
R＝2r
可确定 D 、 E 处摩擦力方向 均自右向左。圆轮受力如图
M E (F ) 0
FSD 2R FQ (R r) 0 FSD
M D (F ) 0
FQ 4 FQ
FSE 2R FQ ( R r ) 0
Fy 0, FNE FND W2 0
联立解得
FT min P(sin q
d
R
cos q )
3) 设圆柱O有向上滚动趋势，取圆柱O分析。
M A ( F ) 0 :
P sin q R FTmax R M 2max 0
FTmax O
Fy 0 : FN2 P cosq 0
M 2max d FN2
Fs2
FN1
FN2
例1: 半径为R的滑轮B上作用有力偶, 轮上 绕有细绳拉住半径为 R 、重量为 P 的圆柱 体。斜面倾角为q, 圆柱与斜面间的滚动摩 阻系数为 d ， 静摩擦因数为 fs 。求系统平 衡时的力偶矩MB。
理论力学4.2、滑动摩擦与滚动摩擦
x
68
M点坐标:(70.25，-0.25)
则有：c=|QM|=14.2(mm)； c值范围:[0，14.2mm] 10
课堂练习题1 梯子AB长5m,自重不计,斜靠在竖直墙边 (图示),与水平地面间夹角 60; 重量G=650N的人 沿梯上爬,设梯子两端与地面、墙壁间的静摩擦系数都 为 f s 0.2;5在梯子不滑倒的情况下,求人所能达到的 最大安全距离S的值。
图示),并受到水平推力F1的作用,物体与斜面间的静摩
擦系数为 f s ,对应摩擦角为 f ( f );求能使物块保
持静止状态的推力F1的最大、最小值;
解 研究对象:物块,F1力很小(或很大)时,其受力如图 c/d所示,则有： FR sin( f ) F1
图c：FR cos( f ) P F1 tan( f )P
fs tan f
3
物块平衡时，静摩擦力（不一定达到最大值）是闭 区间[0，Fmax]中的某个值，因此地面对物块的作用 力（支持力、摩擦力的合力）与支持力之间的夹角 属于闭区间[0， f ]
1.2、自锁现象
FS FN
P sin
P
cos
FS
tan
FN
4
例4.2-1 重量为P的物块放在倾角为 的粗糙斜面上(
M B min
PR(sin
R
cos )（顺时针旋向）
FS
P cos
R
（沿斜面向上）
16
17
FBN B
G A
FAN FAS
F1
fs ·FN
P
对滚动摩擦的探讨
对滚动摩擦的探讨刚体（Rigid body）：在任何力的作用下，体积和形状都不发生改变的物体。
力矩(torque)：作用力使物体绕着转动轴或支点转动的趋向,称为力矩。
力F和力臂L的乘积叫做力对转动轴的力矩M。
即：M=F·L力偶（couple）：大小相等、方向相反而不共线的两个平行力所组成的力系，称为力偶。
力偶矩：力偶对物体产生转动效应。
力偶的二力对空间任一点之矩的和是一常矢量，称为力偶矩。
力偶矩是大小相等、方向相反的一对平行力的力矩。
一、提出问题：我们常说：“当一个物体在另一个物体上滚动时，物体所受到的的摩擦，叫做滚动摩擦”。
我们分析一个在粗糙水平面上作无滑滚动的均质圆柱体时（质心平动速度为Ｖ０），发现因为圆柱体的水平面的接触点Ｐ相对于水平面的速度VＰ＝０（如图一），所以这时产生的摩擦力是静摩擦力。
那么，什么是滚动摩擦呢？滚动摩擦是“滚动摩擦力”吗？是静摩擦力吗？它们之间是否有区别。
二、滚动摩擦存有的依据：在粗糙水平面上作无滑滚动的均质圆柱体，除了受到重力Ｇ和水平面对它的支持力Ｎ和静摩擦力f以外（如图二），在没有其它阻力的情况下会不会永远地滚动下去呢？从能量观点看：假如没有其它阻力的作用，因为粗糙水平面对圆柱体的静摩擦力f不做功，支持力Ｎ也不做功。
圆柱体在运动过程中没有机械能损失，圆柱体似乎应该永远滚动下去。
但实际上，圆柱体是越滚越慢，最后停下来，那么，是什么因素防碍圆柱体的滚动呢？从力的观点看：（如图二），圆柱体受到粗糙水平面的静摩擦力f，因为f与质心平动速度Ｖ０方向相反，圆柱f使其质心平动速度Ｖ０要减小；但圆柱体在力f 对质心Ｏ的力矩作用下，转动角速度ω却要增大。
根据圆柱体只滚不滑的运动学条件：Ｖ０＝Ｒω，Ｖ０要减小，而ω要增大，这显然是不符合圆柱体只滚不滑的条件的。
反之，静摩擦力f与Ｖ０的方向相同，如图三，f使质心的平动速度Ｖ０增大，而使转动角速度ω减小，这也是不符合刚体只滚动不滑动的条件的，可见，在这种情况下，圆柱体沿水平面作无滑动的滚动，最后停下来的原因，既不是滑动摩擦力也不是静摩擦力。
理论力学小论文-滚动摩阻解读
滚动摩阻及其实例分析制33刘赟2003010565冯灿2003010559石磊2003010558辛明鹏2003010554 2004年12月关键词：滚动，摩擦，滚动摩阻，约束反力，摩擦自锁摘要：滚动摩阻是力学中一个非常重要，也非常复杂的问题。
本文通过建立不同的模型，解释了滚动摩阻的产生原理，并且讨论了滚动摩擦中的摩擦自锁问题。
最后，本文通过网球和车轮滚动两个实例，展示了滚动摩阻在生活中的应用。
理论力学中一个非常重要的模型就是轮子滚动的问题，在很多机械构件的分析上，还有生产实践中都会经常遇到。
在做理论分析时，很多时候都认为在滚动过程中，轮子和地面都是不会有形变的，也就是利用了刚体这个理想模型。
在这种假设条件下，轮子和地面是点基础。
如果轮子是纯滚动，那么轮子除了受到地面的支持力外，还可能受到一个静摩擦力（受力与否与轮子的运动状态有关），作用点在轮子和地面的接触点，方向与轮子运动方向相反。
根据对静摩擦力的分析，静摩擦力所做的功W f s=。
由于纯滚动，轮子和地面接触点的速度为零，则0W=。
可知静摩擦力不做功，那当轮子s=，故静摩擦力所做的功0开始纯滚动，且不受外力的情况下，轮子将保持初始速度一直滚下去。
但在实际生活中，轮子或者是球在滚动一段时间后是会停下来的，与理论预计不符，说明理论模型中有不合理的地方。
物体滑动时，实际情况会受到滑动摩擦力。
但是对于纯滚动的物体，只会受到静摩擦力，故不是一般的摩擦力阻碍物体的滚动，还有其它的作用使滚动物体停下来。
事实也是这样的。
在一开始建的模型中，轮子和地面都是不会产生形变的，但是在实际情况中，轮子和地面都会产生形变，而且在轮子滚动时，这个形变并不时均匀的，轮子受到的支持分布力也不均匀，将分布力简化可以得到一个力和一个力偶，且这个力偶是阻碍着轮子的滚动。
实际情况中也就是这个力偶的作用，使滚动停止。
我们称这个力偶为滚动摩阻。
下面我们将就滚动摩阻的概念、原理以及滚动中的一些问题作一些简单的讨论。
最新滚动摩擦力
滚动摩擦力物体滚动时，接触面一直在变化着，物体所受的摩擦力，称为“滚动摩擦力”。
它实质上是静摩擦力。
接触面愈软，形状变化愈大，则滚动摩擦力就愈大。
一般情况下，物体之间的滚动摩擦力远小于滑动摩擦力。
在交通运输以及机械制造工业上广泛应用滚动轴承，就是为了减少摩擦力。
例如，火车的主动轮的摩擦力是推动火车前进的动力。
而被动轮所受之静摩擦则是阻碍火车前进的滚动摩擦力。
滚动摩擦一物体在另一物体表面作无滑动的滚动或有滚动的趋势时，由于两物体在接触部分受压发生形变而产生的对滚动的阻碍作用，叫“滚动摩擦”。
滚动摩擦一般用阻力矩来量度，其力的大小与物体的性质、表面的形状以及滚动物体的重量有关。
滚动摩擦实际上是一种阻碍滚动的力矩。
当一个物体在粗糙的平面上滚动时，如果不再受动力或动力矩作用，它的运动将会逐渐地慢下来，直到静止。
这个过程，滚动的物体除了受到重力、弹力外，一般在接触部分受到静摩擦力。
由于物体和平面接触处产生形变，物体受重力作用而陷入支承面，同时物体本身也受压缩而变形，当物体向前滚动时，接触处前方的支承面隆起，而使支承面作用于物体的合弹力N的作用点从最低点向前移。
正是这个弹力，相对于物体的质心产生一个阻碍物体滚动的力矩，这就是滚动摩擦。
对于初中学生来说，他们还未掌握力矩的概念，就不要把滚动摩擦讲成是一种摩擦力，只能讲一个物体在另一个物体上滚动时所受到对滚动的阻碍作用。
滚动摩擦的产生滚动摩擦的产生是由于物体和平面接触处的形变引起的。
物体受重力作用而压入支承面，同时本身也受压缩而变形，因而在向前滚动时，接触前方的支承面隆起，这使得支承面对物体的弹力N的作用点从最低点向前移，所以弹力N与重力G不在一条直线上，而形成了一个阻碍滚动的力偶矩，这就是滚动摩擦。
滚动摩擦的大小用力偶矩来量度，且与正压力成正比，比例系数δ叫做滚动摩擦系数，它在数值上相当于弹力对于滚动物体质心的力臂，因此它具有长度的量纲；它跟滚动物体和支承面的材料、硬度及物体的半径等因素有关。
滚 动 阻 力 不 是 磨 擦 作 用
滚动阻力不是磨擦作用序：本文始作于1995.3-1997.3年，题目是“摩擦与平衡”。
主要是对静力学平衡和分析方法提出了几点不同看法。
98年曾在“辽宁省兵工学会”上发表。
之后，对原稿作了较大改动，删去了题解部分，对“滚动阻力不是摩擦作用”作了补充，提出采用‘形变（形位）阻力’来描述滚动阻力。
在2000年以“摩擦与平衡探讨”为题刊在《职业技术教育》杂志该年度第19期的‘教研版’。
此稿通过对正方体到圆的演变分析，提出几点新的见解。
本文以原稿为底本，对“滚动阻力不是摩擦作用”做了重新解释，共分三部分：一。
摩擦作用与两个运动的关系；二。
摩擦状态下的静力学平衡；三。
滚动阻力矩不是摩擦作用。
这是对“滚动摩擦”有关的理论认识提出不同见解的专业论文。
旨在这里引起大家的关注，欢迎探讨。
正文一．摩擦作用与两个运动的关系各类教科书通常将磨擦分为滑动磨擦与滚动磨擦两类。
事实上，滑动与滚动属于同一摩擦作用的两种表现。
当相互接触的物体在外力作用下具有相对运动或相对运动趋势时，既可能表现为滑动，也可能表现为滚动。
这两种运动分别由“力”的作用和“力偶”的作用来决定（如图1所示）。
图1 磨擦作用下的三种平衡状态当作用力为“力”且与摩擦力共线时，物体表现为滑动（a图）；当作用力为“力偶”时，物体表现为滚动（b图）；当作用力为“力矩”时，物体可能发生滚动，也可能发生滑动（c 图）。
也就是说，当有摩擦作用存在时，外力与摩擦力的合力作用对物体运动所起的作用是不固定的。
因此，在对摩擦作用的分析中应同时指出两种运动的可能性。
另外，从作用效应来看，摩擦作用对滑动来讲，通常表现为阻力性；而对滚动则表现为辅助性。
这一点将在后边的有关问题中详述。
二．摩擦状态下的静力学平衡从摩擦作用与两个基本运动的关系中我们可以看出，对摩擦作用下的物体受力平衡分析应包括“力”的平衡和“力偶”平衡两方面。
具有摩擦作用的受力分析通常如图2.1所示，在外力P作用下将产生摩擦力F。
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制33
刘赟2003010565
冯灿2003010559
石磊ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ003010558
辛明鹏2003010554
2004年12月
关键词：滚动，摩擦，滚动摩阻，约束反力，摩擦自锁
摘要：滚动摩阻是力学中一个非常重要，也非常复杂的问题。本文通过建立不同的模型，解释了滚动摩阻的产生原理，并且讨论了滚动摩擦中的摩擦自锁问题。最后，本文通过网球和车轮滚动两个实例，展示了滚动摩阻在生活中的应用。
在以上讨论分析的基础上，若把 进行力系等效处理，可将其平移至 作用线上，并附加一力偶M，即为滚动摩阻。
滚动摩阻的另一个模型
我们再来分析受主动力偶 作用的圆盘所受的约束反力，从另一个角度来解释滚动摩阻现象。
1对静止圆盘的分析
圆盘受重力 时，平面对圆盘的约束反力呈对称分布(见图2-1)，当又有主动力偶 作用时( 不太大)，由于相对于过质心轴的转动惯量最小，所以圆盘有绕质心 的转动趋势，因而在各法向反力的作用点处，必然产生切向静滑动摩擦力(见图2-2)，且分布的切向静滑动摩擦力对 点的力矩等于 。将图2-2的约束反力系向 点简化，法向分布力向 点简化的结果为一垂直向上的力 ，切向分布力向 点简化的结果为水平向右的切向力 和一个力偶 (见图2-3)。
物体滑动时，实际情况会受到滑动摩擦力。但是对于纯滚动的物体，只会受到静摩擦力，故不是一般的摩擦力阻碍物体的滚动，还有其它的作用使滚动物体停下来。事实也是这样的。在一开始建的模型中，轮子和地面都是不会产生形变的，但是在实际情况中，轮子和地面都会产生形变，而且在轮子滚动时，这个形变并不时均匀的，轮子受到的支持分布力也不均匀，将分布力简化可以得到一个力和一个力偶，且这个力偶是阻碍着轮子的滚动。实际情况中也就是这个力偶的作用，使滚动停止。我们称这个力偶为滚动摩阻。下面我们将就滚动摩阻的概念、原理以及滚动中的一些问题作一些简单的讨论。
在前述第一种理想情况中， 沿 处法向指向质心轴 ， 沿 处切向向前偏上，见图1-1。随后在圆柱体的形变逐渐增大而支持面的形变逐渐减小的一个有限范围内， 逐渐增大而其方向偏离了指向 的方向并逐渐向上偏转， 逐渐减小而方向向下偏转且始终与 垂直。图1-3为这个有限范围内 和 的示意图。当圆柱体和支持面形变相对达到某一程度时， 增加到最大而 减小为零，此时 恰好等于接触合力 ，如图1-4。
理论力学中一个非常重要的模型就是轮子滚动的问题，在很多机械构件的分析上，还有生产实践中都会经常遇到。在做理论分析时，很多时候都认为在滚动过程中，轮子和地面都是不会有形变的，也就是利用了刚体这个理想模型。
在这种假设条件下，轮子和地面是点基础。如果轮子是纯滚动，那么轮子除了受到地面的支持力外，还可能受到一个静摩擦力（受力与否与轮子的运动状态有关），作用点在轮子和地面的接触点，方向与轮子运动方向相反。根据对静摩擦力的分析，静摩擦力所做的功 。由于纯滚动，轮子和地面接触点的速度为零，则 ，故静摩擦力所做的功 。可知静摩擦力不做功，那当轮子开始纯滚动，且不受外力的情况下，轮子将保持初始速度一直滚下去。但在实际生活中，轮子或者是球在滚动一段时间后是会停下来的，与理论预计不符，说明理论模型中有不合理的地方。
滚动摩阻的原理
我们以滚动中的圆柱体为模型来阐述滚动摩阻的原理。
若滚动中圆柱体和其对应的支持面间的相互接触作用无须考虑其面分布情况，则相互挤压的接触总作用便可认为是集中作用于接触面的某一点上，接触总作用可以用一个宏观的力——接触合力来等效，它总可以分解为沿接触面上力作用点处切向的弹力和法向的摩擦力。
只要有形变存在，圆柱体前进时前方的挤压必然增强，形变加剧。所以接触合力 的作用点 就由其质心轴 的正下方向前偏移了一段水平距离 ，因此圆柱体所受弹力 并非竖直向上，所受静摩擦力 也并非沿水平方向向后。为分析 和 的具体情况，可先从下述两种理想情况入手。
第一种理想情况是，圆柱体绝对坚硬而仅支持面产生了形变。
先看 的方向。圆柱体滚动时 点已向前偏移，所以 沿 处法向指向 但并非竖直向上。 的方向我们可这样考虑：设圆柱体和支持面间绝对无摩擦，圆柱体在前进中的某时刻恰好只滚不滑。显而易见，由于 的作用此时圆柱体的平移速度 立即减小而转动角速度 仍保持不变，所以圆柱体由只滚不滑的运动状态立即变为又滑又滚的运动状态，圆柱体表面上与支持面接触的那一部分曲面(以下简称为触地面)相对于对应的支持面将沿自己转动的正方向滑动。由此可见，若两接触面间有摩擦的话，那么在 时刻，触地面必将有一个沿自己转动正方向相对滑动的趋势，则此时圆柱体的 处必将受到与这个相对滑动趋势方向相反的静摩擦力 的作用，如图1-1所示。
第二种理想情况是，支持面绝对坚硬而仅圆柱体产生了形变。根据有关结论和上一理想情况的分析方法不难确定，此情况下圆柱体所受弹力 竖直向上，摩擦力 水平向后，如图1-2所示。（此时 可以等效为作用在重力 作用线上的 以及一力偶 即滚动摩阻）
然而，实际情况总是圆柱体和支持面两者都产生了形变，所以 和 的情况介于上述两理想情况之间。具体说来，设圆柱体及支持面由前述第一种理想情况开始，保持其它条件不变，仅圆柱体的坚硬程度逐渐减小而支持面的坚硬程度逐渐增大，直到前述第二种理想情况为止，则触地面偏前部分的形变逐渐加剧其形状逐渐趋于平缓，各处的曲率中心渐离了质心轴 ， 处法向由指向 逐渐偏离并往竖直向上的方向偏转靠近。
此外，当 不太大时，由于切向的静滑动摩擦力的约束，圆盘在有绕 点转动趋势的同时，还必然产生绕 点的转动趋势，因此圆盘上(除 点外)的弧线 上各点均有运动趋势，因此在 上各点就必然产生与运动趋势相反的约束全反力(见图2-4)。以 点作为分析对象， 上其它各点类推， 点所受约束全反力如图2-4所示，且 ， 向水平方向和竖直方向分解得水平向左的分力 和竖直向上的分力 ，然后将圆盘所受的约束反力系向A点简化：水平向左的力 ，此力与图2-3中的 相抵消，竖直向上的力 以及逆时针的滚动摩阻力偶 （见图2-5）。
此后随着圆柱体形变的继续增大而支持面形变的继续减小， 则逐渐减小但方向继续向上并往竖直方向偏转靠近， 则由零增大但方向改变为向后偏下并逐渐往水平向后的方向偏转靠近。图1-5为这一有限范围内 和 的示意图。当形变达到前述第二种理想情况时， 减小到等于重力其方向达到竖直向上， 增大到其方向水平向后，见图1-2。