第二牛顿定律

vx
m
kdvy k dt
mg kvy m
t 0
v0x v0 cos v0 y v0 sin
y
vv0
Fr
A
P
vv
o
x
vx v0 cos ekt / m
vy
(v0
sin
mg )ekt / m k
mg k
vx v0 cos ekt / m
vy
v0
sin
mg k
e
kt
/
m
mg k
静摩擦力
Ff0 Ff0m
Ff0m 0 FN
一般情况 0
例1 质量为 m 、长为 l 的柔软细绳，一端 系着放在光滑桌面上质量为 m＇v的物体，如图所示 .
在绳的另一端加如图所示的力 F . 绳被拉紧时会略
有伸长（形变），一般伸长甚微，可略去不计 . 现
设绳的长度不变，质量分布是均匀的 . 求：（1）绳
v F
车v厢参v考系： PN 0
mav
车厢由匀速变为加速运动
（小球加速度为 av）
定义：适用牛顿运动定律的参考系叫做惯性参考
系；反之，叫做非惯性参考系 .
（ 在研究地面上物体的运动时，地球可近似地看 成是惯性参考系 . ）
二 力vv学相vv＇ 对性uv原理
y y＇ u
uv 为常量
av av＇
v F
dv
b
t
dt
0 v (F0 b)
m0
v
F0 b
bt
1 e m
t , vL F0 / b（极限速度）
当 t 3m b 时
v vL (1 0.05) 0.95vL
一般认为 t 3m b , v vL
FB
Fr
v
y
v P
v
F0 b
o
t
FT cos P 0
r l sin
v FT
A
P
et
l
ern
v
o
v FT
A
P
et
l
ern
v
o
l l
m
m
FT cos P FT m 2l
cos
mg
m 2l
g
2l
arccos g 2l
越大， 也越大
利用此原理，可制成蒸汽机的调速器（如图所示）.
即 为
v
vvF0r
例4 k
设空气对抛体的阻力与抛体的速度成正比，
和 FTB间关系.（绳的质量忽略）
解 取一小段绕圆柱上的绳 取坐标如图
ds的张角 d ds 两端的张力 FT ，FT dFT
圆柱对 ds 的摩擦力Ff
圆柱对 ds 的支持力FN
B A
v FTB
O＇
v FTA
y
FN
Ff O ds
x
v
vv
FT
d / 2
FT dFT
d / 2
d
O＇
(FT
dFT)cos
第二章 牛顿定律
本次课内容 §2-1 牛顿定律 §2-2 物理量的单位和量纲 §2-3 几种常见的力 §2-4 惯性参考系 力学相对性原理 §2-5 牛顿定律的应用举例 课本 pp30—49
§2-1 牛顿定律
一 牛顿第一定律
任何物体都要保持其静止或匀速直线运动状态，
直到外力迫Fv使它0改时变，运动vv状态恒为矢止量.
2g
3g
cos
)
例3 如图所示（圆锥摆），长为 l 的细绳一端固 定在天花板上，另一端悬挂质量为 m 的小球，小球经
o 推动后，在水平面内绕通过圆心 的铅直轴作角速度
为 的匀速率圆周运动 . 问绳和铅直方向所成的角
度 为多少？空气阻力不计.
解
v FT
v P
mav
FT
sin
man
m
v2 r
mr 2
dx vxdt dy vydt
y
vv0
Fr
A
P
k 0
vv
x
m k
(v0
cos )(1
ekt / m )
o
k 0
x
y
m k
(v0
sin
mg k
)(1
ekt
/m
)
mg k
t
y
tan
mg
kv0 cos
x
m2 g k2
ln 1
k
mv0 cos
x
例5 一质量 m，半径 r 的球体在水中静止释放沉入
（物体间相互作用规律）
m
Tvv＇ T
m
v P Pv＇
地球
§2-2 物理量的单位和量纲
量 纲表示一个物理量如何由基本量的组合所形成的式子 .
某一物理量 Q 的量纲 dim Q LpMqTs
量纲作用 1）可定出同一物理量不同单位间的换算关系 . 2）量纲可检验文字结果的正误 . 3）从量纲分析中定出方程中比例系数的量纲和单位 .
例1 阿特伍德机
（1）如图所示滑轮和绳子的质量均 不计，滑轮与绳间的摩擦力以及滑轮与 轴间的摩擦力均不计.且 m1 m2 . 求 重物释放后，物体的加速度和绳的张力.
解 以地面为参考系
画受力图、选取坐标如图
m1g FT m1a m2 g FT m2a
a m1 m2 g m1 m2
FT
解 FT mg cos man
mg sin mat
FT mg cos mv2 / l
mg sin m dv
dt
dv dv d v dv dt d dt l d
v
o
v FT
evn
vv
evt
v mgv 0
v02 2lg(cos 1)
v
vdv gl sind
v0
0
FT
m( v02 l
d
2
FT
cos
d
2
Ff
0
(FT
dFT )sin
d
2
FT
sin
d
2
FN
0
Ff FN
sin d d cos d 1
22
2
dFT Ff FN
1 2
dFTd
FTd
FN
B A
v FTB
O＇
v FTA
y
FN
Ff O ds
x
v FT d / 2
vv FT dFT
d / 2
d
O＇
dF FTA
(FT dFT ) FT (dm)a m adx
l
dFT
mF (m＇ m)l
dx
F
mF l
FT dFT (m＇ m)l
dx
x
FT
(m＇
m
x) l
F m＇
m
l
dm dx
v
vv
FT dm FT dFT
dx
例2 如图绳索绕圆柱上，绳
绕圆柱张角为 ，绳与圆柱间
的静摩擦因数为 ，求绳处于 滑动边缘时 , 绳两端的张力FTA
2m1m2 m1 m2
g
FT
0
a
P1 y
m1 m2
a FT
y
P2 0
（2）若将此装置置于电梯顶部，当 电梯以加速度 av 相对地面向上运动时， 求两物体相对电梯的加速度和绳的张力.
解 以地面为参考系
为 av1、设av两2 物，体且相相对对于电地梯面的的加加速速度度为分avr别
m1g FT m1a1
vv，k 为比例系数 . 抛体的质量为 m 、初速
、抛射角为 . 求抛体运动的轨迹方程 .
解 取如图所示的 Oxy 平面坐标系
max
may
m
m dvx
dv
dt
y
dt
kvx
mg k
v
y
dvx k dt
vx
m
y
vv0
Fr
A
P
vv
kdvy k dt mg kvy m
o
x
dvx k dt
二 牛顿第二定律
动量为
pv
的物体，在合外力
v F 的作用下，其动
量随时间的变化率应当等于作用于物体的合外力 .
v F (t )
dpv(t)
,
pv(t) mvv(t)
dt
当 v c 时，m 为常量
v F (t
)
mav(t)
注意
1. 瞬时关系 2. 牛顿定律的研究对象是单个物体（质点）
v力的叠v加原理v v
a1 ar a
ar
m1 m1
m2 m2
(g
a)
ar
ar a
m1 m2
Leabharlann Baidu
FT
0
a2FT
y
m2g FT m2a2
a2 ar a
FT
2m1m2 m1 m2
(g
a)
a1
P1 y
P2 0
另有一水端平例系 速2 于 度如定vv图0点长，o为求，小lt的球轻在0 绳任时，意小一位球端置位系的于质速最量率低为及位绳m置的的，张小并力球具.,
水底.已知阻力 Fr 6πrv , 为粘滞系数，求v(t) .
解 取坐标如图
mg FB 6πrv ma
令 F0 mg FB b 6πr
v FB为浮力
FB
Fr
F0
bv
m
dv dt
dv b (v F0 ) dt m b
v
v
yP
dv b (v F0 ) dt m b
v
F
G
m1m2 r2
G Fr2 m1m2
dimG L3M1T2
§2-3 几种常见的力
一 万有引力
F G m1m2 r2
重力 P mg,
G 6.67 1011 N m2 kg2
g
GmE R2
9.80m s-2
二 弹性力 （压力，张力，弹簧弹性力等）
弹簧弹性力 f kx
三 摩擦力
滑动摩擦力 Ff FN
mav
mav＇
Fv＇
x
o o＇
ut x＇
z z＇
结论
P
x x＇
1）凡相对于惯性系作匀速直线运动的一切参考 系都是惯性系 .
2）对于不同惯性系，牛顿力学的规律都具有相 同的形式，与惯性系的运动无关 .
伽利略相对性原理
解题的基本思路
1）确定研究对象进行受力分析； （隔离物体，画受力图）
2）取坐标系； 3）列方程（一般用分量式）； 4）利用其它的约束条件列补充方程； 5）先用文字符号求解，后带入数据计算结果.
T
d
F FTB
T
0
FTB FTAe
FTB / FTA e
若 0.25
π
2π
10 π
FTB / FTA
0.46
0.21 0.00039
B A
v FTB
O＇
v FTA
m v F
§2-4 惯性参考系 力学相对性原理
一 惯性参考系
v N
v F
地v面参v考系： PN 0
mav
v P
vvav
（小球保持匀速运动）
作用在物体上的力；（2）绳上任意点的张力 .
l
m＇ m
v F
解 设想在点 Pv将绳分v为两段 其大间 小张 相力 等，FT方和向相FT反＇
v FT＇
P
v FT
（1）
v FT0
FvT0＇
v F
a
a
FT0 FT0＇
FT0 m＇a
F FT0＇ ma
a
F m＇
m
FT0
m＇ m＇ m
F
（2） dm mdx / l
Fav
avF11
avF22
avF33LL
vvvv F Fxi Fy j Fzk
av
v axi
ay
v j
az
v k
Fx max
Fy may Fz maz
三 牛顿第三定律
v 用力 两Fv＇个,物沿体同之一间直作线用,力大F小和相反等作,
v v 方向相反, 分别作用 在两个物体上 . F12 F21