解直角三角形的方法技巧

解直角三角形的方法技巧

解直角三角形与直角三角形的概念、性质、判定和作图有着密切的联系，是在深入研究几何图形性质的基础上，根据已知条件，计算直角三角形未知的边长、角的大小和面积等。首先要明确解直角三角形的依据和思路：在直角三角形中，我们是用三条边的比来表述锐角三角函数的定义。因此，锐角三角函数的定义本质上揭示了直角三角形中边角之间的关系，它是解直角三角形的基础。每个边角关系式都可看作方程，解直角三角形的思路，实际上就是根据已知条件，正确地选择直角三角形中边角间的关系式，通过解方程来求解。 例1.如图1，若图中所有的三角形都是直角三角形，且∠==A AE α，1，求AB 的长。

图1

思路1：所求AB 是Rt ABC ∆的斜边，但在Rt ABC ∆中只知一个锐角A 等于α，暂不可解。而在Rt AD E ∆中，已知一直角边及一锐角是可解的，所以就从解Rt AD E ∆入手。 解法1：在Rt AD E ∆中，因cos A A E A D

=

，且∠=A α，AE ＝1

故A D A E A

==cos cos 1α

在Rt AD C ∆中，由cos A A D A C

=

，得AC AD A

=

=

=cos cos cos cos 1

12

ααα 在Rt ABC ∆中，由cos A A C A B =，得AB AC

A ===cos cos cos cos 1

123

ααα

思路2：观察图形可知，CD 、DE 分别是Rt ABC ∆和Rt AC D ∆斜边上的高，具备应用射

影定理的条件，可以利用射影定理求解。 解法2：同解法1得A D =

1cos α

在Rt AC D ∆中，由AD AE AC 2

=⋅，得AC AD AE

=

=

2

2

1cos α

在Rt ABC ∆中，由AC AD AB 2

=⋅，得AB AC

AD

=

=

2

3

1cos α

点拔：本题是由几个直角三角形组合而成的图形，这样的问题，可先解出已经具备条件的直角三角形，从而逐步创造条件，使得要求解的直角三角形最终可解。值得注意的是，由于射影定理揭示了直角三角形中有关线段的数量关系，因而在解直角三角形时经常要用到。

例2.如图2，在Rt ABC ∆中，∠=C 90 ，AD 是BC 边上的中线。

（1）若BD =2，∠=B 30 ，求AD 的长。

（2）若∠=∠=ABC ADC αβ，，求证：tan tan βα=2

图2

分析：（1）由AD 是BC 边上的中线，只知DC 一条边长，仅此无法直接在Rt AD C ∆中求解AD 。而在Rt ABC ∆中，由已知BC 边和∠B 可以先求出AC ，从而使Rt AD C ∆可解。 （2）α和β分别为Rt ABC ∆和Rt AD C ∆中的锐角，且都以直角边AC 为对边，抓住图形的这个特征，根据锐角三角函数可以证明tan tan βα=2

解：（1）在Rt ABC ∆中，BC BD ==222，∠=B 30

∴==⨯

=

AC BC B tan 2233

263

在Rt AD C ∆中，DC BD ==2

∴=+=

AD AC

D C

2

2

423

（2）证明：在Rt ABC ∆中，由tan ∠=

A B C A C B C

，∠=ABC α，得AC BC =tan α

在Rt AD C ∆中，由tan ∠=A D C A C D C

，∠=ADC β

得AC DC =tan β

故BC DC tan tan αβ=，又因BC ＝2DC ，故tan tan βα=2

点拔：在解直角三角形的问题中，经常会遇到这样的图形，如图2，它是含有两个直角三角形的图形。随着D 点在BC 边上位置的变化，会引起直角三角形中有关图形数量相应的变化，从而呈现出许多不同的解直角三角形问题。

例3.如图3，在Rt ABC ∆中，∠=C 90 ，AD 是∠B A C 的平分线。

（1）若A B B D

=3，求∠B

（2）在（1）的条件下，若BD ＝4，求S ABC ∆

图3

分析：在（1）中已知AD 是∠B A C 的平分线，又知AB 、BD 这两条线段的比为3，应用三角形内角平分线的性质定理，就能把已知条件集中转化到Rt AD C ∆中，先求出

∠D A C 即可求得∠B 。

解：（1）由AD 是∠B A C 的平分线，得

A B A C

B D

C D

=

，即

A B B D

A C C D

=

=3

在Rt AD C ∆中，由cot ∠==

D A C A C C D

3，得∠=DAC 30

∴∠=∠=BAC DAC 260 ，∠=-∠=B BAC 9030

（2）由A B B D

B D ==34，，得AB BD ==343

由∠=B 30 ，得A C A B =

=1223。又BC AB B ==cos 6

∴=

⋅=⨯⨯=S B C A C A B C ∆12

12

62363

点拨：解直角三角形时，要注意三角形中主要线段的性质，利用平面几何的有关定理，往往能够建立已知与未知的联系，从而找到解决问题的突破口。

例4.如图4，在Rt ABC ∆中，∠=C 90 ，D 为BC 上一点，∠=ABC 45 ，

∠=ADC 60

，BD ＝1，求AB 。

图4

分析：已知的角告诉我们，Rt ABC ∆和Rt AD C ∆都是特殊的直角三角形，抓住这个特点设未知数，根据线段间的数量关系，可以列出一元一次方程求解

解：在Rt AD C ∆中，设DC x =，由∠=ADC 60 ，可知∠=DAC 30 ，得AD x =2，AC x =

3

在Rt ABC ∆中，由∠=ABC 45 ，BD ＝1，BD DC BC AC +==，得13+=x x

得x =

+312

∴===

+

AB AC x 26326

2

点拨：解直角三角形时，要注意发掘图形的几何性质，利用线段和差的等量关系布列方程，还要熟练地掌握特殊锐角的三角函数值，以使解答过程的表述简便。

训练题：

如图5，在∆ABC 中，D 、F 分别在AC 、BC 上，且A B A C ⊥，A F B C ⊥，