拓扑学教案1

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（1）函数概念的提升：映射、泛函
一个大家所熟知的直观的数学概念的提升就是映射，它是函数概念的推广。 函数是数与数之间的对应关系，映射则是一个集合中元素与另一个集合中之间的对应关系。 Y y=f (x) A f B
y
X 0
x
（2）度量空间
分析数学（微积分）的主要对象是函数，分析的工具是极限理论，极限的依据是距离。如微分 的定义、积分的定义、函数连续的定义、级数的收敛定义等等，都是以极限理论为基础的，而极限 的概念与距离有关。因此，微积分学中的主要数学概念几乎都是与距离分不开的。 在泛函分析中，研究的对象不再是一般的实数，所以必须在抽象的集合中引入距离的概念，称 之为度量空间。 距离的公理是： A, B X ， d : X X R 1） 、d(A,B)>0, 当A=B时，d(A,B) = 0 2） 、d(A,B) = d(B,A) 3） 、d(A,C) + d(C,B) > d(A,B) 若集合 X 上按上述方式定义了一个距离，称( X , d)为一个距离空间或度量空间。 例如，定义可积函数间的距离为
p
q a
L0
q p a
L1 L0
4
2） 、给定 p∈L1, 对于任意的 q ∈L1, 能找到唯一一点 a ∈L0,使 a+p ∈L1. 回顾线性空间的定义。 线性方程解空间、线性微分方程解空间均为线性空间，思考其抽象的几何背景。
（4）内积空间
向量是可以描述方向的数学概念，方向是几何体的一个重要特征。 向量的正交（垂直）是几何体之间联系的一个最有意义的性质。向量的正交性被成功的应用在 空间表示理论中。 空间中任何一个向量都可以由一组相互正交的坐标向量线性表示： 设某空间 V 的一组正交向量 a1 , a 2 , , a n 构成的基（座标系） ， V ，有
《点集拓扑学》教案(40 学时)
第一章 序言与分析学初步
§1-1 拓扑学的几何与分析两大背景
拓扑学是数学中一个重要的、基础分支。起初它是几何学的一支，研究几何图形在连续变形下 保持不变的性质(所谓连续变形，形象地说就是允许伸缩和扭曲等变形，但不许割断和粘合)。后来， 集合论的建立，导致了人们对抽象空间的分析学研究，并以此为背景建立了点集拓扑学理论。
ve f 0
这说明，凸形与框形之间有比长短曲直更本质的差别，通俗地说，框形里有个洞。
1
图 2 凸形与框形 在连续变形下，凸体的表面可以变成球面，框的表面可以变成环面（轮胎面） 。这两者都不能通 过连续变形互变（图 3） 。在连续变形下封门曲面有多少种不同类型？怎样鉴别他们？这曾是 19 世 纪后半叶拓扑学研究的主要问题。
例：以集合论为工具，以几何学为背景的近代数学研究：
① 泛函（微分方程的研究）-----映射； ② 度量空间（研究收敛性）-----距离； ③ 线性空间理论----直线，平面； ④ 内积与正交性（空间表示理论，函数的变换）----垂直； ⑤ 测度论----长度，面积，体积，质量； ⑥ 拓扑学----邻域。
三、近代数学与几何学的关系
牛顿数学的基础是解析几何，微积分的建立是离不开几何背景的。 但是，牛顿数学是建立在实数空间上的数学工具，数学分析方法是否可以移植到一般的抽象空 间上来？ 自从1873年康托建立了集合论以后，欧氏空间仅仅看成为一个特殊的集合，将欧氏空间上的数 学分析方法移植到抽象空间上来，就成为现代分析数学的一个重要研究内容。
一、以几何学研究作为发展背景
被流传为拓扑学产生萌芽的哥尼斯堡七桥问题 1736 年， 欧拉在彼得堡担任 教授时，解决了一个 “ 七桥问 题 ” ，并认为是拓扑学产生的萌 芽。 当时普鲁士首府哥尼斯堡 有一条普雷格尔河，这条河有两 个支流，还有一个河心岛，共有 七座桥把两岸和岛连起来。有人 提出一个问题： “如果每座桥走一 次且只走一次， 又回到原来地点， 应该怎么走？” 图1 七桥问题 欧拉将“七桥问题”简化为用细线画出的网络能否一笔划出的问题，证明了这是根本办不到的。 一个网络能否被一笔画出，与线条的长短曲直无关，只决定于其中的点与线的连接方式。设想一个 网络是用柔软而有弹性的材料制作的，在它被弯曲、拉伸后，能否一笔画出的性质是不会改变的。 B B A D A D C C
其中，积分区域 D 是[a,b]区间上的所有有理数构成的集合。显然，黎曼积分无法解决这个问题。这 就需要对[a,b]上的有理数进行度量。 測度的性质：设Ω是一个几何空间，P 是一种度量，有
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1） 、A ∈Ω ，有 P(A) ≥0; 2） 、A,B ∈Ω，且 A∩B 不空，则 P(A∪B) = P(A)+P(B). 若 Ω 是一个可测空间，并有 P( Ω )=1, 则（ Ω，P）为概率空间，P 称为概率。 概率就是集合（随机事件）的测度。 思考：①“破碎度的刻画” ，这也是个几何问题。 ② 空间的维数。


X
傅里叶级数的解释
b
cos cos

sin nxdx 0 , sin kx cos nxdx 0



kx cos nxdx 0 , sin kx sin nxdx 0


f ( x)
a0 2
(a
k 1

k
cos kx b k sin kx )

d( f , g)

b
a
f ( x ) g ( x ) dx
L1
（3）线性空间
直线和平面是欧氏几何学中最简单的、意义最清晰的几何 体，欧氏几何学是我们现实空间的几何，如何在抽象空间中做出 这种几何体？ 过原点直线 L0 的性质: 1） 、a∈L0, k R ，则 k a ∈L0; 2） 、a, b ∈L0, 则 a+b ∈L0。 对于抽象集合 X，若(1)、a∈X, 有 k.a∈X;（2） 、对任意的 a,b ∈X, 有 a+b ∈X。则称 X 为线性空间（即抽象空间的直线） 。 不过原点的直线 L1 则不具有上述性质。 平行 L0 的直线 L1 的性质： 1） 、p∈L1, a∈L0, 则 a+p L1；
图 3 球面与环面 ② 纽结问题 空间中一条自身不相交的封闭曲线，会发生打结现象。要问一个结能否解开（即能否变形成平 放的圆圈） ，或者问两个结能否互变（如图 4 中两个三叶结能否互变） 。同时给出严格证明，那远不 是件容易的事了。
图 4 圆圈与三叶结 ③ 布线问题（嵌入问题） 一个复杂的网络能否布在平面上而又不自相交叉？做印制电路时自然会碰到这个问题。图 5 左 面的图，把一条对角线移到方形外面就可以布在平面上。但图 6 中两个图却无论怎样移动都不能布 在平面上。1930 年 K·库拉托夫斯基证明，一个网络是否能嵌入平面，就看其中是否不含有这两个 图之一。
（5）测度论、勒贝格积分与概率论
测度，也叫“度量”，是几何学中的一个基本概念，如直线或曲线的长度，平面或曲面的面积， 空间物体的体积…等等。 微积分学中的 dx, △x ，ds=dxdy, dv=dxdydz 等都是测度. 关于度量的一个奇异的例子：考虑如下的一个定积分问题
J
D

f ( x ) dx
Biblioteka Baidua
k 1
n
k
bk 0
实数区间[a,b]上的有界函数 f (x)，可以看成为一个无穷维 向量. 区间 [a,b] 上两个有界函数 f(x) 和 g(x) 正交被定义为 f(x) 和 g(x)的内积等于零。即 f (x )



b
a
f ( x ) g ( x ) dx 0
a
nxdx 0 ,
二、以分析学研究作为发展背景
拓扑学的另一渊源是分析学的严密化和分析学在度量空间上的拓展。 康托尔的集合论提出，极大地拓展了数学的研究领域，使数学分析从数域延拓到任何抽象空间。 康托尔从 1873 年起系统地展开了欧氏空间中的点集的研究，得出许多拓扑概念，如：聚点、开集、 连通性等。 在集合论的思想影响下， 分析学中出现了泛函数(即函数的函数)的概念。 把函数集看成一种几何 对象并讨论其中的极限，这终于导致了抽象空间的观念。人们试图利用实分析的方法来研究泛函分 析，我们会发现，实分析是建立在极限理论基础之上的，如函数的连续性、微分定义、定积分定义、 无穷级数和与收敛性等等都与极限概念分不开。 在实数空间（欧几里得空间）上极限依赖着距离的概念，因此，泛函的研究必须在函数空间上 建立相应的度量或范数。 对于根本不存在度量的抽象集合上，又如何讨论映射的连续和收敛的性质？人们通过极限定义 中的“邻域”概念表述，将邻域视为与形状、尺度无关，仅仅与描述的元素有关的集合（开集） ， 于 是，将邻域作为拓扑概念，利用它得出诸如聚点、闭包、连通性、映射的连续性等一系列平行于度 量空间上分析数学的结论。
k1 a1 k 2 a 2 k n a n 两个向量正交的定义： 设 1 ( a1 , a 2 , , a n ), 2 ( b1 , b2 , , bn ), 如果内积
1 , 2
则称 a1 , a 2 是正交的。 有限维向量正交概念的推广
（6）拓扑学
不是任何抽象集合上都可以定义距离的。 当抽象集合中无法定义距离、范数、也没有内积的定义时，如何 引进分析手段，拓扑学是利用邻域的概念来刻画收敛性质的。 所谓序列 xi 收敛到 x , 是指 xi 与 x 越来越近，如果不能用距离 来刻画，可以用邻域来刻画。元素 x 的邻域是包含 x 的一组开集构成 的集合套。邻域只是一种包含固定点的集合。 抽象集合 X 上，定义所有元素的邻域结构 f, 称(X, f )为一个拓扑 空间。 在拓扑空间上，我们可以对各种映射（或泛函）进行极限分析。 现在，拓扑学已发展成为研究连续性现象的数学分支。 19世纪末，在拓扑学的孕育阶段就已出现点集拓扑学与组合拓扑学两个方向。 前者演化为一般拓扑学，也称为点集拓扑学，它偏重于用分析的方法来研究。它研究拓扑空间 以及定义在其上的数学构造的基本性质。它的表述形式大概在1940年左右就已经成形了。点集拓扑 学基本上抓住了所有的对连续性的直观认识，它可以作为所有数学分支适用的表述形式，并成为现 代数学的重要分支。 后者则成为代数拓扑学，它偏重于用代数方法来研究。 后来，又相继出现了微分拓朴学、几何拓扑学等分支。 拓扑学采用了极为有力的表述形式及高度抽象的观点、方法，使他的理论显得十分简捷而具有 高度的概括力。以致它的理论广泛地应用到现代数学的各个分支。拓扑学不仅在泛函分析、抽象代 数、李群论、微分几何、微分方程等其他许多数学分支中有着广泛的应用。而且在自然科学和其它 工程技术领域的许多学科诸如电路网络、理论物理、计算机、电子通讯、现代控制理论乃至原子核 构造理论等学科都具有广泛的应用，已成为现代数学及现代技术领域中不可替代的基础工具之一 。 本课程主要讲授点集拓扑学，介绍点集拓扑学的基础概念和基本方法。 通过这门课程的学习，使学生在掌握点集拓扑学基本知识的基础上，掌握拓扑学研究问题的整 体性、抽象性及高度概括性，力求活跃其数学思想，从而培养学生运用较高层次的数学观点和数学 知识，能对实际问题进行分析、归纳、提炼和解决，提高他们的数学素养及开展科研工作的能力。
“七桥问题”是一个几何问题，但不是传统的欧氏几何问题，它与度量度无关， 仅 与连接方式有关。
几何学的其他例子 ① 欧拉的多面体公式与曲面的分类 欧拉的研究发现，不论什么形状的凸多面体（解释凸多面体） ，其顶点数 v 、棱数 e 、面数 f 之 间总有 v e f 2 的关系。由此可证明正多面体只有五种。 对于非凸多面体（如图 2 呈框形，则不管框的形状如何） ，总有
图 5 可嵌入的网络
图 6 不可嵌入的网络
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以上这些例子说明，几何图形还有一些不能用传统的几何方法来研究的性质。这些 性质与长度、角度无关，它们所表现的是图形整体结构方面的特征。这种性质就是图形 的所谓拓扑性质。
拓扑学起初叫形势分析学，这是 G．W．莱布尼茨 1679 年提出的名词。 拓扑学这个词(中文是音译)是 J．B．利斯廷 1847 年提出的，源自希腊文位置、形势与学问。 人们也将拓扑学称为“橡皮筋上的几何学” 。