2018年“数学花园探秘”科普活动小高复赛(C)_解析

2018年“数学花园探秘”科普活动

小高组复赛试卷C

（测评时间：2018年01月6日08:00~09:30）

一、填空题Ⅰ（每小题8分，共32分）

1.算式125

531236111233662

++++

⨯⨯⨯的计算结果是__________． 【答案】 36 【解析】

()345125

5315319211366662361136111111111111112336626636632⎛⎫+++++++ ⎪+⎝⎭====⨯=⎛⎫++⨯⨯++ ⎪⨯⨯⨯⎝⎭

2.商店里有一件等待销售的服装，定价240，利润率20%．如果定价提高20%，利润率将变成__________%． 【答案】 44 【解析】

成本价是：()240120%200÷+=元 提价后利润率：

()240120%200

100%

200288200100%44%

200⨯+⨯=⨯=--

3.秋秋家养了一些鸡和一些兔子．如果再买来20只鸡，那么鸡的腿数比兔子的腿数多1

3

；

如果卖掉10只兔子，那么兔子的腿数比鸡的腿数少1

2

．秋秋家养了__________只鸡． 【答案】 20 【解析】

不妨设原来鸡数为x 只,兔子数为y 只，那么依题意可得： ()()122041312410

2x y x y ⎧⎛⎫+=⨯+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨

⎪⨯=⎪⎩

-

该方程整理得

()()3208410x y

x y ⎧+=⎪⎨

=⎪⎩- 解得2015x y =⎧⎨=⎩

所以原来有鸡20只．

4.[]x 表示不超过的最大整数，例如[][]44 3.43==，．已知对于数a ，有

[][]552018.162525a a a a ⎡⎤+=+=⎣⎦，那么__________.

【答案】 10090 【解析】

显然5a 的小数部分是0.16，则有5a 的整数部分是201821009÷= 因此

51009.16

201.832

a a ==

[][][]252525201.83225201.83250455045.810090a a ⎡⎤⎡⎤+=⨯+⨯=+=⎣⎦⎣⎦

二、填空题Ⅱ（每小题10分，共40分）

5.一个正整数的4倍，5倍，6倍，7倍的因数个数都相同，那么这个正整数最小是__________. 【答案】 18

【解析】

因为这个数的乘4和乘6所得因数是一样多的，所以这个数质因数中必含2和3且的个数比2少1，经验证22318⨯=符合要求． 3222324182351823561823718237⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯；；

；；

均有12个因数，则18是最小的符合要求的数．

6.右图是由一个正方形和两个长方形拼成的对称图形．已知阴影部分的周长为36，线段AB 的长度为2，那么大正方形的面积是__________.

【答案】 128 【解析】

连对角线MN ，分别交CD 、PQ 于S 、R

N

N

C

D

Q

P

R

S

由对称性可以知道：

(),36222161616

=

1282

MCD NPQ MS SC SD NR RP RQ NM AB NM ∆∆=====⨯÷=⨯=与均是等腰直角三角形，所以对角线是这个组合图形的周长减掉2个长的一半-正方形面积.

7.请将0、1、2、3、4、5、6、7、8、9分别填入下面算式的方格中，使得算式成立．现在1、6已经填好了，那么算式中被减数是 __________.

201816

⨯

⨯

=--

【答案】 2037

【解析】

我们先分析分数形式的数，显然分子部分填入的数至少一共包含3个因数的2的数字 即必含8，且2和4至少有一个，又因为 4981816

16

⨯

⨯

⨯⨯≤

=

所以是2的多的数，那么，这个数

16

⨯⨯

分子部分必含4和8

222018=--，把0、3、5、7、9这5个数字填入进去，则0应该在被减数的百位

上，经验证20372592018⨯=--． 所以被减数是2037.

8. A 至G 这7个房间中，每个房间都有一个小精灵看守．现在有个小淘气，第1天在这7 个房间任选一个房间住一天，之后的每一天都沿着实线挪到相邻的房间住下，刚好7 天把所有房间都住过一次．

第1天，B 、C 、E 、F 房间的小精灵表示小淘气住在自己房间里，其余小精灵说小淘气不住在自己房间里；

第2天，A、E、F房间的小精灵表示小淘气住在自己房间里，其余小精灵说小淘气不住在自己房间里；

第5天，只有E、F房间的小精灵表示小淘气住在自己房间里，其余小精灵说小淘气不住在自己房间里；

已知这些小精灵中有4个小精灵始终说真话，2个小精灵始终说假话，剩下的1个小精灵时而说真话时而说假话．若小淘气是在第a、b、c、d天分别住进A、B、C、D号房间的，则四位数abcd为__________.

【答案】

2156

【解析】

7个精灵4个说真话，2个说假话，1个有时真有时假，那么第一天中说话的B、C、E、F 一定有一个说真话的精灵，其它三个说假话，结合第二天出现A、E、F，第五天E、F，则E、F不是说真话的，A说的是真话，那么第二天小淘气入住A，与A房间相连的房间有F、B、G

若第二天从F过来，显然与第一天的对话矛盾，

若第二天从G过来，那么第三天可能是B或F，无论何种方式第五天都不住在E房间，则一定有说真话的人，矛盾；

所以第一天是B，第二天是A，那么C、E、F是说假话的人，ABDG是四个说真话的的人，入住顺序是：B A F G C D E

→→→→→→

因此这四个数abcd为2156．

三、填空题Ⅲ（每小题12分，共48分）

9.成老师在黑板上写出一个六位数abcade，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数

字，三位同学开始讨论：

甲：这个数恰好是各位数字和的4 次方；