高考数学练习题目详解34绝对值常考题型的解法
高考数学二次函数绝对值的问题典型试题及答案详解(6页)
高考数学二次函数绝对值的问题典型试题及答案详解 二次函数是最简单的非线性函数之一，而且有着丰富的内容，它对近代数仍至现代数学影响深远，这部分内容为历年来高考数学考试的一项重点考查内容，经久不衰，以它为核心内容的高考试题，形式上也年年有变化，此类试题常常有绝对值，充分运用绝对值不等式及二次函数、二次方程、二次不等式的联系，往往采用直接法，利用绝对值不等式的性质进行适当放缩，常用数形结合，分类讨论等数学思想，以下举例说明例1 设为实数，函数， （1）讨论的奇偶性；（2）求的最小值解；（1）时，为偶函数时，为非奇非偶函数（2）当当当例2 已知函数，. (1)若关于的方程只有一个实数解，求实数的取值范围；(2)若当时，不等式恒函数成立，求实数的取值范围；(3)求函数在区间[-2,2]上的最大值（直接写出结果，不需给出演a 2()||1f x x x a =+-+x R ∈()f x ()f x 0a =()f x 0a ≠()f x 22222131,24()||1131,24x x a x a x a f x x x a x x a x a x a ⎧⎛⎫+-+=++-≥⎪ ⎪⎪⎝⎭=+-+=⎨⎪⎛⎫-++=-++< ⎪⎪⎝⎭⎩()min 13,24a f x a ≤-=-()2min 11,122a f x a -<<=+()min 13,24a f x a ≥=+1)(2-=x x f |1|)(-=x a x g x )(|)(|x g x f =a R x ∈)()(x g x f ≥a )(|)(|)(x g x f x h +=算步骤）.解：（1）方程，即，变形得，显然，已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程，有且仅有一个等于1的解或无解 ，结合图形得.（2）不等式对恒成立，即（*）对恒成立， ①当时，（*）显然成立，此时；②当时，（*）可变形为，令因为当时，，当时，，所以，故此时.综合①②，得所求实数的取值范围是.（3）因为=|()|()f x g x =2|1||1|x a x -=-|1|(|1|)0x x a -+-=1x =|1|x a +=0a<()()f x g x ≥x ∈R 2(1)|1|x a x --≥x ∈R 1x =a ∈R 1x ≠21|1|x a x -≤-21,(1),1()(1),(1).|1|x x x x x x x ϕ+>⎧-==⎨-+<-⎩1x >()2x ϕ>1x <()2x ϕ>-()2x ϕ>-2a -≤a 2a -≤2()|()|()|1||1|h x f x g x x a x =+=-+-2221,(1),1,(11),1,(1).x ax a x x ax a x x ax a x ⎧+--⎪--++-<⎨⎪-+-<-⎩≤≥当时，结合图形可知在上递减，在上递增， 且，经比较，此时在上的最大值为.当时，结合图形可知在，上递减， 在，上递增，且，， 经比较，知此时在上的最大值为.当时，结合图形可知在，上递减， 在，上递增，且，， 经比较，知此时 在上的最大值为.当时，结合图形可知在，上递减， 在，上递增，且, ，经比较，知此时 在上的最大值为.当时，结合图形可知在上递增，在上递减， 故此时 在上的最大值为.综上所述，当时，在上的最大值为；当时， 在上的最大值为；当时， 在上的最大值为0.1,22a a >>即()h x [2,1]-[1,2](2)33,(2)3h a h a -=+=+()h x [2,2]-33a +01,22a a 即0≤≤≤≤()h x [2,1]--[,1]2a -[1,]2a --[1,2](2)33,(2)3h a h a -=+=+2()124a a h a -=++()h x [2,2]-33a +10,02a a -<<即-2≤≤()h x [2,1]--[,1]2a -[1,]2a --[1,2](2)33,(2)3h a h a -=+=+2()124a a h a -=++()h x [2,2]-3a +31,222a a -<-<-即-3≤≤()h x [2,]2a -[1,]2a -[,1]2a [,2]2a -(2)330h a -=+<(2)30h a =+≥()h x [2,2]-3a +3,322a a <-<-即()h x [2,1]-[1,2]()h x [2,2]-(1)0h =0a ≥()h x [2,2]-33a +30a -<≤()h x [2,2]-3a +3a <-()h x [2,2]-练习：1. 已知函数.（1）讨论函数的奇偶性；（2）求函数的最小值2. 已知函数（1）若，，求的值（2）若时，恒成立，求的取值范围3. 已知函数，其中a 是实数.（1）判断的奇偶性，并说明理由；（2）当时，的最小值为，求a 的值答案：1.（1）函数为偶函数非奇非偶函数（2）2||)(2+-+=a x x x f )(x f )(x f ()221()f x x mx m R =-+∈2m =[]0,3x ∈()()max min D f x f x =-[]0,2x ∈()8f x ≤m |21|21)(2a x x x f -++=)(x f ]1,1[-∈x )(x f 221a 0a =0a ≠()22117,2(),24x a f x x x a x a ≥=++-=++-()22217,224x a f x x x a x a ⎛⎫<=-++=-++ ⎪⎝⎭2.（1）4（2）分类讨论二次函数对称轴与区间的关系，寻找最大值的位置 当在上递增 ，当在上递减，上递增当在上递减 综上所述： 3.（1）①当时，，有，所以为偶函数； ②当时，，所以不是奇函数；又因为，而， 即，所以不是偶函数； 综上，当时，既不是奇函数也不是偶函数.（2）①若，即，当时，，2min 71,4211()2,2271,42a a f x a a a a ⎧-≤-⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩0,m <()f x []0,2()32804f m ≤∴-≤<02,m ≤≤()f x []0,m [],2m ()()833428f m m f ⎧≥-⎪∴-≤≤⎨≤⎪⎩2,m >()f x []0,2()132824f m ≥-∴<≤31344m -≤≤21=a ||21)(2x x x f +=)()(-x f x f =)(x f 21≠a 0|21|)0(≠-=a f )(x f 2)12(21)1-2(-=a a f |21|2)12(21)2-(12a a a f -+-=)12()2-(1-≠a f a f )(x f 21≠a )(x f 2213(1)2,2122()11(1)2,2122x a x a f x x a x a ⎧--+<-⎪⎪=⎨⎪++-≥-⎪⎩112-≤-a 0≤a ]1,1[-∈x a x a x x x f 221)1(212121)(22-++=-++=故在上递增，所以，得.②若，即， 当时，， 故在上递减，所以，得或.③若，即， 故在上递减，在上递增； 所以，得.综上，或或或.)(x f ]1,1[-=-=-=a f x f 221)1()(min 221a 52--=a 112≥-a 1≥a ]1,1[-∈x a x a x x x f 223)1(212121)(22+--=+--=)(x f ]1,1[-=+-==a f x f 223)1()(min 221a 1=a 3=a 1121<-<-a 10<<a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤--++-<≤-+--=)112(221)1(21)121(223)1(21)(22x a ax a x ax x f )(x f ]12,1[--a ]1,1[2-a 22min 212122)12()(a a a a f x f =+-=-=31=a 52--=a 31=a 1=a 3=a。
2024年高考数学专题复习冲A专题(1)含绝对值的函数
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冲A专题(1) 含绝对值的函数
知识提要
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专题考点
二、已知y=|f(x)-(kx+b)|在区间x∈[s,t]上的最大值为M,则M的最小
值是
.
这里仅通过类比或数形结合进行理解.
1.多点控制:|f(x)|在x∈[s,t]上的最大值的最小值问题(端点或切比雪
式为|x-t|≤1-tx2,即 tx2-1≤x-t≤1-tx2,
+1
1
且
t≥,
2 +1
+1
2+1
t∈[-1,
].
2
பைடு நூலகம்
化简得 t≤
解得
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冲A专题(1) 含绝对值的函数
知识提要
专题考点
专题考点
3.(2019年6月浙江学考)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)
上单调递增.若对任意x∈R,不等式f(a+|x-b|)≥f(|x|-2|x-1|)(a,b∈R)
冲A专题(1)
含绝对值的函数
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冲A专题(1) 含绝对值的函数
知识提要
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专题考点
一、绝对值的意义
1.绝对值函数的代数表达:f(x)=|x-a|=
-, ≥ ,
-, < .
一般解决绝对值问题,常规方法是采用分类讨论去绝对值,比较适
合大题的解答;对选择填空,可采用几何意义或两边夹逼近的思想.
则f(x)≤4恒成立⇔M≤4.
(i)当a≤0时,由(2)可知,
对于任意的x∈[-1,1],f(x)≤a2-a+2恒成立,
所以M=a2-a+2.
最新高考数学练习题目详解34绝对值常考题型的解法
【知识要点】一、去绝对值常用的有两种方法.方法一：公式法 0||000x x x x x x ì>ïï==íï-<ïî方法二：平方法 如：||x a = 所以22x a =.（平方时必须保证两边都是非负数） 二、||x a >||x a x a x a a x a ?<-<?<<或三、重要绝对值不等式：||||||||||||a b a b a b -≤-≤+使用这个不等式可以求绝对值函数的最值，先要确定是使用左边还是右边，如果两个绝对值中间是“-”号，就用左边，如果两个绝对值中间是“+”号，就使用右边.再确定中间的“±”号，不管是“+”还是“-”，总之要使中间是常数.四、解绝对值不等式常用的方法是零点讨论法和数形结合法.五、求绝对值()|||x b |f x x a =+±+的最值，常用重要绝对值不等式求解，或者利用数形结合求解. 【方法讲评】【例1】已知关于错误！未找到引用源。
的不等式：错误！未找到引用源。
的整数解有且仅有一个值为2． （1）求整数错误！未找到引用源。
的值；（2）在（1）的条件下，解不等式：错误！未找到引用源。
．(2)即解不等式错误！未找到引用源。
【点评】解含一个绝对值的不等式，一般利用公式法解答，解答含两个绝对值的不等式，一般利用零点讨论法.【反馈检测1】已知函数2()|1|f x x =-. （Ⅰ）解不等式()22f x x ≤+；（Ⅱ）设0a >，若关于x 的不等式()5f x ax +≤解集非空，求a 的取值范围.【例2】已知函数()12f x x x =+-。
（Ⅰ）求不等式()6f x ≤-的解集；（Ⅱ）若存在实数x 满足()2log f x a =，求实数a 的取值范围.【解析】（Ⅰ）()1,1,1231,10,1,0.x x f x x x x x x x -<-⎧⎪=+-=+-≤≤⎨⎪->⎩则不等式()6f x ≤-等价于1,16x x <-⎧⎨-≤-⎩或10,316x x -≤≤⎧⎨+≤-⎩或0,1 6.x x >⎧⎨-≤-⎩解得5x ≤-或7x ≥.故该不等式的解集是{5x x ≤-，或}7x ≥. （Ⅱ）若存在实数x 满足()2log f x a =，即关于x 的方程()2log f x a =在实数集上有解，则2log a 的取值范围是函数()f x 的值域.由（Ⅰ）可得函数()f x 的值域是(],1-∞， ∴2log 1a ≤，解得02a <≤.【点评】对于形如||||ax b cx d e +++>的不等式，一般分三种情况分类讨论.注意讨论每一种情况时，要和讨论的标准求交集，最后的结果要求并集，即“小分类求交，大综合求并”. 学科.网【反馈检测2】已知函数()|21||23|.f x x x =++- （1）求不等式6)(≤x f 的解集；（2）若关于x 的不等式()1f x a <-的解集非空，求实数a 的取值范围.【例3】已知函数()|1||3|f x x x =-++. (1)求x 的取值范围,使()f x 为常数函数.(2)若关于x 的不等式()a 0f x -≤解集不是空集,求实数a 的取值范围.(2)方法一:如图,结合(1)知函数()f x 的最小值为4,∴实数a 的取值范围为4a ≥.方法二: |1||3||x 1(x 3)|x x -++≥--+ ∴|1||3|4x x -++≥,【点评】（1）关于x 的不等式()0f x a -≤解集不是空集，即关于x 的不等式()0f x a -≤有实数解，即至少存在一个实数使得不等式成立，所以它是有解问题.即左边绝对值函数的最小值小于等于a.（2）不等式的恒成立和存在性问题有时很容易弄混淆，所以要理解清楚.()f x a £恒成立等价于max (x)f a £，()f x a £有解等价于min (x)f a £，()f x a ³恒成立等价于min (x)f a ³，()f x a ³有解等价于max (x)f a ³.【反馈检测3】已知函数()|2||23|f x x a x =-++，()|1|2g x x =-+. （1）解不等式|()|5g x <；（2）若对任意的1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围.高中数学常考题型解法归纳及反馈检测第34讲：绝对值常考题型的解法参考答案【反馈检测1答案】（Ⅰ）{|13}x x -≤≤；（Ⅱ）[4,]+∞.【反馈检测1详细解析】（Ⅰ）()22f x x ≤+，即2|1|22x x -≤+，所以22122,1(22),x x x x ⎧-≤+⎪⎨-≥-+⎪⎩由2122x x -≤+，解得13x -≤≤；而21(22)x x -≥-+的解集为R . 所以原不等式的解集为{|13}x x -≤≤.【反馈检测2答案】（1）}21|{≤≤-x x ；（2）3a <-或5a >. 【反馈检测2详细解析】（1）原不等式等价于313222(21)(23)6(21)(23)6x x x x x x ⎧⎧>-≤≤⎪⎪⎨⎨⎪⎪++-≤+--≤⎩⎩或或12(21)(23)6x x x ⎧<-⎪⎨⎪-+--≤⎩ 解得322x <≤或1322x -≤≤或112x -≤<-即不等式的解集为}21|{≤≤-x x（2）4|)32()12(||32||12|=--+≥-++x x x x4|1|>-∴a 3a ∴<-或5a >.【反馈检测3答案】（1）(2,4)-（2）1a ≥-或5a ≤-.高中数学公式及常用结论大全1. 元素与集合的关系U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.2.德摩根公式();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.3.包含关系A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=4.容斥原理()()card A B cardA cardB card A B =+-()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个.6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式()N f x M <<⇔[()][()]0f x M f x N --<⇔|()|22M N M Nf x +--<⇔()0()f x N M f x ->-⇔11()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21<k f k f 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程)0(02≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价0)()(21<k f k f ,或0)(1=k f 且22211k k a b k +<-<,或0)(2=k f 且22122k abk k <-<+.9.闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在abx 2-=处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当a>0时，若[]q p a bx ,2∈-=，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a=-=； []q p abx ,2∉-=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =. (2)当a<0时，若[]q p a b x ,2∈-=，则{}min ()min (),()f x f p f q =，若[]q p a bx ,2∉-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =.10.一元二次方程的实根分布()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设q px x x f ++=2)(，则（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩；（2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n>⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或()0()0f m af n =⎧⎨>⎩或()0()0f n af m =⎧⎨>⎩； （3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ .11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∉.(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∉.(3)0)(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是000a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩或2040a b ac <⎧⎨-<⎩.12.真值表13.14.四种命题的相互关系15.充要条件（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.17.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.18．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 19.若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.20.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2ba x +=;两个函数)(a x f y +=与)(xb f y -= 的图象关于直线2ba x +=对称. 21.若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.22．多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数()y f x =的图象的对称性(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=. (2)函数()y f x =图象关于直线2a bx +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=-()()f a b mx f mx ⇔+-=. 24.两个函数图象的对称性(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m+=对称. (3)函数)(x f y =和)(1x fy -=的图象关于直线y=x 对称.25.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.26．互为反函数的两个函数的关系a b fb a f =⇔=-)()(1.27.若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f ky -=-,并不是)([1b kx f y +=-,而函数)([1b kx fy +=-是])([1b x f ky -=的反函数. 28.几个常见的函数方程(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.(2)指数函数()xf x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠. (4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==. (5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+()(0)1,lim1x g x f x→==. 29.几个函数方程的周期(约定a>0)（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ；（2）0)()(=+=a x f x f ，或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ，或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,或[]1(),(()0,1)2f x a f x =+∈,则)(x f 的周期T=2a ；(3))0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ；(4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，则)(x f 的周期T=4a ；(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ；(6))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a. 30.分数指数幂(1)m na=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.(2)1m nm naa-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.31．根式的性质（1）na =.（2）当na =；当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.32．有理指数幂的运算性质 (1) (0,,)rsr sa a aa r s Q +⋅=>∈.(2) ()(0,,)r srsa a a r s Q =>∈. (3)()(0,0,)r r rab a b a b r Q =>>∈.注： 若a ＞0，p 是一个无理数，则a p表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.34.对数的换底公式log log log m a m NN a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).推论 log log m na a nb b m=(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). 35．对数的四则运算法则若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log aa a MM N N=-; (3)log log ()na a M n M n R =∈.36.设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42-=∆.若)(x f 的定义域为R ,则0>a ，且0<∆;若)(x f 的值域为R ,则0>a ，且0≥∆.对于0=a 的情形,需要单独检验. 37. 对数换底不等式及其推广若0a >,0b >,0x >,1x a ≠,则函数log ()ax y bx = (1)当a b >时,在1(0,)a 和1(,)a +∞上log ()ax y bx =为增函数.(2)当a b <时,在1(0,)a 和1(,)a+∞上log ()ax y bx =为减函数.推论:设1n m >>，0p >，0a >，且1a ≠，则 （1）log ()log m p m n p n ++<. （2）2log log log 2a a a m nm n +<. 38. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)xy N p =+. 39.数列的同项公式与前n 项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++).40.等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-. 41.等比数列的通项公式1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈； 其前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.42.等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=⎧⎪=+--⎨≠⎪-⎩；其前n 项和公式为(1),(1)1(),(1)111n n nb n n d q s d q db n q q q q +-=⎧⎪=-⎨-+≠⎪---⎩. 43.分期付款(按揭贷款)每次还款(1)(1)1nn ab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ).44．常见三角不等式 (1)若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<. (2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥. 45.同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅=. 46.正弦、余弦的诱导公式212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩47.和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=; tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式); 22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.sin cos a b αα+)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ=). 48.二倍角公式sin 2sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-. 49. 三倍角公式3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33ππθθθθθθ=-=-+.3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33ππθθθθθθ=-=-+.323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33θθππθθθθθ-==-+-.50.三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω=. 51.正弦定理212(1)s ,s()2(1)sin ,nn co n co απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩2sin sin sin a b cR A B C===. 52.余弦定理2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.53.面积定理(1)111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. (2)111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.(3)OAB S ∆=54.三角形内角和定理在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 55. 简单的三角方程的通解sin (1)arcsin (,||1)k x a x k a k Z a π=⇔=+-∈≤.s 2arccos (,||1)co x a x k a k Z a π=⇔=±∈≤. tan arctan (,)x a x k a k Z a R π=⇒=+∈∈.特别地,有sin sin (1)()k k k Z αβαπβ=⇔=+-∈.s cos 2()co k k Z αβαπβ=⇔=±∈. tan tan ()k k Z αβαπβ=⇒=+∈.56.最简单的三角不等式及其解集sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ>≤⇔∈++-∈. sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈--+∈. cos (||1)(2arccos ,2arccos ),x a a x k a k a k Z ππ>≤⇔∈-+∈. cos (||1)(2arccos ,22arccos ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈++-∈.tan ()(arctan ,),2x a a R x k a k k Z πππ>∈⇒∈++∈.tan ()(,arctan ),2x a a R x k k a k Z πππ<∈⇒∈-+∈.57.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa )=(λμ)a ; (2)第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa; (3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb . 58.向量的数量积的运算律： (1) a ·b= b ·a （交换律）; (2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）; (3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c. 59.平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 60．向量平行的坐标表示设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=.61.a 与b 的数量积(或内积) a ·b =|a ||b |cos θ．a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 62.平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--. (4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +. 63.两向量的夹角公式cos θ=(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).64.平面两点间的距离公式,A B d =||AB AB AB =⋅=11(,)x y ，B 22(,)x y ).65.向量的平行与垂直设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则 A ||b ⇔b =λa 12210x y x y ⇔-=.a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=. 66.线段的定比分公式设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+⇔12(1)OP tOP t OP =+-（11t λ=+）. 67.三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. 68.点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP 的坐标为(,)h k .69.“按向量平移”的几个结论(1)点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+. (3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-.(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=. (5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y . 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则 （1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔==. （2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅.（4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=. （5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+. 71.常用不等式：（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈⇒2a b+≥当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>（4）柯西不等式 22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈ （5）b a b a b a +≤+≤-. 72.极值定理已知y x ,都是正数，则有（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2； （2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值241s . 推广 已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(22+-=+（1）若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大；当||y x -最小时,||y x +最小. （2）若和||y x +是定值,则当||y x -最大时, ||xy 最小；当||y x -最小时, ||xy 最大.73.一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<； 121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或.74.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.75.无理不等式（1()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩. （22()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或. （32()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩. 76.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩.(2)当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩77.斜率公式2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.78.直线的五种方程(1)点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． (2)斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).(3)两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).(4)截距式1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) (5)一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).79.两条直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠； ②1212120l l A A B B ⊥⇔+=； 80.夹角公式 (1)2121tan ||1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π. 81. 1l 到2l 的角公式 (1)2121tan 1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2π.82．四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数． (2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直直线系方程0Bx Ay λ-+=,λ是参变量． 83.点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).84. 0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域设直线:0l Ax By C ++=，则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是：若0B ≠，当B 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的上方的区域；当B 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若0B =，当A 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的右方的区域；当A 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.85. 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域 设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A A B B ≠），则111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域是： 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域上下两部分； 111222()()0A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域上下两部分.86. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ). 87. 圆系方程(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----=1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0ax by c ++=是直线AB 的方程,λ是待定的系数．(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数．(3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数．88.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内.89.直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .其中22BA C Bb Aa d +++=.90.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ; 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ; 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .91.圆的切线方程(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=．①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=. 当00(,)x y 圆外时, 0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=表示过两个切点的切点弦方程．②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线． (2)已知圆222x y r +=．①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=;②斜率为k 的圆的切线方程为y kx =±92.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.93.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>焦半径公式)(21c a x e PF +=，)(22x ca e PF -=.94．椭圆的的内外部(1)点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+<.(2)点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y a b⇔+>.95. 椭圆的切线方程(1)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b+=.(2)过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b +=.(3)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A aB b c +=.96.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式21|()|a PF e x c =+，22|()|a PF e x c=-.97.双曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->.(2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b⇔-<.98.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a by ±=.(2)若渐近线方程为x a by ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x（0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.99. 双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b -=.(2)过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b-=. (3)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c -=.100. 抛物线px y 22=的焦半径公式 抛物线22(0)y px p =>焦半径02p CF x =+. 过焦点弦长p x x px p x CD ++=+++=212122. 101.抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2y py 或或)2,2(2pt pt P P (,)x y ，其中 22y px =.102.二次函数2224()24b ac b y ax bx c a x a a-=++=++(0)a ≠的图象是抛物线： (1)顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；(2)焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+-； (3)准线方程是2414ac b y a--=.103.抛物线的内外部(1)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的内部22(0)y px p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的外部22(0)y px p ⇔>>. (2)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的内部22(0)y px p ⇔<->. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的外部22(0)y px p ⇔>->. (3)点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的外部22(0)x py p ⇔>>. (4) 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =->的外部22(0)x py p ⇔>->. 104. 抛物线的切线方程(1)抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+.(2)过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+.(3)抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =. 105.两个常见的曲线系方程(1)过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22221x y a k b k+=--,其中22max{,}k a b <. 当22min{,}k a b >时,表示椭圆; 当2222min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线.106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB =1212||AB x x y y ==-=-A ),(),,(2211y x B y x ，由方程⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F b kx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0∆>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）.107.圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=. （2）曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是22222()2()(,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B ++++--=++.108.“四线”一方程对于一般的二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，用0x x 代2x ，用0y y 代2y ，用002x y xy +代xy ，用02x x +代x ，用02y y+代y 即得方程 0000000222x y xy x x y yAx x B Cy y D E F ++++⋅++⋅+⋅+=，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.109．证明直线与直线的平行的思考途径 （1）转化为判定共面二直线无交点； （2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行.110．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行.111．证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直.112．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113．证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114．证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直.115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a ＋b =b ＋a ．(2)加法结合律：(a ＋b )＋c =a ＋(b ＋c )． (3)数乘分配律：λ(a ＋b )=λa ＋λb ．116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量. 117.共线向量定理对空间任意两个向量a 、b (b ≠0 )，a ∥b ⇔存在实数λ使a =λb ．P A B 、、三点共线⇔||AP AB ⇔AP t AB =⇔(1)OP t OA tOB =-+.||AB CD ⇔AB 、CD 共线且AB CD 、不共线⇔AB tCD =且AB CD 、不共线.118.共面向量定理向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的⇔存在实数对,x y ,使p ax by =+． 推论 空间一点P 位于平面MAB 内的⇔存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+， 或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ，使OP OM xMA yMB =++.119.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++（x y z k ++=），则当1k =时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当1k ≠时，若O ∈平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点共面；若O ∉平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点不共面．C A B 、、、D 四点共面⇔AD 与AB 、AC 共面⇔AD x AB y AC =+⇔(1)OD x y OA xOB yOC =--++（O ∉平面ABC ）.120.空间向量基本定理如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x a ＋y b ＋z c ．推论 设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x ，y ，z ，使OP xOA yOB zOC =++.121.射影公式已知向量AB =a 和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量.作A 点在l 上的射影'A ，作B 点在l 上的射影'B ，则''||cos A B AB =〈a ，e 〉=a ·e122.向量的直角坐标运算设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则 (1)a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； (2)a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； (3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)； (4)a ·b ＝112233a b a b a b ++；123.设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---.124．空间的线线平行或垂直设111(,,)a x y z =r ，222(,,)b x y z =r，则a b r r P ⇔(0)a b b λ=≠r r r r ⇔121212x x y y z zλλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩；a b ⊥r r ⇔0a b ⋅=r r⇔1212120x x y y z z ++=.125.夹角公式设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则 cos 〈a ，b 〉.推论 2222222112233123123()()()a b a b a b a a a b b b ++≤++++，此即三维柯西不等式.126. 四面体的对棱所成的角四面体ABCD 中, AC 与BD 所成的角为θ,则2222|()()|cos 2AB CD BC DA AC BDθ+-+=⋅.127．异面直线所成角cos |cos ,|a b θ=r r=||||||a b a b ⋅=⋅r rr r（其中θ（090θ<≤oo）为异面直线a b ,所成角，,a b r r分别表示异面直线a b ,的方向向量）128.直线AB 与平面所成角sin||||AB marc AB m β⋅=(m 为平面α的法向量).129.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,A B 、为ABC ∆的两个内角，则2222212sin sin (sin sin )sin A B θθθ+=+.特别地,当90ACB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=.130.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,''A B 、为ABO ∆的两个内角，则222'2'212tan tan (sin sin )tan A B θθθ+=+.特别地,当90AOB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=.131.二面角l αβ--的平面角cos||||m n arc m n θ⋅=或cos ||||m narc m n π⋅-（m ，n 为平面α，β的法向量）.132.三余弦定理设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1θ，AB 与AC 所成的角为2θ，AO 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=. 133. 三射线定理若夹在平面角为ϕ的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1θ,2θ,与二面角的棱所成的角是θ，则有22221212sin sin sin sin 2sin sin cos ϕθθθθθϕ=+- ;1212||180()θθϕθθ-≤≤-+(当且仅当90θ=时等号成立).134.空间两点间的距离公式 若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则,A B d =||AB AB AB =⋅=135.点Q 到直线l 距离h =(点P 在直线l 上，直线l 的方向向量a =PA ，向量b =PQ ). 136.异面直线间的距离||||CD n d n ⋅=(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离). 137.点B 到平面α的距离||||AB n d n ⋅=（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）. 138.异面直线上两点距离公式d',d EA AF =.d ='E AA F ϕ=--）.(两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段'AA 的长度为h.在直线a 、b 上分别取两点E 、F ，'A E m =,AF n =,EF d =).139.三个向量和的平方公式2222()222a b c a b c a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅2222||||cos ,2||||cos ,2||||cos ,a b c a b a b b c b c c a c a =+++⋅+⋅+⋅140. 长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=222123sin sin sin 2θθθ⇔++=.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）. 141. 面积射影定理'cos S S θ=.(平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ，它们所在平面所成锐二面角的为θ).142. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是l ,侧面积和体积分别是S 斜棱柱侧和V 斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是1c 和1S ,则①1S c l =斜棱柱侧. ②1V S l =斜棱柱.143．作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行. 144．棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比． 145.欧拉定理(欧拉公式)2V F E +-=(简单多面体的顶点数V 、棱数E 和面数F).(1)E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n 的多边形，则面数F 与棱数E 的关系12E nF =； (2)若每个顶点引出的棱数为m ，则顶点数V 与棱数E 的关系：12E mV =. 146.球的半径是R ，则 其体积343V R π=, 其表面积24S R π=．147.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3) 球与正四面体的组合体: 棱长为a ,. 148．柱体、锥体的体积13V Sh =柱体（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）.13V Sh =锥体（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.149.分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++.150.分步计数原理（乘法原理）12n N m m m =⨯⨯⨯.151.排列数公式m n A =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)． 注:规定1!0=.152.排列恒等式(1）1(1)m m n n A n m A -=-+;(2)1mmn n n A A n m-=-;(3)11m m n n A nA --=; (4)11n n n n n n nA A A ++=-;(5)11m m m n n n A A mA -+=+.(6)1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+-.。
高中数学知识点精讲精析 绝对值不等式的解法
4.2.1绝对值不等式的解法1．含有绝对值的不等式的性质(1) |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|证明：∵ -|a|≤a≤|a|, -|b|≤b≤|b|,∴ -(|a|+|b|)≤a+b≤(|a|+|b|),|a+b|≤|a|+|b|........①又 a=a+b-b, |-b|=|b|∴ 由①得|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|-b|，即|a|-|b|≤|a+b|.......②由①②得 |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|由以上定理很容易推得以下的结论：(2) |a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|(3) |a1+a2+a3|≤|a1|+|a2|+|a3|2 几个基本不等式的解集(1) |x| -a<X0)(2) |x|>a x>a或x<-a(a>0)(3) |x-m|0) -a<X-M m-a<X<M+A(4) |x-m|>a(a>0) x-m>a或x-m<-a x>m+a 或 x<M-A< SPAN>3．绝对值的定义：|a|=由定义可知：|ab|=|a||b|, .4．绝对值不等式的解法(1)解含有绝对值不等式的基本思路，绝对值符号的存在是解不等式的一大障碍。
因此如何去掉绝对值符号使其转化为等价的不含绝对值符号的不等式是解决这类问题的关键，常采取划分区间逐段讨论，从而去掉绝对值符号转化为一般不等式，或利用绝对值表达的几何意义转化为图像或曲线为解决。
(2)几种主要的类型① |f(x)|>|g(x)| f2(x)>g2(x)② |f(x)|>g(x) f(x)>g(x) 或 f(x)<-g(x)③ |f(x)| -g(x)<F(X)④ 含有两个或两个以上绝对值符号的不等式可用“按零点分区间”讨论的方法来脱去绝对值符号去求解。
⑤ 含有两个或两个以上绝对值符号的不等式可以用图像法来解决5．关于“绝对值”的四则运算规律(1) |ab|=|a|·|b|(2)(3) |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|(4) |a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|在一般情况下，两个数的和或差的绝对值与这两个数的绝对值的和差是不相等的，但在某些情况下，可以取等号。
绝对值不等式的解法
.
形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法
(1)零点分区法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a＜b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．
(2)几何法：利用|x－a|＋|x－b|＞c(c＞0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体，|x－a|＋|x－b|≥|x－a－(x－b)|＝|a－b|.
高中数学：绝对值不等式的解法
(1)(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.
①求不等式f(x)≥1的解集；
ห้องสมุดไป่ตู้②若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．
解：①f(x)＝
当x＜－1时，f(x)≥1无解；
当－1≤x≤2时，由f(x)≥1得，2x－1≥1，解得1≤x≤2；
(2)(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.
①画出y＝f(x)的图象；
②求不等式|f(x)|＞1的解集．
解：①f(x)＝
y＝f(x)的图象如图所示．
②由f(x)的表达式及图象，当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；
当f(x)＝－1时，可得x＝ 或x＝5.
故f(x)>1的解集为{x|1<x<3}；f(x)<－1的解集为 .
则g(x)≥－m；
当m＜x＜ 时，g(x)＝x－m＋m－2x＝－x，
则－ ＜g(x)＜－m；
当x≥ 时，g(x)＝x－m＋2x－m＝3x－2m，则g(x)≥－ .
则g(x)的值域为 ，
绝对值不等式的解法
高考必考！绝对值不等式的解法1.绝对值的定义（1）几何意义实数a 在数轴上所对应的点A 到原点O 的距离叫做数a 的绝对值，记作“|a|”。
（2）代数意义⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,0,00,a a a a a a 2.不等式的基本性质（1）对称性：如果b a >，那么a b <.（2）传递性：如果b a >且c b >，那么c a >.（3）同向可加性：如果b a >，那么c b c a +>+.（4）乘法单调性：如果b a >且0>c ，那么bc ac >；如果b a >且0<c ，那么bc ac <.3.绝对值三角不等式（1）如果b a ,是实数，那么||b a +≤||||b a +（当且仅当ab ≥0时，“=”成立）.（2）如果b a ,是实数，那么||||b a -≤||b a -≤||||b a +.（当且仅当左侧不等式中ab ≤0时，“=”成立；当且仅当右侧不等式中ab ≥0时，“=”成立）.（3）如果c b a ,,是实数，那么||c a -≤||||c b b a -+-（当且仅当))((c b b a --≥0时，“=”成立）.4.绝对值不等式的解法（1）a x ≤和a x ≥型该型不等式是解决其他绝对值不等式的基础，其他绝对值不等式的求解最终转化为该型不等式得解。
a x a a x <<-⇔≤a x a x ≥⇔≥或a x ≤（2）c b ax ≤+和c b ax ≥+型把b ax +看成一个整体X ，转化为a x ≤和a x ≥型去解。
【例】 解不等式312≤-x . 解：由312≤-x 得：3123≤-≤-x ,解得 21≤≤-x .所以原不等式的解集为}21|{≤≤-x x .（3）c b x a x ≤-+-和c b x a x ≥-+-型（★考点）该型绝对值不等式的解法概括为以下三种：①数形结合思想；②零点分段讨论法；③函数与方程思想。
高考数学绝对值题 4法破解
4法破解
结
束
绝对值题 4 法破解
[速解技法——学一招]
含绝对值问题的解法主要有 (1)定义讨论法 由于利用定义可以把绝对值去掉， 因此往往需要分类讨论． 其 方法是：把每个绝对值为零的零点标在数轴上，则这些零点把数 轴分成若干段，再对各段所对应的范围分别进行讨论即可． (2)性质平方法 因为绝对值的性质有 |a|2 ＝ a2 ，利用此性质可把绝对值去 掉．但这种方法的缺点是平方后往往比较繁，另外要注意何时才 能平方，防止出现增根．
速解技法——学一招 经典好题——练一手 常用结论——记一番
第二部分 板块(二) 绝对值题
4法破解
结
束
所以
a f(x)的值域为－2，＋∞，若不等式
1 f(x)＋f(2x)< 的 2
1 a 解集非空，则需 >－ ， 2 2 解得 a>－1，又 a<0，所以－1＜a＜0， 故 a 的取值范围是(－1,0)．
第二部分 板块(二) 绝对值题
4法破解
结
束பைடு நூலகம்
(1)若 n 为偶数，则当 a n ≤x≤a n＋1 时，
2
2
有 f(x)min＝(a n＋1＋a n＋2 ＋…＋an)－(a n ＋a n－1 ＋…＋a1)；
2 2
2
2
1 (2)若 n 为奇数，则 f(x)min＝f(a n＋ )． 2
定理三：设 f(x)在闭区间 I 上连续，则min{max|f(x)－b|}＝
1 时，A＝2 ⊆[0,2]，
2 2
当 a＝－1 时，A＝∅⊆[0,2]；
1 当 a≠± 1 时，(a －1)x －2ax＋1＝0 的解为 x1＝ ，x a＋ 1 2 1 ＝ ，要使 A⊆[0,2]， a－ 1 1 <0， a＋1 则需 1 <0 a－1
含绝对值不等式的解法(含答案)(可编辑修改word版)
⎨ ⎩ 含绝对值的不等式的解法一、 基本解法与思想解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。
（一）、公式法：即利用 x > a 与 x < a 的解集求解。
主要知识：1、绝对值的几何意义： x 是指数轴上点 x 到原点的距离； x 1 - x 2 两点间的距离.。
2、 x > a 与 x < a 型的不等式的解法。
是指数轴上 x 1 ， x 2 当a > 0 时，不等式 x > 的解集是{x x > a ,或x < -a}不等式 x < a 的解集是{x - a < x < a };当a < 0 时，不等式 x > a 的解集是{x x ∈ R }不等式 x < a 的解集是∅ ;3． ax + b > c 与 ax + b < c 型的不等式的解法。
把 ax + b 看作一个整体时，可化为 x < a 与 x > a 型的不等式来求解。
当c > 0 时，不等式 ax + b > c 的解集是{x ax + b > c ,或ax + b < -c}不等式 ax + b < c 的解集是{x - c < ax + b < c };当c < 0 时，不等式 ax + b > c 的解集是{x x ∈ R }不等式 a + bx < c 的解集是∅ ;例 1 解不等式 x - 2 < 3分析:这类题可直接利用上面的公式求解，这种解法还运用了整体思想，如把“ x - 2 ” 看着一个整体。
答案为{x - 1 < x < 5}。
(解略)⎧a (a > 0), （二）、定义法:即利用 a = ⎪0(a = 0), ⎪-a (a < 0). 去掉绝对值再解。
山东省济宁市高考数学专题复习第34讲绝对值不等式及柯西不等式练习新人教A版
第五节 绝对值不等式及柯西不等式(选修4－5)[考情展望] 1.考查含绝对值不等式的解法.2.利用不等式的性质求最值.3.利用柯西不等式求一些特定函数的最值．一、绝对值三角不等式定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立． 定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．定理1的放缩功能|a ±b |≤|a |＋|b |，从左到右是一个放大过程，从右到左是一个缩小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值．绝对值不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具，但有时还需要通过适当的变形使其符合绝对值不等式的条件．定理2的推论推论1：||a |－|b ||≤|a ＋b |. 推论2：||a |－|b ||≤|a －b |. 二、绝对值不等式的解法1．含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解集2|ax3．|x －a |＋|x －b |≥c 、|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的解法：解绝对值不等式的基本方法：零点分段讨论法是求解绝对值不等式的基本方法．其操作程序是：找零点、分区间、分段讨论．含绝对值不等式的常见类型及其转化方法1．形如|f(x)|＜|g(x)|型不等式|f(x)|＜|g(x)|⇔[f(x)]2＜[f(x)]2.2．形如|f(x)|＜g(x)，|f(x)|＞g(x)型不等式(1)|f(x)|＜g(x)⇔－g(x)＜f(x)＜g(x)；(2)|f(x)|＞g(x)⇔f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)．3．形如a＜|f(x)|＜b(b＞a＞0)型不等式a＜|f(x)|＜b⇔a＜f(x)＜b或－b＜f(x)＜－a.4．形如|f(x)|＜f(x)，|f(x)|＞f(x)型不等式|f(x)|＞f(x)⇔f(x)＜0；|f(x)|＜f(x)⇔x∈∅.5．含有两个或两个以上绝对值的不等式的解法(1)零点分段法，通过讨论去掉绝对值符号．(2)利用|x－a1|±|x－a2|的几何意义求解．三、柯西不等式1．二维形式的柯西不等式那么设a1，a2，a3，…，a n，b1，b2，b3，…，b n是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋a n b n)2.当且仅当b1＝b2＝…＝b n＝0或存在一个数k，使得a i＝kb i(i＝1,2，…，n)时，等号成立．1．设ab >0，下面四个不等式中，正确的是( ) ①|a ＋b |>|a |；②|a ＋b |<|b |；③|a ＋b |<|a －b |； ④|a ＋b |>|a |－|b |. A ．①和② B ．①和③ C ．①和④D ．②和④【解析】 ∵ab ＞0，即a ，b 同号，则|a ＋b |＝|a |＋|b |，∴①④正确，②③错误． 【答案】 C2．不等式|x －2|＞x －2的解集是( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)【解析】 |x －2|＞x －2同解于x －2＜0，∴x ＜2. 【答案】 A3．已知关于x 的不等式|x －1|＋|x |≤k 无解，则实数k 的取值范围是________． 【解析】 ∵|x －1|＋|x |≥|x －1－x |＝1，∴当k ＜1时，不等式|x －1|＋|x |≤k 无解，故k ＜1.【答案】 (－∞，1)4．已知非负实数x ，y ，z 满足x 2＋y 2＋z 2＋x ＋2y ＋3z ＝134，则x ＋y ＋z 的最大值为________．【解析】 由已知可得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋322＝274，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12·1＋y ＋＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋32·12 ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋y ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋322(12＋12＋12) ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋y ＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋322＝814， 从而x ＋y ＋z ≤32.当且仅当x ＋12＝y ＋1＝z ＋32＝32时，等号成立．即当x ＝1，y ＝12，z ＝0时，x ＋y ＋z 取得最大值32.【答案】 325．(2013·大纲全国卷)不等式|x2－2|＜2的解集是( )A．(－1,1) B．(－2,2)C．(－1,0)∪(0,1) D．(－2,0)∪(0,2)【解析】由|x2－2|＜2，得－2＜x2－2＜2，即0＜x2＜4，所以－2＜x＜0或0＜x＜2，故解集为(－2,0)∪(0,2)．【答案】 D6．(2013·重庆高考)若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|<a无解，则实数a的取值范围是________．【解析】∵|x－5|＋|x＋3|＝|5－x|＋|x＋3|≥|5－x＋x＋3|＝8，∴(|x－5|＋|x＋3|)min＝8，要使|x－5|＋|x＋3|<a无解，只需a≤8.【答案】(－∞，8]考向一 [105] 绝对值三角不等式的应用(2013·南昌质检)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．【思路点拨】思路一将|x－2y＋1|变形，设法用x－1与y－2表示，利用绝对值三角不等式求最大值．思路二由|x－1|≤1，|y－2|≤1分别求x、y的取值范围，然后运用不等式的性质和绝对值的意义求解．【尝试解答】法一|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－2)－2|≤|x－1|＋2|y－2|＋2≤1＋2＋2＝5，当且仅当x＝0，y＝3时，|x－2y＋1|取最大值5.法二∵|x－1|≤1，∴－1≤x－1≤1，∴0≤x≤2.又∵|y－2|≤1，∴－1≤y－2≤1，∴1≤y≤3，从而－6≤－2y≤－2.由同向不等式的可加性可得－6≤x－2y≤0，∴－5≤x－2y＋1≤1，∴|x－2y＋1|的最大值为5.【答案】5规律方法1利用绝对值三角不等式求最值时，要指明取到等号的条件；若注意到|x－2y＋1|＝5·|x－2y＋1|5，亦可由点x，y到直线x－2y＋1＝0的距离求解.对点训练 (2012·陕西高考)若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】 ∵|x －a |＋|x －1|≥|(x －a )－(x －1)|＝|a －1|，要使|x －a |＋|x －1|≤3有解，可使|a －1|≤3，∴－3≤a －1≤3，∴－2≤a ≤4. 【答案】 [－2,4]考向二 [106] 含绝对值不等式的解法(2013·辽宁高考)已知函数f (x )＝|x －a |，其中a >1. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值． 【思路点拨】 绝对值不等式，分段讨论求解；将a 看做已知，求解|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2，将结果与已知结果对比确定a 值．【尝试解答】 (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2<x <4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1； 当2<x <4时，f (x )≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5. 所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{}x |x ≤1或x ≥5. (2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )， 则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ，x ≤0，4x －2a ，0<x <a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又已知|h (x )|≤2的解集为{}x |1≤x ≤2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.规律方法2 1.|x －a |＋|x －b |≥c 、|x －a |＋|x －b |≤c 型不等式的解法，解这类含绝对值的不等式的一般步骤：a ．令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根．b ．把这些根由小到大排序，它们把实数轴分为若干个区间．c ．在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集．d ．这些解集的并集就是原不等式的解集．2．求解该类问题的关键是去绝对值符号，本题中运用零点分段法去绝对值，此外还常利用绝对值的几何意义求解．对点训练 (1)(2012·江西高考)在实数范围内，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6的解集是________．(2)不等式x ＋|2x －1|＜3的解集是________．【解析】 (1)原不等式化为⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12≤3. 其几何意义是数轴上到12与－12两点的距离之和不超过3的点的集合．又点32或－32到两点12与－12的距离之和恰好为3，数形结合，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32≤x ≤32. (2)由x ＋|2x －1|＜3，得|2x －1|＜3－x .∴原不等式化为⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，2x －1＜3－x或⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＜0，1－2x ＜3－x ，解得12≤x ＜43或－2＜x ＜12.所以原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2＜x ＜43. 【答案】 (1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32≤x ≤32 (2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2＜x ＜43 考向三 [107] 绝对值不等式的综合应用(2013·大连调研)已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． 【思路点拨】 (1)求出f (x )≤3的解集与集合{x |－1≤x ≤5}对比即可求得a 的值． (2)只需求出f (x )＋f (x ＋5)的最小值，方法一：利用函数的单调性．方法二：利用绝对值不等式的性质．【尝试解答】 (1)由f (x )≤3，得|x －a |≤3. 解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}．所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.(2)法一 由(1)知a ＝2，此时f (x )＝|x －2|， 设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|， 于是g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1， x ＜－3，5， －3≤x ≤2，2x ＋1， x ＞2.利用g (x )的单调性，易知g (x )的最小值为5. 因此，若g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)≥m 对x ∈R 恒成立， 知实数m 的取值范围是(－∞，5]． 法二 当a ＝2时，f (x )＝|x －2|.设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|.由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)，∴g (x )的最小值为5.因此，若g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)≥m 对x ∈R 恒成立， 知实数m 的取值范围是(－∞，5]． 规律方法3 1.第问求解的关键是转化为求f x ＋f x ＋的最小值，法一是运用分类讨论思想，利用函数的单调性；法二是利用绝对值不等式的性质应注意等号成立的条件2.将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向.对点训练 (2013·课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1时，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．【解】 (1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ，x ＜12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x ＞1，其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0，所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )＝1＋a ， 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3，所以x ≥a －2对x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12都成立，故－a 2≥a －2，即a ≤43.从而a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，43.考向四 [108] 柯西不等式的应用已知正数x ，y ，z 满足5x ＋4y ＋3z ＝10. (1)求证：25x 24y ＋3z ＋16y 23z ＋5x ＋9z25x ＋4y ≥5.(2)求9x 2＋9y 2＋z 2的最小值．【思路点拨】 (1)只需证明25x 24y ＋3z ＋16y 23z ＋5x ＋9z 25x ＋4y 的最小值为13便可．(2)是用平均值不等式，再用柯西不等式证明． 【尝试解答】 (1)根据柯西不等式，得 [(4y ＋3z )＋(3z ＋5x )＋(5x ＋4y )]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤25x 24y ＋3z ＋16y 23z ＋5x ＋9z 25x ＋4y ≥(5x ＋4y ＋3z )2.当且仅当4y ＋3z 5x ＝3z ＋5x 4y ＝5x ＋4y 3z ，即x ＝23，y ＝56，z ＝109时等号成立．因为5x ＋4y ＋3z ＝10，所以25x 24y ＋3z ＋16y 23z ＋5x ＋9z 25x ＋4y ≥10220＝5.(2)根据平均值不等式，得9x 2＋9y 2＋z 2≥29x 2·9y 2＋z 2＝2·3x 2＋y 2＋z 2， 当且仅当x 2＝y 2＋z 2时，等号成立． 根据柯西不等式，得(x 2＋y 2＋z 2)(52＋42＋32)≥(5x ＋4y ＋3z )2＝100. 即x 2＋y 2＋z 2≥2，当且仅当x 5＝y 4＝z3时，等号成立．综上，9x 2＋9y 2＋z 2≥2·32＝18.当且仅当x ＝1，y ＝45，z ＝35时，等号成立．所以9x 2＋9y 2＋z 2的最小值为18.规律方法4 1.用柯西不等式求最大小值，要创造使用定时的条件，二要注意等号成立的条件.2.用柯西不等式求最大小值的关键是构造其特征.对点训练 已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝1. (1)求证：x ＋y ＋z 2y ＋2zz ＋2xx ＋2y ＝13；(2)求4x＋4y＋4z 2的最小值．解：(1)证明：因为x ＞0，y ＞0，z ＞0，所以由柯西不等式得[(y ＋2z )＋(z ＋2x )＋(x ＋2y )]⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y ≥(x ＋y ＋z )2.又因为x ＋y ＋z ＝1，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y≥x ＋y ＋z 2y ＋2zz ＋2xx ＋2y ＝13；当且仅当y ＋2z x ＝z ＋2x y ＝x ＋2yz时取等号． (2)由三个正数的平均值不等式得 4x ＋4y ＋4z 2≥334x ＋y ＋z 2， 因为x ＋y ＋z ＝1， 所以x ＋y ＋z 2＝1－z ＋z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫z －122＋34≥34. 故4x＋4y＋4z 2≥33434＝3 2. 当且仅当x ＝y ＝14，z ＝12时等号成立．所以4x＋4y＋4z 2的最小值为3 2.规范解答之十一 绝对值不等式中逆向问题的求解策略 ———— [1个示范例] ———— [1个规范练] ————(10分)(2012·辽宁高考)已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R)，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}．(1)求a 的值；(2)若⎪⎪⎪⎪⎪⎪f x －2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围．【规范解答】 (1)由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2. 又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，2分 ∴当a ≤0时，不合题意． 当a >0时，－4a ≤x ≤2a，因此－4a ＝－2且2a＝1，∴a ＝2.5分(2)由(1)知f (x )＝|2x ＋1|记h (x )＝f (x )－2f (x2)＝|2x ＋1|－2|x ＋1|则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤－1，－4x －3，－1<x <－12，－1，x ≥－12，8分所以|h (x )|≤1，因此k ≥1.10分 【名师寄语】逆向问题可正向求解，以本题为例，求出不等式的解集后，与已知不等式的解集作比较，便可建立关于a 的方程.不等式恒成立，常转化为求函数的最值，本题充分利用绝对值定义，零点分段法化为分段函数，数形结合可求最值.设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a ＞0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值． 【解】 (1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2. ∴x ≥3或x ≤－1.∴不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}．(2)由f (x )≤0，得|x －a |＋3x ≤0. 此不等式可化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤a ，a －x ＋3x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤a ，x ≤－a 2.∵a ＞0，∴不等式组的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≤－a 2. 由题意可得－a 2＝－1，∴a ＝2.。
绝对值问题的解法
绝对值问题的解法可以根据具体的情况采用不同的方法。以下是几种常见的解法：
1. 利用定义法：绝对值的定义是一个数与零的距离，即|a| = a, 当a ≥ 0；|a| = -a, 当a < 0。因此，对于给定的绝对值问题，可以根据定义直接计算出绝对值的值。
2. 利用性质法：绝对值具有一些特性，如|a| = |-a|，即绝对值的值与其符号无关；|a| = |b|，当且仅当a = b或a = -b。根据这些性质，可以通过对等式进行变形或化简，来求解绝 对值问题。
绝对值问题的解法
3. 利用分段函数法：绝对值问题可以用分段函数的形式表示。例如，|x - a| = b，可以分 为两种情况讨论：当x - a ≥ 0时，有x - a = b；当x - a < 0时，有x - a = -b。通过解这两个 方程，可以得到绝对值问题的解。
4. 利用图像法：绝对值函数的图像是一个以原点为对称中心的V形曲线。通过观察图像， 可以确定绝对值函数在不同区间上的取值范围，从而解决绝对值问题。
需要注意的是，绝对值问题的解可能有多个解或无解，具体取决于问题的条件和约束。在 解题过程中，要注意对不等式进行合理的变形和化
(完整版)关于绝对值的几种题型与解题技巧
关于绝对值的几种题型及解题技巧所谓绝对值就是只有单纯的数值而没有负号。
即0≥a 。
但是，绝对值里面的数值可以是正数也可以是负数。
怎么理解呢？绝对值符号就相当于一扇门，我们在家里面的时候可以穿衣服也可以不穿衣服，但是，出门的时候一定要穿上衣服。
所以，0≥a ，而a 则有两种可能：o a 和0 a 。
如：5=a ，则5=a 和5-=a 。
合并写成：5±=a 。
于是我们得到这样一个性质：a很多同学无法理解，为什么0 a 时，开出来的时候一定要添加一个“负号”呢？a -。
因为此时0 a ，也就是说a 是一个负数，负数乘以符号就是正号了。
如2)2(=--。
因此，当判断绝对值里面的数是一个负数的时候，一定要在这个式子的前面添加一个负号。
例如：0 b a -，则)(b a b a --=-。
绝对值的题解始终围绕绝对值的性质来展开的。
我就绝对值的几种题型进行详细讲解，希望能对你们有所帮助。
绝对值的性质：（1） 绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质；a （a ＞0）a 0 a0 0=a a - 0 a（2） |a|= 0 （a=0） （代数意义）-a (a ＜0)（3） 若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0；（4） 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数， 即|a|≥a ，且|a|≥-a ；（5） 若|a|=|b|，则a=b 或a=-b ；（几何意义）（6） |ab|=|a|·|b|；|b a |=||||b a （b ≠0）；（7） |a|2=|a 2|=a 2；（8） |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a-b|一：比较大小典型题型：【1】已知a 、b 为有理数，且0 a ，0 b ，b a ，则 （ ）A ：a b b a -- ；B ：a b a b -- ；C ：a b b a --；D ：a a b b --这类题型的关键是画出数轴，然后将点按照题目的条件进行标记。
高考数学：求解含绝对值函数问题的基本策略
高考数学：求解含绝对值函数问题的基本策略近年来，含有绝对值函数的高考题目呈现出综合性强、立意新颖、难度大等特点，成为高考的热点。
解这些客观题需要掌握绝对值函数的图像和性质，利用函数y=f（x）图像的翻折和平移得到y=f（x），y=f（x），y=f（x-m）等含绝对值函数的图像，然后利用图像求解。
对于常见的含绝对值的函数的图像和性质，也需要熟练掌握，才能提升解题速度。
例如：y=ax（a>0，a≠1），y=ax-1，y=logax，y=logax（a>0，a≠1），y=ax2+bx+c，y=，y=x+（a>0），y=ax-b，y=ax2+bx+c等。
举例来说，对于函数f（x）=2xlog0.5x-1的零点个数，可以通过求解f（x）=2xlog0.5x-1=0，得到log0.5x=x，设h（x）=x，g（x）=log0.5x，在同一坐标系中分别画出函数g（x）和h（x）的图像，观察它们的交点个数，即为函数f（x）零点的个数。
因此，答案为2，选项B。
对于函数f（x）=x-4+，x∈（，4），当x=a时，f（x）取得最小值b的问题，可以通过求解（x+1）2=9，得到a=2，b=1.然后，根据函数图像的变换规律，可以得到函数g（x）的图像为y=x+1.因此，答案为B。
对于含有x-a的绝对值函数，可以先根据x≤a和x>a进行分类，再结合函数的图像求解。
对于含参数的问题，还需要对参数进行分类讨论。
点评：本文需要进行的修改主要是格式方面的错误和删除一些明显有问题的段落，同时需要对每段话进行小幅度的改写。
修改后的文章如下：例6第（2）小题求解的主要流程是将原恒等式转化为a-xXXX成立的形式，然后通过去绝对值分离参数，最终通过求函数的最值来解题。
在数学中，我们经常需要将一个式子转化为另一个等价的形式，以便于我们进行计算或者求解。
在这个例子中，我们需要将一个绝对值不等式转化为一个普通的不等式，以便于我们进行后续的计算。
高三数学绝对值不等式试题答案及解析
高三数学绝对值不等式试题答案及解析1.（不等式选讲题）对于任意实数和不等式恒成立，则实数x的取值范围是_________.【答案】【解析】依题意可得恒成立，等价于小于或等于的最小值.因为.所以.【考点】1绝对值不等式的性质.2.恒成立问题.3.最值问题.2.关于x的不等式|x-3|+|x-4|<a的解集不是空集,求a的取值范围.【答案】(1,+∞)【解析】∵|x-3|+|x-4|≥|(x-3)-(x-4)|=1,∴a>1.即a的取值范围是(1,+∞).3.设函数f(x)=|2x-1|+|2x-3|,x∈R.(1)求关于x的不等式f(x)≤5的解集.(2)若g(x)=的定义域为R,求实数m的取值范围.【答案】(1) x∈[-,] (2) m>-2【解析】(1)或或不等式的解集为x∈[-,].(2)若g(x)=的定义域为R.则f(x)+m≠0恒成立,即f(x)+m=0在R上无解,又f(x)=|2x-1|+|2x-3|≥|2x-1-2x+3|=2,f(x)的最小值为2,所以m>-2.4.若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．【答案】[－2,4]【解析】|x－a|＋|x－1|≥|a－1|，则只需要|a－1|≤3，解得－2≤a≤4.5.若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|<a无解，则实数a的取值范围是________．【答案】(－∞，8]【解析】因为|x－5|＋|x＋3|表示数轴上的动点x到数轴上的点－3,5的距离之和，而(|x－5|＋|x＋＝8，∴当a≤8时，|x－5|＋|x＋3|<a无解，3|)min故实数a的取值范围为(－∞，8]．6.已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)<g(x)的解集；(2)设a>－1，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．【答案】（1）{x|0＜x＜2}（2）【解析】(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0.设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，则y＝其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x∈(0,2)时，y＜0.所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．(2)当x∈时，f(x)＝1＋a，不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3，所以x≥a－2对x∈都成立，应有－≥a－2，则a≤，从而实数a的取值范围是.7.若不等式的解集为，则实数的取值范围是____．【答案】【解析】不等式的解集为，所以.，所以，.【考点】不等式8.设函数.（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）当时，不等式的解集为，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）原不等式的解集等价于不等式组或的解集的并集；（Ⅱ）当时，不等式的解集为，恒成立问题，对分类讨论，①，②.试题解析：（Ⅰ）当时，，或或，∴不等式的解集是. 5分[（Ⅱ）不等式可化为，∴，由题意，时恒成立，当时，可化为，，，，综上，实数的取值范围是. 10分【考点】绝对值不等式，恒成立问题.9.（本题满分10分）《选修4-5：不等式选讲》已知函数(1)证明:(2)求不等式:的解集【答案】（1）；（2）【解析】（1）对于x进行分三类讨论，得到关于x的分段函数，进而分别求解得到解集取其并集得到。
绝对值习题精讲答案与解析
绝对值习题精讲答案与解析1、已知m ，n 为整数，|m-2|+|m-n|=0，求m+n 的值。
解：由绝对值的非负性可知，m-2=0，m-n=0，得：m=2，n=2，求得m+n=42、已知m ，n 为整数，|m-2|+|m-n|=1，求m+n 的值。
解：由于m ，n 均为整数，所以|m-2|与|m-n|必定一个为0，一个为1，所以需分类讨论。
① |m-2|=0 ② |m-2|=0|m-n|=1 |m-n|=1 由这两大类又可分为四小类⑴ m-2=0 ⑵ m-2=0m=2,n=1,m+n=3; m=2,n=3,m+n=5;m-n=-1⑶ m-2=1 ⑷m=3,n=3,m+n=6; m=1,n=1,m+n=2;m-n=03、若|x-1|与|y+2|互为相反数，求（x+y ）2012 。
解： |x-1|+|y+2|=0，所以|x-1|=0，|y+2|=0，所以x=1，y=-2，x+y=-1，所以原式等于1.4、若a b <，求15b a a b -+---的值。
解：a-b<0,所以a-b-5<0; b-a>0,所以 b-a+1>0；所以原式=b-a+1+a-b-5=-4.5、若a b <-且0a b>，化简a b a b ab -+++ 解：因为a b <-，所以a+b<0；因为0a b>，所以a 、b 同号；所以a 、b 均为负数，且ab>0 所以原式化简=-a+b-（a+b ）+ab=-2a+ab6、如右图所示，若a 的绝对值是b 的绝对值的3倍，则数轴的原点在 C 、D 点．（填“A ”“B ”“C ”或“D ”）7、化简523x x ++-解：零点值：当x=a 时，|x-a |=0，此时a 是|x-a|的零点值零点分段讨论的步骤：① 找零点 ②画数轴分区间③定符号去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值．Ⅰ找零点 x+5=0，x=-5； 2x-3=0，x=1.5. 所以零点分别是-5、1.5.Ⅱ画数轴分区间Ⅲ定符号去绝对值符号①当x ≦-5时， 原式等于 -（x+5）+（3-2x ）=-3x-2 ② 当-5<x ≦1.5时，原式等于 x+5+3-2x=8-x③ 当x>1.5时， 原式等于 x+5+2x-3=3x+2-3x-2 （x ≦-5）综上所述原式= 8-x （-5<x ≦1.5）3x+2 （x>1.5）8、化简|x+1|-|x-2|9、化简|1-a|+|2a+1|+|a|解：①当x ≦-0.5时， 原式等于1-a-（2a+1）-a=-4a②当-0.5<x ≦0时，原式等于1-a+（2a+1）-a=2③当0<x ≦1时， 原式等于1-a+（2a+1）+a=2a+2④当x>1时， 原式等于-（1-a ）+（2a+1）+a=4a-4a （x ≦-0.5）综上所述原式= 2 （-0.5<x ≦0）2a+2 （0<x ≦1）4a （x>1）10、化简||x-1|-2|+|x+1|解：① 当x ≦-1时， 原式等于-x-1-x-1=-2x-2②当-1<x ≦1时， 原式等于-（-x-1）+x+1=2x+2③当1<x ≦3时， 原式等于3-x+x+1=4④当x>3时， 原式等于x-3+x+1=2x-2② -2x-2 （x ≦-1）综上所述原式= 2x+2 （-1<x ≦1）4 （1<x ≦3）2x-2 （x>3） 11、如果有理数a ，b ，c 满足26a b -≤，7b d -≤，13a b d --=，求2a b b d -+-的值。
数学考试解决绝对值问题
数学考试解决绝对值问题（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高考数学复习3-3绝对值不等式及其解法
ax＋b>c或ax＋b<－c
t>c或t<－c
②
分
段
讨
论
法
：
如
|ax
＋
b|≤c(c>0)
⇔
ax＋b≥0 ax＋b≤c
或
ax＋b<0 －ax＋b≤c
求解．
③形如|x－a|＋|x－b|＞c 等不等式的解法．常用零点分段
讨论法．
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＝
x12－x22
1＋x12＋ 1＋x22
＝ |x11＋－xx122＋|·|x1＋1＋x2x| 22.
由|f(x1)－f(x2)|≤L|x1－x2|，
即 |1x＋1－xx12＋2|·|x1|＋1＋x2x| 22|≤L|x1－x2|. 当 x1≠x2 时，得 L≥ 1＋|xx121＋＋x21| ＋x22. ∵ 1＋x12＞|x1|， 1＋x22＞|x2|， 且|x1|＋|x2|≥|x1＋x2|， ∴ 1＋|xx121＋ ＋x21| ＋x22＜|x|x11|＋＋x|x22||≤1. ∴要使|f(x1)－f(x2)|≤L|x1－x2|对任意 x1，x2∈R 都成立，只 要 L≥1. 当 x1＝x2 时，|f(x1)－f(x2)|≤L|x1－x2|恒成立． ∴L 的取值范围是[1，＋∞)．
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谢谢！
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解法二：(零点分区间法)由|x－1|＝0，|x＋2|＝0 得 x＝1， －2
高三数学绝对值不等式试题答案及解析
高三数学绝对值不等式试题答案及解析1.已知，不等式的解集是（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若存在实数解，求实数的取值范围。
【答案】（Ⅰ）-2；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由含绝对值不等式解法转化为关于的一元一次不等式组求解，因为一次项系数含参数，故需要分类讨论解出解决与已知原不等式解集比较，列出关于的方程，从而求出的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知的值，将的解析式具体化，利用含绝对值不等式性质，求出的最小值，存在实数解，故，解此不等式得出不等式的解集就是实数的取值范围．试题解析：（Ⅰ）由得：即当时，原不等式的解集是，无解；当时，原不等式的解集是，得（5分）（Ⅱ）由题：因为存在实数解，只需大于的最小值由绝对值的几何意义，，所以解得：（10分）【考点】含绝对值不等式解法，含绝对值不等式性质，分类整合思想，含参数不等式有解问题2.对于x∈R，不等式|x－1|+|x－2|≥2+2恒成立，试求2+的最大值。
【答案】【解析】本题主要考查恒成立问题、函数的最值、绝对值的运算性质、柯西不等式等基础知识，考查学生的转化能力、计算能力．先将“对于x∈R，不等式|x－1|+|x－2|≥2+2恒成立”转化为“”，利用绝对值的运算性质求出最小值，得到，再利用柯西不等式求出，注意公式应用时等号成立的条件．试题解析：|－1|+|－2|=|－1|+|2－|≥|－1+2－|="1" , 2分故2+2≤1． 3分(2+)2≤(22+12)( 2+2) ≤5． 5分由 ,即取=，时等号成立．故(2+)=． 7分max【考点】恒成立问题、函数的最值、绝对值的运算性质、柯西不等式．3.不等式的解集为 .【答案】.【解析】令，则，（1）当时，由得，解得，此时有；（2）当时，，此时不等式无解；（3）当时，由得，解得，此时有；综上所述，不等式的解集为.【考点】本题考查含绝对值不等式的求解，属于中等题.4.集合A＝{x|<0}，B＝{x||x－b|<a}．若“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，则实数b的取值范围是______．【答案】(－2,2)【解析】A＝{x|<0}＝{x|－1<x<1}，B＝{x||x－b|<a}＝{x|b－a<x<b＋a}，因为“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，所以－1≤b－1<1或－1<b＋1≤1，即－2<b<2.5.解不等式：|x＋1|>3.【答案】(－∞，－4)∪(2，＋∞)．【解析】由|x＋1|＞3得x＋1＜－3或x＋1＞3，解得x＜－4或x＞2.所以解集为(－∞，－4)∪(2，＋∞)．6.求函数y＝|x－4|＋|x－6|的最小值．【答案】2【解析】y＝|x－4|＋|x－6|≥|x－4＋6－x|＝2.所以函数的最小值为2.7.已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若时，，求a的取值范围.【答案】（1）；（2）[－7，7].【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法、不等式恒成立等基础知识，考查学生分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先把a＝－1代入，先写出的解析式，利用零点分段法去掉绝对值，解不等式组，得到不等式的解集；第二问，在已知的范围内的绝对值可去掉，解绝对值不等式，使之转化成2个恒成立.试题解析：（1）当a＝－1时，不等式为|x＋1|－|x＋3|≤1．当x≤－3时，不等式化为－(x＋1)＋(x＋3)≤1，不等式不成立；当－3＜x＜－1时，不等式化为－(x＋1)－(x＋3)≤1，解得；当x≥－1时，不等式化为(x＋1)－(x＋3)≤1，不等式必成立．综上，不等式的解集为． 5分（2）当x∈[0，3]时，f(x)≤4即|x－a|≤x＋7，由此得a≥－7且a≤2x＋7．当x∈[0，3]时，2x＋7的最小值为7，所以a的取值范围是[－7，7]． 10分【考点】绝对值不等式的解法、不等式恒成立.8. A.（坐标系与参数方程）已知直线的参数方程为 (为参数)，圆的参数方程为(为参数), 则圆心到直线的距离为_________．B．（几何证明选讲）如右图，直线与圆相切于点，割线经过圆心，弦⊥于点，，,则_________．C．（不等式选讲）若存在实数使成立，则实数的取值范围是_________．【答案】A. ； B．； C．【解析】A. 先把直线l和圆C的参数方程化为普通方程y=x+1，（x-2）2+y2=1，再利用点到直线的距离公式求出即可．B．在圆中线段利用由切割线定理求得PA，进而利用直角三角形PCO中的线段，结合面积法求得CE即可．C. 由绝对值的基本不等式得：，解得－3≤m≤1.【考点】(1)参数方程；（2）圆的性质；（3）绝对值不等式.9.已知f(x)=|x+1|+|x-1|,不等式f(x)的解集为M.(1)求M;(2)当a,b M时,证明:2|a+b|＜|4+ab|.【答案】（1）；（2）证明过程详见解析.【解析】本题主要考查绝对值不等式、不等式的证明等基础知识，意在考查考生的运算求解能力、利用综合法、分类讨论思想的解题能力．第一问，利用零点分段法分别去掉绝对值，解不等式；第二问，可先用分析法由所求证的结论入手，分析需要证明什么，再用综合法证明，要证2|a+b|＜|4+ab|，需证明，展开，需证明，由已知入手，找到，，从而证出.试题解析：（1）由，即，当时，则，得，∴；当时，则，得，恒成立，∴；当时，则，得，∴；综上，. 5分（2）当时，则，.即：，，∴，∴，即，也就是，∴，即：，即. 10分【考点】绝对值不等式、不等式的证明.10.设函数（1）若时，解不等式；（2）若不等式的对一切恒成立，求实数的取值范围【答案】(1) (2)【解析】(1)可以采用零点分段法或者绝对值的定义来解决该绝对值不等式,其中零点分段法即把x分为三段讨论去掉绝对值来求的该不等式的解集，而绝对值的定义,即表示在数轴上点x到-1和a的距离之和,利用数轴即可得到相应的解集(2)首先由区间的a,再根据x的范围去掉绝对值，剩下即为恒成立问题,再利用分离参数法分离x与a,求出x一边的最值即可.解得a的范围.试题解析：（1）由题得a=2，法一.利用绝对值的定义,即|x+1|即为在数轴上x与-1之间的距离,|x-2|是x与2之间的距离.故利用数轴法可以求的,综上的解集为.法二.零点分段法，分为一下三种情况当x>2时,当-1x2时,当x<-1时,综上的解集为.（2）由题得,所以且,即在区间上恒成立,所以,综上a的取值范围为.【考点】绝对值不等式恒成立问题11.设函数.（1）若不等式的解集为，求的值；（2）若存在，使，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据绝对值不等式公式可得的解集，根据其解集与集合可得的值。
解答绝对值不等式问题的四个“妙招”
一、分类讨论
一般地，若 x 为非负数，则 |x| = x；若 x 为负数，则
|x| = -x. 由于绝对值内部式子的符号决定去掉绝对值
符号后式子的表示形式，所以在解绝对值不等式时，
往往要采用分类讨论法，对绝对值内部式子的符号进
行讨论.可令每个绝对值内部的式子为零，然后将其零
点标在数轴上，于是这些零点把数轴分成若干个区
方法集锦
解答绝对值不等式问题的四个“妙招”
吴笋
绝对值不等式问题的常见命题形式有:(1)解绝对
值不等式；（2）求含有绝对值代数式的取值范围.其中
解绝对值不等式问题比较常见，解这类题目的关键是
去掉绝对值符号，将绝对值不等式转化为不含绝对值
的常规不等式去求解.本文介绍解绝对值不等式问题
的四个“妙招”，以供大家参考.
4
的点，只要将点向右移
1 2
个单位，那么它们的距离之
和就增加了
1
个单位，也就是把点
B(1)
移到点
B1(
3 2
)
的
位置；或者将点
A(-2)
向左移
1 2
个单位，也就是把点
A(-2)
移到点
A1(-
5 2
)
的位置，
由图可以看出，在数轴上位于
B1(
3 2
)
和
A1(-
5 2
)
之
间的点 P(x) 都满足 | x + 2 | + | x - 1| < 4 ，
解（1）得 -2 < x < -1 ，或 3 < x < 4 ，
解（2）得解集为空集， 所以原不等式的解集为{x| - 2 < x < - 1或3 < x < 4}.
第34讲 绝对值常考题型的解法高中数学常见题型解法归纳反馈训练及详细解析 (1)
【知识要点】一、去绝对值常用的有两种方法.方法一：公式法 0||000x x x x x x方法二：平方法 如：||x a = 所以22x a .（平方时必须保证两边都是非负数） 二、||x a >||x a x a x a a x a 或三、重要绝对值不等式：||||||||||||a b a b a b -≤-≤+使用这个不等式可以求绝对值函数的最值，先要确定是使用左边还是右边，如果两个绝对值中间是“-”号，就用左边，如果两个绝对值中间是“+”号，就使用右边.再确定中间的“±”号，不管是“+”还是“-”，总之要使中间是常数.四、解绝对值不等式常用的方法是零点讨论法和数形结合法.五、求绝对值()|||x b |f x x a =+±+的最值，常用重要绝对值不等式求解，或者利用数形结合求解.【方法讲评】 题型一解含一个绝对值的不等式 解题步骤直接利用公式||x a>||x a x a x a a x a 或解答，当然也可以使用零点讨论法和数形结合，但是直接使用公式法最简单.【例1】已知关于«Skip Record If...»的不等式：«Skip Record If...»的整数解有且仅有一个值为2．（1）求整数«Skip Record If...»的值；（2）在（1）的条件下，解不等式：«Skip Record If...»．(2)即解不等式«Skip Record If...»【点评】解含一个绝对值的不等式，一般利用公式法解答，解答含两个绝对值的不等式，一般利用零点讨论法.【反馈检测1】已知函数2()|1|f x x =-.（Ⅰ）解不等式()22f x x ≤+； （Ⅱ）设0a >，若关于x 的不等式()5f x ax +≤解集非空，求a 的取值范围.题型二解含两个绝对值的不等式 解题步骤 一般使用零点讨论法和数形结合法求解.【例2】已知函数()12f x x x =+-。
高考中含绝对值不等式常见题型归纳及解法探究
高考中含绝对值不等式常见题型归纳及解法探究绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，用“| |”来表示。
|b-a|或|a-b|表示数轴上表示a的点和表示b的点的距离。
绝对值不等式的公式为：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。
一、知识点1．不等式性质比较大小方法：（1）作差比较法（2）作商比较法不等式的基本性质①对称性：a \ue bb \ue a②传递性: a \ue b, b \ue ca \ue c③直和性: a \ue b a + c \ue b + c④可积性: a \ue b, c \ue 0ac \ue bc； a \ue b, c \uc 0ac \uc bc；⑤乘法法则: a \ue b, c \ue d a + c \ue b + d⑥乘法法则：a \ue b \ue 0, c \ue d \ue 0 ac \ue bd⑦乘坐方法则：a \ue b \ue 0, an \ue bn (n∈n)⑧开方法则：a \ue b \ue 0,2．算术平均数与几何平均数定理：（1）如果a、b∈r,那么a2 + b2 ≥2ab（当且仅当a=b时等号）（2）如果a、b∈r＋,那么（当且仅当a=b时等号）推广：如果为实数，则重要结论(1）如果内积xy就是定值p，那么当x＝y时，和x＋y存有最小值2；（2）如果和x＋y是定值s，那么当x＝y时，和xy有最大值s2/4。
3．证明不等式的常用方法：比较法：比较法是最基本、最重要的方法。
当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式，则选择作差比较法；当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小，则选择作商比较法；碰到绝对值或根式，我们还可以考虑作平方差。
综合法：从未知或已证明过的不等式启程，根据不等式的性质推论出欲证的不等式。
综合法的阿提斯鲁夫尔谷经常使用均值不等式。
分析法：不等式两边的联系比较确切，通过找寻不等式设立的充分条件，逐步将欲证的不等式转变，直至找寻至极易证或未知设立的结论。
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【知识要点】
一、去绝对值常用的有两种方法.
方法一：公式法 0||000
x x x x x x ì>ïï
==íï-<ïî
方法二：平方法 如：||x a = 所以22x a =.（平方时必须保证两边都是非负数） 二、||x a >||x a x a x a a x a ?
<-<?<<或
三、重要绝对值不等式：||||||||||||a b a b a b -≤-≤+
使用这个不等式可以求绝对值函数的最值，先要确定是使用左边还是右边，如果两
个绝对值中间是“-”号，就用左边，如果两个绝对值中间是“+”号，就使用右边.再确定中间的“±”号，不管是“+”还是“-”，总之要使中间是常数.
四、解绝对值不等式常用的方法是零点讨论法和数形结合法.
五、求绝对值()|||x b |f x x a =+±+的最值，常用重要绝对值不等式求解，或者利用数形结合求解. 【方法讲评】
【例1】已知关于错误！未找到引用源。
的不等式：错误！未找到引用源。
的整数解有且仅有一个值为2． （1）求整数错误！未找到引用源。
的值；（2）在（1）的条件下，解不等式：错误！未找到引用源。
．
(2)即解不等式错误！未找到引用源。
【点评】解含一个绝对值的不等式，一般利用公式法解答，解答含两个绝对值的不等式，一般利用零点讨论法.
【反馈检测1】已知函数2
()|1|f x x =-. （Ⅰ）解不等式()22f x x ≤+；
（Ⅱ）设0a >，若关于x 的不等式()5f x ax +≤解集非空，求a 的取值范围.
【例2】已知函数()12f x x x =+-。
（Ⅰ）求不等式()6f x ≤-的解集；
（Ⅱ）若存在实数x 满足()2log f x a =，求实数a 的取值范围.
【解析】（Ⅰ）()1,1,1231,10,1,0.x x f x x x x x x x -<-⎧⎪
=+-=+-≤≤⎨⎪->⎩
则不等式()6f x ≤-等价于1,16x x <-⎧⎨-≤-⎩或10,316x x -≤≤⎧⎨+≤-⎩或0,
1 6.x x >⎧⎨-≤-⎩
解得5x ≤-或7x ≥.
故该不等式的解集是{
5x x ≤-，或}7x ≥. （Ⅱ）若存在实数x 满足()2log f x a =，
即关于x 的方程()2log f x a =在实数集上有解，则2log a 的取值范围是函数()f x 的值域.
由（Ⅰ）可得函数()f x 的值域是(],1-∞， ∴2log 1a ≤，解得02a <≤.
【点评】对于形如||||ax b cx d e +++>的不等式，一般分三种情况分类讨论.注意讨论每一种情况时，要和讨论的标准求交集，最后的结果要求并集，即“小分类求交，大综合求并”. 学科.网
【反馈检测2】已知函数()|21||23|.f x x x =++- （1）求不等式6)(≤x f 的解集；
（2）若关于x 的不等式()1f x a <-的解集非空，求实数a 的取值范围.
【例3】已知函数()|1||3|f x x x =-++. (1)求x 的取值范围,使()f x 为常数函数.
(2)若关于x 的不等式()a 0f x -≤解集不是空集,求实数a 的取值范围.
(2)方法一:如图,结合(1)知函数()f x 的最小值为4,
∴实数a 的取值范围为4a ≥.
方法二: |1||3||x 1(x 3)|x x -++≥--+ ∴|1||3|4x x -++≥,
【点评】（1）关于x 的不等式()0f x a -≤解集不是空集，即关于x 的不等式()0f x a -≤有实数解，即至少存在一个实数使得不等式成立，所以它是有解问题.即左边绝对值函数的最小值小于等于a.（2）不等式的恒成立和存在性问题有时很容易弄混淆，所以要理解清楚.()f x a £恒成立等价于max (x)f a £，
()f x a £有解等价于min (x)f a £，()f x a ³恒成立等价于min (x)f a ³，()f x a ³有解等价于
max (x)f a ³.
【反馈检测3】已知函数()|2||23|f x x a x =-++，()|1|2g x x =-+. （1）解不等式|()|5g x <；
（2）若对任意的1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围.
高中数学常考题型解法归纳及反馈检测第34讲：
绝对值常考题型的解法参考答案
【反馈检测1答案】（Ⅰ）{|13}x x -≤≤；（Ⅱ）[4,]+∞.
【反馈检测1详细解析】（Ⅰ）()22f x x ≤+，即2
|1|22x x -≤+，所以2
2122,
1(22),
x x x x ⎧-≤+⎪⎨-≥-+⎪⎩
由2122x x -≤+，解得13x -≤≤；而2
1(22)x x -≥-+的解集为R . 所以原不等式的解集为{|13}x x -≤≤.
【反馈检测2答案】（1）}21|{≤≤-x x ；（2）3a <-或5a >. 【反馈检测2详细解析】（1）原不等式等价于
313222(21)(23)6(21)(23)6x x x x x x ⎧⎧>-≤≤⎪⎪⎨
⎨⎪⎪++-≤+--≤⎩⎩或或12(21)(23)6
x x x ⎧
<-⎪
⎨⎪-+--≤⎩ 解得
3
22
x <≤或1322x -≤≤或112x -≤<-
即不等式的解集为}21|{≤≤-x x
（2）4|)32()12(||32||12|=--+≥-++x x x x
4|1|>-∴a 3a ∴<-或5a >.
【反馈检测3答案】（1）(2,4)-（2）1a ≥-或5a ≤-.。