北京市2019年第一次合格性考试数学试题(Word版含答案)
2023年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学试题及答案
机密★本科目考试启用前2023年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数 学 试 卷第一部分（选择题 共60分）一、选择题共20小题，每小题3分，共60分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知全集{}1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，则U A =ð（ ） A ．{}1,3B ．{}2,3C ．{}1,4D ．{}3,42．不等式20x >的解集是（ ） A ．{}0x x =B ．{}0x x ≠C ．{}0x x >D ．{}0x x <3．函数()1f x x =-的零点是（ ） A ．－2B ．－1C ．1D ．24．在平面直角坐标系xOy 中，角α以O 为顶点，以Ox 为始边，终边经过点()1,1-，则角α可以是（ ） A ．4πB ．2π C ．34πD ．π5．已知三棱柱111ABC A B C -的体积为12，则三棱锥111A A B C -的体积为（ ） A ．3B ．4C ．6D ．86．已知1sin 2α=，则()sinα-=（ ） A ．12-B ．12C ．2-D ．27．lg100=（ ） A ．－100B ．100C ．－2D ．28．如图，点O 为正六边形ABCDEF 的中心，下列向量中，与OA 相等的是（ ） A ．DOB ．EOC ．FOD ．CO9．下列函数中，在R 上为增函数的是（ ） A ．()f x x =- B ．()2f x x =C ．()2xf x =D ．()cos f x x =10．已知向量()2,1a =，(),2b m =．若a b ∥，则实数m =（ ） A ．0B ．2C ．4D ．611．已知a ，b ∈R ，且2a b +=．当ab 取最大值时，（ ） A ．0a =，2b =B ．2a =，0b =C ．1a =，1b =D ．1a =-，3b =12．将函数2log y x =的图象向上平移1个单位长度，得到函数()y f x =的图象，则()f x =（ ） A ．()2log 1x +B ．21log x +C ．()2log 1x -D ．21log x -+13．四棱锥P ABCD -如图所示，则直线PC （ ） A ．与直线AD 平行 B ．与直线AD 相交 C ．与直线BD 平行D ．与直线BD 是异面直线14．在ABC △中，1a =，1b =，c =C ∠=（ ）A ．60°B ．75°C ．90°D ．120°15．已知a ，b ∈R ，则“0a b ==”是“0a b +=”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件16．向量a ，b 在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长为1，则a b -=（ ）A ．2BC ．D ．317．已知函数()f x =()y f x =的图象经过原点，则()f x 的定义域为（ ）A ．[)0,+∞B ．[),0-∞C ．[)1,+∞D ．[),1-∞18．某银行客户端可通过短信验证码登录，验证码由0，1，2，…，9中的四个数字随机组成（如“0013”）．用户使用短信验证码登录该客户端时，收到的验证码的最后一个数字是奇数的概率为（ ） A ．12B ．14C ．18D ．11619．已知函数()21,022,0xx f x x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩，则()f x 的最小值是（ ） A ．2B ．1C ．－2D ．－120．某校学生的体育与健康学科学年成绩s 由三项分数构成，分别是体育与健康知识测试分数a ，体质健康测试分数b 和课堂表现分数c ，计算方式为20%40%40%s a b c =⨯+⨯+⨯．学年成绩s 不低于85时为优秀，若该校4名学生的三项分数如下：则体育与健康学科学年成绩为优秀的学生是（ ） A ．甲和乙B ．乙和丙C ．丙和丁D ．甲和丁第二部分（非选择题 共40分）二、填空题共4小题，每小题3分，共12分。
北京市第一次普通高中学业水平合格性考试地理和答案(推荐文档)
2019年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试地理试卷考生要认真填写考场号和座位序号。
本试卷共8页，分为两个部分。
第一部分为选择题，30个小题（共60分）；第二部分为非选择题，4个小题（共40分）。
试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
考试结束后，考生应将试卷和答题卡按要求放在桌面上，待监考员收回。
第一部分选择题（共60分）下列各小题均有四个选项，其中只有一项是符合题意要求的。
读图1 “不同级别的天体系统示意图”，完成1〜2题。
1 •甲、乙、丙、丁代表的天体系统依次为A •总星系、银河系、太阳系、地月系B •太阳系、银河系、河外星系、地月系C •地月系、银河系、太阳系、总星系D •地月系、太阳系、银河系、总星系2 •以下叙述符合事实的是A •地球是太阳系中的一颗行星B .日地平均距离约1.5千米C •月球是地球的一颗人造卫星D •太阳系处于银河系的中心《汉书•五行志》中记载：“日出黄，有黑气大如钱，居日中央”。
据此完成3〜4题。
3•文中记载的现象是A. 耀斑 B .日食 C .日珥D.黑子4.该现象增多时，对地球的影响是A •地表温度明显上升B •干扰无线电短波通信考1.2.生须3.知4.C .全球频发强烈地震D .大气逆辐射作用增强5•对各圈层位置的正确描述是A. 生物圈位于地壳内部B. 地核位于莫霍面以上C .软流层位于岩石圈的内部D .地幔位于地壳和地核之间6. 关于图中各圈层特点的正确叙述是A .岩石圈由厚度相同的岩石组成B .水圈是连续但不规则的圈层C .地壳是厚度最大的地球圈层D .大气圈的组成物质分布均匀臭氧层是大气层中臭氧浓度较高的区域，主要位于距离地面约外线，保护人类健康。
读图 3 “大气垂直分层示意图”7. 臭氧层主要分布在大气垂直分层中的A .对流层B .平流层C .中间层D .热层8. 对流层的主要特点是A .位于地球大气的最外层B .极光现象出现在该层C .气温随高度上升而降低D .空气以水平运动为主20〜30千米的高空，它能有效吸收紫图49.近地面大气的主要直接热源是A .①B .②C. ③D. ④10.图中⑤表示大气的A .吸收作用B .反射作用C. 保温作用D.辐射作用11.倡导低碳生活，减少CO排放可以使A .①增强B .③减弱C. ④减弱D. ⑤增强，完成7〜8题。
2019第一次合格性考试
2019年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学试卷第一部分选择题(每小题3分,共81分)在每个小题给出的四个备选答案中,只有一个是符合题目要求的.1.已知集合A ={0,1},B ={-1,1},那么A ∪B 等于A .{0,1}B .{-1,1}C .{0}D .{-1,1,0}2.已知向量a =(1,1), b =(1,2),那么a +b 等于A .(0,-1)B .(1,2)C .(2,3)D .(3,2)3.过点A (3,0)和B (0,2)的直线的方程为A .2x -3y -6=0B .3x +2y -4=0C .2x +3y -6=0D .x +2y -4=04.函数y =()lg 2x +的定义域是A .[2,+∞)B .(2, +∞)C .(0,+∞)D .(-2, +∞)5.如果幂函数f (x )=x a 的图象经过点(4,2),那么a 的值是A .-2B .2C .12-D .126.在空间直角坐标系O -xyz 中,A (-1,-1,-1),B (1,1,1),那么|AB |等于A .2 BCD7.2018年10月24日,我国超级工程——港珠澳大桥正式通车运营,它是世界上最长的跨海大桥,全长55千米,采用Y 型线路,连接香港、珠海和澳门三地.如果从甲、乙、丙三位同学中任选一位同学前往港珠澳大桥参观,那么甲同学被选中的概率为A . 13B .12C .23D .18.为深入贯彻落实《国务院办公厅关于强化学校体育促进学生身心健康全面发展的意见》,我市提出:到2020年,全市义务教育阶段学生体质健康合格率达到98%，基础教育阶段学生优秀率达到15%以上.某学校现有小学和初中学生共2000人,为了解学生的体质健康合格情况,决定采用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为400的样本,其中被抽到的初中学生人数为180,那么这所学校的初中学生人数为 （ ）A .800B .900C .1000D .11009.化简()sin απ+为A .-sin αB .sin αC .-cos αD .cos α10.如果直线2x -y =0与直线x +my -1=0垂直,那么m 的值为A .-2B .12-C .12D .2 11.已知向量a =(2,-1), b =(1,m ),且a =2b ,那么m 的值为A .-2B .12-C .12D .2 12.直线x+1=0的倾斜角的度数是A .30°B .45°C .60°D .90°13.已知直线l 经过点P (1,1),且与直线x -y +2=0平行,那么直线l 的方程为A .x -y -2=0B .x +y -2=0C . x -y =0D .x +y -4=014.函数零点的涵义是A .一个点B .函数图象与x 轴的交点的横坐标C .函数图象与x 轴的交点D .函数图象与y 轴的交点的纵坐标15.在函数y =1x ,y =x 2,y =2x ,y =3log x 中,奇函数是 A . y =1xB . y =x 2C . y =2xD .y =3log x 16.在相距4千米的A ,B 两点分别观测目标点C ,如果∠CAB =75°,∠CBA =60°,那么A ,C 两点间的距离是AB千米 C千米 D千米17.已知角a 的终边经过点P (5,12),那么sin α的值是A .512B . 125C .513D .121318.已知直线l :x +y +2=0和圆C :(x -1)2+(y +1)2=1,那么圆心C 到直线l 的距离是A .12B .1 CD .219.函数f (x )=22sin x 的最小正周期是A .2π B .πC .2πD .4π 20.计算(14)0+2log 2的结果为 A .3 B .54 C .2 D .1 21.已知两条直线m ,n 和平面a ,且m ⊥a ,要得到结论m ∥n ,还需要添加一个已知条件,这个条件应是①n ⊥a ,②n ∥a ,③n ⊂a ,④n ⊄a 中的A .①B .②C .③D .④22.已知函数f (x )=1020x x x ⎧⎨-⎩，≥，＜,如果f (m )=4,那么实数m 的值为A .1B .-2C .-8D .12-23.将函数y =2sin x 的图象向左平移6π个单位,所得图象的函数表达式是 A .y =2sin 6x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B . y =2sin 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭ C . y =sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭ D . y =sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 24.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,如果b =1,cB =30°,那么角A 的度数是A .30°或60°B .45°或60°C .30°或90°D .45°或120°25.如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,E ,F 分别为棱AB ,C 1D 1上的动点,那么三棱锥F -CDE 的体积为A .16 B .13 C .12 D .2326.已知边长为3的正方形ABCD ,点E 满足=2DE EC ,那么AE AC ⋅等于A .6B .9C .12D .1527.党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一,作出了新的部署.某地区现有28万农村贫困人口,如果计划在未来3年时间内完成脱贫任务,并且后一年的脱贫任务是前一年任务的一半,为了按时完成脱贫攻坚任务,那么第一年需要完成的脱贫任务是A .10万人B .12万人C .14万人D .16万人第二部分 解答题 (共19分)28.(本小题满分5分)某同学解答一道三角函数题:“已知函数f (x )=2sin 6x πω⎛⎫+⎪⎝⎭,ω>0,其最小正周期为π.(I )求f (0)和ω的值；(Ⅱ)求函数f (x )在区间[6π-，3π]上的最小值及相应x 的值.”下表列出了某些数学知识:29.(本小题满分5分)阅读下面题目及其证明过程,在①~⑤处填写适当的内容.已知三棱柱ABC-A1B1C1,AA1⊥平面ABC，∠BAC=90°,E,F分别为AB1,CB1的中点.(Ⅰ)求证:EF∥平面ABC；(Ⅱ)求证:AB⊥A1C.解答: (Ⅰ)证明:在△AB1C中,因为E,F分别为AB1,CB1的中点,所以①因为EF⊄平面ABC,AC⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.(Ⅱ)证明:因为AA1⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,所以② .因为∠BAC=90°,所以AB⊥AC.又因为AC∩AA1=A,所以③因为A1C⊂平面AA1C1C,所以AB⊥A1C.上述证明过程中,第(I)问的证明思路是先证“线线平行”,再证线面平行”；第(Ⅱ)问的证明思路是先证④ ,再证⑤ ,最后证“线线垂直”.30.(本小题满分5分)某同学解答一道解析几何题:“已知圆O：x2+y2=r2(r＞0) 与直线l1：x=-2和l2：x=2分别相切,点C的坐标为(-1,0).A,B两点分别在直线l1和l2上,且AC⊥BC ,|AC|=|BC|,试推断线段AB的中点是否在圆O 上.”该同学解答过程如下AC⊥BC,点C⋅=0,即AC BC|AC|=|BC|,219m+=化简得:m2-n2=8.②由①②可得8mn=-24,3因式分解得(3m-n)(请指出上述解答过程中的错误之处,并写出正确的解答过程.31.(本小题满分4分)从2008年开始的十年间,中国高速铁路迅猛发展,已经建成“四纵四横”网络,“八纵八横”格局正在构建.到2018年,中国高速铁路新里程已超过两万五千千米,铸就了一张新的“国家名片”.京沪高速铁路线是北京南站到上海虹桥站之间的一条高速铁路线,全长约1318km.某机构研究发现:高速列车在该线路上单程运行一次的总费用f(x)(万元)与平均速度x(km/h)及其它费用a(3≤a≤4)(万元)之间近似满足函数关系f(x)=1318ax+0.0006x2(200≤x≤400).问:当高速列车在该线路上运行的平均速度是多少时,单程运行一次总费用最小?。
【精品高考数学试卷】2019年北京市西城区高考数学一模试卷(理科)+答案
2019年北京市西城区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设全集U R =，集合{|02}A x x =<<，{3B =-，1-，1，3}，则集合()(U A B =I ð)A ．{3-，1}-B ．{3-，1-，3}C ．{1，3}D ．{1-，1}2．（5分）若复数12iz i-=-，则在复平面内z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为( )A ．4B ．5C ．7D ．94．（5分）下列直线中，与曲线()12,:24x t C t y t =+⎧⎨=-+⎩为参数没有公共点的是( )A ．20x y +=B ．240x y +-=C ．20x y -=D ．240x y --=5．（5分）设a ，b ，m 均为正数，则“b a >”是“a m ab m b+>+”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．（5分）如图，阴影表示的平面区域W 是由曲线0x y -=，222x y +=所围成的．若点(,)P x y 在W 内（含边界），则43z x y =+的最大值和最小值分别为( )A ．527-B ．5252-C ．7，52-D ．7，7-7．（5分）团体购买公园门票，票价如表： 购票人数 1~5051~100100以上 门票价格13元/人 11元/人9元/人现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数之差为( ) A ．20B ．30C ．35D ．408．（5分）如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线422x y +=围成的平面区域的直径为( ) A 432B ．3C ．22D ．4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在等比数列{}n a 中，21a =，58a =，则数列{}n a 的前n 项和n S = ．10．（5分）设1F ，2F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，若双曲线C 的两个顶点恰好将线段12F F 三等分，则双曲线C 的离心率为 ．11．（5分）函数()sin 2cos2f x x x =+的最小正周期T = ；如果对于任意的x R ∈都有()f x a …，那么实数a 的取值范围是 ．12．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为 ．13．（5分）能说明“若sin cos αβ=，则36090k αβ+=︒+︒g ，其中k Z ∈”为假命题的一组α，β的值是 ．14．（5分）如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为a ，b ，c ．例如，图中上档的数字和9a =．若a ，b ，c 成等差数列，则不同的分珠计数法有 种．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在ABC ∆中，已知222a c b mac +-=，其中m R ∈． （Ⅰ）判断m 能否等于3，并说明理由； （Ⅱ）若1m =-，27b =4c =，求sin A ．16．（14分）如图，在多面体ABCDEF 中，梯形ADEF 与平行四边形ABCD 所在平面互相垂直，//AF DE ，DE AD ⊥，AD BE ⊥，112AF AD DE ===，2AB = （Ⅰ）求证：//BF 平面CDE ； （Ⅱ）求二面角B EF D --的余弦值；（Ⅲ）判断线段BE 上是否存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ？若存在，求出BQBE的值，若不存在，说明理由．17．（13分）为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动．活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a 表示．（Ⅰ）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值，求图中a 的所有可能取值； （Ⅱ）将甲、乙两组中阅读量超过15本的学生称为“阅读达人”．设3a =，现从所有“阅读达人”里任取3人，求其中乙组的人数X 的分布列和数学期望．（Ⅲ）记甲组阅读量的方差为20s ．在甲组中增加一名学生A 得到新的甲组，若A 的阅读量为10，则记新甲组阅读量的方差为21s ；若A 的阅读量为20，则记新甲组阅读量的方差为22s ，试比较20s ，21s ，22s 的大小．（结论不要求证明）18．（13分）设函数2()3x f x me x =-+，其中m R ∈． （Ⅰ）当()f x 为偶函数时，求函数()()h x xf x =的极值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[2-，4]上有两个零点，求m 的取值范围．19．（14分）已知椭圆22:14x y W m m+=的长轴长为4，左、右顶点分别为A ，B ，经过点(,0)P n 的直线与椭圆W 相交于不同的两点C ，D （不与点A ，B 重合）． （Ⅰ）当0n =，且直线CD x ⊥轴时，求四边形ACBD 的面积；（Ⅱ）设1n =，直线CB 与直线4x =相交于点M ，求证：A ，D ，M 三点共线．20．（13分）如图，设A 是由(2)n n n ⨯…个实数组成的n 行n 列的数表，其中(ij a i ，1j =，2，⋯，)n 表示位于第i 行第j 列的实数，且{1ij a ∈，1}-．定义1122(st s t s t sn tn p a a a a a a s =++⋯+，1t =，2，⋯，)n 为第s 行与第t 行的积．若对于任意s ，()t s t ≠，都有0st p =，则称数表A 为完美数表．（Ⅰ）当2n =时，试写出一个符合条件的完美数表； （Ⅱ）证明：不存在10行10列的完美数表；（Ⅲ）设A 为n 行n 列的完美数表，且对于任意的1i =，2，⋯，l 和1j =，2，⋯，k ，都有1ij a =，证明：kl n „．2019年北京市西城区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．【解答】解：根据题意，全集U R =，集合{|02}A x x =<<，则{|0U A x x =„ð或2}x … 又由{3B =-，1-，1，3}，则集合(){3U A B =-I ð，1-，3}； 故选：B ． 【解答】解：Q 1(1)(2)312(2)(2)55i i i z i i i i --+===---+， ∴在复平面内z 对应的点的坐标为31(,)55-，位于第四象限．故选：D ．【解答】解：当1k =时，12312S +==--，3k =，2S <成立， 1(3)11(3)2S +-==---，5k =，2S <成立，11121312S -==+，7k =，2S <成立， 1132113S +==-，9k =，2S <不成立， 输出，9k =， 故选：D ．【解答】解：曲线C 参数方程为：()12,24x t t y t =+⎧⎨=-+⎩为参数，①2⨯-②得，240x y --=，故曲线C 为斜率为2的直线，选项中斜率为2的直线为C ，D ． 而D 与曲线C 重合，有无数个公共点，排除． 故选：C ．【解答】解：a Q ，b ，m 均为正数，∴由a m ab m b+>+得()()b a m a b m +>+， 即ab bm ab am +>+，即bm am >，m Q 是正数，b a ∴>，成立，即“b a >”是“a m ab m b+>+”的充要条件， 故选：C ．【解答】解：由题意可知直线平移直线043x y =+，当直线经过A 上取得最小值，平移到与222x y +=相切于B 时，取得最大值，(1,1)B --，最小值为：7-；由22243x y x y z⎧+=⎨+=⎩可得：22258180x zx z -+-=，△22644(8)250z z =--⨯=，解得52z =，52z =-（舍去）， 所以则43z x y =+的最大值和最小值分别为：52；7-． 故选：A ．【解答】解：990Q 不能被13整除，∴两个部门人数之和：51a b +…， （1）若51100a b +剟，则11 ()990a b +=得：90a b +=，① 由共需支付门票费为1290元可知，11131290a b +=② 解①②得：150b =，60a =-，不符合题意．（2）若100a b +…，则9 ()990a b +=，得110a b +=③ 由共需支付门票费为1290元可知，150a 剟，51100b 剟， 得11131290a b +=④， 解③④得：70a =人，40b =人故两个部门的人数之差为704030-=人， 故选：B ．【解答】解：曲线422x y +=围成的平面区域，关于x ，y 轴对称，设曲线上的点(,)P x y ，可得2222913||()422OP x y x =+=--„． 所以曲线422x y +=围成的平面区域的直径为：3． 故选：B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 【解答】解：21a =Q ，58a =352a a q ∴=， 即3528a q a ==，即2q =， 首项112a =， 则数列{}n a 的前n 项和11(12)122122n n n S --==--，故答案为：1122n --．【解答】解：双曲线C 的两个顶点恰好将线段12F F 三等分， 可得1223a c =g ，则3c a =，即3ce a==． 故答案为：3．【解答】解：()sin 2cos22)4f x x x x π=+=+，即函数的周期22T ππ==， 若对于任意的x R ∈都有()f x a „， 则()max a f x …，即当sin(2)14x π+=时，()f x 2即()2max f x =， 则2a …，故答案为：π，2a …．【解答】解：几何体的直观图如图：是长方体的一部分， 长方体的棱长为：2，1，2， 四棱锥的体积为：1412233⨯⨯⨯=．故答案为：43．【解答】解：若sin cos αβ=，则36090()k k Z αβ=︒+︒±∈g ，命题中36090k αβ=︒+︒-g ，()k Z ∈，要否定命题，只须从36090()k k Z αβ=︒+︒+∈g 中找一个反例即可，如110α=︒，20β=︒，（答案不唯一，再如120α=︒，30β=︒等，只要满足36090()k k Z αβ=︒+︒+∈g 且36090()k k Z αβ≠︒+︒-∈g 即可作为反例．故填：110α=︒，20β=︒．【解答】解：根据题意，a ，b ，c 的取值范围都是从7~14共8个数字，故公差d 范围是3-到3，①当公差0d =时，有188C =种， ②当公差1d =±时，b 不取7和14，有16212C ⨯=种， ③当公差2d =±时，b 不取7，8，13，14，有1428C ⨯=种， ④当公差3d =±时，b 只能取10或11，有1224C ⨯=种， 综上共有8128432+++=种， 故填：32三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．【解答】解：（Ⅰ）当3m =时，由题可知2223a c b ac +-=， 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，（3分）得2223cos 22a cb B ac +-==． ⋯⋯⋯⋯（4分）这与cos [1B ∈-，1]矛盾，所以m 不可能等于3．⋯⋯⋯（6分） （Ⅱ）由（Ⅰ），得1cos 22m B ==-，所以23B π=．⋯⋯（7分）因为b =4c =，222a c b ac +-=-， 所以216284a a +-=-，解得6a =-（舍)或2a =．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9分） 在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a bA B=，⋯⋯⋯⋯⋯⋯（11分）得sin sina B Ab ===．（13分） 【解答】解：（Ⅰ）由底面ABCD 为平行四边形，知//AB CD ， 又因为AB ⊂/平面CDE ，CD ⊂平面CDE ， 所以//AB 平面CDE ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分） 同理//AF 平面CDE ， 又因为AB AF A =I ，所以平面//ABF 平面CDE ．⋯⋯⋯⋯⋯（3分） 又因为BF ⊂平面ABF ，所以//BF 平面CDE ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分） （Ⅱ）连接BD ，因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF ⋂平面ABCD AD =，DE AD ⊥， 所以DE ⊥平面ABCD ．则DE DB ⊥． 又因为DE AD ⊥，AD BE ⊥，DE BE E =I ， 所以AD ⊥平面BDE ，则AD BD ⊥．故DA ，DB ，DE 两两垂直，所以以DA ，DB ，DE 所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系，⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6分）则(0D ，0，0)，(1A ，0，0)，(0B ，1，0)，(1C -，1，0)，(0E ，0，2)，(1F ，0，1)， 所以(0,1,2)BE =-u u u r ，(1,0,1)EF =-u u u r ，(0n =r，1，0)为平面DEF 的一个法向量．设平面BEF 的一个法向量为(m x =r，y ，)z ，由0m BE =u u u r r g ，0m EF =u u ur r g ，得20,0,y z x z -+=⎧⎨-=⎩令1z =，得(1m =r，2，1)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8分）所以cos m <r，6||||m n n m n >==r rg r r r ．如图可得二面角B EF D --为锐角， 所以二面角B EF D --6⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分） （Ⅲ）结论：线段BE 上存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（11分） 证明如下：设(0,,2)([0,1])BQ BE λλλλ==-∈u u u r u u u r， 所以(0,1,2)DQ DB BQ λλ=+=-u u u r u u u r u u u r．设平面CDQ 的法向量为(u a =r，b ，)c ，又因为(1,1,0)DC =-u u u r ， 所以0u DQ =u u u r r g ，0u DC =u u ur r g ，即(1)20,0,b c a b λλ-+=⎧⋯⋯⋯⋯⋯⋯⎨-+=⎩（12分） 若平面CDQ ⊥平面BEF ，则0m u =r rg ，即20a b c ++=，⋯⋯⋯⋯⋯⋯（13分） 解得1[0,1]7λ=∈．所以线段BE 上存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ，且此时17BQ BE =．⋯⋯（14分） 【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）甲组10名学生阅读量的平均值为12681011121217211010+++++++++=，乙组10名学生阅读量的平均值为124412131616(10)20981010a a+++++++++++=． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分）由题意，得981010a+>，即2a <．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3分） 故图中a 的取值为0或1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分）（Ⅱ）由图可知，甲组“阅读达人”有2人，乙组“阅读达人”有3人． 由题意，随机变量X 的所有可能取值为：1，2，3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分）且2123353(1)10C C P X C ===g ，1223353(2)5C C P X C ===g ，33351(3)10C P X C ===．⋯⋯（8分） 所以随机变量X 的分布列为：⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9分）所以3319()123105105E X =⨯+⨯+⨯=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分） （Ⅲ）222102s s s <<．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（13分）【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由函数()f x 是偶函数，得()()f x f x -=， 即22()33x x me x me x ---+=-+对于任意实数x 都成立， 所以0m =．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分）此时3()()3h x xf x x x ==-+，则2()33h x x '=-+． 由()0h x '=，解得1x =±．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3分） 当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-上单调递增．⋯⋯⋯⋯⋯（5分） 所以()h x 有极小值(1)2h -=-，()h x 有极大值h （1）2=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6分）（Ⅱ）由2()30xf x me x =-+=，得23x x m e-=．所以“()f x 在区间[2-，4]上有两个零点”等价于“直线y m =与曲线23()xx g x e -=，[2x ∈-，4]有且只有两个公共点”． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8分） 对函数()g x 求导，得223()xx x g x e -++'=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9分）由()0g x '=，解得11x =-，23x =．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分） 当x 变化时，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以()g x 在(2,1)--，(3,4)上单调递减，在(1,3)-上单调递增．⋯⋯⋯⋯⋯（11分） 又因为2(2)g e -=，(1)2g e -=-，36(3)(2)g g e =<-，413(4)(1)g g e=>-， 所以当4132e m e -<<或36m e=时，直线y m =与曲线23()xx g x e -=，[2x ∈-，4]有且只有两个公共点． 即当4132e m e -<<或36m e=时，函数()f x 在区间[2-，4]上有两个零点．⋯⋯（13分） 【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，得244a m ==，解得1m =．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分）所以椭圆W 方程为2214x y +=．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3分）当0n =，及直线CD x ⊥轴时，易得(0,1)C ，(0,1)D -．且(2,0)A -，(2,0)B ． 所以||4AB =，||2CD =，显然此时四边形ACBD 为菱形，所以四边形ACBD 的面积为14242⨯⨯=．⋯⋯（5分）（Ⅱ）当直线CD 的斜率k 不存在时，由题意，得CD 的方程为1x =，代入椭圆W 的方程，得C ，(1,D ，易得CB的方程为2)y x =-．则(4,M，(6,AM =u u u u r，(3,AD =u u u r ，所以2AM AD =u u u u r u u u r，即A ，D ，M 三点共线．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（7分）当直线CD 的斜率k 存在时，设CD 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，联立方程22(1),1,4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得2222(41)8440k x k x k +-+-=．⋯⋯⋯（9分） 由题意，得△0>恒成立，故2122841k x x k +=+，21224441k x x k -=+．⋯⋯⋯⋯⋯（10分）直线CB 的方程为11(2)2yy x x =--．令4x =，得112(4,)2y M x -．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（11分）又因为(2,0)A -，2(D x ，2)y ， 则直线AD ，AM 的斜率分别为222AD y k x =+，113(2)AM y k x =-，⋯⋯⋯⋯⋯（12分） 所以21211221123(2)(2)23(2)3(2)(2)AD AM y y y x y x k k x x x x --+-=-=+--+． 上式中的分子22211221121212224483(2)(2)3(1)(2)(1)(2)25()82584141k k y x y x k x x k x x kx x k x x k k k kk k ---+=----+=-++=⨯-⨯+++，所以0AD AM k k -=．所以A ，D ，M 三点共线．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（14分） 【解答】（Ⅰ）解：由题意，可写出如下的完美数表：此时，12112112221(1)110p a a a a =+=⨯-+⨯=，∴此完美数表符合条件．（Ⅱ）证明：假设存在10行10列的完美数表A ． 根据完美数表的定义，可以得到以下两个结论：（1）把完美数表的任何一列的数变为其相反数（即1+均变为1-，而1-均变为1)+，得到的新数表是完美数表；（2）交换完美数表的任意两列，得到的新数表也是完美数表． 完美数表A 反复经过上述两个结论的变换，前三行可以为如下形式：在这个新数表中，设前三行中的数均为1的有x 列，前三行中“第1，2行中的数为1，且第3行中的数为1-”的有y 列，前三行中“第1，3行中的数为1，且第2行中的数为1-”的有z 列，前三行中“第1行中的数为1，且第2，3行中的数为1-”的有w 列（如上表所示），则10x y z w +++=①由120p =，得x y z w +=+； ② 由130p =，得x z y w +=+； ③ 由230p =，得x w y z +=+．④解方程组①，②，③，④，得52x y z w ====． 这与x ，y ，z ，w N ∈矛盾， 所以不存在10行10列的完美数表．（Ⅲ）证明：记第1列前l 行中的数的和112111l a a a X ++⋯+=，第2列前l 行中的数的和122222l a a a X ++⋯+=，⋯⋯，第n 列前l 行中的数的和12n n ln n a a a X ++⋯+=， Q 对于任意的1i =，2，⋯，l 和1j =，2，⋯，k ，都有1ij a =，∴12k X X X l ==⋯==．又Q 对于任意s ，()t s t ≠，都有0st p =，∴22212n X X X ln ++⋯+=． 又Q 22222221212n k X X X X X X l k ++⋯+++⋯+=…， 2ln l k ∴…，即kl n „．。
2019年北京市高考数学一模试卷(理科)(解析版)
2019年北京市高考数学一模试卷(理科)(解析版)2019年北京市高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8个小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z=i（1+i），则|z|等于（）A。
2B。
√2C。
1D。
2√22.在方程r=2cosθ+3sinθ（θ为参数）所表示的曲线上的点是（）A。
(2.-7)B。
(3.1)C。
(1.5)D。
(2.1)3.设公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=2(a2+a3)，则Sn=（）A。
5anB。
6anC。
7anD。
14an4.将函数y=sin2x的图象向左平移π/4个单位后得到函数y=g(x)的图象。
则函数g(x)的一个增区间是（）A。
(π/4.3π/4)B。
(3π/4.5π/4)C。
(5π/4.7π/4)D。
(7π/4.9π/4)5.使“a>b”成立的一个充分不必要条件是（）A。
a>b+1B。
a>b-1C。
a^2>b^2D。
a^3>b^36.下列函数：①y=-|x|；②y=(x-1)^3；③y=log2(x-1)；④y=-6.在x中，在(1.+∞)上是增函数且不存在零点的函数的序号是（）A。
①④B。
②③C。
②④D。
①③④7.某三棱锥的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥的俯视图的面积为（）A。
6B。
8C。
10D。
128.远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（）A。
336B。
510C。
1326D。
3603二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9.在(1-x)^5的展开式中，x^2的系数为______（用数字作答）。
答案：1010.已知向量a=(1.b)。
b=(-2.-1)，且向量a+b的模长为√10.则实数x=______。
精品解析：【区级联考】北京市西城区2019届九年级统一测试(一模)数学试题(解析版)
西城区九年级统一测试数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）1.下列图形中，是圆锥的侧面展开图的为（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面展开图的特点作答．【详解】圆锥的侧面展开图是光滑的曲面，没有棱，只是扇形． 故选B ．【点睛】考查了几何体的展开图，圆锥的侧面展开图是扇形．2.实数a,b,c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）A. a b >B. 0a b +>C. 0ac >D. a c >【答案】D 【解析】 【分析】根据数轴的特点：判断a 、b 、c 正负性，然后比较大小即可． 【详解】根据数轴的性质可知：a ＜b ＜0＜c ，且|c|＜|b|＜|a|； 所以a ＞b ，0a b +>，ac ＞0错误；|a|＞|c|正确； 故选D ．【点睛】本题考查实数与数轴的关系，关键是根据实数在数轴上的位置判断字母的正负性，根据实数在数轴上离原点的距离判断绝对值的大小．3.方程组20529x y x y -=⎧⎨+=⎩的解为（ ）A. 17x y =-⎧⎨=⎩B. 36x y =⎧⎨=⎩C. 12x y =⎧⎨=⎩D. 12x y =-⎧⎨=⎩【答案】C 【解析】 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【详解】20529x y x y -=⎧⎨+=⎩①②，①×2+②得：9x=9，即x=1， 把x=1代入①得：y=2，则方程组的解为12x y =⎧⎨=⎩，故选C ．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4.如图，点D 在BA 的延长线上，AE BC ∕∕.若100DAC ∠=︒，65B ∠=︒，则EAC ∠的度数为（ ）A. 65︒B. 35︒C. 30°D. 40︒【答案】B 【解析】 【分析】由图可得∠EAC=∠DAC-∠DAE ，先根据平行线的性质得到∠DAE 的度数，即可得出∠EAC 的度数． 【详解】∵AE ∥BC ， ∴∠B=∠DAE=65°，又∵∠DAC=100°，∴∠EAC=∠DAC-∠DAE=100°-65°=35°， 故选B ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．5.广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中离太阳系最近的一颗恒星称为“比邻星”，它距离太阳系约4.2光年.光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，1光年约为9500000000000千米.则“比邻星”距离太阳系约为（ ） A. 13410⨯千米 B. 12410⨯千米 C. 139. 510⨯千米 D. 129. 510⨯千米【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】9 500 000 000 000×4.2=39900000000000≈40000000000000=4×1013． 故选A ．【点睛】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．6.如果2310a a ++=，那么代数式229263a aa a ⎛⎫++⋅ ⎪+⎝⎭的值为（ ）A. 1B. 1-C. 2D. 2-【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的加法和乘法可以化简题目中的式子，然后根据a 2+3a+1=0，即可求得所求式子的值．【详解】229263a a a a ⎛⎫++⋅ ⎪+⎝⎭，=22962•3a a a a a +++ =()2232•3a a aa ++=2a （a+3） =2（a 2+3a ），∵a 2+3a+1=0， ∴a 2+3a=-1，∴原式=2×（-1）=-2， 故选D ．【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．7.三名快递员某天的工作情况如图所示，其中点1A ，2A ，3A 的横、纵坐标分别表示甲、乙、丙三名快递员上午派送快递所用的时间和件数；点1B ，2B ，3B ，的横、纵坐标分别表示甲、乙、丙三名快递员下午派送快递所用的时间和件数.有如下三个结论：①上午派送快递所用时间最短的是甲；②下午派送快递件数最多的是丙；③在这一天中派送快递总件数最多的是乙.上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A. ①②B. ①③C. ②D. ②③【答案】B 【解析】 【分析】根据所给的点的信息进行辨析即可得解.【详解】①上午派送快递所用时间最短的是A 1，即甲，不足2小时；故①正确； ②下午派送快递件数最多的是B 2即乙，超过40件，其余的不超过40件，故②错误；③在这一天中派送快递总件数为：甲：40+25=65（件），乙：45+30=75；丙：30+20=50，所以这一天中派送快递总件数最多的是乙，故③正确. 故选B.【点睛】本题考查的知识点是函数的图象，分析出图象中点的几何意义，是解答的关键．8.中国科学技术馆有“圆与非圆”展品，涉及了“等宽曲线”的知识。
2019年普通高中学业水平合格性考试(会考)数学试卷三(含答案)
2019年普通高中学业水平合格性考试数学试卷(考试时间:90分钟满分:100分)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至4页，第Ⅱ卷5至6页。
考生注意:1.答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答。
在试题卷上作答，答案无效。
3.考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。
第Ⅰ卷(选择题45分)一、选择题(本大题有15小题，每小题3分，共45分。
每小题只有一个选项符合题目要求)1.已知集合U={1,2，3,4,5,6,7}，A={2,3,4,5}，B={2,3,6,7}，则B∩C uA=9)A.{1，6}B.{1，7}C.{6，7}D.{1,6，7}2.某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，...1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验。
若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是()A.8号学生B.200号学生C.616号学生D.815号学生3.等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7,则数列{a n}的公差为()A.1B.2C.3D.44.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为()A.56B.25C.16D.135.幂函数y=f(x)的图象经过点(8,22)，则f(x)的图象是()6.经过点A(8，-2)，斜率为.−12的直线方程为()A.x+2y-4=0B.x-2y-12=0C.2x+y-14=0D.x+2y+4=07.设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=e-X-1.则当x<0时，f(x)=()A.e-X-1B.e-X+1C.-e-X-1D.-e-X+18.在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB =(1,-2)，AD =(2，1)，则AB ·AD =()A.5B.4C.3D.29.函数f(x)=1X—x3的图像关于()A.x轴对称B.y轴对称C.直线y=x对称D.坐标原点对称10.以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于()A.2πB.πC.2D.111.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是()A.若m⊥n，n//α，则m⊥αB.若m//β，β⊥α，则m⊥αC.若m⊥β,n⊥β，n⊥α,则m⊥αD.若m⊥n，n⊥β,β⊥α，则m⊥α12.直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切，则b的值是()A.-2或12B.2或一12C.-2或-12D.2或1213.在区间[o，2]上随机地取一个数x，则事件“-1≤log1（x+12)≤1发生的概率为()2A.34B.23C.13D.1414.为了得到函数y=sin2x的图象，只要把函数y=sin x的图象上所有点()A.横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C.纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变D.纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变15.已知{a n}是首项为1的等比数列，s n是{a n}的前n项和，且9S3=S6，则数列{1a n}的前5项和为()A.158或5B.3116或5C.3116D.158第Ⅱ卷(非选择题55分)二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)16.函数y=7+6x−x2的定义域是。
2019届北京市高三上学期第一次月考数学试题Word版含答案
2019届北京市高三上学期第一次月考数学试题时间：120分钟满分：150分第I卷选择题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（）A．A∩B={x|x＜0} B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1} D．A∩B=∅2．设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m=λn”是m n＜0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．设函数f（x）=，若f（f（））=4，则b=（）A．1 B． C．D．4．下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y= B．y=（x﹣1）2C．y=2﹣x D．y=log0.5（x+1）5．函数f（x）=lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+4的图象的交点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．36．设f（x）=x﹣sinx，则f（x）（）A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数C．是有零点的减函数 D．是没有零点的奇函数7．设f（x）=sinx+cosx，那么（）A．f′（x）=cosx﹣sinx B．f′（x）=cosx+sinxC．f′（x）=﹣cosx+sinx D．f′（x）=﹣cosx﹣sinx8．函数f（x）=x3+4x+5的图象在x=1处的切线在x轴上的截距为（）A．10 B．5 C．﹣1 D．9．已知等差数列{an }满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．2310．若cos（﹣α）=，则sin2α=（）A． B． C．﹣ D．﹣11．已知向量m=（λ+1，1），n=（λ+2，2），若（m+n）⊥（m-n），则λ=（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣112．设函数，则f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），则（）A．y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称B．y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称C．y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称D．y=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称第II卷非选择题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知4a=2，lgx=a，则x= ．14．曲线y=x2与y=x所围成的封闭图形的面积为．15．设等比数列{an }满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1∙a2∙······∙a n的最大值为．16．命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是．三．解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分）17．记关于x的不等式的解集为P，不等式|x﹣1|≤1的解集为Q．（1）若a=3，求P；（2）若Q⊆P，求正数a的取值范围．x.18.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝log12(1)求函数f(x)的解析式；(2)解不等式f(x2－1)>－2.19．在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若m⊥n，求tanx的值；（2）若m与n的夹角为，求x的值．20．已知，，α，β∈（0，π）（1）求tan（α+β）的值；（2）求函数的最大值．21．已知{an }是等差数列，{bn}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{an}的通项公式；（2）设cn =an+bn，求数列{cn}的前n项和．22．已知f（x）=xlnx﹣ax，g（x）=﹣x2﹣2．（1）当a=﹣1时，求f（x）的单调区间；（2）对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．2019届北京市高三上学期第一次月考数学试题参考答案一、选择题（每题5分，共60分）二、填空题（每题5分，共20分） 13. 14. 15.64 16.对任意x ∈R ，都有x 2+2x+5≠0 ．三、解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分） 17.解：（I ）由，得P={x|﹣1＜x ＜3}．（II ）Q={x||x ﹣1|≤1}={x|0≤x ≤2}．由a ＞0，得P={x|﹣1＜x ＜a}，又Q ⊆P ，结合图形 所以a ＞2，即a 的取值范围是（2，+∞）．18.解 (1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x ).因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝log 12(－x )，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12（－x ），x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2转化为f (|x 2－1|)>f (4).又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以|x2－1|<4，解得－5<x<5，即不等式的解集为(－5，5).19.解：（1）若m⊥n，则m•n=（，﹣）•（sinx，cosx）=sinx﹣cosx=0，即sinx=cosxsinx=cosx，即tanx=1；（2）∵|m|=，|n|==1，•=（，﹣）•（sinx，cosx）=sinx﹣cosx，∴若m与n的夹角为，则m•n=|m|•|n|cos=，即sinx﹣cosx=，则sin（x﹣）=，∵x∈（0，）．∴x﹣∈（﹣，）．则x﹣=即x=+=．20.解：（1）由，β∈（0，π）得，所以tanβ=2，于是tan（α+β）=．（2）因为所以=故f （x）的最大值为．21.解：（1）设{an }是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，由b2=3，b3=9，可得q==3，bn=b2q n﹣2=3•3n﹣2=3n﹣1；即有a1=b1=1，a14=b4=27，则d==2，则an =a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）cn =an+bn=2n﹣1+3n﹣1，则数列{cn}的前n项和为（1+3+…+（2n﹣1））+（1+3+9+…+3n﹣1）=n•2n+=n2+．22.解：（1）函数的定义域是（0，+∞）当a=﹣1时，f′（x）=lnx+2令f′（x）=lnx+2＞0，得令f′（x）=lnx+2＜0，得∴函数的单调递增区间是函数的单调递减区间是（2）∵对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，∴对一切x∈（0，+∞），xlnx﹣ax≥﹣x2﹣2恒成立．即对一切x∈（0，+∞），恒成立．令∵∴当0＜x＜1时，F′（x）＜0，函数递减，当x＞1时，F′（x）＞0，函数递增．∴F（x）在x=1处取极小值，也是最小值，即Fmin（x）=F（1）=3∴a≤3（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．等价于证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．由（1）知，当a=﹣1时f（x）=xlnx+x，令，当x∈（0，1）时，G′（x）＞0，函数G（x）递增，当x∈（1，+∞）时，G′（x）＜0，函数G（x）递减．f（x）min ＞G（x）max∴当x=1时，函数G（x）取到极大值，也是最大值．∴∵﹣∴f（x）min ＞G（x）max∴对一切x∈（0，+∞），都有成立．。
1_2019北京市高中合格性考试数学
A. 2 2千米
B. 2 3千米
C. 2 6千米
D. (2+2 3)千米
17.已知角 a 的终边经过点 P(5,12)，那么 sina 的值是
A. 5
12
B. 12
5
C. 5
13
D. 12
13
18.已知直线 l：x+y+2=0 和圆 C：(x-1)2+(y+1)2= 1，那么圆心 C 到直线 l 的距离是
上的性质，参数 A, ω, φ对函数 y=Asin(ωx+φ)图象变化的图像.……5 分 29.
解答：（I）证明：在△AB1C 中， 因为 E，F 分别为 AB1，CB1 的中点 所以①
因为 EF 平面 ABC，AC⊂平面 ABC,
所以 EF∥平面 ABC
（II）证明：因为 AA1⊥平面 ABC，AB⊂平面 ABC, 所以②
D. x+y-4=0
14.函数零点的涵义是
A.一个点
B.函数图象与 x 轴的交点的横坐标
C.函数图象与 x 轴的交点
D.函数图象与 Y 轴的交点的纵坐标
15. 在函数 y=1x,y=x2,y=2x,y=log3x 中，奇函数是
A. y=1
x
B. y=x2
C. y=2x
D. y=log3x
16.在相距 4 千米的 A, B 两点分别观测目标点 C，如果∠CAB=75°， ∠CBA=60°，那么 A, C 两点间的距离是
A. 800
B. 900
C. 1000
D. 1100
9.化简 sin(α+π)为
A. –sinα
B. sinα
C. –cosα
北京市第一次普通高中2019_2020学年高二数学学业水平考试合格性考试试题含解析
【答案】A
【解析】
【分析】
直接由向量加法 平行四边形法则即可得结果.
【详解】根据向量加法的平行四边形法则可得 ，
故选：A.
6. 在平面直角坐标系 中，角 的顶点与原点 重合，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 ，那么 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正弦函数的定义计算．
某同学的解答过程如下：
解答：因为圆 的圆心坐标为 ，且与 轴相切，
由直线垂直斜率乘积为 解方程可得答案．
【详解】因为直线 ， ，且 ，
所以 ， ．
故选：A
【点睛】方法点晴：斜率存在的两直线：垂直的充要条件是斜率乘积为 ，平行的充要条件是斜率相等且纵截距不等．
9. 如图，正方体 的棱 ， ， ， 所在的直线中，与直线 成异面直线的是（ ）
A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线
问题2：在（2）的证明过程中，设置了三个空格.请从下面给出的四个选项中，为每一个空格选择一个正确的选项，以补全证明过程.
① ；② ；③ 平面 ；④ .
【答案】问题1：直线与直线平行；直线与平面平行；问题2： ； 平面 ； .
【解析】
【分析】
（1）利用线面平行的判断定理，补全过程；（2）利用线线，线面的垂直关系补全条件.
25. 已知函数 如果 ，那么实数 的值是（ ）
北京市2020年第一次普通高中学业水平考试合格性考试数学试题 Word版
北京市2020年第一次普通高中学业水平考试合格性考试数学试题 Word版2020年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学试卷考生须知：1.考生需认真填写考场号和座位序号。
2.本试卷共8页，分为两个部分，第一部分为选择题，共27个小题（共81分）；第二部分为解答题，共4个小题（共19分）。
3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，试卷上作答无效。
第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
4.考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回。
参考公式：锥体的体积公式V=Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高。
第一部分选择题（每小题3分，共81分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的。
1.已知集合A={1,2,3}，B={3}，那么集合A-B的结果为：A。
∅B。
{3}C。
{1,2,4,5}D。
{1,2,3,4,5}2.函数f(x)=x-1的定义域是：A。
(-∞,1]B。
[0,+∞)C。
[1,+∞)D。
R3.如果指数函数f(x)=ax(a>0，且a≠1)的图象经过点(2,4)，那么a的值是：A。
2B。
2C。
3D。
44.将函数y=sin x的图象向右平移π/3个单位，所得图象对应的函数表达式是：A。
y=sin(x-π/3)B。
y=sin(x+π/3)C。
y=cos(x-π/3)D。
y=cos(x+π/3)5.在平行四边形ABCD中，AB+AD等于：A。
ACB。
BDC。
BCDD。
CD6.在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(3,4)，那么sinα的值是：A。
3/5B。
4/5C。
5/4D。
3/47.已知向量a=(1,-2)，b=(2,m)，且a·b=0，那么实数m的值是：A。
-1B。
-1/2C。
1/2D。
18.已知直线A。
-1/2B。
-1C。
-2D。
29.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，BC，CD，C1D1所在的直线中，与直线BC1成异面直线的是：A。
2019东城一模数学试题及答案
北京市东城区2018—2019学年第二学期统一练习（一） 初三数学 2019．5一、选择题（本题共16分，每小题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个 1．下列立体图形中，主视图是圆的为A ．B ．C ．D ．2． 2019年中国北京世界园艺博览会于4月29日在北京延庆举行，会期共162天．预计参观人数将不少于16000000人次．将16000000用科学计数法表示应为 A ．16×106B ． 1．6×107C ．0．16×108D ．1．6×1083． 已知实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是A ．a ＞bB ．|a |＜|b |C ．ab ＞0D ．﹣a ＞b4．如图，将一张矩形纸片折叠，若∠1=80°，则∠2的度数是A ．50°B ．60°C ．70°D ．80° 5． 若一个多边形的每个内角均为120°，则该多边形是A ．四边形B ．五边形C ．六边形D ．七边形 6．如果2320a a +-=，那么代数式2231-3()93a a a a+∙-+的值为 A ．1 B ．12 C ．13 D ． 147．弹簧原长(不挂重物)15cm ，弹簧总长L (cm)与重物质量x (kg)的关系如下表所示：当重物质量为5kg A ．22.5 B ．25 C ．27.5 D ．308．改革开放40年以来，城乡居民生活水平持续快速提升．居民教育、文化和娱乐消费支出持续增长，已经成为居民各项消费支出中仅次于居住、食品烟酒、交通通信后的第四大消费支出．下图为北京市统计局发布的2017年和2018年我市居民人均教育、文化和娱乐消费支出的折线图．说明：在统计学中，同比．．是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2018年第二季度与2017年第二季度相比较；环比．．是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2018年第二季度与2018年第一季度相比较．根据上述信息，下列结论中错误．．的是A．2017年第二季度环比有所提高B．2017年第三季度环比有所提高C．2018年第一季度同比有所提高D．2018年第四季度同比有所提高二、填空题（本题共16分，每小题2分）9x的取值范围是．10．有一个质地均匀的正方体，六个面上分别标有1~6这六个整数，投掷这个正方体一次，则出现向上一面的数字是偶数的概率为．11．能说明命题“若a＞b，则ac＞bc”是假命题的一个c值是_______．12．如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝50°，则∠ACB＝________°．13．《九章算术》中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大小器各容几何？”其大意是：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛．问大容器、小容器的容量各是多少？设大容器容量为x斛，小容器容量为y斛，根据题意，可列方程组为____________．（斛：古量器名，容量单位）14．已知：在□ABCD 中，点E 在DA 的延长线上，13AE AD ，连接CE 交BD 于点F ，则EFFC 的值是________．（1） : =________；（2）点P 为BD 的中点，过点P 作直线l ∥BC ，分别过点B 作BM ⊥l 于点M ，过点C 作CN ⊥l 于点N ，则矩形BCNM 的面积为________．EDA三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题,每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图，直线BC及直线BC外一点P．求作：直线PE，使得PE∥BC．作法：如图，①在直线BC上取一点A，连接P A；②作∠P AC的平分线AD；③以点P为圆心，P A长为半径画弧，交射线AD于点E；④作直线PE．所以直线PE就是所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AD平分∠P AC，∴∠P AD=∠CAD．∵P A=PE，∴∠P AD=________．∴∠PEA=________．∴PE∥BC．（____________________________________________________）（填推理的依据）180 2sin60+-22019︒-19．解不等式组：()+2124 132x xxx-≥-⎧⎪⎨+>⎪⎩20．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +a ﹣2＝0有实数根． （1）求a 的取值范围；（2）当a 为符合条件的最大整数时，求此时方程的解．21．如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB ，CD 的垂直平分线分别交AC ，DC ，BC 于点E ，F ，G ，连接DE ，DG ．（1）求证：四边形DGCE 是菱形；（2）若∠ACB =30°，∠B =45°，ED =6，求BG 的长．22．在平面直角坐标系xOy 中，直线(0)y kx k =≠与双曲线y ＝8(0)x x> 交于点A （2，n ）（1）求n 及k 的值；（2）点B 是y 轴正半轴上一点，且△OAB 是等腰三角形，请直接写出所有．．符合条件的点B 坐标．23．如图，AB 与⊙O 相切于点A ，P 为OB 上一点，且BP ＝BA ，连接AP 并延长交⊙O 于点C ，连接OC ． （1）求证：OC ⊥OB ；（2）若⊙O 的半径为4，AB ＝3，求AP 的长．24．某年级共有400名学生．为了解该年级学生上学的交通方式，从中随机抽取100名学生进行问卷调查，并对调查数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a ．不同交通方式学生人数分布统计图如下：b ．采用公共交通方式单程所花费时间（分钟）的频数分布直方图如下（数据分成6组: 10≤x<20， 20≤x<30，30≤x<40，40≤x<50，50≤x<60，60≤x≤70）：C ．采用公共交通方式单程所花费时间在30≤x <40这一组的是: 30 30 31 31 32 33 33 34 35 35 36 37 38 39 根据以上信息，完成下列问题： (1) 补全频数分布直方图；(2) 采用公共交通方式单程所花费时间的中位数为_______分；(3) 请你估计全年级乘坐公共交通上学有_______人．其中单程不少于60分钟的有_______人．25． 如图，点E 在弦AB 所对的优弧上，且BE 为半圆，C 是BE 上一动点，连接CA ，CB ，已知AB =4cm ，设B ，C 两点间的距离为x cm ，点C 到弦AB 所在直线的距离为1y cm ，A ，C 两点间的距离为2y cm ．小明根据学习函数的经验，分别对函数1y ,2y ，随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整:（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了1y ，2y 与x 的几组对应值；（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x ， ），（x ， ）并画出函数 ， 的图象；（3）结合函数图象，解决问题:①连结BE ，则BE 的长约为 cm ．②当以A ，B ，C 为顶点组成的三角形是直角三角形时，BC 的长度约为 cm ．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2691(0)y mx mx m m =-++≠．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若抛物线与x 轴的两个交点分别为A 和B （点A 在点B 的左侧），且AB =4，求m 的值；（3）已知四个点C （2,2），D （2,0），E （5,-2），F （5,6），若抛物线与线段CD 和线段EF 都没有公共点，请直接写出m 的取值范围．27．如图，在正方形ABCD 中，E 是边BC 上一动点（不与点B ，C 重合），连接DE ，点C 关于直线DE 的对称点为C ʹ，连接ACʹ并延长交直线DE 于点P ，F 是AC ′中点，连接DF ． （1）求∠FDP 的度数；（2）连接BP ，请用等式表示AP ，BP ，DP 三条线段之间的数量关系，并证明．（3）连接AC ACC ′的面积最大值．28．在平面直角坐标系xOy 中，对于P ，Q 两点给出如下定义：若点P 到x 、y 轴的距离中的最大值等于点Q 到x 、y 轴的距离中的最大值，则称P ，Q 两点为“等距点”．下图中的P ，Q 两点即为“等距点”．(1)已知点A 的坐标为(-3，1)，①在点E (0，3)，F (3，-3)，G (2，-5)中，为点A 的“等距点”的是________；②若点B 在直线y =x +6上，且A ，B 两点为“等距点”，则点B 的坐标为________； (2)直线l ：y =kx -3(k >0)与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，①若 (-1, )， (4, )，是直线l 上的两点，且 与 为“等距点”，求k 的值；②当k =1时，半径为r 的⊙O 上存在一点M ，线段CD 上存在一点N ，使得M ，N 两点为“等距点”，直接写出r 的取值范围．PBA北京市东城区2018—2019学年第二学期统一练习（一）初三数学参考答案及评分标准 2019.5一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．2x ≥ 10．1211．答案不唯一，如2c =-12．40 13．53,52,x y x y +=⎧⎨+=⎩ 14．43 15．8016．5:1，152三.解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题每小题7分）17.（1）； -----------------2分（2）∠PEA ，∠CAD ，内错角相等，两直线平行-----------------5分1802sin 60+22019-︒--＝2+212⨯------------------4分 -----------------5分19．()+2124(1)13(2)2x x xx -≥-⎧⎪⎨+>⎪⎩由（1）得，x ≤2---------------2分 由（2）得，x ＞－1---------------4分 ∴不等式的解集为－1＜x ≤2---------------5分20.（1）∵关于x 的一元二次方程x 2﹣3x +a ﹣2＝0有实数根， ∴△≥0，即（﹣3）2﹣4（a ﹣2）≥0，解得a ≤．-----------------2分（2）由（1）可知a ≤，∴a 的最大整数值为4.-----------------3分 此时方程为x 2﹣3x +2＝0，解得 ＝1， ＝2．-----------------5分21．（1）证明：∵EG 垂直平分DC ∴DE =CE ,∴EDC ECD ∠=∠． ∵CD 平分ECG ∠， ∴ECD DCG ∠=∠． ∴EDC DCG ∠=∠．∴DE ∥GC ．---------------------------------------------1分 同理DG ∥EC ．∴四边形DGCE 是平行四边形． ∵DE ＝CE ，∴四边形DGC E 是菱形．-----------------------------------2分 （2）解：四边形DGCE 是菱形， ∴DG =DE =6． ∵DG //EC ，∴030DGB ACB ∠=∠=．------------------3分 如图，过点D 作DH ⊥BG 于点H ，∴13DH DG ==．∴HG =------------------------------------------4分 ∵45B ∠=︒，∴BH =DH =3．∴3BG =+--------------------------------------5分22.解：（1）点A （2，n ）在双曲线8y x=上，∴n ＝842= ………………………………………………………………1分 ∵点A （2，4）在直线y kx =上，∴k＝2……………………………………………………………………2分（2）（0,8）（0，0，52）…………………………………5分23. （1）证明:∵AB ＝BP ，∴∠BAP ＝∠BP A ．…………………………………………………………………1分∵AB 与⊙O 相切于点A ，∴OA ⊥BA ．∴∠BAO ＝90°，即∠BAP ＋∠P AO ＝90°．……………………………………………………………………2分 又∵OA ＝OC ，∴∠P AO ＝∠C ．∵∠BP A ＝∠CPO ，∴∠C ＋∠CPO ＝90°．∴∠COP ＝90°，即CO ⊥OB ．…………………………………………………………………………3分（2）解：如图，作BD ⊥AP 于点D在Rt ABO 中，AB ＝3，OA ＝4，则BO ＝5，OP ＝2．在Rt CPO 中，PO ＝2，CO ＝4，则CP＝…………………………………………………………………………4分 ∵BA ＝BP ，∴AD ＝PD ．由（1）知∠COP ＝90°．∵∠BDP ＝90°，∠BPD ＝∠CPO ，∴△BPD ∽△CPO ．…………………………………………………………………………5分 ∴ =，即2PD ． ∴PD． ∴AP ＝2PD．…………………………………………………………………………6分 24．（1）画图略．----------------2分（2）31．------------------4分（3）200，8 -----------------6分25.解：（1）5.70． ………………………1分（2）画出2y 的图象．……………………….3分A（3）①6；………………………4分②6，4.47．……………………….6分26．（1）2691y mx mx m =-++＝2(69)1m x x -++＝2(3)1m x -+∴抛物线的顶点坐标为（3,1）…………………………………………2分（2）∵对称轴为x ＝3，且AB ＝4∴A （1,0），B （5,0）将A （1,0）代入抛物线，可得14m =-……………………………………4分（3) 5-164m m >＜或分27.解：（1）由对称可知 CD ＝C ′D ，∠CDE ＝∠C ′DE ．在正方形ABCD 中，AD ＝CD ，∠ADC ＝90°，∴AD ＝C ′D ．又∵F 为AC ′中点，∴DF ⊥AC ′，∠ADF ＝∠C ′DF ．……………………………………………………1分∴∠FDP ＝∠FDC ′＋∠EDC ′=12∠ADC ＝45°．…………………2分PBA（2）结论：BP ＋DPAP ．……………………………………………………3分 如图，作AP ′⊥AP 交PD 延长线于P ′，∴∠P AP ′＝90°．在正方形ABCD 中，DA ＝BA ，∠BAD ＝90°，∴∠DAP ′＝∠BAP ．由（1）可知∠APD ＝45°，∴∠P ′＝45°．∴AP ＝AP ′……………………………………………………4分在 BAP 和 DAP ′中，BA DA BAP DAP AP AP =⎧⎪'∠=∠⎨⎪'=⎩，∴△BAP ≌△DAP ′（SAS ）……………………………………………………5分 ∴BP ＝DP ′．∴DP ＋BP ＝PP ′＝．（3－1……………………………………………………7分28．解：（1）①E ，F ； ...................................................................................................... 2分 ②B (－3，3)． ......................................................................................................... 3分（2）①∵ (-1, )， (4, )是直线l 上的两点，∴ =-k -3， =4k -3．∵k>0，∴|-k -3|=k +3>1,4k -3>-3．依题意可得：当-3<4k -3<4时，k +3=4，解得k =1；当4k-3≥4时，k +3=4k -3，解得k =2．综上所述，k 的值为1或2． ................................................................................................ 5分②32r ≤≤ ................................................................................................................... 7分P'P BA。
2019年北京市中考数学一模试卷((有答案)
2019年北京市中考数学一模试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．如图，实数﹣3、x、3、y在数轴上的对应点分别为M、N、P、Q，这四个数中绝对值最小的数对应的点是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q2．下列运算正确的是（）A．2a3÷a＝6B．（ab2）2＝ab4C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D．（a+b）2＝a2+b23．某剧场为希望工程义演的文艺表演有60元和100元两种票价，某团体需购买140张，其中票价为100元的票数不少于票价为60元的票数的两倍，则购买这两种票最少共需要（）A．12120元B．12140元C．12160元D．12200元4．如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点P从点B出发，沿B→C→D向终点D匀速运动，设点P走过的路程为x，△ABP的面积为S，能正确反映S与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．5．下列命题中的假命题是（）A．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行B．平行于同一直线的两条直线平行C．直线y＝2x﹣1与直线y＝2x+3一定互相平行D．如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等6．函数y＝和y＝在第一象限内的图象如图，点P是y＝的图象上一动点，PC⊥x轴于点C，交y＝的图象于点B．给出如下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④CA＝AP．其中所有正确结论的序号是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④7．由五个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的左视图是（）A．B．C．D．8．为了解中学生获取资讯的主要渠道，随机抽取50名中学生进行问卷调查，调查问卷设置了“A：报纸，B：电视，C：网络，D：身边的人，E：其他”五个选项（五项中必选且只能选一项），根据调查结果绘制了如下的条形图．该调查的调查方式及图中a的值分别是（）A．全面调查；26B．全面调查；24C．抽样调查；26D．抽样调查；249．如图是12个大小相同的小正方形，其中5个小正方形已涂上阴影，现随机丢一粒豆子在这12个小正方形内，则它落在阴影部分的概率是（）A．B．C．D．10．定义新运算：a※b＝，则函数y＝3※x的图象大致是（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．计算（﹣1）2018﹣（π﹣）0+||＝．12．若方程x﹣y＝﹣1的一个解与方程组的解相同，则k的值为．13．将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖直线记成，定义：，上述记号叫做2阶行列式．若，则x＝．14．小明到超市买练习本，超市正在打折促销：购买10本以上，从第11本开始按标价打折优惠，买练习本所花费的钱数y（元）与练习本的个数x（本）之间的关系如图所示，那么在这个超市买10本以上的练习本优惠折扣是折．15．如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是m（结果保留根号）16．如图，一根直立于水平地面的木杆AB在灯光下形成影子AC（AC＞AB），当木杆绕点A按逆时针方向旋转，直至到达地面时，影子的长度发生变化．已知AE＝5m，在旋转过程中，影长的最大值为5m，最小值3m，且影长最大时，木杆与光线垂直，则路灯EF的高度为m．三．解答题（共7小题）17．先化简，再求值：（x+2y）（x﹣2y）+（20xy3﹣8x2y2）÷4xy，其中x＝2018，y＝2019．18．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？19．如图，已知反比例函数y＝的图象与一次函数y＝x+b的图象交于点A（1，4），点B（﹣4，n）．（1）求n和b的值；（2）求△OAB的面积；（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．20．如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知AB⊥BC于点B，底座BC的长为1米，底座BC 与支架AC所成的角∠ACB＝60°，点H在支架AF上，篮板底部支架EH∥BC，EF⊥EH于点E，已知AH长米，HF长米，HE长1米．（1）求篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数．（2）求篮板底部点E到地面的距离．（结果保留根号）21．某校为了解全校学生对新闻，体育，动画，娱乐，戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中只选出一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．（1）被调查学生的总数为人；（2）统计表中m的值为，统计图中n的值为．（3）在图中，A类所对应扇形的圆心角的度数为．（4）该校共有3000名学生，根据调查结果，估计该校最喜爱新闻节目的学生数为．22．阅读下列材料：我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如正方形就是和谐四边形．结合阅读材料，完成下列问题：（1）下列哪个四边形一定是和谐四边形．A．平行四边形B．矩形C．菱形D．等腰梯形（2）命题：“和谐四边形一定是轴对称图形”是命题（填“真”或“假”）．（3）如图，等腰Rt△ABD中，∠BAD＝90°．若点C为平面上一点，AC为凸四边形ABCD的和谐线，且AB＝BC，请求出∠ABC的度数．23．已知，抛物线y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．2019年北京市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．【分析】先相反数确定原点的位置，再根据点的位置确定绝对值最大的数即可解答．【解答】解：∵实数﹣3，x，3，y在数轴上的对应点分别为M、N、P、Q，∴原点在点M与N之间，∴这四个数中绝对值最小的数对应的点是点N，故选：B．【点评】本题考查了数轴，相反数，绝对值，有理数的大小比较的应用，解此题的关键是找出原点的位置，注意数形结合思想的运用．2．【分析】根据单项式的除法法则，以及幂的乘方，平方差公式以及完全平方公式即可作出判断．【解答】解：A、2a3÷a＝2a2，故选项错误；B、（ab2）2＝a2b4，故选项错误；C、正确；D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故选项错误．故选：C．【点评】本题考查了平方差公式和完全平方公式的运用，理解公式结构是关键，需要熟练掌握并灵活运用．3．【分析】设票价为60元的票数为x张，票价为100元的票数为y张，根据题意可列出，当购买的60元的票越多，花钱就越少，从而可求解．【解答】解：设票价为60元的票数为x张，票价为100元的票数为y张，故可得：x≤由题意可知：x，y为正整数，故x＝46，y＝94，∴购买这两种票最少需要60×46+100×94＝12160．故选：C．【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，读懂题意列出不等式关系式，本题关键是要知道当购买的60元的票越多，花钱就越少即可求解．4．【分析】要找出准确反映s与x之间对应关系的图象，需分析在不同阶段中s随x变化的情况．【解答】解：由题意知，点P从点B出发，沿B→C→D向终点D匀速运动，则当0＜x≤2，s＝，当2＜x ≤3，s ＝1，由以上分析可知，这个分段函数的图象开始直线一部分，最后为水平直线的一部分． 故选：C ．【点评】本题以动态的形式考查了分类讨论的思想，函数的知识和等腰直角三角形，具有很强的综合性． 5．【分析】根据平行公理即可判断A 、根据两直线平行的判定可以判定B 、C ；根据平行线的性质即可判定D ；【解答】解：A 、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，正确． B 、平行于同一直线的两条直线平行，正确；C 、直线y ＝2x ﹣1与直线y ＝2x +3一定互相平行，正确；D 、如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等，错误；应该是如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补； 故选：D ．【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．6．【分析】由于A 、B 是反比函数y ＝上的点，可得出S △OBD ＝S △OAC ＝，故①正确；当P 的横纵坐标相等时PA ＝PB ，故②错误；根据反比例函数系数k 的几何意义可求出四边形PAOB 的面积为定值，故③正确；连接PO ，根据底面相同的三角形面积的比等于高的比即可得出结论．【解答】解：∵A 、B 是反比函数y ＝上的点， ∴S △OBD ＝S △OAC ＝，故①正确；当P 的横纵坐标相等时PA ＝PB ，故②错误；∵P 是y ＝的图象上一动点， ∴S 矩形PDOC ＝4，∴S 四边形PAOB ＝S 矩形PDOC ﹣S △ODB ﹣﹣S △OAC ＝4﹣﹣＝3，故③正确； 连接OP ，＝＝＝4，∴AC ＝PC ，PA ＝PC ，∴＝3，∴AC ＝AP ；故④正确； 综上所述，正确的结论有①③④． 故选：C ．【点评】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数中系数k的几何意义是解答此题的关键．7．【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【解答】解：从左边看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，故选：D．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．8．【分析】运用抽样调查的定义可知，运用抽取的50名学生减去A，B，C，E的学生数就是a的值．【解答】解：本次调查方式为抽样调查，a＝50﹣6﹣10﹣6﹣4＝24，故选：D．【点评】本题主要考查了条形统计图，抽样调查，解题的关键是从条形统计图中得出相关数据．9．【分析】用涂上阴影的小正方形的个数除以所有小正方形的个数即可求得概率．【解答】解：如图所示：12个大小相同的小正方形，其中5个小正方形已涂上阴影，则随机丢一粒豆子在这12个小正方形内，则它落在阴影部分的概率是：．故选：B．【点评】此题主要考查了几何概率问题，了解几何概率的求法是解答本题的关键．10．【分析】先根据新定义运算列出y的关系式，再根据此关系式及x的取值范围画出函数图象即可．【解答】解：根据新定义运算可知，y＝3※x＝，（1）当x≥3时，此函数解析式为y＝2，函数图象在第一象限，以（3，2）为端点平行于x轴的射线，故可排除C、D；（2）当x＜3时，此函数是反比例函数，图象在二、四象限，可排除A．故选：B．【点评】此题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．【分析】计算乘方、零指数幂和立方根、绝对值，再计算加减可得．【解答】解：原式＝1﹣1+2＝2，故答案为：2．【点评】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握乘方、零指数幂的法则和立方根、绝对值定义与性质．12．【分析】联立不含k的方程组成方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可确定出k的值．【解答】解：联立得：，解得：，代入方程得：2﹣6＝k，解得：k＝﹣4，故答案为：﹣4【点评】此题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13．【分析】根据题中已知的新定义化简已知的方程，然后利用和与差的完全平方公式化简，得到关于x 的一元二次方程，开方即可求出x的值．【解答】解：根据题意可知：＝（x+1）2﹣（1﹣x）（x﹣1）＝（x+1）2+（x﹣1）2＝2x2+2＝6，即x2＝2，解得：x＝或x＝﹣．故答案为：±．【点评】本题主要考查完全平方公式的运用，以及理解并运用新定义的能力．熟记公式是解题的关键．14．【分析】根据函数图象求出打折前后的单价，然后解答即可．【解答】解：打折前，每本练习本价格：20÷10＝2元，打折后，每本练习本价格：（27﹣20）÷（15﹣10）＝1.4元，＝0.7，所以，在这个超市买10本以上的练习本优惠折扣是七折．故答案为：七．【点评】本题考查了一次函数的应用，比较简单，准确识图并求出打折前后每本练习本的价格是解题的关键．15．【分析】利用等腰直角三角形的性质得出AB＝AD，再利用锐角三角函数关系得出答案．【解答】解：由题意可得：∠BDA＝45°，则AB＝AD＝120m，又∵∠CAD＝30°，∴在Rt△ADC中，tan∠CDA＝tan30°＝＝，解得：CD＝40（m），故答案为：40．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出tan∠CDA＝tan30°＝是解题关键．16．【分析】根据木杆旋转时影子的长度变化确定木杆AB的长，然后利用相似三角形的性质求得EF的高度即可．【解答】解：当旋转到达地面时，为最短影长，等于AB，∵最小值3m，∴AB＝3m，∵影长最大时，木杆与光线垂直，即AC＝5m，∴BC＝4，又可得△CAB∽△CFE，∴＝，∵AE＝5m，∴＝，解得：EF＝7.5m．故答案为：7.5．【点评】本题考查了中心投影和相似三角形的判定及性质的知识，解题的关键是根据影子的变化确定木杆的长度．三．解答题（共7小题）17．【分析】先根据整式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x与y的值代入计算可得．【解答】解：原式＝x2﹣4y2+5y2﹣2xy＝x2﹣2xy+y2，＝（x﹣y）2，当x＝2018，y＝2019时，原式＝（2018﹣2019）2＝（﹣1）2＝1．【点评】本题主要考查整式的混合运算﹣化简求值，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则．18．【分析】（1）设每次降价的百分率为x，（1﹣x）2为两次降价的百分率，40降至32.4就是方程的平衡条件，列出方程求解即可；（2）设每天要想获得510元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．【解答】解：（1）设每次降价的百分率为x ． 40×（1﹣x ）2＝32.4x ＝10%或190%（190%不符合题意，舍去）答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，两次下降的百分率啊10%；（2）设每天要想获得510元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y 元，由题意，得（40﹣30﹣y ）（4×+48）＝510，解得：y 1＝1.5，y 2＝2.5， ∵有利于减少库存， ∴y ＝2.5．答：要使商场每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价2.5元． 【点评】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可．19．【分析】（1）把点A 坐标分别代入反比例函数y ＝，一次函数y ＝x +b ，求出k 、b 的值，再把点B 的坐标代入反比例函数解析式求出n 的值，即可得出答案；（2）求出直线AB 与y 轴的交点C 的坐标，分别求出△ACO 和△BOC 的面积，然后相加即可； （3）根据A 、B 的坐标结合图象即可得出答案．【解答】解：（1）把A 点（1，4）分别代入反比例函数y ＝，一次函数y ＝x +b ， 得k ＝1×4，1+b ＝4， 解得k ＝4，b ＝3，∵点B （﹣4，n ）也在反比例函数y ＝的图象上，∴n ＝＝﹣1；（2）如图，设直线y ＝x +3与y 轴的交点为C ， ∵当x ＝0时，y ＝3， ∴C （0，3），∴S △AOB ＝S △AOC +S △BOC ＝×3×1+×3×4＝7.5；（3）∵B （﹣4，﹣1），A （1，4），∴根据图象可知：当x ＞1或﹣4＜x ＜0时，一次函数值大于反比例函数值．【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，一次函数的图象等知识点，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，用了数形结合思想．20．【分析】（1）由cos∠FHE＝＝可得答案；（2）延长FE交CB的延长线于M，过点A作AG⊥FM于G，过点H作HN⊥AG于N，据此知GM＝AB，HN＝EG，Rt△ABC中，求得AB＝BC tan60°＝；Rt△ANH中，求得HN＝AH sin45°＝；根据EM＝EG+GM可得答案．【解答】解：（1）在Rt△EFH中，cos∠FHE＝＝，∴∠FHE＝45°，答：篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数为45°；（2）延长FE交CB的延长线于M，过点A作AG⊥FM于G，过点H作HN⊥AG于N，则四边形ABMG和四边形HNGE是矩形，∴GM＝AB，HN＝EG，在Rt△ABC中，∵tan∠ACB＝，∴AB＝BC tan60°＝1×＝，∴GM＝AB＝，在Rt△ANH中，∠FAN＝∠FHE＝45°，∴HN＝AH sin45°＝×＝，∴EM＝EG+GM＝+，答：篮板底部点E到地面的距离是（+）米．【点评】本题考查解直角三角形、锐角三角函数、解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．21．【分析】（1）用B类别人数除以其所占百分比可得；（2）总人数减去其他类别人数即可求得戏曲的人数m，再用D类别人数除以总人数可得n的值；（3）用360°乘以A类别人数所占比例即可得；（4）用总人数乘以样本中A类别人数所占比例．【解答】解：（1）被调查的学生总数为30÷20%＝150人，故答案为：150；（2）m＝150﹣（12+30+45+54）＝9，n%＝×100%＝36%，故答案为：9、36；（3）A类所对应扇形的圆心角的度数为360°×＝28.8°，故答案为：28.8°；（4）估计该校最喜爱新闻节目的学生数为3000×＝240人，故答案为：240人．【点评】本题考查统计表、扇形统计图、样本估计总体等知识没解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22．【分析】（1）由和谐四边形的定义，即可得到菱形是和谐四边形；（2）和谐四边形不一定是轴对称图形，举出反例即可；（3）首先根据题意画出图形，然后由AC是四边形ABCD的和谐线，可以得出△ACD是等腰三角形，从图1，图2，图3三种情况运用等边三角形的性质，正方形的性质和30°的直角三角形性质，即可求出∠ABC的度数．【解答】解：（1）∵菱形的四条边相等，∴连接对角线能得到两个等腰三角形，∴菱形是和谐四边形；故选C；（2）和谐四边形不一定是轴对称图形，如图所示：∠C＝45°，直角梯形ABCD是和谐四边形，但不是轴对称图形，故答案为：假；（3）∵AC是四边形ABCD的和谐线，且AB＝BC，∴△ACD是等腰三角形，∵在等腰Rt△ABD中，AB＝AD，∴AB＝AD＝BC，①如图1，当AD＝AC时，∴AB＝AC＝BC，∠ACD＝∠ADC∴△ABC是正三角形，∴∠ABC＝60°；②如图2，当DA＝DC时，∴AB＝AD＝BC＝CD．∵∠BAD＝90°，∴四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°；③如图3，当CA＝CD时，过点C作CE⊥AD于E，过点B作BF⊥CE于F，∵AC＝CD，CE⊥AD，∴AE＝ED，∠ACE＝∠DCE．∵∠BAD＝∠AEF＝∠BFE＝90°，∴四边形ABFE是矩形，∴BF＝AE．∵AB＝AD＝BC，∴BF＝BC，∴∠BCF＝30°．∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC．∵AB∥CE，∴∠BAC＝∠ACE，∴∠ACB＝∠BAC＝∠BCF＝15°，∴∠ABC＝150°．【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质、矩形的性质、正方形的性质以及菱形的性质，此题难度较大，解题的关键是掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．23．【分析】（1）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点D的坐标；（2）把点M（1，0）代入直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x的一元二次方程，可求得另一交点N的坐标，根据a＜b，判断a＜0，确定D、M、N的位置，画图1，根据面积和可得△DMN的面积即可；（3）先根据a的值确定抛物线的解析式，画出图2，先联立方程组可求得当GH与抛物线只有一个公共点时，t的值，再确定当线段一个端点在抛物线上时，t的值，可得：线段GH与抛物线有两个不同的公共点时t的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），∴a+a+b＝0，即b＝﹣2a，∴y＝ax2+ax+b＝ax2+ax﹣2a＝a（x+）2﹣，∴抛物线顶点D的坐标为（﹣，﹣）；（2）∵直线y＝2x+m经过点M（1，0），∴0＝2×1+m ，解得m ＝﹣2， ∴y ＝2x ﹣2，则，得ax 2+（a ﹣2）x ﹣2a +2＝0， ∴（x ﹣1）（ax +2a ﹣2）＝0，解得x ＝1或x ＝﹣2，∴N 点坐标为（﹣2，﹣6）， ∵a ＜b ，即a ＜﹣2a ， ∴a ＜0，如图1，设抛物线对称轴交直线于点E ，∵抛物线对称轴为x ＝﹣＝﹣，∴E （﹣，﹣3），∵M （1，0），N （﹣2，﹣6）， 设△DMN 的面积为S ，∴S ＝S △DEN +S △DEM ＝|（﹣2）﹣1|•|﹣﹣（﹣3）|＝，（3）当a ＝﹣1时，抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2﹣x +2＝﹣（x +）2+，有，﹣x 2﹣x +2＝﹣2x ， 解得：x 1＝2，x 2＝﹣1， ∴G （﹣1，2），∵点G 、H 关于原点对称， ∴H （1，﹣2），设直线GH 平移后的解析式为：y ＝﹣2x +t ， ﹣x 2﹣x +2＝﹣2x +t ， x 2﹣x ﹣2+t ＝0， △＝1﹣4（t ﹣2）＝0，t ＝，当点H 平移后落在抛物线上时，坐标为（1，0），把（1，0）代入y＝﹣2x+t，t＝2，∴当线段GH与抛物线有两个不同的公共点，t的取值范围是2≤t＜．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角形的面积等知识．在（1）中由M的坐标得到b与a的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于x的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得GH与抛物线一个交点和两个交点的分界点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．。
2024年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试 数学含答案
2024年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学试卷（答案在最后）考生须知：1.考生要认真填写考场号和座位序号.2.本试卷共6页，分为两部分：第一部分为选择题，共60分；第二部分为非选择题，共40分.3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效，第一部分必须用2B 铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答.4.考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回.第一部分（选择题共60分）一、选择题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}{}1,0,1,1,2A B =-=，则A B = （）A.{}1 B.{}2 C.{}1,2 D.{}1,0,1,2-2.复数2i =（）A.iB.i- C.1D.1-3.函数()()21f x x x =+的零点为（）A.1-B.0C.1D.24.已知向量()()0,1,2,1a b == ，则a b -=（）A.()0,2- B.()2,0 C.()2,0- D.()2,25.不等式21x >的解集为（）A.{}10x x -<< B.{}01x x << C.{}11x x -<< D.{1x x <-或}1x >6.在空间中，若两条直线a 与b 没有公共点，则a 与b （）A.相交B.平行C.是异面直线D.可能平行，也可能是异面直线7.在同一坐标系中，函数()y f x =与()y f x =-的图象（）A.关于原点对称B.关于x 轴对称C .关于y 轴对称D.关于直线y x =对称8.已知,a b 挝R R ，则“a b =”是“22a b =”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.故宫文创店推出了紫禁城系列名为“春”、“夏”、“秋”、“冬”的四款书签，并随机选择一款作为纪念品赠送给游客甲，则游客甲得到“春”或“冬”款书签的概率为（）A.12B.13C.14D.1610.已知函数(),01,0x x f x x x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若()02f x =，则0x =（）A.12B.12-C.2D.2-11.在ABC 中，7,3,5a b c ===，则A ∠=（）A.30︒ B.60︒C.90︒D.120︒12.下列函数中，存在最小值的是（）A.()1f x x =-+ B.()22f x x x =- C.()exf x = D.()ln f x x=13.贸易投资合作是共建“一带一路”的重要内容.2013—2022年中国与共建国家进出口总额占中国外贸总值比重（简称占比）的数据如下：年份2013201420152016201720182019202020212022占比()%39.240.338.938.639.640.642.441.442.245.4则这10年占比数据的中位数为（）A.40.3%B.40.45%C.40.6%D.41.4%14.若tan 1α=-，则角α可以为（）A.π4B.π6C.3π4D.5π615.66log 2log 3+=（）A.0B.1C.2D.316.函数()f x =的定义域为（）A.[)3,∞-+ B.[)2,-+∞ C.[)2,+∞ D.[)4,+∞17.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为BC 的中点.若1AB =，则三棱锥1D ADP -的体积为（）A.2B.1C.12D.1618.()2sin15cos15︒+︒=（）A.12B.1C.32D.219.已知0,0a b ≥≥，且1a b +=，则a b -的取值范围是（）A.[]1,0- B.[]0,1 C.[]1,1- D.[]22-,20.某校组织全校1850名学生赴山东曲阜、陕西西安和河南洛阳三地开展研究性学习活动，每位学生选择其中一个研学地点，且每地最少有100名学生前往，则研学人数最多的地点（）A.最多有1651名学生B.最多有1649名学生C.最少有618名学生D.最少有617名学生第二部分（非选择题共40分）二、填空题共4小题，每小题3分，共12分.21.已知幂函数()f x x α=的图象经过点(2,4)，则α=_______．22.已知,a b 挝R R ，且a b >，则2a -________3b -（填“>”或“<”）.23.已知向量,,a b c ，其中()1,0a = .命题p ：若a b a c ⋅=⋅r r r r，则b c = ，能说明p 为假命题的一组b 和c 的坐标为b = ________，c =________.24.已知的()11f x x =+，给出下列三个结论：①()f x 的定义域为R ；②()(),0x f x f ∀∈≤R ；③k ∃∈R ，使曲线()y f x =与y kx =恰有两个交点.其中所有正确结论的序号是________.三、解答题共4小题，共28分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.25.已知函数()2cos2f x x =.（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.26.阅读下面题目及其解答过程.已知函数()22xxf x -=+.（1）证明：()f x 是偶函数；（2）证明：()f x 在区间()0,∞+上单调递增.解：（1）()f x 的定义域为D =①________.因为对任意x D ∈，都有x D -∈，且()22xx f x --=+=②________，所以()f x 是偶函数.（2）③________()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，()()()()1122122222x x x x f x f x ---=+-+1212112222x x x x =-+-21121222222x x x x x x +-=-+()()12121222212x x x x x x ++--=因为120x x <<，所以1222x x -④________0，1221x x +-⑤________0，1221x x +>.所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <.所以()f x 在区间()0,∞+上单调递增.以上题目的解答过程中，设置了①～⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A ”或“B ”），空格序号选项① A.R B.()(),00,∞-+∞U ② A.()fx - B.()f x ③ A.任取 B.存在④ A.> B.<⑤A.>B.<27.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求证：//PB 平面AEC .28.已知()00000,,,a b c d α=和数表111122223333a b c d A a b c d a b c d ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中()*,,,N 0,1,2,3i i i i a b c d i ∈=.若数表A 满足如下两个性质，则称数表A 由0α生成.①任意{}11110,1,2,,,,i i i i i i i i i a a b b c c d d ++++∈----中有三个1-，一个3；②存在{}1,2,3k ∈，使,,,k k k k a b c d 中恰有三个数相等.（1）判断数表566645593848A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是否由()06,7,7,3α=生成；（结论无需证明）（2）是否存在数表A 由()06,7,7,4α=生成？说明理由；（3）若存在数表A 由()007,12,3,d α=生成，写出0d 所有可能的值.2024年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学试卷考生须知：1.考生要认真填写考场号和座位序号.2.本试卷共6页，分为两部分：第一部分为选择题，共60分；第二部分为非选择题，共40分.3.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效，第一部分必须用2B 铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答.4.考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回.第一部分（选择题共60分）一、选择题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}{}1,0,1,1,2A B =-=，则A B = （）A.{}1 B.{}2 C.{}1,2 D.{}1,0,1,2-【答案】A 【解析】【分析】根据集合交集的概念与运算，即可求解.【详解】集合{}{}1,0,1,1,2A B =-=，根据集合交集的运算，可得{}1A B ⋂=.故选：A.2.复数2i =（）A.iB.i- C.1D.1-【答案】D 【解析】【分析】直接根据复数的运算得答案.【详解】2i 1=-.故选：D.3.函数()()21f x x x =+的零点为（）A.1-B.0C.1D.2【答案】B 【解析】【分析】解方程求得方程的根，即可得相应函数的零点.【详解】令()()210f x x x =+=，则0x =，即函数()()21f x x x =+的零点为0，故选：B4.已知向量()()0,1,2,1a b == ，则a b -=（）A.()0,2- B.()2,0 C.()2,0- D.()2,2【答案】C 【解析】【分析】直接利用向量的坐标运算计算即可.【详解】()()0,1,2,1a b ==,()2,0a b ∴-=-.故选：C.5.不等式21x >的解集为（）A.{}10x x -<< B.{}01x x << C.{}11x x -<< D.{1x x <-或}1x >【答案】D 【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.【详解】由题意知，211x x >⇒<-或1x >，所以原不等式的解集为{1x x <-或1}x >.故选：D6.在空间中，若两条直线a 与b 没有公共点，则a 与b （）A.相交B.平行C.是异面直线D.可能平行，也可能是异面直线【答案】D 【解析】【分析】根据空间直线的位置关系判断，即可得答案.【详解】由题意知在空间中，两条直线a 与b 没有公共点，即a 与b 不相交，则a 与b 可能平行，也可能是异面直线，故选：D7.在同一坐标系中，函数()y f x =与()y f x =-的图象（）A.关于原点对称B.关于x 轴对称C.关于y 轴对称D.关于直线y x =对称【答案】B 【解析】【分析】根据函数上点的关系即可得函数图象的关系.【详解】当x a =时，()y f a =与()y f a =-互为相反数，即函数()y f x =与()y f x =-的图象关于x 轴对称.故选：B.8.已知,a b 挝R R ，则“a b =”是“22a b =”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】直接根据充分性和必要的定义判断求解.【详解】当a b =时，22a b =，当22a b =时，a b =±，则“a b =”是“22a b =”的充分而不必要条件.故选：A .9.故宫文创店推出了紫禁城系列名为“春”、“夏”、“秋”、“冬”的四款书签，并随机选择一款作为纪念品赠送给游客甲，则游客甲得到“春”或“冬”款书签的概率为（）A.12B.13C.14D.16【答案】A 【解析】【分析】直接根据古典概型的计算公式求解即可.【详解】由已知得随机选择一款作为纪念品赠送给游客甲有4种赠法，其中游客甲得到“春”或“冬”款书签的有2种赠法，则游客甲得到“春”或“冬”款书签的概率为2142=.故选：A.10.已知函数(),01,0x x f x x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若()02f x =，则0x =（）A.12B.12-C.2D.2-【答案】A 【解析】【分析】根据分段函数的解析式，代入求值，即可得答案.【详解】当0x ≤时，()0f x x =≤，当0x >时，1()0f x x=>，故由()02f x =，得001122,x x =∴=，故选：A11.在ABC 中，7,3,5a b c ===，则A ∠=（）A.30︒ B.60︒C.90︒D.120︒【答案】D 【解析】【分析】根据余弦定理求角，即可得答案.【详解】在ABC 中，7,3,5a b c ===，由余弦定理得222925491cos 22352b c a A bc +-+-===-⨯⨯,而A 为三角形内角，故120A =︒，故选：D12.下列函数中，存在最小值的是（）A.()1f x x =-+B.()22f x x x =- C.()exf x = D.()ln f x x=【答案】B 【解析】【分析】根据函数的单调性及值域分别判断最小值即可.【详解】()1f x x =-+单调递减值域为R ,无最小值，A 选项错误；()22f x x x =-在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增，当1x =取得最小值，B 选项正确；()e x f x =单调递增，值域为()0,+∞，无最小值，C 选项错误；()ln f x x =单调递增，值域为R ,无最小值，D 选项错误.故选:B.13.贸易投资合作是共建“一带一路”的重要内容.2013—2022年中国与共建国家进出口总额占中国外贸总值比重（简称占比）的数据如下：年份2013201420152016201720182019202020212022占比()%39.240.338.938.639.640.642.441.442.245.4则这10年占比数据的中位数为（）A.40.3%B.40.45%C.40.6%D.41.4%【答案】B 【解析】【分析】将数据从小到大排列，然后求中位数即可.【详解】把这10年占比数据从小到大排列得38.6%,38.9%,39.2%,39.6%,40.3%,40.6%,41.4%,42.2%,42.4%,45.4%，中位数为40.3%40.6%40.45%2+=.故选：B14.若tan 1α=-，则角α可以为（）A.π4B.π6 C.3π4D.5π6【答案】C 【解析】【分析】直接根据正切值求角即可.【详解】tan 1α=- ,3ππ,4k k α∴=+∈Z ，观察选项可得角α可以为3π4.故选：C.15.66log 2log 3+=（）A.0B.1C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】直接利用对数的运算性质计算即可.【详解】()66661l o 2og 2log 3l g l g 36o ==+⨯=.故选：B.16.函数()f x =的定义域为（）A.[)3,∞-+ B.[)2,-+∞ C.[)2,+∞ D.[)4,+∞【答案】C 【解析】【分析】根据函数()f x 的解析式有意义，列出不等式，即可求解.【详解】由函数()f x =有意义，则满足390x -≥，即2393x ≥=，解得2x ≥，所以函数()f x 的定义域为[)2,+∞.故选：C.17.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为BC 的中点.若1AB =，则三棱锥1D ADP -的体积为（）A.2B.1C.12D.16【答案】D 【解析】【分析】直接利用棱锥的体积公式计算.【详解】因为1DD ⊥面ADP 所以1111111113326D ADP ADP V DD S -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= .故选：D.18.()2sin15cos15︒+︒=（）A.12B.1C.32D.2【答案】C 【解析】【分析】按完全平方公式展开后，结合同角的三角函数关系以及二倍角正弦公式，即可求得答案.【详解】()2223sin15cos15sin 152sin15cos15cos 151sin 302︒+︒=︒+︒︒+︒=+︒=，故选：C19.已知0,0a b ≥≥，且1a b +=，则a b -的取值范围是（）A.[]1,0- B.[]0,1 C.[]1,1- D.[]22-,【答案】C 【解析】【分析】先通过条件求出a 的范围，再消去b 求范围即可.【详解】由1a b +=得1b a =-，所以10a -≥，得01a ≤≤，所以()[]1211,1a b a a a -=--=-∈-.故选：C.20.某校组织全校1850名学生赴山东曲阜、陕西西安和河南洛阳三地开展研究性学习活动，每位学生选择其中一个研学地点，且每地最少有100名学生前往，则研学人数最多的地点（）A.最多有1651名学生B.最多有1649名学生C.最少有618名学生D.最少有617名学生【答案】D 【解析】【分析】根据题意求出最多和最少的人数即可.【详解】185036162÷= ,6161617+=，即研学人数最多的地点最少有617名学生，18501001001650--=，即研学人数最多的地点最多有1650名学生.故选：D第二部分（非选择题共40分）二、填空题共4小题，每小题3分，共12分.21.已知幂函数()f x x α=的图象经过点(2,4)，则α=_______．【答案】2【解析】【分析】由幂函数所过的点可得24α=，即可求α.【详解】由题设，(2)24f α==，可得2α=.故答案为：222.已知,a b 挝R R ，且a b >，则2a -________3b -（填“>”或“<”）.【答案】<【解析】【分析】根据不等式的基本性质即可求解.【详解】由题意知，a b >，则a b -<-，所以23a b -+<-+，即23a b -<-.故答案为：<23.已知向量,,a b c ，其中()1,0a = .命题p ：若a b a c ⋅=⋅r r r r，则b c = ，能说明p 为假命题的一组b 和c 的坐标为b = ________，c =________.【答案】①.()0,1（答案不唯一）②.()0,2（答案不唯一）【解析】【分析】直接根据0a b a c ⋅=⋅=r r r r可得答案.【详解】让0a b a c ⋅=⋅=r r r r即可，如()()0,1,0,2b c ==r r ，此时b c≠r r 故答案为：()()0,1,0,2（答案不唯一）.24.已知的()11f x x =+，给出下列三个结论：①()f x 的定义域为R ；②()(),0x f x f ∀∈≤R ；③k ∃∈R ，使曲线()y f x =与y kx =恰有两个交点.其中所有正确结论的序号是________.【答案】①②【解析】【分析】①直接观察函数可得答案；②通过0x ≥求出()f x 的最值即可；③将问题转化为1y k=与()()1y g x x x ==+的交点个数即可.【详解】对于①：由10x +≠恒成立得()f x 的定义域为R ，①正确；对于②：()1011101x x f x ≥⇒+≥⇒≤=+，②正确；对于③：令11kx x =+，变形得()11x x k+=，作出函数()()22,01,0x x x g x x x x x x ⎧+≥=+=⎨-+<⎩的图象如下图：根据图象可得()g x 在R 上单调递增，故1y k=与()y g x =只有一个交点，即不存在k ∈R ，使曲线()y f x =与y kx =恰有两个交点，③错误.故答案为：①②.三、解答题共4小题，共28分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.25.已知函数()2cos2f x x =.（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】25.π26.最大值为2，最小值为-2【解析】【分析】（1）结合公式2πT ω=计算直接得出结果；（2）由题意求得02πx ≤≤，根据余弦函数的单调性即可求解.【小问1详解】由2π2ππ2T ω===，知函数()f x 的最小正周期为π；【小问2详解】由π02x ≤≤，得02πx ≤≤，令2x θ=，则0πθ≤≤，函数cos y θ=在[0,π]上单调递减，所以1cos θ1-＃，所以2()2f x -≤≤，即函数()f x 在π[0,2上的最大值为2，最小值为-2.26.阅读下面题目及其解答过程.已知函数()22xxf x -=+.（1）证明：()f x 是偶函数；（2）证明：()f x 在区间()0,∞+上单调递增.解：（1）()f x 的定义域为D =①________.因为对任意x D ∈，都有x D -∈，且()22xx f x --=+=②________，所以()f x 是偶函数.（2）③________()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，()()()()1122122222x x x x f x f x ---=+-+1212112222x x x x =-+-21121222222x x x x x x +-=-+()()12121222212x x x x x x ++--=因为120x x <<，所以1222x x -④________0，1221x x +-⑤________0，1221x x +>.所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <.所以()f x 在区间()0,∞+上单调递增.以上题目的解答过程中，设置了①～⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A ”或“B ”），空格序号选项①A.RB.()(),00,∞-+∞U ② A.()f x - B.()f x ③ A.任取 B.存在④ A.> B.<⑤A.>B.<【答案】ABABA 【解析】【分析】根据()f x 的定义域以及函数奇偶性的定义可解答①②；根据函数单调性的定义，结合用单调性定义证明函数单调性的步骤方法，可解答③④⑤.【详解】①由于()22xxf x -=+的定义域为R ，故A 正确；②由于()2()2xx x x f f --=+=，故B 正确；③根据函数单调性定义可知任取()12,0,x x ∈+∞，故A 正确；④因为120x x <<，所以1222x x <，故12220x x -<，故B 正确；⑤因为120x x <<，故120x x +>，故121221,210x x x x ++>∴->，故A 正确.27.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求证：//PB 平面AEC .【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质可得BD PA ⊥，结合线面垂直判定定理即可证明；（2）设AC 与BD 交于点O ，连接OE ，则//OE PB ，结合线面平行的判定定理即可证明.【小问1详解】因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD PA ⊥，又平面ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，又,PA AC A PA AC 、=Ì平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ；【小问2详解】E 为PD 的中点，设AC 与BD 交于点O ，连接OE，则//OE PB ，又OE ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以//PB 平面AEC .28.已知()00000,,,a b c d α=和数表111122223333a b c d A a b c d a b c d ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中()*,,,N 0,1,2,3i i i i a b c d i ∈=.若数表A满足如下两个性质，则称数表A 由0α生成.①任意{}11110,1,2,,,,i i i i i i i i i a a b b c c d d ++++∈----中有三个1-，一个3；②存在{}1,2,3k ∈，使,,,k k k k a b c d 中恰有三个数相等.（1）判断数表566645593848A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是否由()06,7,7,3α=生成；（结论无需证明）（2）是否存在数表A 由()06,7,7,4α=生成？说明理由；（3）若存在数表A 由()007,12,3,d α=生成，写出0d 所有可能的值.【答案】（1）是（2）不存在，理由见解析（3）3，7，11.【解析】【分析】（1）根据数表A 满足的两个性质进行检验，即可得结论；（2）采用反证的方法，即若存在这样的数表A ，由性质①推出对任意的{}1,2,3k ∈，,,,k k k k a b c d 中均有2个奇数，2个偶数，则推出不满足性质②，即得结论；（3）判断出0d 的所有可能的值为3，7，11，一方面说明0d 取这些值时可以由()007,12,3,d α=生成数表A ，另一方面，分类证明0d 的取值只能为3，7，11，由此可得0d 所有可能的值.【小问1详解】数表566645593848A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是由()06,7,7,3α=生成；检验性质①：当0i =时，561,671,671,633-=--=--=--=，共三个1-，一个3；当1i =时，451,561,561,963-=--=--=--=，共三个1-，一个3；当2i =时，341,853,451,891-=--=-=--=-，共三个1-，一个3；任意{}11110,1,2,,,,i i i i i i i i i a a b b c c d d ++++∈----中有三个1-，一个3；检验性质②：当1k =时，11115,6,6,6a b c d ====，恰有3个数相等.【小问2详解】不存在数表A 由()06,7,7,4α=生成,理由如下:若存在这样的数表A ，由性质①任意{}11110,1,2,,,,i i i i i i i i i a a b b c c d d ++++∈----中有三个1-，一个3，则13i i a a +-=或-1，总有1i a +与i a 的奇偶性相反，类似的，1i b +与i b 的奇偶性相反，1i c +与i c 的奇偶性相反，1i d +与i d 的奇偶性相反；因为00006,7,7,4a b c d ====中恰有2个奇数，2个偶数，所以对任意的{}1,2,3k ∈，,,,k k k k a b c d 中均有2个奇数，2个偶数，此时,,,k k k k a b c d 中至多有2个数相等，不满足性质②；综上，不存在数表A 由()06,7,7,4α=生成；【小问3详解】0d 的所有可能的值为3，7，11.一方面，当03d =时，(71233),,,可以生成数表611265105541344A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；当07d =时，(71237),,,可以生成数表611665145541744A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；当011d =时，(712311),,,可以生成数表611610510998988A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；另一方面，若存在数表A 由()007,12,3,d α=生成，首先证明：0d 除以4余3；证明：对任意的0,1,2,3i =，令i i i a b ∆=-，则()()()()11111ΔΔi i t i i i i i i i a b a b a a b b +++++-=---=---，分三种情况：（i ）若11i i a a +-=-，且11i i b b +-=-，则10i i +∆∆=-；（ii ）若11i i a a +-=-，且13i i b b +=-，则14i i +∆-=-∆；（iii ）若13i i a a +-=，且11i i b b +-=-，则14i i +∆∆=-；均有1i +∆与i ∆除以4的余数相同.特别的，“存在{}1,2,3k ∈，使得k k a b =”的一个必要不充分条件为“00,a b 除以4的余数相同”；类似的，“存在{}1,2,3k ∈，使得k k a c =”的一个必要不充分条件为“00,a c 除以4的余数相同”；“存在{}1,2,3k ∈，使得k k a d =”的一个必要不充分条件为“00,a d 除以4的余数相同”；“存在{}1,2,3k ∈，使得k k b c =”的一个必要不充分条件为“00,b c 除以4的余数相同”；“存在{}1,2,3k ∈，使得k k b d =”的一个必要不充分条件为“00,b d 除以4的余数相同”；“存在{}1,2,3k ∈，使得k k c d =”的一个必要不充分条件为“00,c d 除以4的余数相同”；所以，存在{}1,2,3k ∈，使得,,,k k k k a b c d 中恰有3个数相等的一个必要不充分条件是,,,k k k k a b c d 中至少有3个数除以4的余数相同.注意到07a =与03c =除以4余3，012b =除以4余0，故0d 除以4余3.其次证明：0{3,7,11,15}d ∈；证明：只需证明015d ≤；由上述证明知若()007,12,3,d α=可以生成数表A ，则必存在{}1,2,3k ∈，使得k k k a c d ==；若015d >，则0015312d c ->-=，()()1100221148,44d c d c d c d c -≥-->-≥-->，()332240d c d c -≥-->，所以，对任意{}1,2,3k ∈，均有0k k d c ->，矛盾；最后证明：015d ≠；证明：由上述证明可得若()007,12,3,d α=可以生成数表A ，则必存在{}1,2,3k ∈，使得k k k a c d ==，0015312d c =--=，()()1100221148,44d c d c d c d c -≥--=-≥--≥，()332240d c d c -≥--≥，欲使上述等号成立，对任意的{}1,2,3k ∈，113,1k k k k c c d d ++-=-=-，则111,1k k k k a a b b ++-=--=-，611614510913491212A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，经检验，不符合题意；综上，0d 所有可能的取值为3，7，11.【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于第3问中确定0d 所有可能的取值，解答时要根据数表A 满足的性质分类讨论求解，并进行证明，证明过程比较复杂，需要有清晰的思路.。
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D. 2
A. 30
B． 45
C. 60
D． 90
13. 已知直线 l 经过点 P (1,1) ，且与直线 x y 2 0 平行，那么直线 l 的方程为
A. x y 2 0 B. x y 2 0 C. x y 0
D. x y 4 0
14. 函数零点的涵义是 A. 一个点
B. 函数图象与 x 轴的交点的横坐标
C. 1 2
1
D.
2
6. 在空间直角坐标系 O xyz 中， A(1,1,1) ， B (1,1,1) ，那么 AB 等于
A. 2
B. 6
C. 2 2
D. 2 3
7. 2018 年 10 月 24 日，我国超级工程——港珠澳大桥正式通车运营，它是世界上
最长的跨海大桥，全长 55 千米，采用 Y 型线路，连接香港、珠海和澳门三地. 如
2000 人，为了解学生的体质健康合格情况，决定采用分层抽样的方法从全校学
生中抽取一个容量为 400 的样本，其中被抽到的初中学生人数为 180，那么这所
学校的初中学生人数为
A. 800
B. 900
C. 1000
D. 1100
9. 化简 sin( ) 为
A. sin
B. sin
C. cos
D. cos
C. 函数图象与 x 轴的交点
D. 函数图象与 y 轴的交点的纵坐标
15.
在函数
y
1 x
，
y
x2
，
y
2x
，
y
log3
x
中，奇函数是
A. y 1 x
B. y x2
C. y 2x
D. y log3 x
16. 在相距 4 千米的 A,B 两点分别观测目标点 C,如果 CAB 75 , CBA 60 ,
须用 2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用 知
2B 铅笔。
4．考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回。
参考公式：锥体的体积公式V 1 Sh ，其中 S 为锥体的底面积， h 为锥体的高. 3
第一部分 选择题（每小题 3 分，共 81 分）
在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.
10. 如果直线 2x y 0 与直线 x my 1 0 垂直，那么 m 的值为
A. 2
B. 1 2
1
C.
2
D. 2
11. 已知向量 a (2, 1) ， b (1, m) , 且 a = 2b ，那么 m 的值为
A. 2
B. 1 2
1
C.
2
12. 直线 x 3y 1 0 的倾斜角的度数是
那么三棱锥 F CDE 的体积为
[来源:]
1
A.
6 1
B.
3
F D1 A1
C1 B1
1
C.
2
D
C
2
D.
3
A
EB
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]
26. 已知边长为 3 的正方形 ABCD ，点 E 满足 DE 2EC ，那么 AE AC 等于
A. 6
B. 9
C. 12
D. 15
距离是
1
A.
B. 1
2
19. 函数 f (x) 2sin2 x 的最小正周期是
C. 2
D. 2
A.
2
B.
C. 2
D. 4
20.
计算
1 4
0
+
log
2
2
的结果为
5
A. 3
B.
C. 2
D. 1
4
21. 已知两条直线 m ， n 和平面 ，且 m ，要得到结论 m∥n ，还需要添加一个
已知条件，这个条件应是① n ，② n∥α ，③ n ，④ n 中的
C. y sin(2x ) 6
D. y sin(2x ) 6
24. 在 ABC 中，角 A, B,C 所对应的边分别为 a,b, c ，如果 b 1, c 3, B 30 ，
那么角 A 的度数是
A. 30 或 60
B. 45 或 60
C. 30 或 90
D. 45 或120
25. 如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1， E, F 分别为棱 AB,C1D1 上的动点，
2019 年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试
数学试卷
1. 考生要认真填写考场号和座位序号。
2. 本试卷共 7 页，分为两个部分，第一部分为选择题，27 个小题（共 81 分）； 考
第二部分为解答题， 4 个小题（ 共 19 分）。 生
3．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必 须
A. ①
B. ②
C. ③
D. ④
22.
已知函数
f
(x)=
1, x≥0， 2x, x
0.
如果
f
(m)
=
4
，那么实数
m
的值为
A. 1
B. 2
C. 8
D. 1 2
23. 将函数 y 2sin x 的图象向左平移 个单位，所得图象的函数表达式是 6
A． y 2sin(x ) 6
B. y 2sin(x ) 6
果从甲、乙、丙三位同学中任选一位同学前往港珠澳大桥 参观，那么甲同学被选
中的概率为
A. 1 3
B. 1 2
C. 2 3
D. 1
8. 为深入贯彻落实《国务院 办公厅关于强化学校体育促进学生身心健康全面发展
的意见》，我市提出：到 2020 年，全市义务教育阶段学生体质健康合格率达到
98%，基础教育阶段学生优秀率达到 15%以上. 某学校现有小学和初中学生共
27. 党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战
那么 A ,C 两点间的距离是
A. 2 2 千米
B. 2 3 千米
C. 2 6 千米
17. 已知角 的终边经过点 P(5,12) ，那么 sin 的值是
D. ( 2+2 3 )千米
5
A.
12
12
B.
5
5
C.
13
12
D.
13
18. 已知直线 l：x+y 2 0 和圆 C：(x 1)2 ( y 1)2 1 ，那么圆心 C 到直线 l 的
1. 已知集合 A {0，1}， B {1，1}，那么 A B 等于
A. {0，1}
B. {1，1}
C. {0}
D. {1，1，0}
2. 已知向量 a (1，1) ， b (1，2) ，那么 a + b 等于
A. ( 0，1)
B . (1，2)
C. ( 2，3)
D. (3，2)
3. 过点 A(3, 0) 和 B(0, 2) 的直线的方程为
A. 2x 3y 6 0
B. 3x 2 y 4 0
C. 2x+3y 6 0
D. x 2y 4 0
4. 函数 y=lg(x+2) 的定义域是
A. 2，+
B. 2，+
C. 0，+
D. -2，+
5. 如果幂函数 f (x) = x 的图象经过点 4, 2 ，那么 的值是
A. 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B. 2