基于WKB近似的一维势阱量子化条件推导
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Abstract：WKB approximation method has various utilisations including the calculation of potential barrier and potential well．Deduced the quantum conditions of bound states particle for three classical models by WKB approximation method. Key words：WKB approximation；quantum condition；one dimension potential well
次系数为零有： =0∶( f0′)2 = p2 , =1∶f0′′i = 2 f0′ f1′, =2∶f1′′ i = 2 f0′ f2′ + ( f0′)2 , " ．取 f (x) 至一级近似，得
∫ f (x)
≅
f0
+
f1
=
±
1 =
x
p(t)dt
0
（2）
其中： p(x) = 2m(E − V (x)) ． 将式（2）代入 schrodinger 方程，得
WKB 近似法即温侧-克喇末-布里渊近似法，其应用广泛，如利用 WKB 近似法处理谐振子问题、开普 勒问题、分波相角计算问题等[1]．在势场V (x) 变化缓慢且 E − V (x) 特别大的条件（即 WKB 近似条件）下， 用 WKB 近似方法求解一维定态薛定谔方程可以得到 WKB 波函数，结合转折点处波函数的渐进行为以及边 条件能够导出一维势阱中 3 种典型模型下束缚态粒子的量子化条件．
x2
x
图 3 垂直势阱
φ(x2 ) = nπ
（n
= 1,
2,
3,
" ），代入式φ(x) =
1 =
∫
x 0
p(t
)dt
，得
∫ x2 0
p(x)dx
=
nπ =
（n
= 1,
2,
3,
"）
（8）
式（8）就是一维垂直势阱内束缚态粒子的量子化条件，相当于原始 Bohr-Sommerfeld 量子化条件[4]．式（8）
ψ≅
C′ p( x)
exp⎜⎛ ⎝
i =
∫x 0
p(t)dt ⎟⎞ ⎠
=
C p(x)
sin⎜⎛ ⎝
1 =
∫x 0
p(t)dt
+
α
⎟⎞ ⎠
（3）
其中： C′ ， C ， α 由具体问题的边条件和归一化条件确定．
收稿日期：2009-09-02 基金项目：山东工商学院校级教研项目（G1300） 作者简介：李海（1978-），男，山西朔州人，讲师，硕士，从事大学物理教学研究．E-mail：:shenghuo2003@126.com
李海，于文莉，杜慧秋
（山东工商学院 信息与电子工程学院，山东 烟台 264000）
摘要：WKB 近似法的应用非常广泛，处理势阱问题是其中应用之一．使用 WKB 近似方法导出了
3 种典型的一维势阱模型中束缚态粒子的量子化条件．
关键词：WKB 近似；量子化条件；一维势阱
中图分类号：O413
文献标识码：A
⎪⎩∞
x ≥ x2
（ 3 ） 相 同 并 可 化 为 ψ≅
C′ p( x)
exp⎜⎝⎛ ±
i =
∫x 0
p(t)dt ⎟⎠⎞
=
1 p(x)
(C1
sin φ(x)
+
C2
cosφ(x)) ，其中：φ(x)
=
1 =
∫x 0
p(t)dt
．
V(x)
E I
II III
由边条件可知，当 x = 0 时，ψ (0) = 0 ，从而有 sin φ(0) = 0 ， C2 = 0 ；当 x = x2 时，ψ (x2 ) = 0 ，从而有 sin φ(x2 ) = 0 ，所以
I
化条件为
III II
∫ x2 0
p(x)dx
= ⎜⎝⎛ n −
1 4
⎟⎠⎞π=
（ n = 1,
2,
3,
"）
（7）
x2
x
图 2 单垂直阱壁势阱
54
高师理科学刊
第 30 卷
2.3 垂直势阱
图３的一维垂直势阱的势函数可表示为
V (x) = ⎪⎨⎧∞f (x)
x≤0 0 < x < x2 ，在区域 II 中，WKB 波函数形式与式
(经典禁区 x < x1 )
(经典允许区 x > x1 )
所以在势阱中粒子的束缚态的 WKB 波函数可表示为
⎧
ψ
=来自百度文库
⎪⎪ ⎨
⎪
⎪⎩
C p(x)
sin⎜⎝⎛
1 =
x
∫ x1
p(x)dx
+
π 4
⎟⎠⎞
=
C′ p( x)
sin⎜⎝⎛
1 =
∫ x2 x
p(x)dx
+
π 4
⎟⎠⎞
=
C sin θ1 (x) p(x) C ′ sin θ 2 (x) p(x)
=
Aexp⎜⎝⎛ ±
pxi =
⎟⎠⎞
可记为ψ
= exp⎜⎝⎛
f
(x)i =
⎟⎠⎞
，将其代入
schrodinger
方程
− = 2 ∇ψ + V (x)ψ = Eψ ，可得 2m
=f ′′ i − ( f ′) 2 + p 2 = 0
（1）
将 f (x) 以 = 展开为 f (x) = f0 (x) + =f1(x) + =2 f2 (x) + " ，并代入式（1）可得到 = 的多项式，根据 = 各幂
The deducing of quantum conditions based on WKB approximation method in one dimension potential well
LI Hai，YU Wen-li，DU Hui-qiu
（School of Information and Electronic Engineering，Shandong Institute of Business and Technology，Yantai 264000，China）
同样也适用于平底方势阱．
使用 WKB 近似方法导出了一维势阱中 3 种典型势阱模型下束缚态粒子的量子化条件，推导方法简洁、
清晰，既有助于了解 WKB 近似方法的基本思想以及理论，又利于对一维势阱下束缚态粒子量子化条件的
深刻认识．另外，通过不同模型下的量子化条件，能够很容易计算出相应势阱中粒子的能级分布（如计算
1）下的量子化条件为
∫ x2 p(x)dx = ⎜⎛ n − 1 ⎟⎞π= （ n = 1, 2, 3, " ）
x1
⎝ 2⎠
（6）
2.2 含单垂直阱壁势阱
单垂直阱壁势阱（见图 2）是一维势阱的一种重要模型[3]．其
V(x)
{ 势函数满足 V (x) =
f (x) ∞
x>0 x≤0
，在垂直势壁
x
=
0
处，显然有
．因此，在邻近
x1
，
x2
处式（3）、式（4）不再成立．此时转折点处波函数可由连
接函数与 WKB 波函数对照得出[2]． x = x1 两侧 WKB 波函数的连接公式为
1 p(x)
exp⎜⎝⎛ −
∫1 x1
=x
p(x) dx⎟⎠⎞ ⇔
2 p(x)
sin⎜⎝⎛
1 =
x
∫ x1
p(x)dx
+
π 4
⎟⎠⎞
（5）
第 30 卷 第 1 期 2010 年 1 月
高师理科学刊 Journal of Science of Teachers′College and University
文章编号：1007-9831（2010）01-0052-03
Vol. 30 No.1 Jan. 2010
基于 WKB 近似的一维势阱量子化条件推导
ψ≅
C1 p( x)
exp⎜⎝⎛
i =
∫x 0
p(t)dt ⎟⎠⎞ +
C2 p(x)
exp⎜⎝⎛ −
i =
∫x 0
p(t)dt ⎟⎠⎞
（4）
V(x)
其中： C1 ， C2 由边条件及归一化条件确定．
2 一维势阱量子化条件
2.1 无垂直阱壁势阱 式（3）、式（4）分别给出了 E > V (x) 和 E < V (x) 的 WKB
第1期
李海，等：基于 WKB 近似的一维势阱量子化条件推导
53
式（3）是一维自由粒子 WKB 波函数的解，该解成立的条件是 p(x) = 2m(E −V (x)) > 0 ，即 E > V (x) ， 波函数对应图 1 中的区域 II（经典允许区）．
当 p(x) < 0 ，即 E < V (x) 时，只需将式（3）中的 p(x) 变为 p(x)i ，即可得到与图 1 中区域 I 和区域 III （经典禁区）对应的 WKB 波函数
1 WKB 近似波函数
考虑到量子力学与经典力学之间的过渡条件： Q.M (= → 0) → C.M ，利用准经典近似法（WKB 近似方 法），可对一维自由粒子波函数以 = 展开，然后求 schrodinger 方程并取波函数近似解，即可得到 WKB 近似
波函数．
具体操作为：
对于一维自由粒子波函数ψ
E
I
II
x1
III
x2
x
波函数．但是在转折点 x1 ，x2 处 E = V (x1 ) = V (x2 ) ，邻近 x1 ，x2 处 不 满 足 WKB 近 似 条 件 ： (x) dV << 1 ， 其 中 ：
2(E − V (x)) dx
图 1 一维势阱分布
(x) =
= 2m(E − V (x))
x ≈ x1 , x > x1 x ≈ x2 , x < x2
由于在同一区域 II 内（阱内）波函数应保持一致，所以有 θ1 (x) + θ 2 (x) = nπ （ n = 1, 2, 3, " ），即
1 =
∫ x2 p(x)dx x1
+
π 2
= nπ
（n
= 1,
2,
3,
" ），由此得到无垂直阱壁势阱模型（见图
ψ (0) = 0 ．此时 θ1 (x) + θ 2 (x) = mπ + θ 2 (x) = kπ ，其中： m, n 均
为整数，整理得 θ 2 ( x) = (k − m)π = nπ （ n = 1, 2, 3, " ），即
E
1 =
∫ x2 0
p(x)dx +
π 4
=
nπ ，由此得到单垂直阱壁势阱模型下的量子
一维谐振子能级分布）．
参考文献：
[1] 李颜霞，毛日新．用 WKB 近似法计算库仑场的分波相角[J]．沈阳师范大学学报，2006（4）：430-432. [2] 曾谨言．量子力学（卷 II）[M]．北京：科学出版社，2007：84-86. [3] David J，Griffiths．Introduction to Quantum Mechanics[M]．北京：机械工业出版，2006：330-332. [4] 曾谨言．量子力学导论[M]．北京：北京大学出版社，2006：6-8.
次系数为零有： =0∶( f0′)2 = p2 , =1∶f0′′i = 2 f0′ f1′, =2∶f1′′ i = 2 f0′ f2′ + ( f0′)2 , " ．取 f (x) 至一级近似，得
∫ f (x)
≅
f0
+
f1
=
±
1 =
x
p(t)dt
0
（2）
其中： p(x) = 2m(E − V (x)) ． 将式（2）代入 schrodinger 方程，得
WKB 近似法即温侧-克喇末-布里渊近似法，其应用广泛，如利用 WKB 近似法处理谐振子问题、开普 勒问题、分波相角计算问题等[1]．在势场V (x) 变化缓慢且 E − V (x) 特别大的条件（即 WKB 近似条件）下， 用 WKB 近似方法求解一维定态薛定谔方程可以得到 WKB 波函数，结合转折点处波函数的渐进行为以及边 条件能够导出一维势阱中 3 种典型模型下束缚态粒子的量子化条件．
x2
x
图 3 垂直势阱
φ(x2 ) = nπ
（n
= 1,
2,
3,
" ），代入式φ(x) =
1 =
∫
x 0
p(t
)dt
，得
∫ x2 0
p(x)dx
=
nπ =
（n
= 1,
2,
3,
"）
（8）
式（8）就是一维垂直势阱内束缚态粒子的量子化条件，相当于原始 Bohr-Sommerfeld 量子化条件[4]．式（8）
ψ≅
C′ p( x)
exp⎜⎛ ⎝
i =
∫x 0
p(t)dt ⎟⎞ ⎠
=
C p(x)
sin⎜⎛ ⎝
1 =
∫x 0
p(t)dt
+
α
⎟⎞ ⎠
（3）
其中： C′ ， C ， α 由具体问题的边条件和归一化条件确定．
收稿日期：2009-09-02 基金项目：山东工商学院校级教研项目（G1300） 作者简介：李海（1978-），男，山西朔州人，讲师，硕士，从事大学物理教学研究．E-mail：:shenghuo2003@126.com
李海，于文莉，杜慧秋
（山东工商学院 信息与电子工程学院，山东 烟台 264000）
摘要：WKB 近似法的应用非常广泛，处理势阱问题是其中应用之一．使用 WKB 近似方法导出了
3 种典型的一维势阱模型中束缚态粒子的量子化条件．
关键词：WKB 近似；量子化条件；一维势阱
中图分类号：O413
文献标识码：A
⎪⎩∞
x ≥ x2
（ 3 ） 相 同 并 可 化 为 ψ≅
C′ p( x)
exp⎜⎝⎛ ±
i =
∫x 0
p(t)dt ⎟⎠⎞
=
1 p(x)
(C1
sin φ(x)
+
C2
cosφ(x)) ，其中：φ(x)
=
1 =
∫x 0
p(t)dt
．
V(x)
E I
II III
由边条件可知，当 x = 0 时，ψ (0) = 0 ，从而有 sin φ(0) = 0 ， C2 = 0 ；当 x = x2 时，ψ (x2 ) = 0 ，从而有 sin φ(x2 ) = 0 ，所以
I
化条件为
III II
∫ x2 0
p(x)dx
= ⎜⎝⎛ n −
1 4
⎟⎠⎞π=
（ n = 1,
2,
3,
"）
（7）
x2
x
图 2 单垂直阱壁势阱
54
高师理科学刊
第 30 卷
2.3 垂直势阱
图３的一维垂直势阱的势函数可表示为
V (x) = ⎪⎨⎧∞f (x)
x≤0 0 < x < x2 ，在区域 II 中，WKB 波函数形式与式
(经典禁区 x < x1 )
(经典允许区 x > x1 )
所以在势阱中粒子的束缚态的 WKB 波函数可表示为
⎧
ψ
=来自百度文库
⎪⎪ ⎨
⎪
⎪⎩
C p(x)
sin⎜⎝⎛
1 =
x
∫ x1
p(x)dx
+
π 4
⎟⎠⎞
=
C′ p( x)
sin⎜⎝⎛
1 =
∫ x2 x
p(x)dx
+
π 4
⎟⎠⎞
=
C sin θ1 (x) p(x) C ′ sin θ 2 (x) p(x)
=
Aexp⎜⎝⎛ ±
pxi =
⎟⎠⎞
可记为ψ
= exp⎜⎝⎛
f
(x)i =
⎟⎠⎞
，将其代入
schrodinger
方程
− = 2 ∇ψ + V (x)ψ = Eψ ，可得 2m
=f ′′ i − ( f ′) 2 + p 2 = 0
（1）
将 f (x) 以 = 展开为 f (x) = f0 (x) + =f1(x) + =2 f2 (x) + " ，并代入式（1）可得到 = 的多项式，根据 = 各幂
The deducing of quantum conditions based on WKB approximation method in one dimension potential well
LI Hai，YU Wen-li，DU Hui-qiu
（School of Information and Electronic Engineering，Shandong Institute of Business and Technology，Yantai 264000，China）
同样也适用于平底方势阱．
使用 WKB 近似方法导出了一维势阱中 3 种典型势阱模型下束缚态粒子的量子化条件，推导方法简洁、
清晰，既有助于了解 WKB 近似方法的基本思想以及理论，又利于对一维势阱下束缚态粒子量子化条件的
深刻认识．另外，通过不同模型下的量子化条件，能够很容易计算出相应势阱中粒子的能级分布（如计算
1）下的量子化条件为
∫ x2 p(x)dx = ⎜⎛ n − 1 ⎟⎞π= （ n = 1, 2, 3, " ）
x1
⎝ 2⎠
（6）
2.2 含单垂直阱壁势阱
单垂直阱壁势阱（见图 2）是一维势阱的一种重要模型[3]．其
V(x)
{ 势函数满足 V (x) =
f (x) ∞
x>0 x≤0
，在垂直势壁
x
=
0
处，显然有
．因此，在邻近
x1
，
x2
处式（3）、式（4）不再成立．此时转折点处波函数可由连
接函数与 WKB 波函数对照得出[2]． x = x1 两侧 WKB 波函数的连接公式为
1 p(x)
exp⎜⎝⎛ −
∫1 x1
=x
p(x) dx⎟⎠⎞ ⇔
2 p(x)
sin⎜⎝⎛
1 =
x
∫ x1
p(x)dx
+
π 4
⎟⎠⎞
（5）
第 30 卷 第 1 期 2010 年 1 月
高师理科学刊 Journal of Science of Teachers′College and University
文章编号：1007-9831（2010）01-0052-03
Vol. 30 No.1 Jan. 2010
基于 WKB 近似的一维势阱量子化条件推导
ψ≅
C1 p( x)
exp⎜⎝⎛
i =
∫x 0
p(t)dt ⎟⎠⎞ +
C2 p(x)
exp⎜⎝⎛ −
i =
∫x 0
p(t)dt ⎟⎠⎞
（4）
V(x)
其中： C1 ， C2 由边条件及归一化条件确定．
2 一维势阱量子化条件
2.1 无垂直阱壁势阱 式（3）、式（4）分别给出了 E > V (x) 和 E < V (x) 的 WKB
第1期
李海，等：基于 WKB 近似的一维势阱量子化条件推导
53
式（3）是一维自由粒子 WKB 波函数的解，该解成立的条件是 p(x) = 2m(E −V (x)) > 0 ，即 E > V (x) ， 波函数对应图 1 中的区域 II（经典允许区）．
当 p(x) < 0 ，即 E < V (x) 时，只需将式（3）中的 p(x) 变为 p(x)i ，即可得到与图 1 中区域 I 和区域 III （经典禁区）对应的 WKB 波函数
1 WKB 近似波函数
考虑到量子力学与经典力学之间的过渡条件： Q.M (= → 0) → C.M ，利用准经典近似法（WKB 近似方 法），可对一维自由粒子波函数以 = 展开，然后求 schrodinger 方程并取波函数近似解，即可得到 WKB 近似
波函数．
具体操作为：
对于一维自由粒子波函数ψ
E
I
II
x1
III
x2
x
波函数．但是在转折点 x1 ，x2 处 E = V (x1 ) = V (x2 ) ，邻近 x1 ，x2 处 不 满 足 WKB 近 似 条 件 ： (x) dV << 1 ， 其 中 ：
2(E − V (x)) dx
图 1 一维势阱分布
(x) =
= 2m(E − V (x))
x ≈ x1 , x > x1 x ≈ x2 , x < x2
由于在同一区域 II 内（阱内）波函数应保持一致，所以有 θ1 (x) + θ 2 (x) = nπ （ n = 1, 2, 3, " ），即
1 =
∫ x2 p(x)dx x1
+
π 2
= nπ
（n
= 1,
2,
3,
" ），由此得到无垂直阱壁势阱模型（见图
ψ (0) = 0 ．此时 θ1 (x) + θ 2 (x) = mπ + θ 2 (x) = kπ ，其中： m, n 均
为整数，整理得 θ 2 ( x) = (k − m)π = nπ （ n = 1, 2, 3, " ），即
E
1 =
∫ x2 0
p(x)dx +
π 4
=
nπ ，由此得到单垂直阱壁势阱模型下的量子
一维谐振子能级分布）．
参考文献：
[1] 李颜霞，毛日新．用 WKB 近似法计算库仑场的分波相角[J]．沈阳师范大学学报，2006（4）：430-432. [2] 曾谨言．量子力学（卷 II）[M]．北京：科学出版社，2007：84-86. [3] David J，Griffiths．Introduction to Quantum Mechanics[M]．北京：机械工业出版，2006：330-332. [4] 曾谨言．量子力学导论[M]．北京：北京大学出版社，2006：6-8.