3.4基本不等式(第一课时)
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(2)、解 : x 3 1 1 y x ( x - 3) 3 x3 x-3 1 2 ( x 3) 35 x3
1 当且仅当x 3 ,即x 4时，函数有最大值， x3 最大值为5。
巩固练习
1. 已 知x 1,则x 1 3 此 时x _____ 的 最小 __ 值 为____, . 2 x 1
解：设两直角边分别为a、 b ，则
S 1 ab 50 即 2
ab 100
a b 2 ab 20 当且仅当 a b 10 时等号成立，
a b有最小值 20.
结论1：两个正数积为定值，则和有最小值
例题讲解
例1. （1）已知直角三角形的面积等于 50，两条直角边各位多少时，两条直角 边的和最小，最小值是多少？ （2）用20cm长的铁丝折成一个面 积最大的矩形，应当怎么折？
a 2ab b 0源自一般地，对于任意实数 a , b ，我们有
a b 2ab
2 2
当且仅当
a b 时等号成立
二、新课讲解
1.思考:如果当 a 0, b 0 用 a , b 去替换 2 2 a b 2a b 中的 a , b ,能得到什么结论?
a b 2ab
3.4基本不等式: （第一课时）
ab ab 2
一、复习回顾
1. a __0 2 2. (a b) __0 2 2 2 a 2ab b . 3. (a b) __________
2
问题1： 上式1、2中什么时候等号成立？ 问题2：通过2与3可以得到什么结论？ 2 2
1 ( 2)若x 3,函 数y x ,当x为 何 值 时 ， x3 函 数 有 最 值 ， 并 求 其值 最。
1 1 (1)解 : x 2 x 2 x x 1 当且仅当x 即x 1时原式有最小值 2. x
1 例2 (1)已知x 0, 求x 的最值; x 1 ( 2)若x 3, 函 数y x , 当x为 何 值 时 ， x3 有最值，并求其最值。
当且仅当 a b时 等 号 成 立 。
ab 即 ab 2
2 重要不等式： a
b 2ab(a、b R）
2
当且仅当a=b时，等号成立. 基本不等式：
当且仅当a =b时，等号成立.
ab ab (a 0, b 0) 2
注意：
（1）不同点：两个不等式的适用范围不同。 （2）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。
解：设矩形长宽分别为a、 b ，则
C 2(a b) 20 即
a b 10 ab 2 ab ( ) 25 2 当且仅当 a b 5时等号成立， a b有最小值 25.
结论2：两个正数和为定值，则积有最大值
1 例2 (1)已知x 0, 求x 的最值; x
x 2 2 x 2 (x - 1)2 1 1 1 3. ( x 1) 2 ( x 1) 2 x -1 x -1 x 1 x 1
课堂总结
基本不等式： a b
2 （当且仅当 a b时 等 号 成 立 ） ab （a 0 ,b 0）
基本不等式的条件:
2 2
a b 2 ab (a 0, b 0)
（当且仅当a=b时，等号成立）
几何平均数 算术平均数
ab ab (a 0, b 0) 2
思考：如何证明？
基本不等式
证明： a b - 2 ab ( a b ) 0
2
a b 2 ab 0
a b 2 ab
基本不等式
ab ab （a 0 ,b 0） 2
a b 2 ab
ab 2 ab ( ) 2
结论1：两个正数积为定值，则和有最小值 结论2：两个正数和为定值，则积有最大值
例题讲解
例1. （1）已知直角三角形的面积等于 50，两条直角边各位多少时，两条直角 边的和最小，最小值是多少？ （2）用20cm长的铁丝折成一个面 积最大的矩形，应当怎么折？
一正、二定、三相等
结论1：两个正数积为定值，则和有最小值 结论2：两个正数和为定值，则积有最大值
作业：P100 习题3.4 A组第1,2题
x2 2 2此 时x _____ 2 . 2. 已 知x 0,则 的 最小 __ 值 为2 ____, x x2 2x 2 2 此 时x _____ 2 . 小值 为____, 3. 已 知x 1,则 的 最 __ x 1 分析： 1 1 1 1. x x -1 1 2 ( x 1) 1 3 x -1 x -1 x 1 x2 2 2 1 2. x 2 x 2 x x x
1 当且仅当x 3 ,即x 4时，函数有最大值， x3 最大值为5。
巩固练习
1. 已 知x 1,则x 1 3 此 时x _____ 的 最小 __ 值 为____, . 2 x 1
解：设两直角边分别为a、 b ，则
S 1 ab 50 即 2
ab 100
a b 2 ab 20 当且仅当 a b 10 时等号成立，
a b有最小值 20.
结论1：两个正数积为定值，则和有最小值
例题讲解
例1. （1）已知直角三角形的面积等于 50，两条直角边各位多少时，两条直角 边的和最小，最小值是多少？ （2）用20cm长的铁丝折成一个面 积最大的矩形，应当怎么折？
a 2ab b 0源自一般地，对于任意实数 a , b ，我们有
a b 2ab
2 2
当且仅当
a b 时等号成立
二、新课讲解
1.思考:如果当 a 0, b 0 用 a , b 去替换 2 2 a b 2a b 中的 a , b ,能得到什么结论?
a b 2ab
3.4基本不等式: （第一课时）
ab ab 2
一、复习回顾
1. a __0 2 2. (a b) __0 2 2 2 a 2ab b . 3. (a b) __________
2
问题1： 上式1、2中什么时候等号成立？ 问题2：通过2与3可以得到什么结论？ 2 2
1 ( 2)若x 3,函 数y x ,当x为 何 值 时 ， x3 函 数 有 最 值 ， 并 求 其值 最。
1 1 (1)解 : x 2 x 2 x x 1 当且仅当x 即x 1时原式有最小值 2. x
1 例2 (1)已知x 0, 求x 的最值; x 1 ( 2)若x 3, 函 数y x , 当x为 何 值 时 ， x3 有最值，并求其最值。
当且仅当 a b时 等 号 成 立 。
ab 即 ab 2
2 重要不等式： a
b 2ab(a、b R）
2
当且仅当a=b时，等号成立. 基本不等式：
当且仅当a =b时，等号成立.
ab ab (a 0, b 0) 2
注意：
（1）不同点：两个不等式的适用范围不同。 （2）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。
解：设矩形长宽分别为a、 b ，则
C 2(a b) 20 即
a b 10 ab 2 ab ( ) 25 2 当且仅当 a b 5时等号成立， a b有最小值 25.
结论2：两个正数和为定值，则积有最大值
1 例2 (1)已知x 0, 求x 的最值; x
x 2 2 x 2 (x - 1)2 1 1 1 3. ( x 1) 2 ( x 1) 2 x -1 x -1 x 1 x 1
课堂总结
基本不等式： a b
2 （当且仅当 a b时 等 号 成 立 ） ab （a 0 ,b 0）
基本不等式的条件:
2 2
a b 2 ab (a 0, b 0)
（当且仅当a=b时，等号成立）
几何平均数 算术平均数
ab ab (a 0, b 0) 2
思考：如何证明？
基本不等式
证明： a b - 2 ab ( a b ) 0
2
a b 2 ab 0
a b 2 ab
基本不等式
ab ab （a 0 ,b 0） 2
a b 2 ab
ab 2 ab ( ) 2
结论1：两个正数积为定值，则和有最小值 结论2：两个正数和为定值，则积有最大值
例题讲解
例1. （1）已知直角三角形的面积等于 50，两条直角边各位多少时，两条直角 边的和最小，最小值是多少？ （2）用20cm长的铁丝折成一个面 积最大的矩形，应当怎么折？
一正、二定、三相等
结论1：两个正数积为定值，则和有最小值 结论2：两个正数和为定值，则积有最大值
作业：P100 习题3.4 A组第1,2题
x2 2 2此 时x _____ 2 . 2. 已 知x 0,则 的 最小 __ 值 为2 ____, x x2 2x 2 2 此 时x _____ 2 . 小值 为____, 3. 已 知x 1,则 的 最 __ x 1 分析： 1 1 1 1. x x -1 1 2 ( x 1) 1 3 x -1 x -1 x 1 x2 2 2 1 2. x 2 x 2 x x x