华东师范大学一九九七年攻读硕士学位研究生入学量子力学试题

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1997年硕士研究生入学考试试题(苏州大学)范文1.doc

1997年硕士研究生入学考试试题(苏州大学)范文11997年硕士研究生入学考试试题（苏州大学）一、简答题（每题8 分，共40分）1、设ˆU为么正算符，而()()11ˆˆˆˆˆˆ,22A U U B U U i++=+=-，试证：（1）ˆA和ˆB 均为厄密算符；（2）22ˆˆ1AB +=。

2、已知)ˆ,,1L l m l m +=+，（1）写出矩阵元ˆ,,l m L l m +''的表达式；（2）若2,l =试写出ˆL +的全部不为零的矩阵元。

3、氢原子处于态()433*********1122,,333r R Y R Y R Y ψθϕ-=+-中，问（1）(),,r ψθϕ是否为能量的本征态？若是，写出其本征值。

若不是，说明理由；（2）在(),,r ψθϕ中，测角动量平方的结果有几种可能值？相应几率为多少？4、一小球在xy 平面内绕原点转动。

试写出同时确定此转子的方位角ϕ和角动量分量z L 的不准关系。

二、（15分）粒子被约束在半径为r 的圆周上运动，（1）设立路障进一步限制粒子在00ϕϕ00,0,2U ϕϕϕϕϕπ∞求粒子的能量本征值和本征函数；（2）设粒子处于（1）的基态，突然撤去路障后，粒子仍然在最低能态的几率是多少？三、（15分）一量子体系的哈密顿算符0ˆˆˆ,H H H '=+在0ˆH 表象中40ˆ0200100H ⎛⎛⎛= ⎛⎛⎛⎛，00ˆ00000k H k ⎛⎛⎛'= ⎛⎛⎛⎛其中常数1k （1）用微扰法求体系的能级，精确到二级近似；（2）求出体系能量的精确解，并与（1）式结果比较。

四、（15分）考虑微弱地相互作用着的三个玻色子组成的系统，各粒子皆处于已知的单粒子态(),iq j ψξ其中i q 表示包含空间和自旋运动的第i 个态，j ξ表示第j 个粒子的所有坐标。

试写出系统的各种可能的零级近似波函数。

五、（15分）设一带电为q ，质量为,m 在宽度为a 的一维无限深势阱中运动，在入射光照射下发生跃迁，光波长a λ>>，求跃迁选择定则。

几所高校量子力学硕士试题

高校量子力学研究生招生试题汇总一．复旦大学1999硕士入学量子力学试题二．天津大学1999硕士入学量子力学试题（1）三．北京大学2000年研究生入学考试试题考试科目：量子力学考试时间：2000.1.23下午招生专业：物理系各专业研究方向：各研究方向试题：一．（20分）质量为m 的粒子，在位势V x x V '+=)()(αδ 0<a00{V V ='00><x x 00>V中运动，a. 试给出存在束缚态的条件，并给出其能量本征值和相应的本征函数；b. 给出粒子处于x >0区域中的几率。

它是大于1/2，还是小于1/2，为什么？二．（10分）若|α>和|β>是氢原子的定态矢（电子和质子的相互作用为库仑作用，并计及电子的自旋—轨道耦合项）a. 给出|α>和|β>态的守恒量完全集；b. 若0ˆˆ)(≠⋅αβr sr f ,则|α>和|β>态的那些量子数可能是不同的，为什么？（注：f(r)是r 的非零函数，r s ˆ,ˆ为电子的自旋和坐标算符。

）三．（16分）三个自旋为1/2的粒子，它们的哈密顿量为)ˆˆˆˆˆˆ(ˆ1332210s s s s s s C H ⋅+⋅+⋅= 求本征值和简并度。

四．（22分）两个自旋为1/2的粒子，在),(21z z s s 表象中的表示为))((2211βαβα，其中，2iα是第i 个粒子自旋向上的几率，2iβ是第i 个粒子自旋向下的几率。

a. 求哈密顿量)(ˆ21210xy y x V H σσσσ-= 的本征值和本征函数；（V 0为一常数）b. t=0时，体系处于态121==βα，012==βα，求t 时刻发现体系在态021==βα，112==βα的几率。

（注：iy ix σσ,为第i 个粒子泡利算符的x, y 分量）五．（10分）考虑一维谐振子，其哈密顿量)21(ˆ+=+a a h H ϖ，而0],[],[==++a a a a ,1],[=+a a a. 若|0〉是归一化的基态矢（a|0）=0），则第n 个激发态为)(n n a N n +=试求归一化因子n N ； c. 若外加一微扰，aa a ga H ++='ˆ，试求第n 个激发态的能量本征值（准至g 一级）。

中科院量子力学1990-2008(部分有答案)

ˆ 的平均值。时电子自旋朝上，即 sz 2 ，求 t 0 时自旋 S
五、
假定氢原子内的质子是一个半径为 1013 cm 的均匀带电球壳，而不是点电
荷，试用一级微扰论计算氢原子 1s 态能量的改变。一束中子射向氢分子而发生弹性碰撞。忽略电子对中子的作用，而两个六、原子核与中子的作用可用下面的简化势代替： (3) (3) V (r ) V0 r a r a ，。试求高能下其中 V0 是常数， a 是常矢量（ a 与 a 分别是两核的位置矢量）的中子散射微分截面，并指出散射截面的一个极大的方向。
一化波函数为
( x, t 0)
8 x x 1 cos sin 5a a a
求(2000 年(实验型)第二题)： (1) 在后来某一时刻 t t0 时的波函数； (2) 在 t 0 和 t t0 时的体系平均能量。三、试计算如图所示宽度 OB 精确到微扰的一级近似，
(V E ) 中运动粒子的波函数，计算几率流密
。度，并证明虚势代表粒子的吸收，求吸收系数（用 V 表示）
试题名称：1990 量子力学（实验型）
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4
中国科学院－中国科技大学 1991 年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称：量子力学（理论型）
说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分 100 分。一、一个带电粒子在电磁场中运动，请推导相应的几率守恒定律。求出几率密度与几率流密度的表达式。二、当两个质量为 m 的粒子通过球对称势 V (r ) A ln r r0 ，（ A 0, r0 0 为
Schrödinger's Kitten 2008 年 12 月 14 日

年硕士研究生入学考试及答案

目录1.05年北师大物理类各方向2.05年长光所3.05年东南大学4.05年中科大5.05年南京大学6.05年华中科大7.05年吉林大学（原子所）8.05年四川大学（原子与分子）9.05年北京理工10.05年河北理工11.05年长春理工北京师范大学2005年招收硕士研究生入学考试试题专业:物理类各专业科目代号:459研究方向:各方向考试科目:量子力学[注意]答案写在答题纸上，写在试题上无效。

1.(20分)一个电子被限制在一维谐振子势场中，活动范围求激发电子到第一激发态所需要的能量（用ev表示）（，，）提示：谐振子能量本征函数可以写成2.（30分）一个电子被限制在二维各向同性谐振子势场中（特征频率为）。

（1）写出其哈密顿量，利用一维谐振子能级公式找到此电子的能级公式和简并度。

（2）请推导电子的径向运动方程。

并讨论其在时的渐近解。

提示：极坐标下3．（50分）两个质量为的粒子，被禁闭在特征频率为的一维谐振子势场中，彼此无相互作用（此题中波函数无须写出具体形式）：（1）如果两个粒子无自旋可分辨，写出系统的基态（两个都在自己的基态）和第一激发能级（即一个在基态，另一个在第一激发态）的波函数和能量（注意简并情形）。

（10分）（2）如果两个粒子是不可分辨的无自旋波色子，写出系统的基态和第一激发态的能量和波函数。

如果粒子间互作用势为，计算基态能级到一级微扰项。

（15分）（3分）如果两个粒子是不可分辨的自旋1/2粒子，写出基态能级和波函数（考虑自旋）。

如果粒子间互作用能为，计算基态能量。

（15分）（4）同（3），解除势阱，两个粒子以左一右飞出。

有两个探测器分别（同时）测量它们的y方向自旋角动量。

请问测量结果为两电子自旋反向的几率是多少？（10分）4．（30分）中心力场中电子自旋与轨道角动量存在耦合能。

总角动量，是的共同本征态。

现有一电子处于态，且。

（1）在一基近似下，可用代替，请问电子的能量与态差多少？（2）请计算该电子产生的平均磁矩，并由此计算在z方向均匀磁场B中电子的能量改变多少？（），当，，当，5．（20分）一个定域（空间位置不动）的电子（自旋1/2）处于z方向强磁场中。

2021年攻读硕士学位研究生入学考试《量子力学》试题(试卷A、B)

2021年攻读硕士学位研究生入学考试《量子力学》试题（试卷A、B）试卷A一、分析题：（1）写出玻尔-索末菲量子化条件的形式；（2）求出均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径；二、计算题：（1）若一质量为μ的粒子在势场()0,0,,0x aV x x a x <<⎧=⎨∞≥≤⎩中运动，求粒子的可能能级；（2）若某一时刻加上了形如sin ,(1)xe e aω<<的势场，求其基态能级至二级修正；（3）若势能()V x 变为()221,02,0x x V x x μω⎧>⎪=⎨⎪∞<⎩求粒子的可能能级。

三、氢原子处于基态，其波函数形如,race a ψ-=为玻尔半径，（1）利用归一化条件，求出c ；（2）设几率密度为()P r ，试求出()P r 的形式，并求出最可几半径；（3）求出基态势能及动能在基态中的平均值；（4）用何种定理可把ˆV及ˆT联系起来？四、一转子，其哈密顿量222ˆˆˆˆ222yx zx y zLL LHI I I=++，转子的轨道角动量量子数是1，（1）试在角动量表象中，求出ˆˆˆ,,x y zL L L的形式；（2）求出ˆH的本征值。

五、若基态氢原子处于平行板电场中，电场按下列形式变化00,0,0t t E e t τε-≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，τ为大于零的常数，求经过长时间后，氢原子处于2P态的几率。

（设ˆH '为微扰哈密顿，()()805100,210100,211ˆˆ;03t a e H e H τε-±''=⋅=）。

六、分析计算：（1）用玻恩近似法，求粒子处于势场()()0,0raV x V e a -=->中散射的微分截面。

（2）从该问题中讨论玻恩近似成立的条件。

试卷B一、（10分）。

（1）试求出100eV 的自由粒子及0.1eV 、质量为1克的质点的德布罗意波长。

（1eV =1.6⨯193410, 6.610J h J s --=⨯⋅）。

2009年硕士研究生统一入学考试

2019年硕士研究生统一入学考试
《量子力学》
第一部分考试说明
一、考试性质
量子力学是理学院物理系硕士生入学考试的专业基础课之一。

考试对象为参加2019年理学院物理系全国硕士研究生入学考试的准考考生。

二、考试形式与试卷结构
（一）答卷方式：闭卷，笔试
（二）答题时间：180分钟
（三）考试题型及比例
简答题20%
证明题20%
计算应用题 60%
（四）参考书目
《量子力学教程》周世勋等，高等教育出版社，2004年；《量子力学基础教程》陈鄂生，山东大学出版社，2003
年
第二部分考查要点
（一）基本概念和术语
1．基本概念；2．基本假设；3.基本结论；4.基本关系（二）计算应用
1．波函数；2．薛定谔方程；3．力学量与算符；4．算符的本征值及本征波函数；5. 角动量的性质；6．量子力学的矩阵表述；
7. 幺正变换；8．测不准关系；9．狄拉克符号；11．量子力学中近似方法（定态微扰理论）；12．自旋，泡利矩阵；13．全同性原理，玻色子与费米子的性质。

硕士学位研究生入学量子力学试卷

附件中国科学院-中国科技大学2000年招收攻读硕士学位研究生入学试卷试卷名称：量子力学（理论型）选做五题，毎题20分1、一个质量为m 的粒子被限制在一维区域0x a ≤≤运动，0t =的波函数为(),012cos sin x x x t A a a ππψ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ A 为常数。

（1）后来某一时刻0t t =时波函数是什么？（2）体系在0t t =和0t =时平均能量是多少？（3）在0t t =时于势阱右半部（即2ax a ≤≤）发现粒子的几率是多少？ 2、3、设粒子处于(),lm Y θϕ状态，计算角动量的x 分量和y 分量的方均差22,x y l l ∆∆4、记123,,σσσ为Pauli 矩阵，定义12,i σσσ±=±（1）计算[][][]()233,,,,,,σσσσσσσ+-+-+和()2σ-，（2）证明（ξ为常数）332e e e ξσξσξσσ±±±=，证：[]3,2σσσ±±=± ()33322σσσσσσσ±±±±∴=±=±()()2233333322σσσσσσσσσσ±±±±==±=±反复利用即得()332nn σσσσ±±=± 两边同乘实数nξ得 ()332nn n nξσσσξσ±±=± 即()33322e ee e ξσξσξσξσσσ±±±±±==（3）化简下面二式331112,e e e e ξσξσξσξσσσ--。

5、设0H 为一量子系统的能量算符，其本征态为0,1,2,⋅⋅⋅若体系受到微扰作用，微扰算符为ˆˆˆ,(H i A B λλ⎡⎤'=⎣⎦为实数），ˆA为厄密算符，ˆˆ,B C 为另外的厄密算符，且ˆˆˆ,.C i A B ⎡⎤=⎣⎦如在微扰作用前的基态0中，ˆˆˆ,,A B C 的平均值已知为000,,A B C ，试对微扰后的基态（非简并）计算厄密算符ˆB的平均值B ，精确到量级λ。

(精品)师范大学招考硕士研究生课程七二七试卷

2.有一种二维金属材料中的载流子运动状态在动量表象中可用如下哈密顿量来描写：，其中为Pauli矩阵，其它物理量如动量，速度，玻尔磁矩，外磁场等均为已知或待定参数。试分别计算当外磁场沿x轴或z轴时这种载流子的能量本征值和本征态。
3．一个一维耦合谐振子体系的哈密顿量为，其中耦合强度非常小。试计算的基态和第一激发态能量。（严格解和微扰方法均可）
4、证明题（每题10分，共30分）
1．和分别是动量算符和角动量算符，证明：；
2．定义，证明：，；
3. 和是作用在两个不同粒？
5．对于单个氢原子问题，考虑自旋轨道耦合，有哪些守恒量？如不考虑自旋轨道耦合，但加上外磁场,又有哪些守恒量？
3、计算题（每题20分，共60分）
1.设一质量为的粒子在一维无限深势阱中运动，在能量表象中，该粒子处于能量本征态，（为能量量子数）。试求粒子在一维空间的几率分布和几率最大的位置，并计算之值。
杭州师范大学
招收攻读硕士研究生入学考试题
考试科目代码：727
考试科目名称：量子力学
说明：考生答题时一律写在答题纸上，否则漏批责任自负。
1、填空题（每空3分，共30分）
1.含时薛定谔方程的表达式为，
定态薛定谔方程的表达式为。
2.坐标算符与动量算符的对易关系为，角动量算符满足的对易关系为，其中
3．设为氢原子的能量本征态，则，，。如果一个体系处于量子态，则系数的取值为，的可能值为，本征值为出现的几率为。
2、简答题（每题6分，共30分）
1．请简述玻尔原子理论，为什么说玻尔原子理论是半经典半量子的？
2．量子力学有哪些基本假定？
3．什么是定态？两个定态的线性叠加态是否还是定态？为什么？

2007年硕士学位研究生入学统一考试试题量子力学B卷一、考虑一维...

2007年硕士学位研究生入学统一考试试题量子力学B卷一、考虑一维阶梯势设粒子从右边向左入射，试求反射系数和透射系数。

二、电子处于沿+z方向、大小为B的均匀磁场中。

设t=0时刻电子自旋沿+y方向。

1．试求t=0时电子自旋波函数。

2．试分别求在t＞0时电子自旋沿+z、+y、+z方向的概率。

三、粒子在势场中运动(V0＞0) 。

试求系统能级或能级方程。

四、设系统哈密顿算符为，粒子处于归一化的束缚定态ψn中。

试证明Virial定理：五、一维谐振子系统哈密顿量为，设受到微扰的作用。

试求对第n个谐振子能级的一级微扰修正。

(已知矩阵元)2007年量子力学B卷参考答案一、解：粒子从右边向左入射，所以E＞V0。

设：入射波为，反射波为，透射波为。

其中由波函数及波函数的一阶导数在x=0处的连续条件得于是可以得到由上式可解出反射系数及透射系数|T|2=1-|R|2。

二、触：取表象，则初态为。

薛定谔方程为二、解：取表象，则初态为。

薛定谔方程为由它可以得到联立方程满足初始条件的解为其中。

于是可求得三个概率分别为三、解：阱内(|x|＜a) 能量本征值方程为在x=0处的跃变条件为在x≠0处，式(1) 可以写成其中(3) 式的两个特解为奇宇称解为(5) 偶宇称解的一般形式为利用跃变条件(2) 及边界条件可得偶宇称解的能级方程为，四、解：根据算符平均值方程及定态条件得考虑到将(2) 式代入(1) 式得Virial定理：五、解：将改写成其中，根据量子力学公式得(利用了Virial定理利用x的矩阵元公式可得将(3) 式代入(2) 式中，求得。

XXX大学2021年《量子力学》专业攻读硕士学位研究生入学考试试题及答案(试卷二)

XXX 大学2021年《量子力学》专业攻读硕士学位研究生入学考试题（试卷二）一、简答题（40分）。

1、一量子体系的哈密顿算符30ˆ10,1,002b H b b ⎛⎫⎪=<< ⎪⎪⎝⎭用微扰论求体系能量至二级近似；2、能量为20E MeV =的中子受到力程1510a m -=的势场作用，如用分波法求散射截面，需计算几个分波相移？设忆求出相移，写出计算散射总截面的表达式。

（27341.610, 1.0510)n m kg J s --=⨯=⨯⋅。

3、有一双电子体系，其单电子基态波函数的空间部分用1sin i i i r r aπψ⎛⎫=⎪⎝⎭描述，其中i 为电子的编号。

若以()i α和()i β分别表示电子自旋向上和向下波函数，试写出描述该体系的基态波函数。

4、设氢原子处于态()()()()()200210200211213,212z r r r s r r ψψψ⎫+⎪⎪=⎪+⎪⎭问(),zr s ψ是否是能量本征态？若是，写出其本征值。

又问在该态中测量角动量2,L 角动量分量z L 及自旋磁矩的分量sz M 的平均值各为多少？5、氢原子处于态()433141104111122,,333r R Y R Y R Y ψθϕ-=+-中，问：（1）(),,r ψθϕ是否为能量的本征态？若是，写出其本征值。

若不是，说明理由；（2）在(),,r ψθϕ中，测角动量平方的结果有几种可能值？相应几率为多少？二、（20分）。

设123,,u u u 为一组正交归一基，已知在这组基张成的希尔伯特空间中ˆH 和ˆA 的矩阵为000000ˆˆ00,000000Ea H E A a E a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭。

1、ˆH和ˆA 是否存在共同的本征函数？写出这些本征函数相应的本征值。

2、}{2ˆˆ,HA 或}{ˆˆ,H A 能否构成完全测量集合？为什么？3、若0t=时，体系处于态1 12 33ψ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭中，测量其能量的可能值、相应几率及平均值的结果是什么？是否隨时间变化？为什么？自旋磁矩为eS mμ=-的电子处于磁场()000cos ,sin ,B B t B t B ωω=中： 1、写出电子的哈密顿算符在z S 表象中的矩阵形式；2、设电子在0t =时处于2z S =-的态（用β）表示，把哈密顿算符中与时间有关的部分作为微扰，求在微扰作用下到时刻t 电子跃迁到2z S =态几率的几率表式。

华东师范大学一九九七年攻读硕士学位研究生入学量子力学试题

华东师范大学一九九七年攻读硕士学位研究生入学试题考试科目：量子力学专业：理论物理、光学、凝聚态物理、生物物理、学科教学论、无线电物理、求对勿关系 [x,e — px ]=?[为常数。

（10分）、若粒子在位势 V （r ）中运动，试证:d ：： x ::: Pxdtm 〈〉表示算符的平均值。

（10分）、利用角动量算符 L x 和L y 组成升值算符L.和降值算符LL ± = Lx 二iL y ， L + = (L (2)已知 L |lm *C |lm 1, L_|lm *C _| Im -1 试求常数 C .和 C _的值。

四、带电粒子（电荷为 q ）在与磁场B （沿z 轴）垂直的xy 平面内运动, 取矢势为（0, B x ,0），（1）写出此二维问题的哈密顿。

（2 ）求其能量本征值与本征函数。

五、一维谐振子的状态（在其能量表象中）为d ：：： P x（1）试求L 丄.二？ L •」？.:V:::?2-，H 为哈密顿算符，〈〉表示算符的平均六、设哈密顿的矩阵形式为c —2丿求H 的精确本征值；若设C 「：： 1，应用微扰论来求 H 本征值的二级近似; 在怎样条件下（2 ）和（1）的结果一致？七、设有二个电子，自旋态分别为 0cos — 2Q sin — 2（1）证明二个电子处于自旋单态 S=0及三重态S=1的概率分别为1 2日 1 2日W a 二外-込二），W s 二尹 cos 2 -）；（2）设有这样二束极化忠心耿耿散射，证明：1u ［（3 COST 匚3（1 -cosr 「］式中6 3和匚1分别是二个电子处4 于三重态和单态下的散射截面。

3 试求::H •、 :: x 2 - n 「1 X 屮 n （X ）#［誇屮 n 」（X ）+{F%（X ）］n 1 .n 」(x) - 2 n 1(x)]) （1）（2）e 2 e 7 与—。