华东师范大学一九九七年攻读硕士学位研究生入学量子力学试题

华东师范大学

一九九七年攻读硕士学位研究生入学试题

考试科目：量子力学

专业：理论物理、

光学、凝聚态物理、生物物理、学科教学论、无线电物理

、求对勿关系 [x,e — px ]=?[为常数。（10分）

、若粒子在位势 V （r ）中运动，试证:

d ：： x ::: Px

dt

m 〈〉表示算符的平均值。（10分）

、利用角动量算符 L x 和L y 组成升值算符L.和降值算符L

L ± = L

x 二iL y ， L + = (L (2)已知 L |lm *C |lm 1

, L_|lm *C _| Im -1 试求常数 C .和 C _的值。

四、 带电粒子（电荷为 q ）在与磁场B （沿z 轴）垂直的xy 平面内运动, 取矢势为（0, B x ,0），

（1）写出此二维问题的哈密顿。

（2 ）求其能量本征值与本征函数。

五、 一维谐振子的状态（在其能量表象中）为

d ：：

： P x

（1）试求L 丄.二？ L •」？

.:

V

:::?2

-，H 为哈密顿算符，〈〉表示算符的平均

六、设哈密顿的矩阵形式为

c —2丿

求H 的精确本征值；

若设C 「：： 1，应用微扰论来求 H 本征值的二级近似; 在怎样条件下（2 ）和（1）的结果一致？ 七、设有二个电子，自旋态分别为 0

cos — 2

Q sin — 2

（1） 证明二个电子处于自旋单态 S=0及三重态S=1的概率分别为

1 2日 1 2日

W a 二外-込二），W s 二尹 cos 2 -）；

（2） 设有这样二束极化忠心耿耿散射，证明：

1

u ［（3 COST 匚3

（1 -cosr 「］式中6 3和匚1分别是二个电子处

4 于三重态和单态下的散射截面。

3 试求::H •、 :: x 2 - n 「1 X 屮 n （X ）#［誇屮 n 」（X ）+{F%（X ）］

n 1 .

n 」(x) - 2 n 1(x)]

) （1） （2）

e 2 e 7 与—