2020《新高考 二轮专题突破+考前集训 文科数学》练习册题库 专题通关练 专题九 选考部分

专题九 选考部分 选考大题强化练

1. (2019广东梅州高三质检)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为

{x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(a>b>0，φ为参数)，且曲线C 上的点M(2，

3)对应的参数φ

＝π

3

，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 的普通方程和极坐标方程；

(2)若曲线C 上的A ，B 两点满足OA⊥OB ，过O 作ON⊥AB 交AB 于点N ，求证：点N 在以O 为圆心的定圆上．

1．(1)解：将M (2，3)的坐标及对应的参数φ＝π

3，代入⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(a >b >0，φ

为参数)，

得⎩

⎪⎨⎪⎧2＝a cos π

3，

3＝b sin π3

，

解得⎩

⎪⎨⎪

⎧a ＝4，b ＝2.

∴曲线C 的普通方程为x 216＋y 2

4

＝1.

将⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，代入上式得曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ16＋ρ2sin 2θ4＝1.

(2)证明：由(1)知，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ16＋ρ2sin 2θ

4

＝1.

由题意可设A (ρ1，θ)，B ⎝

⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π2，将其坐标代入曲线C 的极坐标方程，得ρ21cos 2

θ16＋ρ21sin 2θ4＝1，ρ22sin 2θ16＋ρ22cos 2θ4＝1，

∴1ρ21＋1ρ22＝516.由12|ON |·|AB |＝1

2

|OA |·|OB |，

得|ON |＝|OA |·|OB ||AB |＝ρ1ρ2

ρ21＋ρ2

2＝1

1

ρ21

＋

1

ρ22

＝

45

5

. 所以点N 在以O 为圆心，半径为45

5

的圆上．

2. (2019山西太原模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ.

(1)若曲线C 1方程中的参数是α，且C 1与C 2有且只有一个公共点，求C 1的普通方程； (2)已知点A(0，1)，若曲线C 1方程中的参数是t ，0<α<π，且C 1与C 2相交于P ，Q 两

个不同点，求1|AP|＋1

|AQ|

的最大值．

2．解：(1)∵曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ，

∴曲线C 2的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2

＝1.

∵α是曲线C 1：⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，

y ＝1＋t sin α的参数，

∴C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝t 2

.

∵C 1与C 2有且只有一个公共点，∴|t |＝2－1或|t |＝2＋1，

∴C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝(2－1)2或x 2＋(y －1)2＝(2＋1)2

.

(2)∵t 是曲线C 1：⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，

y ＝1＋t sin α的参数，

∴C 1是过点A (0，1)的一条直线．

设与点P ，Q 相对应的参数分别是t 1，t 2，把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α

代入 (x －1)2＋y 2

＝1，得

t 2＋2(sin α－cos α)t ＋1＝0，∴⎩⎪⎨

⎪⎧t 1＋t 2＝－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4，t 1·t 2＝1，

∴

1

|AP |＋1|AQ |＝1|t 1|＋1

|t 2|

＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2| ＝ 22⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4≤22， 当α＝3π4时，等号成立，且此时Δ＝4(sin α－cos α)2

－4＝4>0，

∴1|AP |＋1|AQ |的最大值是2 2.

3. (2019广东广州普通高中毕业班综合测试)在直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩

⎨⎧

x ＝2＋t cos α，y ＝ 3＋t sin α(t 为参数)．在以坐标原点为极点，

x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ2

＝2ρcos θ＋8.

(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；

(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且|AB|＝4

2，求直线l 的倾斜角．

3．解：(1)因为直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，

y ＝3＋t sin α

(t 为参数)，

所以当α＝π

2时，直线l 的直角坐标方程为x ＝2；

当α≠π

2时，直线l 的直角坐标方程为y －3＝tan α(x －2).

将⎩

⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入ρ2＝2ρcos θ＋8，得x 2＋y 2＝2x ＋8. 所以C 的直角坐标方程为x 2＋y 2

－2x －8＝0.

(2)(方法一)曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2

－2x －8＝0，

将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程，整理得t 2

＋(23sin α＋2cos α)t －5＝0.

因为Δ＝(23sin α＋2cos α)2

＋20>0，可设该方程的两个根为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－(23sin α＋2cos α)，t 1t 2＝－5.

所以||AB ＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2

－4t 1t 2

＝[－（23sin α＋2cos α）]2

＋20＝4 2.

整理得(3sin α＋cos α)2

＝3，故2sin ⎝

⎛⎭⎪⎫α＋π6＝± 3.

因为0≤α<π，所以α＋π6＝π3或α＋π6＝2π

3

，

解得α＝π6或α＝π

2

.

综上所述，直线l 的倾斜角为π6或π

2

.

(方法二)由曲线C 的方程可知，曲线C 为圆，且圆心为(1，0)，半径为3.直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且||AB ＝42，

故圆心C (1，0)到直线l 的距离d ＝9－（22）2

＝1.

①当α＝π

2

时，直线l 的直角坐标方程为x ＝2，符合题意.

②当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，直线l 的方程为x tan α－y ＋3－2tan α＝0.

所以d ＝|tan α－0＋3－2tan α|

1＋tan 2

α

＝1， 整理得|3－tan α|＝1＋tan 2

α，

解得α＝π

6

.

综上所述，直线l 的倾斜角为π6或π

2

.

4. (2019西南名校联盟重庆第八中学5月高考适应性考试)设函数f(x)＝|2x －1|＋|x ＋a|，a ∈R .

(1)当a ＝1时，解不等式f (x )≥3；

(2)若存在x ∈R ，使得f (x )≤|a －1|成立，求实数a 的取值范围．

4．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|≥3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，

2x －1＋x ＋1≥3

或

⎩⎪⎨

⎪⎧－1

或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，1－2x －1－x ≥3，