液压与气动技术-2.3.4.次刘流体力学基础

24
三.能量方程（伯努利方程）
➢----流动液体的能量守恒定律 1.理想液体的运动微分方程（见29页）
设在液流场中：
• 理想液体 • 一维流动 • 取微小流束中的一段
微元体，（通流面积 dA，长ds）。
• 理想液体沿流线作恒定流动，其运动微分方程？？
1）压力在微元体两端的作用力：
pdA ( p p ds )dA p dsdA
2.实际液体的能量方程（实用的伯努利方程）
p1
g
z1
1v12
2g
p2
g
z2
2v22
2g
hw （１-38）
实际液体在截面A1、A2上的各点流速u不等，引进动
能修正系数1 、2 （一般取值为1）
考虑粘性摩擦阻力造成能量损失hw
式中p、z应取通流截面同一点上 的值。通常取截面轴心处的值。
注意变量单位。
1-2… 二、静压力基本方程
1、静压力基本方程
静止液体内任意点A处的压力p
p p0 gh
➢ 若液面上只受大气压力：
p pa gh
➢基本方程特征： 1）任一点的压力由两部分组成。 2）压力随液体深度线性递增。 3）深度相等的各点压力相等，组成等压面。
1-2… 二、静压力基本方程
• 在基准水平面（0-X）上的
上式化简
油液升
加速到v2
所pa 需 压p2力 g g
h
摩擦压力
v22 2g
损hw 失
高h所需
•
解压得力真空度 pa p2 gh
1 2
v
2 2
ghw
gh
1 2
v22
p
例：计算从容器侧壁小孔 喷射出来的射流速度。
34
4、伯努利方程应用举例
35
例 有一水箱足够大，且通大气，各处尺寸如图所 示，（理想液体）求：1）流出的流量q
s
s
2）微元体上的重力：
gdsdA
3）恒定流动微元体的惯性力：
ma dsdA du dsdA( u u )
dt
s
牛顿第二定律 ∑F=ma有：
p dsdA gdsdAcos dsdA( u u )
s
s
又 cos z ，代
s
入上式整理后：
1
p
g
z
u
u
s s s
( 1 32 )
三.能量方程（伯努利方程）
第1章 流体力学基础
➢ 流体力学—研究流体平衡和运动规律 ➢ 流体力学是液压与气压传动的理论基础
➢本章重点： 1-2 流体静力学 1-3 流体的运动学和动力学
➢其次还需：
1-1 了解液压油的物理性质及选用方法 1-6 掌握管路压力损失的计算方法 1-7、1-8 了解孔口流动、缝隙流动的概念 1-9 掌握液压冲击和气穴现象的概念
ρ1u1dA1 ρ2u2dA2 Q ρ1 ρ2 质量守恒转化
A1
u1dA 1
A2 u2dA2
为体积守恒
引入平均速度：q v1 A1 v2 A2 常数 或 q1 q2
流量连续性方程 ——流体的运动学方程
q v1 A1 v2 A2 常数
说明：
➢在恒定流动中，通过流管各截面的不 可压缩流体的流量是相等的。
• 帕斯卡原理是液压传动 的一个基本原理
1-2…四.静压力对固体壁面的作用力
1、静压力对平面壁面的 作用力F：
F = pA
2、静压力对曲形壁面 X方向的作用力Fx ：
Fx = p2rl = pAx
即Fx 等于压力与曲面在x方向上的
投影面积Ax 的乘积。
1-2…静压力对固体壁面的作用力计算
例1-4 求弹簧预紧力Fs
23
解： 根据液流连续性方程q＝vA，求大小 活塞的运动速度v1和v2分别为：
v1
4q1 D12 d12
4 25103
60 0.0752 0.022 0.102m / s
v2
D22
4
v1
D12
4
v2
v1
4
D12
4
D22
0.0752 0.102 0.1252
0.037m / s
静压力基本方程：
p
g
z
p0
g
z0
常数
p 单位液体的压力能，称压力水头
g
Z---单位重力液体的位能，称位置水头
2、静压力基本方程的物理意义：
静止液体内任一点具有压力能和位能，其总和保持不 变（能量守恒）。两种能量形式之间可相互转换。
1-2… 二、静压力基本方程
3、压力的表示方法
➢相对压力：以当地大气
p1
g
z1
u12 2g
p2
g
z2
u22 2g
三.能量方程（伯努利方程）
2.理压想力p液能1g 体z1微 位小2u1g2 能流 束p2g 的 z能动2 能量2ug22方程（1-33）
或 p z u2 常数 g 2g
➢能量方程物理意义：
:单位重力液体 的动能，称速 度水头。
理想液体作恒流时，具有压力能、位能、
1-2 液体静力学
➢本节学习静止液体的力学规律及其应用
➢重点掌握：
空气的密度极小，静止空
1、静压力及其特性气主重要力介的绍作液用体甚静微 力，学故。本节
2、静压力基本方程式
3、压力的表示方法
4、帕斯卡原理（静压传递原理）
5、静压力对固体壁面的作用力
1-2… 一、静压力及其特性
1.静压力p
静止液体在单位面积上所受的法向力。即物理学中的
1）阀心受向上的力
F1
4
d
2
p1
4
(D
2
d
2
)
p2
2）阀心受向下的力
3）阀F心2 受4及力DF平2 sp2衡：F1=F2+Fs
回油路上p≠0 称背压
弹簧预紧力
Fs
4
d2
p1
p2
579 N
1-3 液体运动学和动力学
一、 基本概念 二、 连续方程 三、 能量方程（伯努利方程） 四、动量方程
一、 基本概念
压强。液压传动中简称压力。
当压力均匀地作用在承压面时
p=F/A
压力单位 MPa ；
1MPa1=06 Pa，
2、静压力的两个液重体要质特点性不：能受1P拉a=，1只N/能㎡受压
1）静压力垂直于承压面，其方向和该面的内法线一致。
2）静止液体内任一点受到的压力在各个方向上都相等，
否则液体就会流动。
中学实验课已经演示过
压力为基准所表示的压力，
也称表压力。 ➢绝对压力：以绝对零压
力作为基准所表示的压力。
➢真空度 ： 工程上称相对
压力为负数时的压力。
真空度=大气压力—绝对压力
1-2… 4、静压力基本方程应用
例1-2 求h=0.5m处的压力 使用静压力基本方程：
p=p0+ρgh =( 106 +900×9.8×0.5)N/m2 =(1+0.0044)×106 N/m2 ≈106 N/m2 = 1 MPa
又如图b)容器 内同样装有水，
其中
h1=15cm,
h2=30cm,试
求Ａ的真空度
和绝对压力．
B
C
BC
8
a)
pB pc , pc 汞g(h h1),pB 水gh1 pA p A 汞g(h h1) 水gh1 汞gh gh1(汞 水）
13.6 103 9.81 0.20 9.81 0.30 (13.6 1) 103
例1-4 推导文丘利流量计的流量公式
• 不计能量损耗 hw=0；取管中心为坐标基准 z1=z2=0； • 由理想液体能量方程：
p1 v12 p2 v22
g 2g g 2g
• 由连续方程：v1 A1 v2 A2 q
• U形管内静压力平衡方程：
p1 gh p2 'gh
• 上述三方程联立求解：
0.6 105Pa 真空度 pa pA 1.01 105 0.6 105 0.41 105Pa
10
1-2… 三、帕斯卡原理
静压力基本方程 p p0 gh • 外加压力p0 发生变化时，静止液体中任一点的压
力将发生同样大小的变化。
也就是说，在密封容器内，施加于静止液体 上的压力将以等值传递到液体中所有各点。 这就是帕斯卡原理,又称静压传递原理
p0
g
v02 2g
Z0
p2
g
v22 2g
Z2
由于：p0 0
Z2 0
Z0
H 4
v0 0 则：
H p2 v22
4 g 2g
p2
g( H
4
v22 ) 2g
38
由流量连续性方程：
v1A1 v2 A2
v2
v1
A1 A2
v1
d12 d22
则：
p2
g
H
4
(v1
d12
d
2 2
)2
2g
39
第一章作业：流体静力学 4、5、6、7
动能三种能量形式；三者间可相互转换，
三者之和为一定值，即能量守恒。
如果流动在同一水平面内，或z可以忽略不计的情况下：
p1 u12 p2 u22
2 2
表明：沿流线速度越高，压力越低 ➢伯努利现象举例：
火车站、地铁站的等候安全线； 船吸现象； 在水流湍急的江河里去游泳； 多管火箭发射时不可多枚火箭弹同时发射。
➢ ----流动液体的能量守恒定律
1.理想液体的运动微分方程（见29页）
即单位质量液体的力平衡方程
1 p z u
g u
( 1 32 )
Fra Baidu bibliotek
s s s
将上式沿流线s从截 面1积分到截面2：
两边同除以g,整理
2 1 p z
2 u2
1
(
s
g
s
)ds
1
u
s
(
2
)ds
得理想液体微小流 束的能量方程式： （1-33）
➢换句话说，液体以一个流量在流管中连 续流动。
➢其流速与流通截面积成反比。
思考题
如图示,液压泵以 q=25L/min的流量向液压缸 供油，D=50mm, d=30mm,d1=d2=10mm, 试求活塞的运动速度及油 液在进、回油管中的流速。 能否直接用连续性方程计 算两油管中的流速？
22
例：
如图所示，己知流量q1＝25L/min，小活塞杆直径 d1＝20mm，小活塞直径D1＝75mm，大活塞杆直径 d2＝40 mm，大活塞直径D 2＝125mm，假设没有泄 漏流量，求大小活塞的运动速度v1、v2。
1. 理想液体、恒定流动和一维流动
➢ 理想液体: 无粘性、不可压缩的液体 ➢ 恒定流动: 液体流动时，液体中任一点处的
压力、速度和密度都不随时间变化的流动。
➢ 一维流动:当液体整个作线形流动时，称为
一维流动。
恒定流动
非恒定流动
16
2. 流线、流束、流管、通流截面
➢流线: 某一瞬间液流中各质点的速度方向相
q
A2
2
1
A2 A1
2g ' h C h 即流量可由读数h来换算
例1-5 计算液压泵吸油口处的真空度
• 油箱截面1-1有p1，油管截面2-2有p2，取1 2 1
• 实际液体的能量方程
（以1-1为坐标基准）
p1
g
v12 2g
p2
g
h
v22 2g
hw
• 又 p1 p，a 静v止1，液则 v体2 v1吸油0管路
29
三.能量方程（伯努利方程）
➢实际微元液体的能量方程，还需考虑流体摩
擦粘性，产生的能量损失 h'w，即：
流管内整 p1
g
z1
u12 2g
p2
g
z2
u22 2g
h'w
➢式（体1-液35流）的的两端乘 d积qA后能 是1、,分量怎A别2样方进对行通的程积流？分面，
（1-35）
得到实际液体能量方
程（1-38）。
0.64 105Pa A处的绝对压力 pA绝 1.01 105 0.64 105 1.65 105 Pa
9
(b)
pB pc ,pB pA 水gh1 汞gh2 pA pB (水gh1 汞gh2 )
1.01 105 (1 103 9.81 0.15 13.6 103 9.81 0.3)
• 忽略不计ρgh，因其与 p0 不在一个数量级上。 ➢ 由上，静止液体内部的压力可看作近乎相等，
液压系统就采用了这种假定。
例 如图a)所示，Ｕ型管测压计内装有水银，其左端 与装有水的容器相连，右端开口与大气相通。已知： h=20cm,h1=30cm,水银密度。计算Ａ点的相对压力
和绝对压力．
汞 13.6 103kg / m 3 水 1 103kg / m 3
切的曲线。
➢流管: 流线组成的封闭管状表面 微。小流束的截 ➢流束: 流管内的一束流线。 面上，其流速 ➢通流截面:与所有流线正交的截示面作。相等。
流线与迹线：
恒定流动 非恒定流动
3. 流量、平均流速
➢流量q : 单位时间内流经某通流截面的液体体积。
q=V/t 单位 m3 / s 或 L/min
➢平均流速v
由于液体的粘性，实际通流截面上各质点的流速并
不等。
实际流量： qq uduAdAvA AA
v q A
为简化计算， 取截面流速的 平均值
二、连续方程（流量连续性方程）
讨论：液体在管内作恒定流动，单位时间内流
过两个截面的液体流量是怎样的？
假∵设因:为理液想体液不体可作压缩恒，定流动 推∴导流压入:质流d量A过1应与截相流面等出1。d，A22的的液流量
2）截面2-2处的压力p2
解：1）列0-0和1-1截面的伯努利方程，以箱底管 子中心为基准：
p0
g
v02 2g
z0
p1
g
v12 2g
z1
由于：p0 p1 pa 0 Z1 0
H v12 2g
v1 2gH
Z0 H
v0 0
q v1A1
2gH d12
4
则：
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解：2）列0-0和2-2截面的伯努利方程，以2-2截面 为基准：