2015考研数学一真题解析二阶常系数非齐次微分方程解的结构

2015考研数学一真题解析：二阶常系数非齐次微分方程解的结构

来源：文都教育

二阶常系数非齐次微分方程是考研数学重要考点，命题形式包括二阶常系数非齐次微分方程求通解、解得结构定理及已知通解求微分方程，2015考研数学考查了本知识点，题目和解析如下： 设

211()23=

+-x x y e x e 是二阶常系数非齐次线性微分方程'''++=x y ay by ce 的一

个特解，则 ( )

A. 3,2,1=-==-a b c

B. 3,2,1===-a b c

C. 3,2,1=-==a b c

D. 3,2,1===a b c

【答案】A

【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的逆问题——已知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解 【解析】由题意可知，212x e 、13x

e -为二阶常系数齐次微分方程0y ay by '''++=的解，所以

2,1为特征方程20r ar b ++=的根，从而(12)3a =-+=-，122b =⨯=，从而原方程变为

32x y y y ce '''-+=，再将特解x y xe =代入得1c =-.故选（A ）

二阶常系数非齐次线性微分方程解的结构与通解此知识点方法和公式固定，大家只需按解得结构原理和求通解公式按部就班解答就可以了，下面文都考研数学老师帮大家复习一下此知识点。

1.二阶常系数非齐次微分方程定义—形如)(x f qy y p y =+'+''（其中q p ,为常数）的方程。

2.通解的结构—)(x f qy y p y =+'+''的通解为0=+'+''qy y p y 的通解与其本身一个特解之和。

3.特解求法：

情形一：

)()(x P e x f m x λ= 设方程的特解结构为：

()x y e Q x λ*= ①当λ不是特征根时，

)()(x Q x Q m =； ②当λ是特征单根时， )()(x xQ x Q m =；

③当λ是特征重根时，

)()(2x Q x x Q m =． 情形二：

]sin )(cos )([)(x x R x x P e x f n L x ωωλ+= 设特解结构为 ：

[()cos ()sin ]k x m m y x e R x x S x x λωω*=+，其中},{n L Max m =， ①当i ωλ+不是特征方程的根时，0=k ；

②当i ωλ+是特征方程的根时，1=k ； 代入原方程求出多项式(),()m m R x S x 的系数即可．