《运筹学》教案(5)—图与网络分析解析

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任意两点之间的最短路算法（续）
返回
4步
5步
0 0 0 0 0
v1（油田）
2
2 4 2 6 4 2 6 4 2 6 4 2 6 4
0 4 4 v 3 v2 6 10 6 8 10 10 6 8 10 10 12 6 8 10 10 12
v2 -1 v3 -2 v4 3
2 v3 4 v2 6 v5
v2 -5 v6 -1 v4 -7
v8 3 -5 v4 5 v7
v1 1
v7 -5
v1 1
v5 -3
求V1到各点的最短路 需要对所有点重复进行 计算 返回
7 v6
v4 -6 v5 0 v8 6 v7 0
8 v8
v2 -4 v5 3
v7 1
第 k 条最短路算法
v2 2 0
v3 4 2
v4 3 3 1 0
v5 8 5 3 5
v6 9 7 4 6 1 0
v7 12 10 12 6 5 0
D (0)
0

7 3 5 5 0 1 7 0 5 0
v6
2 4 0 4 4 0 4 0 6 6 0 2 4 0 4 0 4 0 2
v1 v2 v4
v6 v1 v2 v4
v6
树的性质



ຫໍສະໝຸດ Baidu
任意树中，至少有两个悬挂点； 树中不含圈，且满足边数q = 点数p - 1； 树中任意两点间存在唯一的一条链； 树中任意去掉一条边，则图不再连通； 树中任意两点间加上一条边，则将形成圈。
v3 v1 v5 v6
返回
v2
v4
最小部分树问题及算法
任意两点之间的最短路算法
2 v1 3
v1 v1 0 v 2 v3 v 4 v5 v6 v7 v2 2 0 v3 5 2
v2 1 3 v4 5
v4 3 1 0 v5
5
2 v3
7 5
v6
v6 1
v7
5 7
v7
返回
继续
v5
v1 v1 0 v 2 v3 D (1 ) v 4 v5 v6 v7
e1
v1
v5
e8
v6
树的概念及最小树问题
树的概念—不含圈的连通图 树的应用 树的性质 支撑树-图T(V,E’)是图G(V,E) 的支撑子图且图T是一个树 最小部分树 返回

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v3
v5
v3
v5
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4 2 1 1 2 3
2 3
-1 4
① ②
前3条最短路的计算
① 0 3 2 2 3 1 2 ② 1 0 -1 0 1 ③ ④
-1
2
③ ④

从点1到点4的第k条最短路算法 需要对所有点重复进行计算
返回
矩阵摹乘法
v7 6 v4 4
1步 2步 3步
4 6
v8 4 v5 4
2
2 4
v9 （原油加工厂）
第七章 图与网络分析
图与网络分析
图的基本概念 树的概念及最小树问题 最短路问题 最大流问题 匹配问题 覆盖问题 中国邮递员问题 图论的应用

返回
图的基本概念

哥尼斯堡七桥问题(1736,欧拉)
从某点出发走过7个桥且每桥只走一次，再回到原点，
是否可能？ 欧拉将其归为“一笔画问题”。 A岸 C岛 B岸 D岛 C A D
B

无向图G=(V,E) 顶点V={A,B,C,D}={v1, v2, v3, v4} 边E={e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7}、 e7=[v3, v4] 顶点个数p 和边数q 任意两点之间都有边相连，称为连通图 点边交替序列称为链；闭合的链称为圈
v3


5 1 7 2
v5
4 3 v4 v5 v6 4 v6
赋权图（网络） 最小部分树 避圈法 破圈法 限定某条边必须选 取时的最小部分树 返回
6 v1 5 v2 v3 v1
练习
v2
v4
最短路问题及其算法

从指定点到所有其它点的最短路
不包含负权的最短路算法 包含负权的最短路算法 从指定点到所有其它点的第k条最短路 矩阵摹乘法
v2
v6 4 v3
v4 4 v7 4+6 ④ v5 v5 4+6 v3 v9 8+4 ⑥ v8
只需对未得到标号点进行计算 “双标号算法” 练习 返回
v7
包含负权的最短路算法
v2 6 -1 v1 3 -2 8 -5 v4

-1 2
v5
-3 v3
1 2 -1
1
1
-3 v6 v7 7
1 v1 [0]
v4
图的次


次d(vj)
以点vj为顶点的边的条数，叫做点vj的次
悬挂点、孤立点、奇点、偶点
次为1的点叫做悬挂点；次为0的点叫做孤立点；次为奇
数则称奇点；次为偶数则称偶点。

次的性质
任意图中，所有点的次的总和是边数的2倍。
任意图中，奇点的个数为偶数。

返回
e2 e 3 v4 v3 e e5 7 e 6 e4 v2
任意两点之间的最短路 网络的中心 网络的重心

返回
不包含负权的最短路算法
（原油加工厂）
v7 6
4
v8 4
2
2 4 4
v9
① v1 [0] ③ v4 ⑤ v6
v2 2
② v2
v5 2+4 v3 2+4 v8 6+4 v6 6+2 v6 6+4 v9 10+2
v4
4 v1（油田）

6 2
v5 4
图的基本概念
e2 e3 v4 v3 e 7 e5 e6 e4 v2 a1 a2 a4 a6 v2 a5 e1
v1
有向图D=[V、A]，顶点V、弧A，基础图 v1 a1=(v2,v1)≠(v1,v2); a2=(v1,v2)≠(v2,v1) a3 顶点个数p、弧数q 点弧交替的链称为路；闭合的路称回路 v 3