理论力学(周衍柏)第二章质点组力学

mac
分量式为： mxc Fx,myc Fy,mzc Fz
⑶质点组的动量守恒定理
①当质点组不受外力或所受外力的矢量和为零，
n Fi(e) 0
i 1
dp 0, p为恒矢量
dt
p
mvc
,vc为恒矢量
如果作用在质点组上的诸外力在某一固定轴(设为x轴)上的投影之和为零,
n Fi(xe) 0
)
dri
n
Fi ( e )
dri
i 1
i 1
注意 ① 在动量定理和动量矩定理中，内力均因
相等相反而消去； ② 在质点组动能定理中，内力所作元功之
和一般不能互相抵消，即质点组的动能并不一 定守恒；
③ 对特殊的质点组—对刚体来说，内力不 作功，即内力所作元功之和为零。
下面就让我们对第二点进行证明。
第二章质点组力学
❖ 2.1 ❖ 2.2 ❖ 2.3 ❖ 2.4 ❖ 2.5 ❖ 2.6 ❖ 2.7 ❖ 2.8
质点组 动量定理与动量守恒律 动量定理与动量矩守恒律 动能定理与机械能守恒定律 两体问题 质心坐标系与实验室坐标系 变质量物体的运动 位力定理
2.1 质点组
(1)质点组、内力和外力
质点组：我们把由许多（有限或无限）相互联 系着的质点所组成 的系统。
和,即
d(1 2
miri2 )
dTi
Fi (i )
dri
Fi ( e )
dri
其中,
ri 是质点的速度,
dri 则是它的位移。
对i求和
d
n i 1
(
1 2
mi
ri 2
)
n i 1
Fi (i )
dri
n i 1
Fi (
e)
dri
若用T表示质点组的动能，则
dT
n
Fi (i
t V0 sin
g
故，多跳的一段距离为
x
QuV0 sin
(P Q)g
2.3动量矩定理与动量矩守恒定律
⑴对固定点的动量矩定理
ur uur d J =Mdt
在直角坐标系的分量形式
dJ
M
dt
微分形式
质点组
d
dt
d
dt
n i n1 i 1
mi mi
yi zi zi xi
mi
i 1
n
mi yi
yc
i 1 n
mi
i 1
n
mi zi
zc
i 1 n
mi
i 1
质量连续分布的体系
rc
r dm
V
dm
V
在直角坐标系
xc
Vxdm Vdm
yc
V ydm Vdm
zc
V zdm Vdm
2.2 动量定理与动量守恒律
⑴动量定理
dp dt
n Fi(e)
i 1
或
dp
(
n
Fi(e))dt
zi yi xi zi
n i n1 i 1
yi
F(e) iz
zi
F(e) iy
zi
F(e) ix
xi
F(e) iz
d
dt
n
mi xi yi yi xi
i 1
n i 1
xi
F(e iy
)
yi
F(e) ix
即 dJ x dt
M
ox
,
dJ y dt
M
oy
,
dJ z dt
M oz
质点组的动uJu量r2 矩的uJu积r1 分形式t1t2
uur M dt
其在直角坐标系的分量形式
J 2 x J1x
t2 t1
M ox dt
J 2 Βιβλιοθήκη Baidu J1y
t2 t1
M oy dt
J 2 z J1z
t2 t1
M oz dt
⑵动量矩守恒定律
① 如果作用在质点组上的诸外力在某一固定点的合力矩为零,即
② 如果
，但对通过原点的某一标轴(设为x轴)上
的合力矩为零,则该方向动量矩守恒。
n
M ox 0
yi Fize zi Fiye 0,
i 1
即:Jx
n i 1
mi
yi
•
zi zi
•
yi
=常数
⑶对质心的动量矩定理
ur
mi
d 2 ri' dt 2
uur (i) Fi
uur (e) Fi
u•r•
mi rc
式中
mi
u•r• rc
⑵ 机械能守恒定律
如果作用在质点组上的所有外力不做功及内力都是保守力 （或其中只有保守力作功）时，才机械能守恒。
T V E
⑶柯尼希定理
质点组动能
T=
1 2
n i 1
mi
u•r rc
r• ' ri
2
1 n
u•r 2 1 n
r•' 2 u•r n
r• '
2 i1 mi rc 2 i1 mi ri
rc • mi ri
i 1
1 u•r 2 1 n
r•' 2 u•r n
r• '
2 m rc 2 i1 mi ri
rc • mi ri
i 1
r•
因ri
'
是pi相对于质心c的位矢，故
n
r• '
i 1
dPx 0 dt
n
Px mivix mvcx c(常数) i 1
例:水 时一平，个线将重成物量体为角以P的的相人速对,度于手他v拿uur0向自一前己个跳的重。速为当度Q他的ur跳物水到体平最,向以高后与
抛出。问由于物体的后抛使人的跳远的距离增 加了多少？
解：忽略空气阻力，则人和重物所组成的质点组 在水平方向的动量守恒。
i 1
写成分量形式
dpx
dt
d(n dt i1
mivix )
n
F(e) ix
Fx
i 1
dpy
dt
d(n dt i1
miviy )
n
F(e) iy
Fy
i 1
dpz
dt
d(n dt i1
miviz )
n
F(e) iz
Fz
i 1
⑵质心运动定理
n i 1
Fi(e)
m
dvc dt
m
d
2
rc
dt 2
内 力： 质点组中质点间的相互作用力。 外 力：质作点用组力以。外的物体对质点组内质 点的
⑵ 质心
质点组的全部质量可认为集中在某一点上 ，这
一点我们就叫做质点组的质心。
rc
n
mi ri
i 1
n
mi
i 1
质心定义为： n
rc
mi ri
i 1
n
mi
i 1
在直角坐标系
n
mi xi
xc
i 1 n
为惯性力。
ur ' dJ
uur ' M
dt
若
uur ' M 0
⑷质心系中的动量矩守恒定律 则
ur ' J
常矢量
2.4动能定理与机械能守恒定律
⑴质点组的动能定理
o)的由质n个点质pi点, 作所用组在成该的质质点点上组所，有其内中力任和选外一力个的质矢量量m和i为,分，别位为矢为Fi(i)r,iFi((对e) 定,则点 质点组中任一质点动能的微分等于作用在该质点上外力及内力所做元功之
设是人在抛掷重物过程中所增加的水平速度v，
人对惯性参考系（地面）的水平速度为，物体 对惯性参考系（地面）的水平速度为 ，则
水平动量守恒：
x
P
g
Q
V0
cos
P g
(V0
cos
v)
Q g
(V0
cos
v u)
由上式可得(：P Q)v Qu 0
即：v Q u PQ
设从最高点到落地的时间为t，则