理论力学(周衍柏)第二章质点组力学
周衍柏《理论力学教程(第三版)》电子教案 第二章1-2质点组力学
例1、当质量为m的人在质量为M的车上行走时,如车与 地的摩擦可以忽略,已知人对地速度为v1,或已知人对车 的速度为v’, 试计算车对地的速度v2.设开始时人和车相 对地是静止的. 解: 由于重力和地面支持力抵 消,各种阻力忽略,故系统动量 守恒,如已知人对地速度为v1, 而开始时人和车相对地是静止
碰撞打击等动量守恒定律是物理学中最重要最普遍的定律之一它不仅适合宏观物体同样也适合微观领域例1当质量为m的人在质量为m的车上行走时如车与地的摩擦可以忽略已知人对地速度为v或已知人对车的速度为v试计算车对地的速度v
第二章
质点组力学
§2.1 质点组 导读
• 质点组
• 系统内力
• 系统外力 • 质心
1．质点组的内力和外力 设 有n个质点构成一个系统 第i个质点：
解： v= 2.5103 m/s vr= 103 m/s
设：头部仓速率为v1，容器仓速率为v2
(m1 m2 ) v m1v1 m2 v2 m1 ( v2 vr ) m2 v2
m1vr v2 v 2.17 103 m s 1 m1 m2 3 1 v1 v2 vr 3.17 10 m s
12 rC 6.8 10 mi
例2 求半径为 R 的匀质半薄球壳的质心. 解 在半球壳上取一圆环, 其质量
y
dm ds
Rsin θ
Rdθ
R
2 πR sin d
2
由于球壳关于 y 轴 对称，故 xC = zC = 0
z
2 πR 2
θ
O
dθ
Rcosθ
x
1 yC ydm m'
3 动量守恒定律 系统所受合外力为零时, 系统的总动量保持不变
理论力学（周衍柏第二版）思考题习题答案第二章
第二章质点组力学第二章思考题2.1一均匀物体假如由几个有规则的物体并合（或剜去）而成，你觉得怎样去求它的质心？2.2一均匀物体如果有三个对称面，并且此三对称面交于一点，则此质点即均匀物体的质心，何故？2.3在质点动力学中，能否计算每一质点的运动情况？假如质点组不受外力作用，每一质点是否都将静止不动或作匀速直线运动？2.4两球相碰撞时，如果把此两球当作质点组看待，作用的外力为何？其动量的变化如何？如仅考虑任意一球，则又如何？2.5水面上浮着一只小船。
船上一人如何向船尾走去，则船将向前移动。
这是不是与质心运动定理相矛盾？试解释之。
2.6为什么在碰撞过程中，动量守恒而能量不一定守恒？所损失的能量到什么地方去了？又在什么情况下，能量才也守恒？2.7选用质心坐标系，在动量定理中是否需要计入惯性力？2.8轮船以速度V 行驶。
一人在船上将一质量为m 的铁球以速度v 向船首抛去。
有人认为：这时人作的功为()mvV mv mV v V m +=−+222212121你觉得这种看法对吗？如不正确，错在什么地方？2.9秋千何以能越荡越高？这时能量的增长是从哪里来的？2.10在火箭的燃料全部燃烧完后，§2.7（2）节中的诸公式是否还能应用？为什么？2.11多级火箭和单级火箭比起来，有哪些优越的地方？第二章思考题解答2.1.答：因均匀物体质量密度处处相等，规则形体的几何中心即为质心，故先找出各规则形体的质心把它们看作质点组，然后求质点组的质心即为整个物体的质心。
对被割去的部分，先假定它存在，后以其负质量代入质心公式即可。
2.2.答：物体具有三个对称面已足以确定该物体的规则性，该三平面的交点即为该物体的几何对称中心，又该物体是均匀的，故此点即为质心的位置。
2.3.答：对几个质点组成的质点组，理论上可以求每一质点的运动情况，但由于每一质点受到周围其它各质点的相互作用力都是相互关联的，往往其作用力难以预先知道；再者，每一质点可列出三个二阶运动微分方程，各个质点组有n 3个相互关联的三个二阶微分方程组，难以解算。
理论力学第二章 质点组力学(2)
mr1
k2m
M m2
1 r22
r1 r1
从上式看出，力仍然与距离平方成反比， 故行星绕质心作圆锥曲线运动。太阳也如此。
2014/3/19
第二章 质点组力学（2）
12
行星相对于太阳的相对运动
由方程
M
d 2 rS dt 2
GMm r r2 r
m
d 2 rP dt 2
GMm r2
r r
m1
m2
m2
v2
u2
u1
u2
动量守恒 m2v1 m2v2 m1u1 m2u2
且定义e: u1 u2 ev1 v2
式中e称为恢复系数。
2014/3/19
第二章 质点组力学（2）
23
所以,考虑弹性碰撞问题,有以下两个方程
动量守恒 m2v1 m2v2 m1u1 m2u2
mv1 mv2 0
机械能守恒
r
（1） m1 v1
v2 m2
km1m2 a
1 2
m1v12
1 2
m2v22
km1m2 a/2
联立求解：
（2）
2k
2k
v1 m2
,
a m1 m2
v2 m1
a m1 m2
（3）
另：如果从动能定理出发
d
1 2
m1v12
1 2
理论力学
教材：周衍柏《理论力学教程》 编
北京交通大学理学院 教师：王波波
2014/3/19
第二章 质点组力学（2）
1
第二章 质点组力学
理论力学教程周衍柏第三版课件
13
时钟的改进
14
长度(length)的计量
• 空间反映物质运动的广延量, 在三维空间里位置可由三个相 互独立的坐标来确定. 空间中两点间的距离为长度. • 1889年，第一届国际计量大会: 法国国际计量局铂铱合金 棒在0oC时两条刻线间的距离定义为1米. • 1960年，第十一届国际计量大会：采用氪86原子橙黄光波 长的1 650 763.73倍定义为1米, 实现了自然基准. 1983年，第十七届国际计量大会：1米定义为光在真空中传 • 播(1/299 792 458)秒的时间间隔内所经路程的长度.
2
理论力学与普物力学的关系
• 理论力学是力学的延续与提高 • 主要的概念和定律一样 • 理论力学用高等数学方法处理物理问
题
• 分析力学
3
理论力学的任务
研究物体机械运动的一般规律
理论力学的研究对象
有限个自由度的力学体系
两个模型
质点 刚体
4
理论力学研究的条件
宏观低速下 ①质量不变 ②绝对时间 ③绝对空间
dy dcosx y' sin x dx dx dy dlnx 1 y' dx x dx dy de x y' ex dx dx
yx
n
y sin x y cos x
y ln x
ye
x
28
2 导数运算定理
d du d v u ( x) v( x) dx dx dx
d dv du u ( x)v( x) v( x) u ( x) dx dx dx
du dv v ( x ) u ( x ) u ( x ) d dx dx v( x) 2 dx v( x)
理论力学第三版(周衍柏)全部习题答案
对两边积分
1.35解锤的压力是均匀增加的，设 ， 为常数，由题意可知 ，得
，
所以
，
即
故
两边同时积分
得
， ①
又因为当 增至极大值 后，又均匀减小到0，故此时有 为常数，
所以
即
②
由①得
③
整个过程压力所做功
又因为
即
对上式两边分段积分
得
1．36
解（a）保守力 满足条件 对题中所给的力的表达式，代入上式
即
所以此力是保守力，其势为
②
联立①② 得
③
齐次方程通解
非齐次方程③的特解
所以③的通解
代入初始条件： 时， 得 ；故有
即为 在任一时刻离上端 的距离.
1.27解对于圆柱凸面上运动的质点受力分析如图1-24.
运动的轨迹的切线方向上有:
①
法线方向上有：
②
对于①有 （ 为运动路程，亦即半圆柱周围弧长）即
又因为
即
③
设质点刚离开圆柱面时速度 ，离开点与竖直方向夹角 ，对③式两边积分
电子受力
则电子的运动微分方程为
②-③-④
由② ，即
⑤
代入③整理可得
⑥
对于齐次方程 的通解
非齐次方程的特解
所以非齐次方程的通解
代入初始条件： 时， 得
时， 得 ,故
⑦
同理，把⑦代入⑤可以解出
把⑦代入⑤
代入初条件 时， ，得 .所以
）
1.23证 （a）在1.22题中， 时，则电子运动受力 电子的运动微分方程
所以单摆振动周期
结论得证。
1.32解：设楔子的倾角为 ，楔子向右作加速度 的匀加速运动，如图1.32.1图。
周衍柏理论力学课件(PPT可修改版本)
爱因斯坦 (1879-1955)
1879年 3月14日生于德国乌耳姆一个经营电器作坊的 小业主家庭。一年后，随全家迁居慕尼黑。在任工程 师的叔父等人的影响下,爱因斯坦较早地受到科学和哲 学的启蒙。1894年,他的家迁到意大利米兰,继续在慕尼 黑上中学的爱因斯坦因厌恶德国学校窒息自由思想的 军国主义教育，自动放弃学籍和德国国籍，只身去米 兰。1895年他转学到瑞士阿劳市的州立中学；1896年 进苏黎世联邦工业大学师范系学习物理学，
自然和自然规律为黑暗 所蒙蔽上帝说，让牛 顿来！一切遂臻光 明！
一、理论力学研究对象
物理学是研究物质性质、结构、运动规律的科学。世界物质可分 为不同层次、不同运动级别，因而有相应的主要研究科学：
物质层 次
宇观
线度 >108m
宏观
10-1—103m
亚宏观
10-6—10-3m
原子
10-10—10-9m
矢量力学是以牛顿运动定律为基础，从分析质量和物体受 力情况，由此探讨物体的机械运动规律。在矢量力学中，涉及 的量多数是矢量，如力、动量、动量矩、力矩、冲量等。力是 分析力学中最关键的量。
分析力学以达朗伯原理为基础，从分析质量和质量系能量情 况，由此探讨物体机械运动规律。分析力学中涉及的量多数是 标量，如动能、势能、拉格朗日函数、哈密顿函数等。动能和 势能是最关键的量。
二、理论力学研究方法
观察、实验， 总结实验规律， 建立物理模型， 提出合 理假设， 数学演译、逻辑推理 ， 探讨规律， 实验验 证。 理论力学与普通物理的力学不同点是：逻辑推理、数学演译 更强。主要数学要求是：微积分和解常系数微分方程。
三、理论力学的内容结构
理论力学分为矢量力学（即牛顿力学）和分析力学两大部 分。
理论力学(周衍柏第二版)思考题习题答案
1.16答：若 ,在球坐标系中有
由于坐标系的选取只是数学手段的不同，它不影响力场的物理性质，故在三维直角坐标系中仍有 的关系。在直角坐标系中
故
事实上据“ ”算符的性质，上述证明完全可以简写为
这表明有心力场是无旋场记保守立场
1.17答平方反比力场中系统的势能 ，其势能曲线如题图1.17图所示，
由 。
若 ，其势能曲线对应于近日点 和远日点 之间的一段。近日点处 即为进入轨道需要的初动能若 则质点的运动无界，对应于双曲线轨道的运动；若 位于有界和无界之间，对应于抛物线轨道的运动；这两种轨道的运动都没有近日点，即对大的 质点的运动是无界的，当 很大时 ，还是选无限远为零势点的缘故，从图中可知，做双曲轨道运动比抛物轨道和椭圆轨道需要的进入轨道需要的动能要大。事实及理论都证明，平方反比引力场中质点的轨道正是取决于进入轨道时初动能的大小
1.3答：内禀方程中， 是由于速度方向的改变产生的，在空间曲线中，由于 恒位于密切面内，速度 总是沿轨迹的切线方向，而 垂直于 指向曲线凹陷一方，故 总是沿助法线方向。质点沿空间曲线运动时， z何与牛顿运动定律不矛盾。因质点除受作用力 ，还受到被动的约反作用力 ，二者在副法线方向的分量成平衡力 ，故 符合牛顿运动率。有人会问：约束反作用力靠谁施加，当然是与质点接触的周围其他物体由于受到质点的作用而对质点产生的反作用力。有人也许还会问：某时刻若 大小不等， 就不为零了？当然是这样，但此时刻质点受合力的方向与原来不同，质点的位置也在改变，副法线在空间中方位也不再是原来 所在的方位，又有了新的副法线，在新的副法线上仍满足 。这反映了牛顿定律得瞬时性和矢量性，也反映了自然坐标系的方向虽质点的运动而变。
理论力学(周衍柏第三版)习题答案
v0 s 1 at1 t1 2
再由此式得 证明完毕.
a
2st 2 t1 t1t 2 t1 t 2
1.2 解 由题可知,以灯塔为坐标原点建立直角坐标如题 1.2.1 图.
1 设 A 船经过 t 0 小时向东经过灯塔,则向北行驶的 B 船经过 t 0 1 小时经过灯塔任意时刻 A 2
r
r
把③④⑦⑧代入⑤⑥式中可得
a // 2 r
1.7 解 由题可知
2 2
r
a r
x r cos ① ② y r sin
③ r cos r sin x sin r sin r 2 cos ④ cos 2r x r
对等式两边同时积分 ，可得： 1.6 解 由题可知质点的位矢速度 沿垂直于位矢速度 又因为
1 2T 2T t s c t 2 sin t 2T 2
v // r ①
v
即
r ， v // r
r r
v r 即 r
dv 2kv 2 dt
y3 p 1 y 2
2 3 2
⑤
又
dv dv dy dv y dt dy dt dy x yy p
把 y 2 2px 两边对时间求导得
又因为
2 y 2 v2 x
所以
2 y
v2 y2 ⑥ 1 2 p
d 15t 0 15t
2
1 15 t 0 1 15t 2
2
- - 1- -
理论力学第2章质点组力学ppt课件
最新版整理ppt
25
最新版整理ppt
26
和
最新版整理ppt
27
举例
最新版整理ppt
28
§2.4 动能定理与机械能守恒定 律
1 质点组的动能定理
最新版整理ppt
30
刚体情形
最新版整理ppt
31
2 机械能守恒定律
▪ 对质点组来讲，内力所作的功之和一般并不 为零，所以，若只有外力是保守力而内力并 不是保守力，质点组的机械能并不守恒；
54
最新版整理ppt
55
举例
最新版整理ppt
56
最新版整理ppt
57
最新版整理ppt
58
2 火箭原理
时间关系不讲， 若有兴趣请自己看书
最新版整理ppt
59
作业8讲解
最新版整理ppt
60
第15讲到此结束
最
最新版整理ppt
10
§2.2 动量定理与动量守恒定律
1 质点组动量定理
最新版整理ppt
12
最新版整理ppt
13
最新版整理ppt
14
2 质心运动定理
最新版整理ppt
15
最新版整理ppt
16
3 动量守恒定律
（3）由于 pmvC
，所以质心作惯性运动。
（4）如果合外力在某轴投影为零，则动量投影为常量。
i 1
i 1
i 1
最新版整理ppt
35
小结
▪ 质点组的三个动力学基本定理在分量形式下 一共有七个方程，和它们相关的守恒律成立 时也是这样。
▪ 但由于质点组的独立变量通常都大于七，所 以这些方程并不能用来确定质点组中每一质 点的运动，而只能由它们得出运动总的趋向 和某些特征，特别是与质心有关的总的特征。
理论力学(周衍柏)第二章质点组力学.
⑵ 机械能守恒定律
如果作用在质点组上的所有外力不做功及内力都是保守力 （或其中只有保守力作功）时，才机械能守恒。
T V E
⑶柯尼希定理
质点组动能 ' 1 T= mi rc ri 2 i 1
n n 2 n 2
n ' 1 1 mi rc mi ri rc mi ri 2 i 1 2 i 1 i 1 n ' 1 1 m rc mi ri rc mi ri 2 2 i 1 i 1 n 2 2 '
(i ) (e) 1 2 d ( mi ri ) dTi Fi dri Fi dri 2 其中, ri 是质点的速度, dri 则是它的位移。
对i求和
n
n n 1 2 ( i ) (e) d ( mi ri ) Fi dri Fi dri i 1 2 i 1 i 1
t2
t1 t2
M ox dt M oy dt M oz dt
t1 t2
t1
⑵动量矩守恒定律
① 如果作用在质点组上的诸外力在某一固定点的合力矩为零,即
② 如果 ，但对通过原点的某一标轴(设为x轴)上 的合力矩为零,则该方向动量矩守恒。
M ox 0 yi Fiz e zi Fiy e 0,
(e) xi Fiz (e) yi Fix
(e) iy
dJ y dJ x dJ 即 M ox , M oy , z M oz dt dt dt
质点组的动量矩的积分形式 t2
t1
J 2 J1 Mdt
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
理论力学教程 (周衍柏)(第四版)
理论力学教程 (周衍柏)(第四版)介绍《理论力学教程 (周衍柏)(第四版)》是一本经典的力学教材，由著名力学学者周衍柏编写。
本教程系统讲解了理论力学的基本概念、原理和方法，是理论力学领域的入门教材。
本文档将对该教程的主要内容进行介绍，并以Markdown文本格式输出。
第一章：基本概念1.1 力学的研究对象力学是研究物体运动规律的科学，它将物体分为质点和刚体两个研究对象。
质点被简化为没有具体形状和大小的点，刚体则具有固有形状和大小。
1.2 运动的描述运动可以通过位置、速度和加速度等量来描述。
位置是描述物体在空间中的位置关系，速度是位置随时间的变化率，加速度是速度随时间的变化率。
1.3 牛顿力学的三大定律牛顿力学的三大基本定律为惯性定律、动量定律和作用反作用定律。
惯性定律描述了物体在无外力作用下保持匀速直线运动的性质，动量定律描述了物体受力作用下速度发生变化的规律，作用反作用定律描述了力的相互作用导致的物体运动规律。
第二章：质点运动学2.1 一维直线运动一维直线运动是质点只沿一条直线方向运动的情况。
可以通过物体的位移、速度和加速度来描述其一维直线运动规律。
2.2 二维平面运动二维平面运动是质点在平面内任意方向上运动的情况。
可以通过物体的平面位置、速度和加速度来描述其二维平面运动规律。
2.3 相对运动相对运动是指两个运动物体相对于彼此的运动情况。
可以通过相对速度来描述两个物体之间的相对运动规律。
第三章：质点动力学3.1 牛顿第二定律牛顿第二定律描述了质点受力作用下速度的变化规律，即力等于质量乘以加速度。
3.2 动量定理动量定理描述了质点受力作用下动量的变化规律，即力是动量随时间的变化率。
3.3 机械能守恒定律机械能守恒定律适用于只受重力和弹性力作用的质点，描述了质点机械能（动能和势能之和）在运动过程中的守恒性质。
第四章：刚体静力学4.1 刚体的概念刚体是指形状和大小在运动过程中保持不变的物体。
刚体静力学研究的是刚体受力平衡时的性质和规律。
周衍柏理论力学教案
i j k r x y z
}
m Fx ( x, y, z , x, y, z , t ) x y m Fy ( x, y, z , x, y, z , t ) ——很难解 mz Fz ( x, y, z, x, y, z , t )
－质点动力学方程
自由质点——质点在运动时不受任何其它物体的限制— —主动力、约束力 一、运动微分方程的各种分量表达式 1、直角坐标系：
F Fxi Fy j Fz k
i FX jFy kFz m i j k x y z
§ 5、动量矩定理及动量矩守恒定律
一、定义：
1、力矩： M r F , 大小： rF sin 方向：右手螺旋法则 M
2、动量矩：
J r p r mv
对某一点，某一轴
3、分量表达式：
i j k M r F x y z Fx Fy Fz i ( yFz zFy ) j ( zFx xFz ) k ( xFy yFx )
三、第二定律是三定律的核心。 ma F
适用条件: (1)低速宏观 (2)只对质点适用 (3)
F ma
是一个矢量方程
(4)只适用于惯性系 _＿ 牛顿运动定律能够成立的参考系
§
2、质点运动微分方程
F ma F F (r , r , t ) a r F m m F (r , r , t ) r r
F mr
r mr r F
d (r mr ) r m r mr r m r r dt d d ( r mr ) r F m ( yz zy ) yFz zFy dt dt d dJ m ( zx xz ) zFx xFz M dt dt d m ( xy yx) xF y yFx dJ M dt dt
理论力学第二章 质点组力学-2)
m222
0
0
m1gl
cos
(4)
联立方程(1)(2)(3)(4)解得
1x
2m22 gl sin
m1 m2 m1tg 2 m2 sec2
1y
2 m1 m2 gl sin
m1 m2 sin2
2
u
2m12 gl sin
m1 m2 m1tg 2 m2 sec2
ax
m m
ax
g
g
二人均以匀加速向上爬
t
2
t2
2s ax 2s ax
t t
t
ax
2ms ms m m g
m m sg ms ms
注：也可用对通 过滑轮中心水平 轴的动量矩定理
质量不等的两人能同时到达顶端的前提条件
ax 0, ax 0
即
ms ms, 且 m m 或ms ms,且 m m
i 1
i 1
i 1
i 1
3.在质心系中分析以上四项
s´系的原点固定在质点组的质心上，则：
第一项：
rvo rvc ,vo vc , rvc 0
n (rvo m ivo ) n (rvc m ivc ) rvc n m ivc 对o点的动量矩
求和后，
i 1, n
叙述:质点组动能的微分等于质点组所受的外力与内 力的元功之和。
特点：①内力所作的功不能互相抵消。
②质点组不受外力或合外力为零，动能不一定守恒。
三、质点组对质心的动能定理 质点组内力做功
引入质心参照系，质点组中第i个质点的动能
d
(1 2
mii2
)
v F (e)
i
drvi
v F (i)
2023大学_理论力学教程第三版(周衍柏著)课后答案下载
2023理论力学教程第三版(周衍柏著)课后答案下载理论力学教程第三版内容简介绪论第一章质点力学1.1 运动的描述方法1.2 速度、加速度的分量表示式1.3 平动参考系1.4 质点运动定律1.5 质点运动微分方程1.6 非惯性系动力学(一)1.7 功与能1.8 质点动力学的基本定理与基本守恒定律1.9 有心力小结补充例题思考题习题第二章质点组力学2.1 质点组2.2 动量定理与动量守恒定律2.3 动量矩定理与动量矩守恒定律 2.4 动能定理与机械能守恒定律 2.5 两体问题2.6 质心坐标系与实验室坐标系 2.7 变质量物体的运动2.8 位力定理小结补充例题思考题习题第三章刚体力学3.1 刚体运动的分析3.2 角速度矢量3.3 欧拉角3.4 刚体运动方程与平衡方程3.5 转动惯量3.6 刚体的平动与绕固定轴的.转动 3.7 刚体的平面平行运动3.8 刚体绕固定点的转动__3.9 重刚体绕固定点转动的解__3.10 拉莫尔进动小结补充例题思考题习题第四章转动参考系4.1 平面转动参考系4.2 空间转动参考系4.3 非惯性系动力学(二)__4.5 傅科摆小结补充例题思考题习题第五章分析力学5.1 约束与广义坐标5.2 虚功原理5.3 拉格朗日方程5.4 小振动5.5 哈密顿正则方程5.6 泊松括号与泊松定理5.7 哈密顿原理5.8 正则变换__5.9 哈密顿-雅可比理论__5.10 相积分与角变数__5.11 刘维尔定理小结补充例题思考题习题附录主要参考书目理论力学教程第三版目录本书是在第二版的基础上修订而成的，适用于高等学校物理类专业的理论力学课程。
本书与第二版相比内容保持不变，仅将科学名词、物理量符号等按照国家标准和规范作了更新。
本书内容包括质点力学、质点组力学、刚体力学、转动参考系及分析力学等，每章附有小结、补充例题、思考题及习题。
理论力学周衍柏第三版第二章习题答案
第二章习题解答2.1 解 均匀扇形薄片，取对称轴为x 轴，由对称性可知质心一定在x 轴上。
题2.1.1图有质心公式⎰⎰=dmxdm x c 设均匀扇形薄片密度为ρ，任意取一小面元dS ，drrd dS dm θρρ==又因为θcos r x =所以θθθρθρsin 32adrrd dr rd x dmxdm x c ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰对于半圆片的质心，即2πθ=代入，有πππθθa a ax c 3422sin 32sin 32=⋅==2.2 解 建立如图2.2.1图所示的球坐标系题2.2.1图把球帽看成垂直于z 轴的所切层面的叠加（图中阴影部分所示）。
设均匀球体的密度为ρ。
则)(222z a dz y dv dm -===ρπρπρ由对称性可知，此球帽的质心一定在z 轴上。
代入质心计算公式，即)2()(432b a b a dmzdmz c ++-==⎰⎰2.3 解 建立如题2.3.1图所示的直角坐标，原来人W 与共同作一个斜抛运动。
yO题2.3.1图当达到最高点人把物体水皮抛出后，人的速度改变，设为x v ，此人即以 x v 的速度作平抛运动。
由此可知，两次运动过程中，在达到最高点时两次运动的水平距离是一致的（因为两次运动水平方向上均以αcos v 0=水平v 作匀速直线运动，运动的时间也相同）。
所以我们只要比较人把物抛出后水平距离的变化即可。
第一次运动：从最高点运动到落地，水平距离1st a v s ⋅=cos 01 ① gt v =αsin 0 ② ααcos sin 201gv s =③第二次运动:在最高点人抛出物体，水平方向上不受外力，水平方向上动量守恒，有)(cos )(0u v w Wv v w W x x -+=+α可知道u wW w a v v x ++=cos 0水平距离αααsin )(cos sin 0202uv gW w w gv t v s x ++==跳的距离增加了12s s s -=∆=αsin )(0uv gw W w +2.42.4 解 建立如图2.4.1图所示的水平坐标。
理论力学Ch02质点组力学
理论力学教案第二章质点组力学教材：理论力学教程编者：周衍柏主讲教师：石东平（教授、硕士）单位：重庆文理学院电子电气工程学院授课专业：物理学（师范类）本科2009年3月修订第二章质点组力学一、本章内容概述本章是第一章基本内容的推广和应用，是第三章刚体力学的基础。
在研究质点组力学时，不可能（而且也没有必要）详细地给出各质点的运动规律（包括运动学规律和动力学规律）。
本章研究内容是借助三个反映质点组运动特点的物理量（即质点组的动量、动量矩、动能）来研究质点组运动的总体趋势及某些重要特征。
本章主要研究质点组的动力学规律。
二、本章重点难点重点：从方法论角度掌握质点组力学处理力学问题的方法；掌握三个动力学规律的内容及对应的守恒律的成立条件和应用；掌握质心的概念和质心的计算；理解质心运动定理和柯尼希定理；会处理变质量力学问题。
难点：质心坐标系的重要性和特殊性；质点组的三个基本定理（动量定理、动量矩定理、动能定理）在质心坐标系中的数学表示；两体问题的求解方法和技巧。
三、学时安排计划安排10学时第1节至第7节为教学内容，第8节维里定理为选学内容。
教材内容讲授9学时，1学时总结及习题课。
四、本章所需数学知识微积分、常微分方程、矢量代数及矢量分析。
第二章 质点组力学§2.1 质点组一、质点组的内力和外力1.质点组（又称质点系）若干有相互作用的质点的集合。
2.内力与外力内力——质点组中质点间的相互作用；外力——质点组外物体与组内任一质点的作用力。
3.内力所满足的运动定律① 牛顿第三定律：0=+ji ij f f ，011)(==∑∑=≠=ni nij j ij in f F 。
② 牛顿第二定律。
4.孤立系（闭合系）不受任何外力的质点组。
5.质点组与独立质点集的区别犹如绳子（或刚体）与沙子。
二、质心1.质心概念的必要性① 逐个对质点加以描述和研究的方法，原则上可用，但得出的是方程数目庞大的二阶微分方程组，难以解算；② 况且内力一般是未知量从而问题更复杂。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
mi
i 1
n
mi yi
yc
i 1 n
mi
i 1
n
mi zi
zc
i 1 n
mi
i 1
质量连续分布的体系
rc
r dm
V
dm
V
在直角坐标系
xc
Vxdm Vdm
yc
V ydm Vdm
zc
V zdm Vdm
2.2 动量定理与动量守恒律
⑴动量定理
dp dt
n Fi(e)
i 1
或
dp
(
n
Fi(e))dt
i 1
写成分量形式
dpx
dt
d(n dt i1
mivix )
n
F(e) ix
Fx
i 1
dpy
dt
d(n dt i1
miviy )
n
F(e) iy
Fy
i 1
dpz
dt
d(n dt i1
miviz )
n
F(e) iz
Fz
i 1
⑵质心运动定理
n i 1
Fi(e)
m
dvc dt
m
d
2
rc
dt 2
内 力： 质点组中质点间的相互作用力。 外 力：质作点用组力以。外的物体对质点组内质 点的
⑵ 质心
质点组的全部质量可认为集中在某一点上 ，这
一点我们就叫做质点组的质心。
rc
n
mi ri
i 1
n
mi
i 1
质心定义为： n
rc
mi ri
i 1
n
mi
i 1
在直角坐标系
n
mi xi
xc
i 1 n
⑵ 机械能守恒定律
如果作用在质点组上的所有外力不做功及内力都是保守力 （或其中只有保守力作功）时，才机械能守恒。
T V E
⑶柯尼希定理
质点组动能
T=
1 2
n i 1
mi
u•r rc
r• ' ri
2
1 n
u•r 2 1 n
r•' 2 u•r n
r• '
2 i1 mi rc 2 i1 mi ri
设是人在抛掷重物过程中所增加的水平速度v，
人对惯性参考系（地面）的水平速度为，物体 对惯性参考系（地面）的水平速度为 ，则
水平动量守恒：
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P
g
Q
V0
cos
P g
(V0
cos
v)
Q g
(V0
cos
v u)
由上式可得(：P Q)v Qu 0
即：v Q u PQ
设从最高点到落地的时间为t，则
mac
分量式为： mxc Fx,myc Fy,mzc Fz
⑶质点组的动量守恒定理
①当质点组不受外力或所受外力的矢量和为零，
n Fi(e) 0
i 1
dp 0, p为恒矢量
dt
p
mvc
,vc为恒矢量
如果作用在质点组上的诸外力在某一固定轴(设为x轴)上的投影之和为零,
n Fi(xe) 0
i 1
dPx 0 dt
n
Px mivix mvcx c(常数) i 1
例:水 时一平，个线将重成物量体为角以P的的相人速对,度于手他v拿uur0向自一前己个跳的重。速为当度Q他的ur跳物水到体平最,向以高后与
抛出。问由于物体的后抛使人的跳远的距离增 加了多少？
解：忽略空气阻力，则人和重物所组成的质点组 在水平方向的动量守恒。
rc • mi ri
i 1
1 u•r 2 1 n
r•' 2 u•r n
r• '
2 m rc 2 i1 mi ri
rc • mi ri
i 1
r•
因ri
'
是pi相对于质心c的位矢，故
n
r• '
uur M dt
其在直角坐标系的分量形式
J 2 x J1x
t2 t1
M ox dt
J 2 y J1y
t2 t1
M oy dt
J 2 z J1z
t2 t1
M oz dt
⑵动量矩守恒定律
① 如果作用在质点组上的诸外力在某一固定点的合力矩为零,即
② 如果
，但对通过原点的某一标轴(设为x轴)上
zi yi xi zi
n i n1 i 1
yi
F(e) iz
zi
F(e) iy
zi
F(e) ix
xi
F(e) iz
d
dt
n
mi xi yi yi xi
i 1
n i 1
xi
F(e iy
)
yi
F(e) ix
即 dJ x dt
M
ox
,
dJ y dt
M
oy
,
dJ z dt
M oz
质点组的动uJu量r2 矩的uJu积r1 分形式t1t2
)
dri
n
Fi ( e )
dri
i 1
i 1
注意 ① 在动量定理和动量矩定理中，内力均因
相等相反而消去； ② 在质点组动能定理中，内力所作元功之
和一般不能互相抵消，即质点组的动能并不一 定守恒；
③ 对特殊的质点组—对刚体来说，内力不 作功，即内力所作元功之和为零。
下面就让我们对第二点进行证明。
的合力矩为零,则该方向动量矩守恒。
n
M ox 0
yi Fize zi Fiye 0,
i 1
即:Jx
n i 1
mi
yi
•
zi zi
•
yi
=常数
⑶对质心的动量矩定理
ur
mi
d 2 ri' dt 2
uur (i) Fi
uur (e) Fi
u•r•
mi rc
式中
mi
u•r• rc
为惯性力。
ur ' dJ
uur ' M
dt
若
uur ' M 0
⑷质心系中的动量矩守恒定律 则
ur ' J
常矢量
2.4动能定理与机械能守恒定律
⑴质点组的动能定理
o)的由质n个点质pi点, 作所用组在成该的质质点点上组所，有其内中力任和选外一力个的质矢量量m和i为,分，别位为矢为Fi(i)r,iFi((对e) 定,则点 质点组中任一质点动能的微分等于作用在该质点上外力及内力所做元功之
t V0 sin
g
故，多跳的一段距离为
x
QuV0 sin
(P Q)g
2.3动量矩定理与动量矩守恒定律
⑴对固定点的动量矩定理
ur uur d J =Mdt
在直角坐标系的分量形式
dJ
M
dt
微分形式
质点组
d
dt
d
dt
n i n1 i 1
mi mi
yi zi zi xi
第二章质点组力学
❖ 2.1 ❖ 2.2 ❖ 2.3 ❖ 2.4 ❖ 2.5 ❖ 2.6 ❖ 2.7 ❖ 2.8
质点组 动量定理与动量守恒律 动量定理与动量矩守恒律 动能定理与机械能守恒定律 两体问题 质心坐标系与实验室坐标系 变质量物体的运动 位力定理
2.1 质点组
(1)质点组、内力和外力
质点组：我们把由许多（有限或无限）相互联 系着的质点所组成 的系统。
和,即
d(1 2
miri2 )
dTi
Fi (i )
dri
Fi ( e )
dri
其中,
ri 是质点的速度,
dri 则是它的位移。
对i求和
d
n i 1
(
1 2
mi
ri 2
)
n i 1
Fi (i )
dri
n i 1
Fi (
e)
dri
若用T表示质点组的动能，则
dT
n
Fi (i