图形的展开与折叠解题思路与点评修订稿
展开与折叠—教学设计及点评(获奖版)
3、现代信息技术手段与课堂相结合
教学中教师应用“情境—问题—探究”模式进行教学，展示了“数学教学是数学活动的教学”。教师是活动的组织者、参与者、引导者，学生是数学建构活动的真正主人。教师应用多媒体辅助教学，大大减少了呈现问题的时间，减少了不必要的浪费，相应的提高了课堂教学效率。
教师以学生发展为主轴，引课部分，教师提出：“生活中经常见到正方体形状的盒子，它是怎样制作的？”所创设的情境是学生熟知的；课堂教学中，教师设计的问题是学生能解决的，采用的教学方式是学生易接受的，选择的语言是学生能理解的，一切从学生出发。比如，课上教师提了“展开图的形状一样吗？”“会有多少种展开图类型呢？”“怎么剪？”等问题，让学生的每一个活动都有目的性。
2、可以得出11种不同的展开图：
活动二：学生没有得到的展开图教师拿出来让学生剪；若都剪出来，则给出任意一个平面展开图，问学生能得到吗？
3、设问：能否将得到的平面图形分类？你是按什么规律来分类的？
学生讨论得出分为4类：
一四一型（6种），二三一型（3种），二二二型（1种），三三型（1种）.
4、一个正方体要将其展开成一个平面图形，必须沿几条棱剪开？为什么？
使学生在动手操作的基础上，动脑思考，仔细观察这十一种展开图的特点，便于记忆正方体的展开图.
注意：展开图的分类不是本节课重点，不必刻意强调，在此过程中重要的是发展学生的空间观念.
效果：同学们积极参与活动，气氛热烈，通过小组讨论，得到正方体展开图的特征。
学生由动手操作上升到理性认识.
环节二
想一想：将一个正方体的表面延某些棱剪开，能展成下列平面图形吗？
2023-2024学年五年级下学期数学2.2展开与折叠(教案)
20232024学年五年级下学期数学2.2展开与折叠（教案）作为一名经验丰富的数学教师，我很荣幸能够与大家分享我关于五年级下学期数学2.2展开与折叠的教案。
下面我将从教学内容、教学目标、教学难点与重点、教具与学具准备、教学过程、板书设计、作业设计和课后反思及拓展延伸八个方面进行详细介绍。
一、教学内容本节课的教学内容主要包括教材中 2.2展开与折叠的相关知识点。
学生将学习如何将平面图形展开成平面，以及如何将立体图形折叠成平面图形。
具体内容包括：1. 了解展开图的概念，学会如何将立体图形展开成平面图形。
2. 掌握折叠的原理，学会如何将平面图形折叠成立体图形。
3. 培养学生的空间想象能力，提高学生的动手操作能力。
二、教学目标1. 让学生掌握展开与折叠的基本方法，提高空间想象能力。
2. 培养学生独立思考、合作交流的能力。
3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：如何引导学生掌握展开与折叠的原理，培养学生的空间想象能力。
2. 教学重点：让学生学会如何将立体图形展开成平面图形，以及如何将平面图形折叠成立体图形。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、展开图模型、折叠纸张等。
2. 学具：学生用书、练习本、铅笔、直尺、剪刀、胶水等。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过展示一些生活中的展开与折叠现象，如衣服、盒子等，引导学生关注展开与折叠在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
2. 知识讲解：讲解展开图的概念，引导学生了解如何将立体图形展开成平面图形。
通过示例，讲解折叠的原理，让学生学会如何将平面图形折叠成立体图形。
3. 例题讲解：选取一些具有代表性的例题，引导学生运用所学知识解决问题。
在讲解过程中，注意引导学生分析问题、思考问题，培养学生的独立思考能力。
4. 随堂练习：设计一些课堂练习题，让学生动手操作，巩固所学知识。
教师及时给予反馈，指导学生纠正错误。
5. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享彼此的想法和做法，培养学生的合作交流能力。
北师大版五年级数学下册《展开与折叠》评课稿
北师大版五年级数学下册《展开与折叠》评课稿一、课程背景《展开与折叠》是北师大版五年级数学下册的一节重要课程，该课程旨在帮助学生理解展开和折叠的概念，并培养他们分析和解决与展开折叠相关的问题的能力。
通过本节课的学习，学生将能够灵活运用展开与折叠的方法解决数学问题，培养他们的空间想象能力和逻辑思维能力。
二、课程目标本节课的主要目标有：1.帮助学生理解展开和折叠的概念；2.培养学生的空间想象能力；3.培养学生的逻辑思维能力；4.提高学生的解决问题的能力。
三、课程内容本节课的主要内容包括以下几个方面：1.展开和折叠的概念介绍：首先，老师将通过简单的实物示例向学生介绍展开和折叠的概念，让学生了解展开和折叠的基本原理。
2.展开和折叠的实践操作：然后，学生将分别进行展开和折叠的实践操作，通过动手操作加深对展开和折叠的理解。
3.基于展开和折叠解决问题：在学生理解展开和折叠的基础上，老师将提出一些与展开折叠相关的问题，并引导学生使用展开和折叠的方法解决这些问题。
4.拓展应用：最后，老师将引导学生应用展开和折叠的方法解决一些拓展问题，提高他们的解决问题的能力。
四、教学策略与方法为了达到上述课程目标，我们将采用以下教学策略和方法：1.情境教学法：通过设置具体的情境和实际问题，激发学生的学习兴趣和参与度，提高他们的学习效果。
2.合作学习法：鼓励学生进行小组合作学习，促进他们之间的合作和交流，培养他们的团队合作和协作能力。
3.问题解决法：引导学生从实际问题出发，通过分析和解决问题的过程，培养他们的逻辑思维和解决问题的能力。
4.多媒体辅助教学法：通过多媒体教学手段，如幻灯片、视频等，帮助学生更直观地理解展开和折叠的概念，并提高他们的学习效果。
五、教学流程本节课的教学流程如下：1.导入：通过展示一些实物示例，引起学生对展开和折叠的兴趣，激发他们的学习兴趣。
2.知识讲解：通过示范展开和折叠的过程，向学生介绍展开和折叠的基本概念和原理。
北师大版七年级数学上册1.2《图形的展开与折叠》解题思路与点评
《图形的展开与折叠》解题思路与点评新课程标准要求同学们对空间图形有较准确的认识和感受，具体地说，包含三个方面：（1）能用平面展开图描述出该立体图形；（2）能由立体图形画出至少一种其平面展开图，设计较简单实物的平面图纸；（3）能判断一个图形是否能围成一个立体图形。
因此，切实掌握图形的展开与折叠势在必行，现解读如下：例1.如图1，一个多面体的展开图中，每个面内的大写字母表示该面，被剪开的棱边所注的小写字母可表示该棱。
（1）说出这个多面体的名称；（2）写出所有相对的面；（3）若把这个展开图折叠起来成立体时，哪些被剪开的棱将会重合？（图1）思路：选取面X相对固定，将面R，面Y想像折起，再遮挡面Q，Z，P即成。
解答：（1）这个多面体是正方体。
（2）相对的面有三对：P与X，Q与Y，R与Z.（3）将会重合的棱有：a与h，b与i，c与n，d与e，f与g，j与k，m与l.点评：这个问题的解决，无疑对同学们形成良好的空间观念是一个很好的锻炼。
例2.如图2是一个多面体的表面展开图，每个面都标注了字母，请回答：如果F 在前面，从左面看是B，那么哪一面会在上面？（图2）思路：这里有两种折法：一种向里折，一种向外折。
解答：E或C会在上面。
点评：一个平面展开图，折成立方体的方式有两种，一种向里折，一种向外折。
此题往往易忽略其中一种，造成漏解。
这不但培养了同学们的空间观念，而且告诫同学们思考问题要全面。
例3.将一个正方体的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，回答下列问题：（1）你能设法得到图3中的平面图形吗？（图3）（2）你还能得到哪些平面图形？与同伴进行交流。
（3）图4中的图形经过折叠，能否围成一个正方体？（图4）思路：由于一个正方体有12条棱、6个面，将其表面展开成一个平面图形，其面与面之间相连的棱（即未剪开的棱）有5条，因此需要剪开7条棱。
（1）中的两个平面图形都可由一个正方体沿着某些棱剪开展成，可在原正方体上标出上、下底面，根据需要剪开7条棱即可；（2）将一个正方体沿着某些棱剪开后，可得到很多平面图形，所以答案很多；（3）有两种途径：一是动手操作，仔细观察；二是先假定出上、下底，通过想象亲自折一折，看能否折成正方体。
解展开与折叠题的策略
解展开与折叠题的策略展开------立体图形平面化；折叠------平面图形立体化，这一展一折正是平面和空间的相互转化，这类问题有时同学们感到非常棘手，这里介绍几种常用的解题思维策略，供参考．一、画直观图准确地画出直观图形，有利于平面与空间的相互转化．例1．如图1，在正方体两个相距最远的顶点处有一只苍蝇B和蜘蛛A，蜘蛛可从哪条最短的路径爬到苍蝇处试说明你的理由．分析：我们可以借助正方体的展开图找到解题的办法，由于正方体的展开有不同的方法，因而从A到B可用6种不同的方法选取最短的路径，但每条路径都通过连接正方体两个顶点的棱的中点．解：因为蜘蛛只能在正方体的表面爬行，所以只要找到这个正方体的展开图，应用“两点之间，线段最短”就可确定最短路径（如图1）．二、以静制动寻找折叠前后图形的不变量，往往就是解题的灵魂．例2．将一块正六边形硬纸片（图2（1）），做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，见图2（2）），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图2（1）中的四边形AGA/H，那么∠GA/H 的大小是度．图2（1）图2（2）解：折叠前A'H⊥AH，A'G⊥AG，折叠后这些垂直关系都没有发生变化，所以∠AHA'=∠AGA'=90°，又∠A为正六边形的内角，故∠A=120°，在四边形AGA 'H 中，∠GA 'H=360°-120°-2×90°=60°．三、抓特征量正确理解平面图形中的一些特征量，使问题得以顺利解决．例3．如图3（1），在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成图3（2）所示的一个圆锥模型．设圆的半径为r ，扇形半径为R ，则圆的半径与扇形半径之间的关系为（ ）．A ．R =2rB ．R =94r C ．R =3r D ．R =4r解：由题意得，欲使剪下的圆形和扇形恰好围成圆锥模型，圆周长必须等于扇形的弧长，有1224r R ππ=⨯，即14r R =，故选（D ）． 四、动手操作在空间思维受阻的情况下，动手操作正是新课标、新理念的体现．例4．在正方体的表面画有如图4（1）所示的粗线，图4（2）是其展开图的示意图，但只在A 面上画有粗线，那么将4（1）中剩余两个面中的粗线画入图4（2）中，画法正确的是（如果没把握，还可以动手试一试呦！）．解：此题若展开空间想象，难度很大，倘若动手操作，先做一个如图4（2）所示的展开图，将其折叠成正方体，在正方体上画上如图4（1）所示的三条粗线，再展开后就得到如（A ）所示的展开图，故选（A ）． A 图4（2）A 图4（1）。
《展开与折叠》问题数学教案设计
《展开与折叠》问题數學教案設計主题：《展开与折叠》问题数学教案设计一、教学目标：1. 学生能够理解并掌握图形的展开和折叠的基本概念，包括正方形、长方形、圆形等基本图形的展开与折叠。
2. 通过实际操作，学生能够培养空间观念和动手能力。
3. 培养学生的观察力、想象力和创新能力。
二、教学重点与难点：重点：理解和掌握各种基本图形的展开与折叠的方法。
难点：理解和掌握三维图形的展开与折叠。
三、教学过程：1. 导入新课：教师可以通过展示一些实物模型（如纸盒、书本等），让学生观察并思考这些物体是如何由平面的纸张折叠而成的。
然后引导学生思考如何将这些立体的物体再次展平，引出今天的主题——《展开与折叠》。
2. 新课讲解：(1) 教师首先介绍什么是“展开”和“折叠”，并通过演示使学生直观地理解这两个概念。
(2) 接着，教师分别讲解正方形、长方形、圆形等基本图形的展开与折叠方法，并让学生进行实践操作。
(3) 最后，教师讲解三维图形的展开与折叠，引导学生通过想象和推理来理解和掌握这一部分内容。
3. 练习巩固：教师可以设计一些练习题，如画出某个立体图形的展开图，或者根据给定的展开图折叠成相应的立体图形，以帮助学生巩固所学知识。
4. 总结反馈：在课程结束时，教师可以让学生分享他们的学习体会，或者提出他们对这个主题的一些疑问或困惑，以便教师及时调整教学策略。
四、教学评价：教师可以通过观察学生在课堂上的参与度、完成练习的情况以及他们在总结反馈中的表现，来评价他们的学习效果。
五、教学反思：在课程结束后，教师应对自己的教学进行反思，思考哪些地方做得好，哪些地方需要改进，以便更好地提高教学效果。
以上就是《展开与折叠》问题数学教案的设计，希望对你有所帮助。
“展开与折叠”教学设计及反思
“展开与折叠”教学设计及反思作者：田军来源：《初中生世界·初中教学研究》2017年第09期【教学目标】1.通过展开感受立体图形与平面图形的关系：有些立体图形可以按不同的方式展开成平面图形。
2.能想象并画出简单几何体的表面展开图。
3.经历和体验图形的变化过程，发展空间观念，养成研究性学习的习惯。
【学习重点】通过展开、折叠，感受立体图形与平面图形的关系。
【学习难点】将一个正方体尽可能多地展开成不同形状的平面图形。
【教学过程】一、创设情境，激发兴趣师：在一只圆桶的下方有一只壁虎，上方有一只蚊子，壁虎要想盡快吃到蚊子，应该走哪条路径呢？（教师用图片展示后由学生发表各自的想法，这里主要是激发学生的学习兴趣和求知欲。
）要想帮助小壁虎解决难题，请同学们跟我一起走进图形的世界。
（板书课题、同时投影本节课的学习任务。
）二、活动探究，寻求新知师：（拿出圆柱形纸筒，边展示边问学生。
）沿圆柱形纸筒上所画虚线展开，圆柱形纸筒的侧面是一个什么图形？（教师先动手操作给学生看，学生后动手操作体会展开图会变成什么样？）学生：长方形。
师：圆柱形纸筒整个表面展开又是怎样的呢？学生：长方形的两边上多出两个圆。
师：知道这两个圆和长方形的边长有什么关系吗？学生：相等。
（教师拿出圆锥形冰淇淋纸筒，边展示边让学生思考：如果沿虚线展开，圆锥形冰淇淋纸筒的侧面是什么图形？先让学生充分想象，教师后动手操作。
）学生：扇形。
师：如果将它的表面展开，会变成什么样的图形？展开图中弧的长度与圆锥底面的周长有什么关系？学生：扇形的边上多了个圆，圆的周长等于扇形的弧长。
师：回忆一下我们前面还学习了哪些几何体？（接着拿出一个三棱锥的模型。
）它的展开图又是怎样的呢？（通过课件展示它的一个展开图，学生思考是沿哪些棱展开的。
）师：如果我们沿着不同的棱剪开，它的展开图会不会发生变化呢？（学生自由发表自己的见解，教师归纳总结：同一个几何体随着剪开的棱不同会出现不同的展开图，用课件继续展示其他的几种展开图，并纠正学生回答中的错误。
解密初中数学解题技巧之立体形的展开与折叠
解密初中数学解题技巧之立体形的展开与折叠数学是一门既有逻辑又有创造性的学科，其中立体几何是初中数学的重要内容之一。
在立体几何中，展开与折叠是解题的重要技巧之一。
本文将围绕这一主题展开。
一、展开的概念及方法在解决立体几何问题时，有时需要将立体形体展开成平面图形来进行分析与计算。
展开就是将一个立体形体在平面上按照一定规则展开，使之成为一个平面图形的过程。
展开后，我们可以更好地观察各个面的结构和关系，进而解决问题。
展开的方法主要有以下几种：1. 表面展开法：通过边沿的共边共点将立体形体展开。
2. 断口展开法：在立体形体上选择适当位置，然后将其切割成若干个部分，使得每个部分能够展开。
3. 考虑对称性：对于具有对称性的立体形体，可以利用对称性将其展开。
二、折叠的概念及技巧与展开相反，折叠是将一个平面图形折叠成一个立体形体的过程。
折叠可以将平面上的关系转化为空间中的关系，从而解决立体几何问题。
折叠的技巧主要有以下几点：1. 边线对折：将图形的边线按照一定关系对折，可以得到立体形体的边。
2. 角点对折：将图形的角点按照一定关系对折，可以得到立体形体的顶点。
3. 面对折：将图形的面按照一定关系对折，可以得到立体形体的面。
三、展开与折叠的应用举例为了更好地理解展开与折叠的技巧，我们来看几个具体的例子。
例1：展开与折叠的应用 - 正方体展开为平面图形假设有一个边长为a的正方体，我们将其展开为平面图形。
首先，我们将正方体的各个面按照一定规则展开，最后将展开后的各个面的边线进行连接，就可以得到一个包含正方形的平面图形。
例2：展开与折叠的应用 - 圆锥展开为扇形考虑一个圆锥，我们可以将其展开为扇形。
将圆锥绕着底面上的一条边旋转，就可以得到一个扇形。
在解题时，我们可以利用扇形的性质来解决问题。
例3：展开与折叠的应用 - 矩形展开为长方体将一个矩形的两个相对边折叠，使其形成一条立体的边，然后将其余两边折叠，可以得到一个长方体。
立体几何中的折叠与展开问题
立体几何中的折叠与展开问题魏文 张亮 徐婷 江涛 张忠强 马吉 戴尚超一、折叠与展开中的垂直问题例1. 将矩形ABCD 沿对角线BD 折起来，使点C 的新位置C '在面ABC 上的射影E 恰在AB 上．求证：C B C A '⊥'分析：欲证C B C A '⊥'，只须证C B '与C A '所在平面D C A '垂直；而要证C B '⊥平面D C A '，只须证C B '⊥D C '且C B '⊥AD ．因此，如何利用三垂线定理证明线线垂直就成为关键步骤了．证明：由题意，C B '⊥D C '，又斜线C B '在平面ABCD 上的射影是BA ， ∵ BA ⊥AD ，由三垂线定理，得AD B C ⊥'，D DA D C =' ．∴ C B '⊥平面AD C '，而A C '⊂平面AD C '∴ C B '⊥C A '例2.如图在ΔABC 中， AD ⊥BC ， ED=2AE ， 过E 作FG ∥BC ， 且将ΔAFG 沿FG 折起，使∠A 'ED=60°，求证:A 'E ⊥平面A 'BC解析：弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和位置关系。
解： ∵FG ∥BC ，AD ⊥BC∴A 'E ⊥FG∴A 'E ⊥BC设A 'E=a ，则ED=2a由余弦定理得：A 'D 2=A 'E 2+ED 2-2•A 'E •EDcos60°=3a2 A B C D F E G A'∴ED 2=A 'D 2+A 'E2∴A 'D ⊥A 'E ∴A 'E ⊥平面A 'BC例3. 如图：D 、E 是是等腰直角三角形ABC 中斜边BC 的两个三等分点，沿AD 和AE 将△ABD 和△ACE 折起，使AB 和AC 重合，求证：平面ABD ⊥平面ABE.解析：过D 作DF ⊥AB 交AB 于F ，连结EF ，计算DF 、EF 的长，又DE 为已知，三边长满足勾股定理，∴∠DFE ＝090；二、折叠与展开中的空间角问题例4. 矩形ABCD ，AB=3，BC=4，沿对角线BD 把△ABD 折起，使点A 在平面BCD 上的射影A′落在BC 上，求二面角A —BC-—C 的大小。
立体几何中的折叠与展开问题
立体几何中的折叠与展开问题知识点梳理：1.解决折叠问题最重要的就是对比折叠前后的图形，找到哪些线、面的位置关系和数学量没有发生变化，哪些发生了变化，在证明和求解的过程中恰当地加以利用．解决此类问题的步骤：考向导航2.展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程，是将空间问题转化为平面问题来处理．一般地，涉及到多面体表面的问题，解题时不妨将它展开成平面图形试一试．目录类型一折叠问题 (1)类型二展开问题 (3)类型一折叠问题【例1】如图甲，在四边形ABCD中，23AD=2∆是边长为4的正三角形，CD=，ABC把ABC∆的位置，使得平面PAC⊥平面ACD；如图乙所示，点O、M、∆沿AC折起到PACN分别为棱AC、PA、AD的中点．（1）求证：平面PAD⊥平面PON；（2）求三棱锥M ANO-的体积．【例2】如图，在平面图形PABCD 中，ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，2PA PD ==，M 为CD 的中点，将PAD ∆沿直线AD 向上折起，使BD PM ⊥．（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）若直线PM 与平面ABCD 所成的角为30︒，求四棱锥P ABCD -的体积．【变式1-1】如图甲的平面五边形PABCD 中，PD PA =，5AC CD BD ===，1AB =，2AD =，PD PA ⊥，现将图甲中的三角形PAD 沿AD 边折起，使平面PAD ⊥平面ABCD 得图乙的四棱锥P ABCD -．在图乙中（1）求证：PD ⊥平面PAB ；（2）求二面角A PB C --的大小；（3）在棱PA 上是否存在点M 使得BM 与平面PCB 所成的角的正弦值为13？并说明理由．类型二展开问题【例1】如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2cm ，高为5cm ，则一质点自点A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点1A 的最短路线的长为()A ．5cm B ．12cm C ．13cm D ．25cm【例2】如图，正三棱锥S ABC -中，40BSC ∠=︒，2SB =，一质点自点B 出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B 的最短路线的长为()A ．2B ．3C ．3D ．33【变式2-1】如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，2BC =，13BB =，90ABC ∠=︒，点D 为侧棱1BB 上的动点．（1）求此直三棱柱111ABC A B C -的表面积；（2）当1AD DC +最小时，三棱锥1D ABC -的体积．巩固训练1．把如图的平面图形分别沿AB 、BC 、AC 翻折，已知1D 、2D 、3D 三点始终可以重合于点D 得到三棱锥D ABC -，那么当该三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为．2、如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1PO OB ==，（Ⅰ）若D 为线段AC 的中点，求证：AC ⊥平面PDO ；（Ⅱ）求三棱锥P ABC -体积的最大值；（Ⅲ）若2BC =E 在线段PB 上，求CE OE +的最小值．3．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答．①()0BA PA PD ⋅+= ；②7PC =；③点P 在平面ABCD 的射影在直线AD 上．如图，平面五边形PABCD 中，PAD ∆是边长为2的等边三角形，//AD BC ，22AB BC ==，AB BC ⊥，将PAD ∆沿AD 翻折成四棱锥P ABCD -，E 是棱PD 上的动点（端点除外），F ，M 分别是AB ，CE 的中点，且____．（1）求证：//FM 平面PAD ；（2）当EF 与平面PAD 所成角最大时，求平面ACE 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值．4．如图，在矩形ABCD 中，2,23AB AD ==，ABPCDFEE ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把CDF ∆折起，点C 到达点P 的位置，使1PE =．（1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ；（2）求二面角P DF E --的正弦值．参考答案类型一折叠问题【例1】【分析】（1）证明PO ⊥平面ACD 可得PO AD ⊥，根据中位线定理和勾股定理可证AD ON ⊥，故而AD ⊥平面PON ，于是平面PAD ⊥平面PON ；（2）分别计算AON ∆的面积和M 到平面ACD 的距离，代入体积公式计算．【解答】（1）证明：PA PC = ，O 是AC 的中点，PO AC ∴⊥，又平面PAC ⊥平面ACD ，平面PAC ⋂平面ACD AC =，PO ∴⊥平面ACD ，又AD ⊂平面ACD ，PO AD ∴⊥，23AD = ，2CD =，4AC =，222AD CD AC ∴+=，AD CD ∴⊥，ON 是ACD ∆的中位线，//ON CD ∴，AD ON ∴⊥，又ON PO O = ，AD ∴⊥平面PON ，又AD ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面PON ．（2）PAC ∆ 是边长为4的等边三角形，3PO ∴=M ∴到平面ACD 的距离132d PO ==，ON 是ACD ∆的中位线，1113324422AON ACD S S ∆∆∴==⨯=，11131332322M ANO AON V S PO -∆∴==⨯⨯ ．【点评】本题考查了面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．【例2】【分析】（1）取AD 中点E ，连接PE ，EM ，AC ，可得PE AD ⊥，然后证明BD PE ⊥，可得PE ⊥平面ABCD ，进一步得到平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）由（1）知，PE ⊥平面ABCD ，连接EM ，可得30PME ∠=︒，求解三角形可得1PE =，再求出四边形ABCD 的面积，代入棱锥体积公式求解．【解答】（1）证明：取AD 中点E ，连接PE ，EM ，AC ，PA PD = ，得PE AD ⊥，由底面ABCD 为菱形，得BD AC ⊥，E ，M 分别为AD ，CD 的中点，//EM AC ∴，则BD EM ⊥，又BD PM ⊥，BD ∴⊥平面PEM ，则BD PE ⊥，PE ∴⊥平面ABCD ，而PE ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）解：由（1）知，PE ⊥平面ABCD ，连接EM ，可得30PME ∠=︒，设AB a =，则224a PE =-，322AC EM ==，故tan tan 30PE PME EM ∠=︒=，即2234332a a -=，解得2a =．故1PE =，3ABCD S =四边形．故23133P ABCD ABCD V S PE -=⋅⋅=四边形．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．【变式1-1】【分析】（1）推导出AB AD ⊥，AB ⊥平面PAD ，AB PD ⊥，PD PA ⊥，由此能证明PD ⊥平面PAB ．（2）取AD 的中点O ，连结OP ，OC ，由AC CD =知OC OA ⊥，以O 为坐标原点，OC 所在的直线为x 轴，OA 所在的直线为y 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A PB C --的大小．（3）假设点M 存在，其坐标为(x ，y ，)z ，BM 与平面PBC 所成的角为α，则存在(0,1)λ∈，有AM AP λ= ，利用向量法能求出在棱PA 上满足题意的点M 存在．【解答】证明：（1）1AB = ，2AD =，5BD =222AB AD BD ∴+=，AB AD ∴⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，AB ∴⊥平面PAD ，又PD ⊂ 平面PAD ，AB PD ∴⊥，又PD PA ⊥ ，PA AB A= PD ∴⊥平面PAB ．解：（2）取AD 的中点O ，连结OP ，OC ，由平面PAD ⊥平面ABCD 知PO ⊥平面ABCD ，由AC CD =知OC OA ⊥，以O 为坐标原点，OC 所在的直线为x 轴，OA 所在的直线为y 轴建立空间直角坐标系如图示，则(2C ，0，0)，(0P ，0，1)，(0D ，1-，0)，(0A ，1，0)，(1B ，1，0)∴(1,1,1)PB =- ，(2,0,1)PC =- ，(0,1,1)PD =-- ，设平面PBC 的法向量为(,,)m a b c = ，由00m PB m PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得020a b c a c +-=⎧⎨-=⎩，令1a =得1b =，2c =，∴(1,1,2)m = ，PD ⊥ 平面PAB ，∴(0DP = ，1，1)是平面PAB 的法向量，设二面角A PB C --大小为θ，则123cos 2||||62m DP m DP θ⋅==⋅⋅ ，0θπ ，∴二面角A PB C --的大小6πθ=．（3）假设点M 存在，其坐标为(x ，y ，)z ，BM 与平面PBC 所成的角为α，则存在(0,1)λ∈，有AM AP λ= ，即(x ，1y -，)(0z λ=，1-，1)，(0M ，1λ-，)λ，则(1,,)BM λλ=-- ，从而211sin ||3||||612m BM m BM αλ⋅==⋅⋅+ ，[0λ∈ ，1]，103λ∴=-，∴在棱PA 上满足题意的点M 存在．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查满足线面角的正弦值点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．类型二展开问题【例1】【分析】将三棱柱展开两次如图，不难发现最短距离是六个矩形对角线的连线，正好相当于绕三棱柱转两次的最短路径．【解答】解：将正三棱柱111ABC A B C -沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．由已知求得矩形的长等于6212⨯=，宽等于5，由勾股定理2212513d =+=．故选：C ．【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查空间想象能力和思维能力，考查数学转化思想方法，是中档题．【例2】【分析】画出解答几何体的部分侧面展开图，利用三角形的边的关系容易解得边长的值，从而得出其中的最小值．【解答】解：将三棱锥S ABC -沿侧棱SB 展开，其侧面展开图如图所示，由图中红色路线可得结论．根据余弦定理得，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B 的最短路线的长为：14422232++⨯⨯⨯=故选：C ．【点评】本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，空间想象能力，几何体的展开与折叠，是基础题．【变式2-1】【分析】（1）直三棱柱111ABC A B C -的表面积：1111112ABC ABB A BCC B ACC A S S S S S ∆=+++矩形矩形矩形．（2）将直三棱柱111ABC A B C -展开成矩形11ACC A ，如图，连结1AC ，交1BB 于D ，此时1AD DC +最小，当1AD DC +最小时，1BD =，此时三棱锥1D ABC -的体积：11D ABC C ABD V V --=，由此能求出结果．【解答】解：（1） 在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，2BC =，13BB =，90ABC ∠=︒，∴此直三棱柱111ABC A B C -的表面积：1111112ABC ABB A BCC B ACC A S S S S S ∆=+++矩形矩形矩形121213231432=⨯⨯⨯+⨯+⨯++1135=+（2）将直三棱柱111ABC A B C -展开成矩形11ACC A ，如图，连结1AC ，交1BB 于D ，此时1AD DC +最小，1AB = ，2BC =，13BB =，90ABC ∠=︒，点D 为侧棱1BB 上的动点，∴当1AD DC +最小时，1BD =，此时三棱锥1D ABC -的体积：11D ABC C ABDV V --=1113ABD S B C ∆=⨯111132AB BD B C =⨯⨯⨯⨯1111232=⨯⨯⨯⨯13=．∴当1AD DC +最小时，三棱锥1D ABC -的体积为13．【点评】本题考查几何体的表面积、体积的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数数结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．巩固练习1．【分析】在三棱锥D ABC -中，当且仅当DA ⊥平面ABC 时，三棱锥的体积达到最大，然后根据三棱锥的性质求出外接球的半径，进而可以求解．【解答】解：在三棱锥D ABC -中，当且仅当DA ⊥平面ABC 时，三棱锥的体积达到最大，此时，设外接球的半径为R ，球心为O ，球心O 到平面ABC 的投影点为F ，则有2222R OA OF AF ==+，又1522OF AD ==，1522AF AC ==，所以2225525()()222R =+=，所以球的表面积为22544502S R πππ==⨯=，故答案为：50π．【点评】本题考查了三棱锥的外接球的表面积问题，考查了学生的空间想象能力以及运算能力，属于中档题．2、【分析】（Ⅰ）由题意可证AC DO ⊥，又PO AC ⊥，即可证明AC ⊥平面PDO ．（Ⅱ）当CO AB ⊥时，C 到AB 的距离最大且最大值为1，又2AB =，即可求ABC ∆面积的最大值，又三棱锥P ABC -的高1PO =，即可求得三棱锥P ABC -体积的最大值．（Ⅲ）可求22112PB PC +==，即有PB PC BC ==，由OP OB =，C P C B '='，可证E 为PB 中点，从而可求2626OC OE EC +'=+'=，从而得解．【解答】解：（Ⅰ）在AOC ∆中，因为OA OC =，D 为AC 的中点，所以AC DO ⊥，又PO 垂直于圆O 所在的平面，所以PO AC ⊥，因为DO PO O = ，所以AC ⊥平面PDO ．（Ⅱ）因为点C 在圆O 上，所以当CO AB ⊥时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1，又2AB =，所以ABC ∆面积的最大值为12112⨯⨯=，又因为三棱锥P ABC -的高1PO =，故三棱锥P ABC -体积的最大值为：111133⨯⨯=．（Ⅲ）在POB ∆中，1PO OB ==，90POB ∠=︒，所以22112PB =+=同理2PC =，所以PB PC BC ==，在三棱锥P ABC -中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面BC P '，使之与平面ABP 共面，如图所示，当O ，E ，C '共线时，CE OE +取得最小值，又因为OP OB =，C P C B '='，所以OC '垂直平分PB ，即E 为PB 中点．从而2626222OC OE EC '=+'=+=．亦即CE OE +的最小值为：262．【点评】本题主要考查了直线与直线、直线与平面的位置关系、锥体的体积的求法等基础知识，考查了空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查了数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．3．【分析】（1）取CD 中点为G ，连接MG ，FG ，//GM PD ，//FG AD ，进而可证平面//MFG 平面PAD ，可证//FM 平面PAD ；（2）根据条件选择①：由已知可证BA ⊥平面PAD ，PO ⊥平面ABCD ，以点O 为坐标原点，以OC 为x 轴，OD 为y 轴，OP 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法平面ACE 与平面PAD 所成的锐二面角的余弦值．同理选择②，③可求平面ACE 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：取CD 中点为G ，连接MG ，FG ，则MG ，FG 分别为三角形CDE ，梯形ABCD 的中位线，//GM PD ∴，//FG AD ，MG FG G = ，∴平面//MFG 平面PAD ，FM ⊂ 平面MGF ，//FM ∴平面PAD ，（2）解：取AD 为O ，连接PO ，FG ，EG ．选择①：因为()0BA PA PD ⋅+= ，2PA PD PO += ，所以0BA PO ⋅= ，即BA PO ⊥．又BA AD ⊥，AD PO O = ，所以BA ⊥平面PAD ．连接AE ，EF ，所以AEF ∠即为EF 与平面PAD 所成的角．因为1tan AF AEF AE AE∠==，所以当AE 最小时，AEF ∠最大，所以当AE PD ⊥，即E 为PD 的中点，AE 最小．下面求二面角余弦值法一：BA ⊂ 平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面PAD ，平面ABCD ⊥平面PAD ，平面ABCD ⋂平面PAD AD =，PO AD ⊥ ，PO ∴⊥平面ABCD ，以点O 为坐标原点，以OC 为x 轴，OD 为y 轴，OP 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0A ，1-，0)，1(0,2E ，(2C ，0，0)．所以3(0,2AE = ，(2,1,0)AC = ．设平面CAE 的法向量为111(,,)m x y z =，则111130,220y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，令1z =，得1(,2m =- ．由题意可知：平面ABCD 的法向量为(0,0,1)n = ，所以cos ,||||17m n m n m n ⋅〈〉==⋅ ，所以平面ACE 与平面PAD 所成的锐二面角的余弦值为25117．法二：在平面PAD 内，作ER AD ⊥，垂足为R ，则ER ⊥平面ABCD ，过R 作RK AC ⊥，连接EK ，由三垂线定理及逆定理知EKR ∠为平面ACE 与平面ABCD 所成的锐二面角的平面角，在EKR RT ∆中，易得2ER =，RK =，则EK =所以251cos 17RK EKR EK ∠==，所以平面ACE 与平面PAD．选择②：连接OC ，则2OC AB ==，OP =，因为PC =，222PC OP OC =+，所以BA PO ⊥．又BA AD ⊥，AD PO O = ，所以BA ⊥平面PAD ．连接AE ，EF ，所以AEF ∠即为EF 与平面PAD 所成的角．因为1tan AF AEF AE AE∠==，所以当AE 最小时，AEF ∠最大，所以当AE PD ⊥，即E 为PD 的中点，AE 最小．下面求二面角余弦值，法一：BA ⊂ 平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面PAD ，平面ABCD ⊥平面PAD ，平面ABCD ⋂平面PAD AD =，PO AD ⊥ ，PO ∴⊥平面ABCD ，以点O 为坐标原点，以OC 为x 轴，OD 为y 轴，OP 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，于是(0A ，1-，0)，1(0,2E ，(2C ，0，0)．所以3(0,2AE = ，(2,1,0)AC = ．设平面CAE 的法向量为111(,,)m x y z = ，则111130,220y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，令1z =，得1(,2m =- ．由题意可知：平面ABCD 的法向量为(0,0,1)n = ，所以cos ,||||m n m n m n ⋅〈〉==⋅ ，所以平面ACE 与平面PAD．法二：在平面PAD 内，作ER AD ⊥，垂足为R ，则ER ⊥平面ABCD ，过R 作RK AC ⊥，连接EK ，由三垂线定理及逆定理知EKR ∠为平面ACE 与平面ABCD 所成的锐二面角的平面角，在EKR RT ∆中，易得ER =RK =，则EK =所以cos 17RK EKR EK ∠==，选择③：因为点P 在平面ABCD 的射影在直线AD 上，所以平面PAD ⊥平面ABCD ．因为平面PAD ⋂平面ABCD CD =，OP ⊂平面PAD ，AD PO ⊥，所以OP ⊥平面ABCD ，所以BA PO ⊥．又BA AD ⊥，AD PO O = ，所以BA ⊥平面PAD ．连接AE ，EF ，所以AEF ∠即为EF 与平面PAD 所成的角．因为1tan AF AEF AE AE∠==，所以当AE 最小时，AEF ∠最大，所以当AE PD ⊥，即E 为PD 中点，AE 最小．下面求二面角余弦值，法一：BA ⊂ 平面ABCD ⊥，∴平面ABCD ⊥平面PAD ，平面ABCD ⋂平面PAD ，平面ABCD ⋂平面PAD AD =，PO AD ⊥ ，PO ∴⊥平面ABCD ，以点O 为坐标原点，以OC 为x 轴，OD 为y 轴，OP 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，于是(0A ，1-，0)，1(0,2E ，(2C ，0，0)．所以3(0,2AE = ，(2,1,0)AC = ．设平面CAE 的法向量为111(,,)m x y z = ，则1111330,2220y z x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，令1z =，得1(,2m =- ．由题意可知：平面ABCD 的法向量为(0,0,1)n = ，所以cos ,||||m n m n m n ⋅〈〉==⋅ ，所以平面ACE 与平面PAD所成的锐二面角的余弦值为17．法二：在平面PAD 内，作ER AD ⊥，垂足为R ，则ER ⊥平面ABCD ，过R 作RK AC ⊥，连接EK ，由三垂线定理及逆定理知EKR ∠为平面ACE 与平面ABCD 所成的锐二面角的平面角，在EKR RT ∆中，易得ER =RK =，则EK =所以cos 17RK EKR EK ∠==，【点评】本题考查线面平行的证明，以及面面角的求法，属中档题．4．【分析】（1）推导出//EF AB 且3DE =，AD EF ⊥，DE PE ⊥，AD PE ⊥，由此能证明AD ⊥平面PEF ，从而平面PEF ⊥平面ABFD ．（2）过点P 作PH EF ⊥交EF 于H ，由平面垂直性质定理得PH ⊥平面ABFD ，过点P 作PO DF ⊥交DF 于O ，连结OH ，则OH DF ⊥，从而POH ∠为二面角P DF E --的平面角，由此能求出二面角P DF E --的正弦值．【解答】证明：（1）E 、F 分别为AD ，BC 的中点，//EF AB ∴且3DE =，在矩形ABCD 中，AD AB ⊥，AD EF ∴⊥，由翻折的不变性，2,3PD PF CF DE ===，7DF =又1PE =，有222PD PE DE =+，DE PE ∴⊥，即AD PE ⊥，又PE EF E = ，PE ，EF ⊂平面PEF ，AD ∴⊥平面PEF ，AD ⊂ 平面ABFD ，∴平面PEF ⊥平面ABFD ．解：（2）过点P 作PH EF ⊥交EF 于H ，由平面垂直性质定理得PH ⊥平面ABFD ，过点P 作PO DF ⊥交DF 于O ，连结OH ，则OH DF ⊥，POH ∴∠为二面角P DF E --的平面角．222PE PF EF += ，90EPF ∴∠=︒，由等面积法求得322127PH PO ==．在直角POH ∆中，7sin 4PH POH PO ∠==，即二面角P DF E --的正弦值为74．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，考查化归与转化思想，是中档题．。
北师大版五年级下册数学《展开与折叠》教案及评课稿
北师大版五年级下册数学《展开与折叠》教案及评课稿教案1.通过动手操作，知道长方体、正方体的展开图，加深对长方体、正方体的认识。
2.在想象、操作等活动中，发展空间观念，激发学习数学的兴趣。
教学重点：通过动手操作，知道长方体、正方体的展开图，加深对长方体、正方体的认识。
教学难点：通过动手操作，知道长方体、正方体的展开图，加深对长方体、正方体的认识。
教学准备：1.准备长方体和正方体的纸盒各一个。
2.把附页1中的图形剪下来。
3.前置性作业（1）把一个正方体盒子沿着棱剪开，得到一个展开图是（可以画一画也可以贴一贴）（2）把一个正方体盒子沿着棱剪开，得到一个展开图是（可以画一画也可以贴一贴）4. 做一做（1）下面哪些图形沿虚线折叠后刚好能围成正方体？（2）下面哪些图形沿虚线折叠后刚好能围成长方体？教学过程：课前3分钟内容一、动手操作，知道长方体、正方体的展开图。
1.通过剪盒子，认识长方体、正方体的展开图。
师：请同学们拿出你们带来的正方体纸盒，沿着棱剪开，看看你能得到什么样的展开图。
学生在剪、拆盒子的过程中，教师要对剪的方法进行适当的指导。
由于剪法不同，展开图的形状也是不同的。
学生剪好后，教师展示不同形状的展开图。
师：请同学们再将一个长方体盒子沿棱剪开，看看又能得到怎样的展开图。
2.体会展开图与长方体、正方体的联系。
教科书第16页“做一做”第1、2题引导学生理解题目要求，利用附页1中的图形进行操作，独立地想一想哪些图形符合题目的要求，再组织学生交流。
二、练一练1.教科书第17页“练一练”第1题。
先让学生看展开图进行思考，并把结果写下来，然后再利用附页中的图试一试。
2.教科书第17页“练一练”第2题。
先让学生按展开图说说哪两个面是相对的面，再联系长方体说说展开图中的各个长方形对应的是长方体中的哪个面。
设板书计：展开与折叠自评稿教学时先让学生拿出自己昨天剪好的长方体展开图，说说自己是怎样展开和折叠的，学生的兴趣很浓厚，挺愿意和大家说一说自己的做法。
五年级数学教案二：如何巧妙地展开与折叠？
五年级数学教案二：如何巧妙地展开与折叠？五年级学习数学的孩子们，有一个很重要的技能就是展开与折叠。
展开与折叠在生活中是非常常见的操作，例如：裤子裙子的展开，飞机纸制作，礼物包装等等，都需要使用展开与折叠的技巧。
学会如何巧妙地展开与折叠，对于孩子未来学习及生活中的许多事物都会有所帮助。
一、展开的基本方法展开是将一个表面或者物体的多个部分通过“打开”，将它们展平平铺开来的过程。
展开的基本方法就是将三维物体的表面“剪开”，将剪开的表面“展开”到平面上。
孩子们打开日常生活中常见的物体，例如：书、纸、盒子等等。
通过观察和思考，带领孩子们了解展开的基础概念。
让孩子们把物体当做一个个面体来看，用剪刀将它们剪开，再将所有被剪开的面体展开，拼合起来，形成一个平面图形。
二、折叠的基本方法折叠是通过将平面上的图形，按照规定的方式进行折叠，使其变成三维图形的过程。
折叠是展开的逆过程，很多展开的图形都可以按照规定的方式进行折叠。
孩子们可以通过展开一些简单的三维图形，如正方体、长方体、立方体等，带领孩子们探究如何将展开的图形按照规定的方式进行折叠，变成三维图形。
三、展开与折叠的练习(一) 展开与折叠正方体1．展开正方体的方法(1) 将正方体的六个面用一把剪刀分别剪开；(2) 将六个被剪开的面按照一定的规律“排开”，使其形成一个平面图形；(3) 将所有的被剪开的面按照规律拼起来，形成一个正方体。
2. 折叠正方体的方法(1) 将展开后的正方体图形沿着虚线剪开，形成一个“十”字形(见图)；(2) 将图形按照规定的折叠方式进行折叠，即可组装成一个正方体。
(二) 展开与折叠长方体(1) 将长方体的六个面用一把剪刀分别剪开；(2) 将四个被剪开的面按照一定的规律“排开”，使其形成一个平面图形(见图)；(3) 将所有的被剪开的面按照规律拼起来，形成一个长方体。
2. 折叠长方体的方法(1) 在展开后的长方体图形中，将长方体的两个长面向中间对折(见图)；(2) 将侧面向上，按照规定的折叠方式进行折叠，即可组装成一个长方体。
《立体图形的展开与折叠》的教学及思考-最新资料
《立体图形的展开与折叠》的教学及思考学情分析学生第一次接触立体图形，对立体图形问题既陌生又感觉无从下手.学生对于图形的展开与折叠等数学活动过程需要引导，对平面图形和立体图形之间的转化，对数学活动的学习价值和意义不明白.在这种情况下，设计了提前自学，希望学生在制作立体模型时体会平面图形与立体图形之间的内在联系，体会转化的思想，积累图形经验，发展空间观念.设计思想在这节课中，让学生自己制作教学时的模型，在制作的过程中体会立体图形是由平面图形折叠而成的；立体图形沿着某些棱展开成平面图形，特别是正方体有多种展开图.考虑到学生的课件想象能力较差，所以设计了提前自学，在提前自学中通过学生动手操作，自主探索，提高课堂效率.教材分析《展开与折叠》是苏科版教材七年级上册第五章的内容，空间图形是新课标增加的一个新领域，把握起来比较困难.在此之前的《图形变化》介绍了翻折、平移、旋转，似乎前后毫无联系，前者是立体几何的初步，而后者则是平面几何的入门（全等的基本特征范畴），如何理解两者间的关联是另一个难点.教学目标通过提前自学初步感受立体图形是由平面图形围成，一个立体图形按不同的方式展开可以得到多种展开图形.能根据展开图判断简单的立体图形，熟练掌握简单立体图形的展开图，经历和体验图形的变化过程，在现实情境中去理解、发展空间观念，养成研究性学习的良好习惯.教学重点、难点1.准确判断简单多面体的平面展开图.2.正方体的11种展开图.教学过程一、提前自学1.材料准备：剪刀、16K纸、透明胶带纸、刻度尺.2.自制圆柱、圆锥、三棱锥、三棱柱、正方体若干个.（友情提醒：制作正方体的方法是可以用6个同样大的正方形纸片，用透明胶粘贴成正方体.）3.完成自学问卷.认真阅读教材P128~129，并根据要求完成下面的问题：（1）圆柱的侧面展开图是，圆锥的侧面展开图是.（2）画出书本图5-9中将无盖的正方体纸盒沿红线剪开的平面图形.（3）请你制作棱长为6~8厘米的正方体至少三个（上课备用）.（4）将一个正方体沿着它的某些棱剪开，展成平面图形，请你画出展开后的平面图形.（至少画出三种不同的平面图形，可以相互交流）二、设置情景，提出课题问题一只蚂蚁从圆柱上的点A绕圆柱一周爬到点B，你能画出它爬行的最短路线吗？设计意图创设情境，感知立体图形展开是平面图形.三、初步感受展开图（一）圆柱、锥体的展开图自学交流如何得到圆锥的展开图？圆柱的侧面展开图和两个底面有什么关系？设计意图教师的有效提问，激发了学生的有效思维，突破了学生的思维障碍，弄清圆柱、圆锥的制作方法，体会立体图形与平面图形的关系，能展开就能折叠.学生练习1.如图，哪一个是四棱锥侧面展开图？2.下列平面图形，是三棱锥的平面展开图.3.如图，第一行的几何体表面展开后得到的第二行的某个平面图形，请用线连一连.设计意图前两个练习都是棱锥的展开图，第一个小题较简单，是四棱锥的侧面展开图；第二题是三棱锥的展开图，意在说明同一个物体可以按不同的方式展开，可以得到不同的展开图.展开与折叠不是孤立的，而是相互检验的过程，为正方体的多种展开图作铺垫.有了前面的教学铺垫，学生已建立基本的空间观念，第三小题解答不费吹灰之力.归纳小结立体图形的折叠与展开是互逆的过程，可以通过动手操作来验证.一个立体图形有多种展开图.（二）正方体的展开图自学交流无盖正方体的展开.沿图中黑线将无盖的正方体纸盒剪开展开，画出展开图.正方体的展开图.学生动手操作，剪出平面展开图，学生把剪好的展开图用透明胶带纸粘在黑板上.分组讨论1.教师引导学生继续寻找正方体的展开图.2.学生经过小组讨论，多次尝试，得到正方体的11种展开图.3.回顾得出过程，小结运用方法、思想依据.设计意图正方体的展开图是本堂课的重点，也是难点.学生在展开时花了很长的时间.教师的有效提问，引导学生用以前学过的知识来判断是否重复，引导学生用分类的思想来解决一堆正方体的展开图.这个过程，发展了学生的思维.三、融会贯通1.怎样判定是否是某立体图形的展开图？2.正方体的展开图需要剪几条棱？正方体的展开图有什么特点？3.请思考，你是如何得到如图所示的平面图形的？课后反思1.理解教材，理解学生按照教材的处理流程，分成三个层次：随便剪；按照要求剪；合作交流正方体的展开图，突出了一个“剪”字.教材认为“正方体的11种平面展开图”的教学要求在课堂上难以实现，给学有余力的学生去继续讨论.在教材处理上，要立足于教材，创新教材，把“剪”和“折”联系起来，用折来验证剪，用剪来验证折.穿插的一些小练习，既是为解决后面的问题热身，也是对教材内容的补充和扩展.由于这些铺垫，教材内容逐渐丰满.学生第一次接触立体图形，空间想象能力基本空白.数学学习的一个重要过程就是促使学生的经验得到抽象和提升.提前自学给学生课上充分的时间去动手操作，去实践，去感知.正是有了这个初步经验学生对本堂课铺设的小问题一一化解，为解决正方体的11种展开图打下基础.最后，在小结中引导学生思考如何按照要求剪出图形，这个问题是对整堂课内容的总结和升华，对学生的空间想象能力又提出了新要求，余音袅袅，回味无穷.2.开启智慧，渗透思想这节课的“剪”和“折”把学生带入数学知识的研究氛围，用数学自身的魅力去吸引、感染学生.在本课中，特地避免了现代技术动态生成，而是通过“剪”“折”，提供真实的问题情境，发现规律，解决问题.有效设计紧扣数学思想.如要求学生把剪好的展开图粘在黑板上展示，体现了列举法；寻找11种展开图的规律体现了分类思想、归纳思想；在解决问题时，引导学生运用转化思想.数学思想是数学课的灵魂，能有效地指导学生的数学解题.正是有了思想的渗透，学生才找到了正方体展开图的规律，进一步理解同一种图形有不同的展开图.有了数学思想，课堂就有了深度和高度.3.关注过程，适当评价学生通过提前自学、小组合作，已经解决了一部分问题.对于学生疑而未决的问题课堂以研究交流的形式出现.把展开图贴在黑板上，是对学生的研究无声的肯定，也给学有困难的同学化解难点.在听课时，笔者注意到，有些胆小的同学拿着自己的展开图和周围同学对比、讨论，看到部分同学把自己的展开图贴在黑板上时，脸上的表情时而兴奋，时而惋惜，为自己小组的同学鼓掌，课堂高潮迭起，个个跃跃欲试.教学过程中，正方体的11种展开图的得出，是本节课的高潮，也是本课内容的难点.教师不断鼓励学生，引导学生的思维一路狂奔，到达终点.本节课小结的最后一个问题，教师认为难度很大，但是部分学生在下节课上却轻松解决，并且总结得有理有据.这不得不让我们再次感叹:学生总能创造奇迹.。
《展开与折叠》问题数学教案设计
《展开与折叠》问题數學教案設計教案设计：《展开与折叠》一、教学目标：1. 知识技能：使学生掌握长方体、正方体和圆柱的平面展开图，理解立体图形和平面图形的关系。
2. 过程方法：通过观察、操作、思考，培养学生的空间观念和抽象思维能力。
3. 情感态度：激发学生对数学的兴趣，体验解决问题的成功喜悦。
二、教学重点难点：1. 重点：掌握长方体、正方体和圆柱的平面展开图，理解立体图形和平面图形的关系。
2. 难点：从平面图形想象出立体图形，以及通过折叠制作立体图形。
三、教学过程：1. 导入新课：教师展示一些常见的包装盒，让学生思考这些盒子是如何由一张纸折成的。
引出本节课的主题——《展开与折叠》。
2. 新授环节：（1）引导学生观察并思考：长方体、正方体和圆柱的平面展开图分别是什么形状？可以怎样折叠成原来的立体图形？（2）小组活动：分发相应的剪纸材料，让学生动手尝试制作长方体、正方体和圆柱的平面展开图，并尝试折叠成立体图形。
（3）教师讲解：在学生操作过程中进行指导，解释平面展开图和立体图形的关系，强调关键步骤和注意事项。
3. 巩固练习：设计一系列题目，包括识别平面展开图对应的立体图形，以及根据平面展开图折叠成立体图形等。
4. 小结：总结本节课的学习内容，强调重要知识点。
四、作业布置：1. 完成教材中的相关习题。
2. 利用家里的废纸，尝试制作其他的立体图形，如锥体、球体等。
五、教学反思：在教学过程中，要注重学生的参与度和实践性，鼓励他们主动思考和动手操作。
对于学生的疑问和困难，要及时解答和指导，帮助他们理解和掌握知识。
同时，也要关注学生的个体差异，提供适合他们的学习资源和方式。
高中数学解析论文：打开思路解折叠问题
打开思路解“折叠”问题立体几何中的折叠问题，就是将平面图形按要求折叠为空间图形，在折叠过程中，有些量自始至终是不变的，有些量是不断变化的，解决折叠问题的关键是：要把折叠后的空间图形与原平面图形进行对照，发现其中那些量发生变化，那些量未发生变化，通过研究折叠前后几何量的变化规律，来寻找解决问题的途径，下面通过具体例题来说明，供学习时参考．例1．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2,∠DAB =60°,E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则P －DCE 三棱锥的外接球的体积为 (A)2734π (B)26π (C)86π (D)246π 分析：在本题的折叠过程中，抓住不变的量——线段长度和三角形的内角，可以证明折叠后的三棱锥P －DCE 为正四面体（棱长均相等的三棱锥），从而把问题转化为求正四面体外接球的体积．略解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，故外接球半径为6，外接球的体积为3466()3ππ=，故选C ． 例2．在正三角形ABC 中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 边上的点，满足AE:EB ＝CF:FA ＝CP:PB ＝1:2（如图1）．将△AEF 沿EF 折起到EF A 1∆的位置，使二面角A 1－EF －B 成直二面角，连结A 1B 、A 1P （如图2）（Ⅰ）求证：A 1E ⊥平面BEP ；（Ⅱ）求直线A 1E 与平面A 1BP 所成角的大小；（Ⅲ）求二面角B －A 1P －F 的大小（用反三角函数表示）分析：对于本题的折叠问题,关健是利用折叠前后的不变量——垂直关系AE ⊥EF 、 BE ⊥EF （易于证明）.解：不妨设正三角形ABC 的边长为3（Ⅰ）在图1中，取BE 中点D ，连结DF ．由AE ：EB=CF ：FA=1：2∴AF=AD=2而∠A=600 ,∴△ADF 是正三角形，又AE=DE=1, ∴EF ⊥AD ．在图2中，A 1E ⊥EF, BE ⊥EF, ∴∠A 1EB 为二面角A 1－EF －B 的平面角．由题设条件知此二面角为直二面角，A 1E ⊥BE,又A 1E F C P B 图2 AP F E CB 图1BE EF E =∴A 1E ⊥平面BEF,即 A 1E ⊥平面BEP ．（Ⅱ）在图2中，A 1E 不垂直A 1B, ∴A 1E 是平面A 1BP 的斜线，又A 1E ⊥平面BEP ， ∴A 1E ⊥BE.从而BP 垂直于A 1E 在平面A 1B P 内的射影（三垂线定理的逆定理）设A 1E 在平面A 1B P 内的射影为A 1Q,且A 1Q 交BP 于点Q,则∠E 1AQ 就是A 1E 与平面A 1B P 所成的角,且BP ⊥A 1Q.在△EBP 中, BE=EP=2而∠EBP=600 , ∴△EBP 是等边三角形.又 A 1E ⊥平面BEP ,∴A 1B=A 1P, ∴Q 为BP 的中点,且3EQ =,又 A 1E=1,在Rt △A 1EQ 中，11tan 3EQ EAQ A E∠==,∴∠EA 1Q=60o , ∴直线A 1E 与平面A 1B P 所成的角为600 （Ⅲ）在图3中，过F 作FM ⊥ A 1P 与M ，连结QM,QF,∵CP=CF=1, ∠C=600,∴△FCP 是正三角形，∴PF=1.有112PQ BP ==∴PF=PQ ①, ∵A 1E ⊥平面BEP, 3EQ EF == ∴A 1E=A 1Q,∴△A 1FP ≌△A 1QP 从而∠A 1PF=∠A 1PQ ②,由①②及MP 为公共边知△FMP ≌△QMP,∴∠QMP=∠FMP=90o ,且MF=MQ,从而∠FMQ 为二面角B －A 1P －F 的平面角.在Rt △A 1QP 中,A 1Q=A 1F=2,PQ=1,又∴15A P =. ∵ MQ ⊥A 1P ∴11255A Q PQA P MQ •==∴25MF =在△FCQ 中,FC=1,QC=2, ∠C=600,由余弦定理得3QF = 在△FMQ 中，2227cos 28MF MQ QF FMQ MF MQ +-∠==-• ∴二面角B －A 1P －F 的大小为7arccos 8π- 评析：本题在折叠的基础上,考查了立体几何的两个核心考点：线面角与二面角的平面角. 作,证,解,是求角问题的三步骤.作:作出所要求的角,证:证明这是要找的角,并将这个角进行平面化,置于一个三角形中,最好是直角三角形,利用我们解三角形的知识求这个角.例3．已知正方形ABCD .E 、F 分别是AB 、CD 的中点,将ADE 沿DE 折起,如图所示,记二面角A DE C --的大小为(0)θθπ<<．证明//BF 平面ADE ;(II)略分析：抓住折叠过程中的不变量——平行关系，即//BF DE .证明：EF 分别为正方形ABCD 得边AB 、CD 的中点,∴EB//FD,且EB=FD,∴四边形EBFD 为平行四边形.∴BF//ED,EF AED BF AED ⊂⊄平面而平面∴//BF 平面ADE .例4．已知ABCD 是上．下底边长分别为2和6，高为3的等腰梯形，将它沿对称轴OO 1折成直二面角． （Ⅰ）证明：AC ⊥BO 1； （Ⅱ）求二面角O －AC －O 1的大小. 分析：在本题的折叠过程中不变的量为——垂直关系，即OO 1⊥OA 和OO 1⊥OB 的垂直关系不变.解：（I ）证明 由题设知OA ⊥OO 1，OB ⊥OO 1，所以∠AOB 是所折成的直二面角的平面角，即OA ⊥OB. 从而AO ⊥平面OBCO 1，OC 是AC 在面OBCO 1内的射影.因为3tan 11==∠OO OB B OO 33tan 111==∠OO C O OC O ， 所以∠OO 1B=60°，∠O 1OC=30°，从而OC ⊥BO 1由三垂线定理得AC ⊥BO 1.（II ）解 由（I ）AC ⊥BO 1，OC ⊥BO 1，知BO 1⊥平面AOC.设OC ∩O 1B=E ，过点E 作EF ⊥AC 于F ，连结O 1F ，则EF 是O 1F 在平面AOC 内的射影，由三垂线定理得O 1F ⊥AC.所以∠O 1FE 是二面角O —AC —O 1的平面角.由题设知OA=3，OO 1=3，O 1C=1， 所以13,3221212121=+==+=C O A O AC OO OA A O ， 从而1332111=⋅=AC C O A O F O ， 又O 1E=OO 1·sin30°=23， 所以.413sin 111==∠F O E O FE O 即二面角O —AC —O 1的大小是.43arcsin AA CB DE F BCEF总之，解决折叠问题的关键是：抓住折叠前后的不变量，这些量包括垂直关系、平行关系、线段长度和角的大小等．。
展开与折叠—教学设计及点评(获奖版)
3.学生的自主活动、亲手实验至关重要，他们必须以实践者而不是观众的身份介入到学习活动中，仅仅依靠教师的讲解或实物演示，甚至多媒体演示是不能达到理想的目标的.
学习
环节
学习任务设计与教师活动
学生活动设计
设计意图
通过正方体有12条棱，6个面，将其表面展成一个平面图形，面与面之间相连的棱有5条（即未剪开的棱），因此需要剪开7条棱.
教师明确：展成一个平面图形是指正方体6个面展开后缩成的6个正方形彼此相连.
学生分组进行裁剪，教师巡视.学生自发将剪好的平面图形贴在黑板上(重复的不再贴)，其他同学观察有没有不同的展开图，若有,继续粘贴,发现有重复的学生进行说明，从而找出不同的展开图.
落实目标
导入
新课
创设情景，导入新课
内容：在生活中，我们经常见到正方体形状的盒子.将纸盒完全展开后形状是怎样的？
你是怎样用卡纸制作小正方体的呢？
学生思考并观看幻灯片.教师展示一名同学的做法，进行展开与折叠的演示.
通过生活中的一个实例提出问题，从学生熟悉的纸盒入手，激发了学生的求知欲和好奇心，激起了学生探究活动的兴趣，感受学习展开与折叠的必要性.
2、可以得出11种不同的展开图：
活动二：学生没有得到的展开图教师拿出来让学生剪；若都剪出来，则给出任意一个平面展开图，问学生能得到吗？
3、设问：能否将得到的平面图形分类？你是按什么规律来分类的？
学生讨论得出分为4类：
一四一型（6种），二三一型（3种），二二二型（1种），三三型（1种）.
4、一个正方体要将其展开成一个平面图形，必须沿几条棱剪开？为什么？
使学生在动手操作的基础上，动脑思考，仔细观察这十一种展开图的特点，便于记忆正方体的展开图.
北师大版五年级数学下册《第二单元 展开与折叠》教案及教学反思
主要教法 讨论法，练习法。
教学过程
一．提出问题： 1.包装盒都见过吗？大多是什么形状的呢？ 2.你们有什么好的办法能让家里的包装盒尽量少占地方吗？ 学生想办法，出主意。 二．探索新知： 1.教师出示正方体包装盒，并且沿着正方体一个面上的三条棱剪开，展开一个面。 请大家想象，如果把这个正方体完全展开并且各个面相互连接，是一个什么画到方格纸上。 （同桌两人合作，共同商量完成） 2.大家刚才画的是不是正方体的展开图，你门有什么办法验证呢？（展开或者折叠，进 行方法选择讨论） 3.教师请一名同学和自己合作展开教师手中的的正方体。 你画的展开图和老师的展开结果一样吗？你有什么想法？ 4.请同学合作展开自己手中的正方体，展开后是什么样呢？ 要求同桌二人把正方体展开的结果尽量不相同。 （同桌讨论，合作完成 2 个正方体的展开） 全班反馈展示。你们有什么感悟？
四．课堂小结： 通过本节课的学习，你有什么收获？ 五．作业布置:
六．板书设计：
展开与折叠
《展开与折叠》这部分内容对学生空间观念要求比较高，部分学生会感到很困难，
但同时有一部分学生已经具有一定知识基础与分析和解决问题的能力，有较强的自我
发展意识和挑战意识，对有挑战性的任务很感兴趣。为了二者兼顾，我特设计了以上
5.看来同一个正方体展开后能得到不同的结果。刚才哪些同学画的展开图都在黑板上能 找到呢？还有谁画的在黑板上找不到呢？
因为展开的结果是多样的，看来展开的方法并不能验证所有同学画的展开图，你们还有 什么好的办法呢？
要验证我们刚才自己画的是不是一个正方体的展开图，该怎么办呢？（折叠） 全班学生进行折叠，教师找出典型例子全班展示。 6.说明正方体一共有 11 种展开结果，请观察他们的特点，你有什么发现？ 7.请大家拿出学具中的展开图找自己喜欢的一张展开图折一折。说说你的感受。提问： 你为什么要选择这一个展开图折叠？ （个别交流的学生：1、选择折叠自己感觉最不可能折成正方体的展开图的同学 2、选择 长方体展开图的同学） 8、小结探索过程。 三．巩固练习：
图形的展开与折叠解题思路与点评
图形旳展开与折叠解题思路与点评新课程原则规定同窗们对空间图形有较精确旳结识和感受,具体地说,涉及三个方面:（１）能用平面展开图描述出该立体图形；（２)能由立体图形画出至少一种其平面展开图，设计较简朴实物旳平面图纸；(3)能判断一种图形与否能围成一种立体图形。
因此，切实掌握图形旳展开与折叠势在必行,现解读如下:例1.如图1,一种多面体旳展开图中，每个面内旳大写字母表达该面,被剪开旳棱边所注旳小写字母可表达该棱。
（1）说出这个多面体旳名称;（2）写出所有相对旳面；（3）若把这个展开图折叠起来成立体时，哪些被剪开旳棱将会重叠?（图１)思路：选用面X相对固定,将面R，面Y想像折起，再遮挡面Q，Z，P 即成。
解答:（1)这个多面体是正方体。
（２）相对旳面有三对：P与X,Q与Y,R与Ｚ.(３）将会重叠旳棱有:a与ｈ,b与i,c与n，d与ｅ,f与g，j与ｋ，m 与l.点评：这个问题旳解决，无疑对同窗们形成良好旳空间观念是一种较好旳锻炼。
例2．如图2是一种多面体旳表面展开图，每个面都标注了字母,请回答:如果F在前面,从左面看是B，那么哪一面会在上面?（图2）思路:这里有两种折法:一种向里折，一种向外折。
解答：E或C会在上面。
点评：一种平面展开图,折成立方体旳方式有两种,一种向里折，一种向外折。
此题往往易忽视其中一种，导致漏解。
这不仅培养了同窗们旳空间观念,并且告诫同窗们思考问题要全面。
例3．将一种正方体旳表面沿某些棱剪开,展开成一种平面图形,回答问题:（1）你能设法得到图3中旳平面图形吗?（图3)（2）你还能得到哪些平面图形？与同伴进行交流。
（3）图4中旳图形通过折叠,能否围成一种正方体？(图4)思路：由于一种正方体有12条棱、6个面，将其表面展开成一种平面图形，其面与面之间相连旳棱(即未剪开旳棱）有5条，因此需要剪开７条棱。
（1)中旳两个平面图形都可由一种正方体沿着某些棱剪开展成,可在原正方体上标出上、下底面，根据需要剪开7条棱即可;（2）将一种正方体沿着某些棱剪开后,可得到诸多平面图形,因此答案诸多;（3）有两种途径：一是动手操作，仔细观测；二是先假定出上、下底,通过想象亲自折一折,看能否折成正方体。
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图形的展开与折叠解题
思路与点评
集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]
图形的展开与折叠解题思路与点评
新课程标准要求同学们对空间图形有较准确的认识和感受，具体地说，包含三个方面：（1）能用平面展开图描述出该立体图形；（2）能由立体图形画出至少一种其平面展开图，设计较简单实物的平面图纸；（3）能判断一个图形是否能围成一个立体图形。
因此，切实掌握图形的展开与折叠势在必行，现解读如下：
例1.如图1，一个多面体的展开图中，每个面内的大写字母表示该面，被剪开的棱边所注的小写字母可表示该棱。
（1）说出这个多面体的名称；
（2）写出所有相对的面；
（3）若把这个展开图折叠起来成立体时，哪些被剪开的棱将会重合？
（图1）
思路：选取面X相对固定，将面R，面Y想像折起，再遮挡面Q，Z，P即成。
解答：（1）这个多面体是正方体。
（2）相对的面有三对：P与X，Q与Y，R与Z.
（3）将会重合的棱有：a与h，b与i，c与n，d与e，f与g，j与k，m与l.
点评：这个问题的解决，无疑对同学们形成良好的空间观念是一个很好的锻炼。
例2.如图2是一个多面体的表面展开图，每个面都标注了字母，请回答：如果F在前面，从左面看是B，那么哪一面会在上面？
（图2）
思路：这里有两种折法：一种向里折，一种向外折。
解答：E或C会在上面。
点评：一个平面展开图，折成立方体的方式有两种，一种向里折，一种向外折。
此题往往易忽略其中一种，造成漏解。
这不但培养了同学们的空间观念，而且告诫同学们思考问题要全面。
例3. 将一个正方体的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，回答下列问题：
（1） 你能设法得到图3中的平面图形吗？
（图3）
（2） 你还能得到哪些平面图形？与同伴进行交流。
（3） 图4中的图形经过折叠，能否围成一个正方体？
（图4）
思路：由于一个正方体有12条棱、6个面，将其表面展开成一个平面图形，其面与面之间相连的棱（即未剪开的棱）有5条，因此需要剪开7条棱。
（1）中的两个平面图形都可由一个正方体沿着某些棱剪开展成，可在原正方体上标出上、下底面，根据需要剪开7条棱即可；
（2）将一个正方体沿着某些棱剪开后，可得到很多平面图形，所以答案很多；
（3）有两种途径：一是动手操作，仔细观察；二是先假定出上、下底，通过想象亲自折一折，看能否折成正方体。
解答：（1）能，其中在原正方体上标出上、下底面如图5所示。
（图5）
（2）图略，请同学们动手试一试，看谁得到的多，准。
（3）第一副图不能，第二副图能。
其中第二副图先假定出上、下底面如图6所示。
（图6）
点评：此题命题意图有二：1.通过观察和动手操作，经历和体验图形的变化过程；2.考查将平面图形复原成立体图形的能力。
小时牛刀
1、有一个正方体的六个面上分别写着1，2，3，4，5，6这六个数，根据图1中
A 、
B 、
C 三个图中所写数字想一想“”处的数字是什么？
2、如图2，右边四个图形折叠后，能得到左边正方体的是（ ）
3、如图3所示，是一个几何体的展开图，每个面上都标有相应的字母. 4 1 5
A 2 3 1
B 4 5
C 图1 A.B.C.D.
图2 ① ②
③ ① ② ③ ① ② ③ ① ② ③ ① ②
③ A
B C D E F 图3
（1）如果A面在几何体的底部，上面的是哪一面？
（2）若F面在前面，从左看是B面，上面是哪一面？
（3）右看是C面，D面在后面，上面是哪一面？
析解：
1、我们知道，正方体的任何一个面都与其余的五个面中的四个面相邻、一个面相对.本题中标有“1”的面与标有“4”，“5”，“2”，“3”相邻，则标有“1”的面的对面是标有“6”的面.所以“”处应是“6”.
2、左边的正方体仅给出了三个带有标记的面，由此可知，标有①、②、③的三个面相邻；但不能确定其余三个面是否带有标记.再考虑正方体的四个展开图，选项B、C 中标有①和③的两个面相对，不符合要求，由此排除B、C；选项D中标有②的面与标有
①和③的两个面不相邻，也不符合要求.所以本题正确的答案为：A.
3、首先确定相对面：由展开图知，标有A的面与标有F的面是相对面，标有B的面与标有D的面是相对面，那么剩下的标有C的面与标有E的面应该是相对面.所以当A面在几何体的底部时，上面的面应是F面.若F面在前面，则A面在后面；从左看是B面，则右边应该是D面；由此，可以知道上面的一面是C面.类似的，当“右看是C面，D面在后面”时，上面的一面是A面.。