公钥密码体制
第4章公钥密码体制
密钥
为公钥。 不再需要， 以n，e为公钥。私密钥为d。(p, q不再需要， 可以销毁。 可以销毁。)
RSA算法在计算上的可行性
加密和解密
无论是加密还是解密都需要计算某个整数的模n 整数次幂，即C=Me mod n、M=Cd mod n。但不 、 需要先求出整数的幂再对n取模，而可利用模运 算的性质： (a mod n) * (b mod n)= (a*b) mod n 对于Me mod n，可先求出M1 mod n，M2 mod n， M4 mod n……，再求Me mod n
RSA算法 RSA算法
RSA Algorithm
概况
MIT三位年轻数学家, 1979年发现了一种用数 论构造双钥的方法，称作MIT 体制 MIT体制 MIT 体制，后来被 广泛称之为RSA体制 RSA体制 RSA体制。 它既可用于加密、又可用于数字签字。 RSA算法的安全性基于数论中大整数分解的 困难性。 迄今为止理论上最为成熟完善的公钥密码体 制，该体制已得到广泛的应用。
公钥密码体制有4个组成部分
明文：算法的输入，它们是可读信息或数据，用M 表示； 密文：算法的输出。依赖于明文和密钥，对给定的 消息，不同的密钥产生密文不同。用E表示； 公钥和私钥：算法的输入。这对密钥中一个用于加 密，为Ke，此密钥公开；一个用于解密，为Kd，此 密钥保密。加密算法执行的变换依赖于密钥； 加密、解密算法
选p=7，q=17。 求n=p×q=119，φ(n)=(p-1)(q-1)=96。 取e=5，满足1<e<φ(n)，且gcd(φ(n),e)=1。确 定满足d·e=1 mod 96且小于96的d，因为 77×5=385=4×96+1，所以d为77。 因此公开钥为{5，119}，秘密钥为{77，119}。 设明文m=19，则由加密过程得密文为 C=195 mod 119≡2476099 mod 119=66 解密为6677mod 119=19
公钥密码体制公钥密码体制
首次公开提出了“公开密钥密码编码学”的概念。
这是一个与对称密码编码截然不同的方案。
提出公开密钥的理论时，其实用性并没有又得到证明：
❖ 当时还未发现满足公开密钥编码理论的算法； ❖ 直到 1978 年，RSA 算法的提出。
2.基本特征
❖ 加密和解密使用两个不同的密钥 公钥PK：公开，用于加密，私钥SK：保密，用作解密 密钥
3.优点
❖ 密钥管理
加密密钥是公开的； 解密密钥需要妥善保存； 在当今具有用户量大、消息发送方与接收方具有明显的信息不对称
特点的应用环境中表现出了令人乐观的前景。 新用户的增加只需要产生一对公共/私有密钥。
❖ 数字签名和认证
只有解密密钥能解密，只有正确的接收者才拥有解密密钥。
缺点：公共密钥系统的主要弱点是加密和解密速度慢。
加密与解密由不同的密钥完成； 知道加密算法，从加密密钥得到解密密钥在计算上是不可行的； 两个密钥中任何一个都可以作为加密而另一个用作解密。
6.公钥密码算法
除RSA算法以外，建立在不同计算问题上的其他公钥密码算法 有：
基于因子分解问题的Rabin算法； 椭圆曲线公钥算法； 基于有限域中离散对数难题的ElGamal公钥密码算法 基于代数编码系统的McEliece公钥密码算法； 基于“子集和”难题的Merkle-Hellman Knapsack（背包）公钥密码算 法； 目前被认为安全的Knapsack型公钥密码算法Chor-Rivest。
实际应用中的加密方式
❖ 混合加密技术 对称密码体制：密钥分发困难 公钥体制：加解密效率低 将对称加密算法的数据处理速度和公钥算法对密钥的保 密功能相结合 利用对称加密算法加密传输数据 利用非对称加密算法交换会话密钥
实际应用中的加密方式
第09-12讲 公钥密码体制
陌生人间的保密通信问题 数字签名的问题
– 传统加密算法无法实现抗抵赖的需求
140000 120000 100000 80000 60000 40000 20000 0
密钥量
50
100
200 300 400 用户数
500
图6－1 用户数与密钥量的对应关系
公钥密码体制
公钥密码又称为双钥密码、非对称密码 公钥密码体制提出的标志性文献：
Q
X1 1
X2 0
X3 2760
Y1 0
Y2 1
Y3 167
16
1
0
1
1
-16
167
88
1
-1
-16
17
88
79
例：取p=47, q=61时, n=2867, (n)=(47-1)(61-1)=2760， 可取SK=167，PK=1223
Extended Euclid(f, d) （设 f >d） (X1,X2,X3)←(1,0,f); (Y1,Y2,Y3)←(0,1,d); :loop if Y3=0 then return gcd(f, d)=0; if Y3=1 then return gcd(f, d)=1； Y2=d-1 mod f; Q=X3/Y3 ； (T1,T2,T3)←(X1-QY1,X2QY2,X3-QY3); (X1,X2,X3)←(Y1,Y2,Y3); (Y1,Y2,Y3)←(T1,T2,T3); got o loop
为了提高加密速度，通常取e为特定的小整数，如 EDI国际标准中规定 e＝216＋1，ISO/IEC9796中甚 至允许取e＝3。这时加密速度一般比解密速度快10 倍以上。
RSA密钥的生成
提出公钥密码体制概念的学者
提出公钥密码体制概念的学者
公钥密码体制是现代密码学领域中的一种重要密码算法，其核心思想是在密码传输过程中采用一对密钥，即公钥和私钥。
公钥用于加密明文，私钥用于解密密文，由于公钥在传输过程中不需要保密，因此能够保证密码传输的安全性。
提出公钥密码体制概念的学者是美国计算机科学家惠特菲尔德·迪菲（Whitfield Diffie）。
他于1976年与马丁·赫尔曼（Martin Hellman）合作提出了公钥密码体制的概念和原理，并于1977年发表了题为《New Directions in Cryptography》的论文，从而开创了公钥密码学研究的新时代。
迪菲的贡献不仅在于提出了公钥密码体制的概念，更是通过他的研究工作，推动了密码学领域的发展，促进了现代信息安全的进步。
他的成就被广泛认为是现代密码学的重要里程碑之一，是信息安全领域的杰出学者之一。
- 1 -。
第四章-公钥密码体制
• 推论: p素数,a是任意整数,则: ap a mod p
– M kφ(n)+1=M mod n
RSA算法举例（1）
p = 53，q = 61，n = pq = 3233， φ(n)＝52x60 = 3120 令d = 791，则e = 71 令m = RE NA IS SA NC E 即m = 1704 1300 0818 1800 1302 0426 170471 mod 3233 = 3106，…， C = 3106 0100 0931 2691 1984 2927
欧拉定理
• 证明： • R={x1,x2,…,x(n)}为所有小于n且与n互素的正整数,考虑集 合 • S={(ax1mod n), (ax2mod n),…, (ax(n) mod n)} • (aximod n)与n互素 • (aximod n)两两不等: • (aximod n) = (axjmod n) ximod n = xjmod n • S有(n)个元素 • 故S也是所有小于n且与n互素的正整数,因此S=R,从而 xi=(aximod n)((axi)) mod n • (a(n) xi) mod n • 注意到xi 与n互素,从而得到结论.
费马(Fermat)定理
• 若p是素数，a是正整数，且gcd(a,p)=1，则ap1≡1mod p • 证明：考虑集合{1,2,…,p-1},对每个数乘以a,得到 集合{a mod p,2a mod p,…,(p-1)a mod p},对于p, 后者两两不同且都在1与p-1之间,因此两个集合相 同,于是:
RSA公钥密码体制
5*d – k = 1 d=1 当k的系数最后化为1时，令d=1 情形2：
RSA公钥密码系统 算法示例
密钥生成： 取p=11，q=13，则 n=pq=11x13=143 φ(n)=(p-1)(q-1)=(11-1)x(13-1)=120 因为e与φ(n)互素，则选取e=17 通过ed = 1 mod φ(n)计算得d=113 公钥为(n,e)=(143,17)，私钥为d=113
通过例子来探讨如何求解d
例1 取p=3 q=11 f(n)=(p-1)(q-1)=2×10=20 即3×d = 1 mod 20
得出 n=p×q=3×11=33 取e=3，(3与20互质) 则 e×d = 1 mod f(n)
d怎样求解呢？ 怎样求解呢？ 怎样求解呢
可以用试算的办法来寻找。试算结果见下表：
79*d = 1 mod 3220
d
这里就要用到辗转相除法，解法如下：
79*d = 1 mod 3220
d=1019
k=25 d=19 k=6 d=1 k=0
79*d - 3220*k = 1
用3220对79取模到的余数60代替3220
79*d - 60*k = 1
用79对60取模到的余数19代替79
17*d = 1 mol 120
d = 113 17*d – 120*k = 1 k =16 d=1 当k的系数最后化为1时，令d=1
120 mol 17 = 1 用1代替120
17*d – k = 1
加密： 用公钥e=17对明文m=24进行加密，则密文为：
平方—乘算法
如何求解
解密： 收到密文c=7，利用私钥d=113进行解密：
第7讲 公钥密码体制
二、RSA密码体制
参数选择：
独立地选取两大素数p1和p2(各512bit的数)， 计算 n=p1×p2 其欧拉函数值(n)=(p1－1)(p2－1) 随机选一整数e， 1e<(n)，((n), e)=1(因而在模(n)下e有逆元) d=e-1 mod (n) 公钥为n，e; 私钥为d (p1, p2不再需要，可以销毁)
* MIPS-年指以每秒执行1,000,000条指令的计算机运行一年
二、RSA密码体制
安全性:分解模数n
技术进展使分解算法和计算能力在不断提高，计算所需的硬件费用在不断下降 RSA-129： 110位十进制数字早已能分解。 Rivest等最初悬赏$100的RSA-129，已经 由包括五大洲43个国家600多人参加，用1600台机子同时产生820条指令数据， 通过Internet网，耗时8个月，于1994年4月2日
但数学上至今还未证明分解模就是攻击RSA的最佳方法，
也未证明分解大整数就是NP问题， 可能有尚未发现的多项式时间分解算法。 人们完全可以设想有另外的途径破译RSA， 如求出解密指数d或找到(p1－1)(p2－1)等。 但这些途径都不比分解n来得容易。 甚至Alexi等[1988]曾揭示，从RSA加密的密文恢复某些比特的困难性也和 恢复整组明文一样困难。 这一视在困难性问题是个NP问题，但还没人证明它为NPC问题。
因为(e1, e2,)=1，所以由Euclidean算法有r e1+s e2=1
计算 (y1-1)-r y2s = x mod n (假设r是负数)
二、RSA密码体制
安全性:低加密指数攻击
小的e可加快加密和验证签字速度，且所需的存储密钥空间小
但若加密钥e选择得太小，则容易受到攻击 网中三用户的加密钥e均选3，分别模n1, n2, n3 (互素，否则可求出公因子，而降低安全性)
公钥密码体制
公钥密码体制
私钥密码体制（Public Key Cryptography）是一种密码学方法，它使用一对公钥/私钥对来加密和解密信息。
公钥是可以公开分发的，而私钥是只有拥有者才能访问的。
这种方法允许两个实体（例如，两个电脑）在没有事先共享密钥的情况下进行安全的通信。
私钥密码体制的工作原理是，用户使用一个公钥加密信息，然后使用一个私钥来解密它。
由于私钥是保密的，因此只有拥有者才能解密信息，从而保护信息的安全性。
另一方面，由于公钥是公开的，因此任何人都可以使用它来加密信息，从而保护信息的隐私性。
RSA公钥密码体制简介
32
例：
计算: 152013(mod 2539) 13 23 1 22 0 2 1 1101 B
(e3 , e2 , e1, e0 ) (1,1,0,1)
152013 mod2539
(((1520e3 )2 1520e2 )2 1520e1 )2 1520e0 (mod 2539) ((15202 1520)2 15200 )2 1520 (mod 2539)
14
RSA算法论证
假设截获密文C，从中求出明文M。他知道 M≡Cd mod n ，
因为n是公开的，要从C中求出明文M，必须先求 出d，而d是保密的。但他知道，
ed≡1 mod φ(n)， e是公开的，要从中求出d，必须先求出φ(n)，而 φ(n)是保密的。但他又知道，
φ(n)=(p-1)(q-1)，
9
RSA算法论证
于是，M tφ(n) ＝bq+1，其中b为某整数。 两边同乘M， M tφ(n)+1 ＝bqM+M 。 因为M＝ap，故 M tφ(n)+1 ＝bqap+M =abn+M 。 取模n得， M φ(n)+1 ＝M mod n 。
10
RSA算法论证
第二种情况：M＝0 当M＝0时，直接验证，可知命题成立。
加密过程：c=me mod n 解密过程：m=cd mod n
3
2、工作原理
定义：任给一个正整数m，如果用m去除任意两个整 数a、b所得的余数相同，称a、b对模m同余。记 为： a bmodm，若余数不同，则a、b对模m不同余。 记为： a b modm。
定理： a bmodm ，当且仅当m|(a-b)。
什么是公钥密码体制
什么是公钥密码体制
公钥密码体制也称非对称密码体制或者双钥密码体制，是基于数学函数（如单向陷门函数）而不是基于置换和代换的工具。
公钥密码算法的最大特点是采用两个相关密钥将加密和解密能力分开，其中一个是公开的，称为公钥，用于加密；其中一个是为用户专用的，是保密的，称为私钥，用于解密。
公钥密码体制是为了解决对称密码体制中最难解决的2个问题而提出的：
1.密钥分配问题：在对称密码中，接受方和发送方使用相同密钥。
一般情况下该密钥
通过加密信道进行传输。
但是加密信道可能会被攻击者攻击。
2.数字签名问题：如果使用对称加密来进行数字签名，那么在对密钥进行管理和分发
时带来被攻击者攻击的问题。
在公钥密码体制中存在2个密钥：公钥，私钥。
公钥和加密算法是公开的，公钥用于加密数据；私钥是保密的，用于解密。
以上内容仅供参考，如需获取更多详细信息，建议查阅公钥密码体制相关的资料或咨询数学领域专业人士。
密码体制的分类方法
密码体制是指用于保护信息安全的加密和解密方法。
根据不同的分类标准，可以将密码体制分为以下几类：
对称密码体制（Symmetric Cryptography）：也称为私钥密码体制，加密和解密使用相同的密钥。
常见的对称密码算法有DES、AES和IDEA等。
对称密码体制具有加密速度快的优点，但需要确保密钥的安全性。
公钥密码体制（Public Key Cryptography）：也称为非对称密码体制，加密和解密使用不同的密钥，其中一个密钥是公开的，称为公钥，另一个密钥是私有的，称为私钥。
常见的公钥密码算法有RSA、Diffie-Hellman和椭圆曲线密码等。
公钥密码体制具有密钥分发方便的优点，但加密和解密速度较慢。
哈希函数（Hash Function）：哈希函数是一种将任意长度的输入数据转换为固定长度的输出数据的算法。
常见的哈希函数有MD5、SHA-1和SHA-256等。
哈希函数主要用于数据完整性校验和数字签名等应用。
数字签名（Digital Signature）：数字签名是一种用于验证数据的真实性、完整性和来源的密码技术。
它使用私钥对数据进行加密，生成数字签名，然后使用公钥对数字签名进行解密和验证。
随机数生成（Random Number Generation）：随机数生成是密码体制中重要的组成部分，用于生成安全的密钥和初始化向量。
随机数生成器应具有高度随机性和不可预测性。
这些分类方法是根据密码体制的核心原理和使用方式进行的。
不同类型的密码体制在不同的应用场景中具有各自的优势和适用性。
在实际应用中，常常根据具体需求选择合适的密码体制进行数据保护和安全通信。
信息安全概论第四章公钥密码体制
14
Diffie-Hellman密钥交换算法 密钥交换算法
Diffie和Hellman在其里程碑意义的文章中， 虽然给出了密码的思想，但是没有给出真正意 义上的公钥密码实例，也既没能找出一个真正 带陷门的单向函数 然而，他们给出单向函数的实例，并且基于此 提出Diffie-Hellman密钥交换算法
13
常用的公开密钥算法
公钥算法的种类很多，具有代表性的三种密码： 公钥算法的种类很多，具有代表性的三种密码： 基于整数分解难题（IFP）的算法体制 基于整数分解难题（IFP）的算法体制(RSA) 基于离散对数难题（DLP）算法体制 基于离散对数难题（DLP）算法体制(ElGamal) 基于椭圆曲线离散对数难题（ ECDLP ） 的算法体制 基于椭圆曲线离散对数难题 （ ECDLP） (ECC)
3
4.1 公钥密码体制的基本原理
对称算法的不足
（1）密钥管理量的困难 传统密钥管理：两两分别用一个密钥时， 传统密钥管理：两两分别用一个密钥时，则n个用户需 C(n,2)=n(n-1)/2个密钥 当用户量增大时， 个密钥， 要C(n,2)=n(n-1)/2个密钥，当用户量增大时，密钥空 间急剧增大。 间急剧增大。如: n=100 时， C(100,2)=4,995 n=5000时 n=5000时， C(5000,2)=12,497,500 （2）密钥必须通过某一信道协商，对这个信道的安全 密钥必须通过某一信道协商， 性的要求比正常的传送消息的信道的安全性要高
7
公开密钥密码的重要特性
加密与解密由不同的密钥完成 Y: X: Y = EKU(X) X = DKR(Y) = DKR(EKU(X))
加密: X 解密: Y
知道加密算法,从加密密钥得到解密密钥在计算上 , 是不可行的 两个密钥中任何一个都可以用作加密而另一个用 作解密(不是必须的) X = DKR(EKU(X))
第二讲之第4章 公钥密码体制.
i
则称指数i为以a为底、模p的b的离散对数。
1.基本原理
用户A 公开 秘密
用户B
YA XA
计算
YB
XB
计算
公开
秘密
会话秘密
KA
密钥交换过程
KB
会话秘密
密钥交换过程
(1)选择一个素数P和它的一个原元a; (2)通信方A选择自己的秘密密钥XA,并计算自己的 公开密钥YA: YA=a XA mod P (3)通信方B选择自己的秘密密钥XB,并计算自己的 公开密钥YB: YB=a XB mod P (4)通信双方A和B交换YA和YB； (5)A独立计算会话密钥，B独立计算会话密钥KS； (6)通信双方利用会话密钥KS进行通信。
公钥体制算法
第一个公钥体制是1977年由Rivest， Shamir，Adleman提出的，称为RSA 公钥体制，其安全性是基于整数的因子 分解的困难性。RSA公钥体制已得到了 广泛的应用。
基于背包问题的Merkle-Hellman背包公 钥体制
基于有限域上离散对数问题的ElGamal 公钥体制 基于椭圆曲线的ECC密码用很小数字。设 P=47 和 47 的一个原元，a=3。
A 选择秘密密钥 XA=8 ， B 选择秘密密钥 XB=10 ，
各自计算其公开密钥。
（1）双方各自计算
用户A计算：YA=3 8mod 47=6561 mod 47=28 mod 47 用 户 B 计 算 ： YB=3 47=17 mod 47
续
（2）保护信息机密
任何人均可将明文加密成密文，此后只有拥有解密密钥 的人才能解密。
公钥密码体制概念的著作
公钥密码体制概念的著作公钥密码体制是一种能够实现信息加密和解密的技术，它基于非对称密钥算法。
公钥密码体制的概念最早由美国密码学家惠特菲尔德·迪菲提出。
与传统的对称密码系统不同，公钥密码体制使用两个密钥：公钥和私钥。
其中，公钥是公开的，而私钥则被保密。
公钥密码体制的主要优点在于它的安全性较高。
在传统的对称密码体制中，加密和解密都使用同一个密钥，因此密钥必须在传输过程中保持秘密，否则被截获的攻击者就可以轻松地获得加密信息。
而在公钥密码体制中，加密和解密使用的是不同的密钥，攻击者即使得到了公钥，也无法从中破解出私钥，因此保密性更强。
公钥密码体制的应用十分广泛，包括信用卡交易、电子邮件的加密和签名、虚拟私有网络安全等。
在这些应用中，用户将自己的公钥发布到公共网络上，其他用户就可以使用该公钥将加密信息发送给用户，只有该用户才能解密信息。
然而，公钥密码体制也存在着一些缺点。
首先，它的加密解密速度较慢。
因为它需要使用很长的密钥，所以加密解密所需的时间也相对较长。
其次，公钥密码体制也不是万无一失的，特别是当攻击者拥有足够的计算能力时，它仍然可能被破解。
为了解决这些问题，研究人员一直在改进公钥密码体制技术，并提出了许多增强版的公钥密码体制，如椭圆曲线密码、同态加密、多方计算等。
这些新技术能够使加密解密更快、更安全，而且还可以应用于更多的领域。
总之，公钥密码体制是一种十分重要的密码学技术，它在网络安全中起着非常关键的作用。
尽管它存在一些缺点，但随着技术的不断进步，公钥密码体制必将得到进一步的改进和完善，为实现网络安全提供更多的保障。
在公钥密码体制中，常用的算法有RSA、Diffie-Hellman、ECC等。
其中，RSA算法是最为经典的公钥密码体制算法之一，也被广泛应用于各种领域中。
RSA算法的原理是基于大质数分解的数学难题，利用数学上的困难问题保证了其安全性。
RSA算法的缺点是密钥长度必须足够长，才能保证安全性，并且加密解密速度较慢。
公钥密码体制课件
THANKS
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云计算与大数据
数据存储加密
对存储在云端的数据进行加密，确保数据的安全性和 隐确保只有授权用户 能够访问云端数据。
容灾备份
在大数据场景中，公钥密码体制用于容灾备份数据的 加密和完整性校验。
04
公钥密码体制的实现技术
RSA算法
总结词
RSA算法是一种非对称加密算法，基于数论中的一些基础性质，使用一对公钥和私钥进行加密和解密操作。
数据完整性
通过数字签名等技术，公钥密码体 制能够确保数据的完整性和真实性。
身份认证
公钥密码体制可用于身份认证，验 证发送方的身份，防止伪造和冒充。
公钥密码体制的历史与发展
历史
公钥密码体制的思想起源于20世纪 70年代，最早的公钥密码体制是RSA 算法。
发展
随着技术的不断进步，公钥密码体制 的应用越来越广泛，涉及到网络安全、 电子支付、电子政务等领域。
证书吊销与信任链管理
在公钥密码体制中，证书用于验证公 钥的合法性，但证书可能被吊销或受 到信任链上的信任问题影响。
管理证书吊销列表和信任链的有效性 是确保公钥密码体制安全的重要环节， 需要定期检查和更新证书状态，以及 在必要时撤销或更新信任链。
06
公钥密码体制的未来展望
新算法的研究与发展
算法优化
详细描述
RSA算法由Rivest、Shamir和Adleman于1977年提出，是目前应用最广泛的公钥密码算法之一。其安全性基于 大数质因数分解的困难性，通过选取适当的参数，能够保证很高的安全性。RSA算法可用于加密、数字签名等应 用场景。
ECC算法
总结词
ECC算法是一种基于椭圆曲线的公钥密码算法，具有密钥长度相对较小、加密速度快、安全性高等优 点。
非对称密码体制
非对称密码体制
非对称密码体制的基本概念 非对称密码体制的原理 RSA算法 RSA算法中的计算问题 RSA算法的安全性 非对称密码体制的应用
非对称密码体制的基本概念
非对称密码（公钥密码）与所有以前的密码方法的不同点
基于的基本思想不同 密钥的使用方式不同
公钥密码算法的密钥具有如下特点
是加密密钥与解密密钥是本质上不同的 是大多数公钥密码算法的加密密钥和解密密钥具有互换的性质，即两者是相对的
网络信息安全技术
非对称密码体制
非对称密码体制（Asymmetric CryptoSystem），也称为公钥密码体制（Public Key Cryptosystem），是现代密码学的重要组成部 分。公钥密码的思想在1976年由Diffie和Hellman在 其《密码学新方向》一文中提出。Rivest、Shamir 和Adleman在1978年提出了首个非对称密码体制， 即著名的RSA公钥密码体制。非对称密码体制的发明 是现代密码的具有里程碑意义的重要事件，它的出现 标志着现代密码学的创立。
可以通过加密算法生成密文：
C EPKB (M )
接收方B使用私有密钥容易通过解密算法对密文进行解密，以恢复原来的明文
从公开密钥PKB推出私有密钥SKB，在计算上是不可行的
非对称密码体制的原理
定义 单向陷门函数满足下列条件的函数f:D→V
1）对于任意给定的x∈D，计算y=f(x)是容易的。 2）对于几乎所有任意给定y∈V，计算x∈D使得y=f(x)，
RSA算法中的计算问题
即计算(m)cmod N是RSA非对称密码 体制中的主要运算，其计算可以由 c-1次的模乘来实现，然而当比较
(m)c mod N 的有大效时计，算这问不题是一个好的算法，因为
公钥密码体制的研究与应用
公钥密码体制的研究与应用
公钥密码体制是一种安全的密码体制,使用公钥加密和解密数据,以防止未经授权的访问和窃取。
公钥密码体制的研究与应用在许多领域都有广泛应用,下面是其中的一些应用领域:
1. 数字身份验证:公钥密码体制是数字身份验证的基础。
通过使用公钥加密算法来生成公钥,并将其与用户的私钥进行比对,可以确
保用户的身份验证是安全的。
这种技术已经被广泛应用于在线身份验证、电子支付等领域。
2. 数据加密:公钥密码体制可以用于加密和解密数据,以确保数
据的机密性。
例如,在电子邮件中,可以使用公钥加密来保护邮件内容。
3. 网络通信:公钥密码体制可以用于网络通信中的数据加密和
安全传输。
通过使用加密算法和安全协议,可以确保数据传输过程中
的数据安全性和完整性。
4. 安全密码存储:公钥密码体制可以用于安全存储用户的密码。
例如,可以使用私钥加密密码文件,以防止文件被窃取或篡改。
5. 量子计算:公钥密码体制可以用于量子计算中的身份验证和
授权。
在量子计算中,可以使用量子比特来生成和验证公钥,从而实现更高效的身份验证和授权。
公钥密码体制是一种重要的密码体制,可以提高数据的安全性和
机密性,在许多领域中都有广泛的应用前景。
信息安全概论-ppt--公钥密码体制
公钥密码体制
17
4.1 一些数学基础
❖ 费马(Fermat)定理：
p素数，a是整数且不能被p整除，则：ap-1 1 mod p 例：a = 7，p = 19，则ap-1 = 718 1 mod 19
a = 3，p = 5，则ap-1 = 34 1 mod 5
❖ 欧拉(Euler)函数(n)：
如果gcd(a,b)=1，则称a和b互素。
公钥密码体制
11
素数和素分解
任一整数p>1，若只有+（-）1和+（-）p为约数，就称其 为素数（prime），否则为一合数。素数在数论和现代密码学中扮演 重要角色。 判断：
所有奇数都是素数。所有偶数都是合数。 除了1，自然数不是素数就是合数。 除了2，5，个位上是0，2，4，6，8，5的数都是合数。 两个自然数相乘，乘得的数一定是合数。 除了3，能被3整除的数都是合数。 一个自然数不是素数就是合数。 合数至少有三个因数。 素数一定是奇数。合数一定是偶数。 1不是素数也不是合数。
公钥密码体制
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4.1 一些数学基础
❖ 模运算：
求余数运算（简称求余运算）a mod n将整数a映射到集合
{0,1, …,n-1}，称求余运算在这个集合上的算术运算为模运算
模运算有以下性质： [(a mod n)+(b mod n)] mod n = (a+b) mod n [(a mod n)- (b mod n)] mod n = (a-b) mod n [(a mod n)×(b mod n)] mod n = (a×b) mod n
❖ 数论简介：
数论是密码学特别是公钥密码学的基本工具。研究“离散数字集合” 的相关问题。
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基于公开密钥的加密过程
图4.1 公钥密码体制的通信保密过程
基于公开密钥的鉴别过程
图4.2 公钥密码体制的数字签名和验证签名过程
公钥密钥的应用范围
加密/解密 数字签名(身份鉴别) 密钥交换
5.1.4 公钥密码系统基本思想和要求
1、涉及到各方：发送方、接收方、攻击者 2、涉及到数据：公钥、私钥、明文、密文 3、公钥算法的条件： – 产生一对密钥是计算可行的； – 已知公钥和明文，产生密文是计算可行的； – 接收方利用私钥来解密密文是计算可行的； – 对于攻击者，利用公钥来推断私钥是计算不可行的 – 已知公钥和密文，恢复明文是计算不可行的； – (可选)加密和解密的顺序可交换。
5.1.2 公钥密码体制的起源
公钥密码又称为双钥密码和非对称密码，是1976年 由Diffie和Hellman在其“密码学新方向”一文中提 出的，见划时代的文献：W.Diffie and M.E.Hellman, New Directrions in Cryptography, IEEE Transaction on Information Theory, V.IT-22.No.6, Nov 1976,PP.644-654 RSA公钥算法是由Rivest,Shamir和Adleman在 1978年提出来的, 见Communitions of the ACM. Vol.21.No.2. Feb.1978, PP.120-126
Euler定理: 若a与n为互素的正整数,则: aφ (n)≡1modn，推论: 若n=pq, p≠q都是素数, k是任意整数,mkφ (n）+1≡m k(p-1)(q-1)+1 ≡m mod n, 对任意0≤m≤n 证明φ (n)= (p-1)(q-1)
离散对数的计算:
y≡gx mod p 已知g,x,p,计算y是容易的 已知y,g,p,计算x是困难的。
至今没有有效的求解方法。
指数函数及其性质 指数函数y=ax mod p，已知x求y 是一个可解问题，但其逆过程：已知y求 x称为离散对数问题，所以指数函数被认 为是一个单向函数。 Fermat定理：p素数，a是整数且不能被 p整除，则:ap-1≡1modp
乘法逆元：n是整数 当ax=1modn，x是a的乘法逆元。a的逆元记作 a-1，根据Fermat定理，p是素数，若gcb(a,p)=1， ap-2modp是a的乘法逆元。 Euclid计算公因数gcd(a，b)=gcd（b，a mod b）;可以通过扩展的Euclid算法可以 算 :ed=kφ (n)+1 知道e，d，φ (n)其中两个求另 一个。因此：aed ≡amodn
Diffie-Hellman密钥交换方案
算法：通信方A和B
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦
双方选择素数p以及p的一个原根a 用户A选择一个随机数Xa < p，计算Ya=aXa mod p 用户B选择一个随机数Xb < p，计算Yb=aXb mod p 每一方保密X值，而将Y值交换给对方 用户A计算出K=YbXa mod p 用户B计算出K=YaXb mod p 双方获得一个共享密钥(aXaXbmod p)
有限域的乘法群上的离散对数问题(The Discrete Logarithm Problem,ElGamal体制） 椭圆曲线上的离散对数问题（The Elliptic Curve Discrete Logarithm Problem,类比的ElGamal体 制）
大整数分解问题和离散对数是构造RSA算法的重
5.1.3 公开密钥密码加密: X→Y: Y = EKU(X) 解密: Y→X: X = DKR(Y) = DKR(EKU(X)) 知道加密算法,从加密密钥得到解密密钥在计算上是不 可行的。（单向函数的性质） 两个密钥中任何一个都可以用作加密而另一个用作解 密(单向函数的交换性，不是必须的) X = DKR(EKU(X)) = EKU(DKR(X))
5.1 公钥密码体制的基本原理
公钥密码体制采用了两个不同的密 钥，这对在公开的网络上进行保密通信、 密钥分配、数字签名和认证有着深远的 影响。
5.1.1 对称算法的不足
密钥管理量的困难：两两分别用一个密钥时， 则n个用户需要C(n,2)=n(n-1)/2个密钥，当用户 量增大时，密钥空间急剧增大。如:n=100 时， 共4,995个；n=5000时增加到12,497,500个。 密钥建立问题：对协商密钥的信道的安全性的 要求比正常的传送消息的信道的安全性要高。 数字签名的问题：传统加密算法无法实现抗抵 赖的需求。
要基础
整数因子分解问题 许多密码系统的安全性都依赖于整数 因子分解的困难性。如RSA加密方案， RSA签名方案和Rabin公钥加密方案。
定义：给定一个正整数n，找到它的素因子，即 n=p1e1p2e2…pkek,这里pi是不同的素数，并且ei≥1。如： 91=7×13 ; 3600=24×32×52
1. 2. 3.
密码学中常用的主要有三个群的离散对数
有限域GF（p）的乘法群 有限域GF（2n）上的乘法群 有限域F上的椭圆曲线群
5.1.7
设计公钥密码体制
利用指数函数设计一个公钥密码体 制用于密钥协商：通信双方根据对方公 开的信息，通过协商获得一对密钥（对 称密钥），用来对以后的信息数据进行 加密。
5.1.5 部分数学基础
涉及计算复杂性、近世代数等内容。 严格单向函数
一个单射函数f: 如果下述条件成立： 存在一个有效的方法，对所有的x∈X可计算f （x），但不存在一个有效的办法由y= f（x）计 算x,所有的y∈Y。 则称X→Y称为是严格单向函数。
陷门单向函数
单向陷门函数是满足下列条件的函数f： (1)给定x，计算y=fk(x)是容易的；
(2)给定y, 计算x使x=fk-1(y)是不可行的。
(3)存在k，已知k时,对给定的任何y，若相应的x存 在，则计算x使fk-1(x)是容易的。
5.1.6 公钥密码基于的数学难题
背包问题 大整数分解问题（The Integer Factorization Problem,RSA 体制） 离散对数问题：