大学物理 高斯定理共45页
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大学物理之高斯定理 PPT
课外延伸:立体角得概念
“立体角”得定义:一个锥面所围成得空间部分称为“立体 角”。立体角就是以圆锥体得顶点为球心,半径为1得球面被 锥面所截得得面积来度量得,度量单位称为“立体弧度”。
定义立体角为曲面上面积微 元ds与其矢量半径得二次方 得比值为此面微元对应得立 体角记作 d 1 dS ;由此
r2 可得,闭合球面得立体角都 就是4π。
闭合曲面:法线得正方向为指向闭合曲面得外侧。
(2)电通量就是代数量:
当0<θ<
当θ>
2
时2 ,时<, e0。e
e
>0;
ES
COS
ES
三、高斯定理
1、高斯定理定义
• 定义:在真空中得任意静电场中,通过任一闭合曲面
S得电通量Φe,等于该闭合曲面所包围电荷电量得代
数与除以 ,而与0 闭合曲面(高斯面)外得电荷无关。
二、电通量
1、电通量定义与求法
• 定义:在电磁学中,电通量(符号:Φₑ)就是电场得通量,与 穿过一个曲面得电场线得数目成正比,就是表征电场分 布情况得物理量。单位:伏特·米(V·m)
• 匀强电场中(平面)得电通量求法
• 匀强电场且平面S与电场强度E得方向垂直:
e ES
S
E
•匀强电场且平面S与电场强度E得方向成θ角:
S
S/
E
e E S
e ES cos
• 非匀强电场中(曲面)得电通量求法
E
de E dS
S
e
E dS
S
• 电场中得任意闭合曲面S、非均匀电场强度E得通量:
e
E cosdS
SE dS
2、有关电通量得注意点
大学物理课件高斯定理
§ 5 电场线和电通量
一、电场线 —用来形象描述场强分布的一族空间曲线
方向： 各点的切线方向表示电场中 该点场强的方向 大小： 在垂直于电场线的单位 面积上，电场线的条数 (数密度)等于该点电场 场强的大小。
EA
A B
EB
dS
dN E ( p) ( )p dS
P
电场线的性质： 电场线不会中断。（连续） q 电场线不会相交。（单值） 电场线不会形成闭合曲线，
Q
R
解：电荷分布的对称性决定着场强分布的对称性。 场具有球对称性。可选同心球面为高斯面。 场强的方向沿着径向，且在球面上的场强处处相等。
当 r R 时，高斯面内电荷为Q， 1 E dS qint
S
0
2
r
R
E
E dS
s
Q
0
Q
2
E 4r
Q
0
，
Q
高斯面
s
s
0
q
n
i
0 ?
电荷在曲面外： E dS 0
s
S
q
若在曲面内、外都有电荷呢？ 2. 高斯定理
在真空中的静电场内，任一闭合面的电通量等于 这闭合面所包围的电量的代数和除以 0 。 数学表达式
1 E dS
S
0
q
int
注意：式中的 E 应是高斯面上各处的场强
vn
将通量的概念推广到任意矢量场:
dΦ A dS
1. 点电荷场的通量
高斯面S
以点电荷为中心，作半径为r的 球面S，称为高斯面 通过高斯面的电通量为：
r
q
Φe E dS EdS
一、电场线 —用来形象描述场强分布的一族空间曲线
方向： 各点的切线方向表示电场中 该点场强的方向 大小： 在垂直于电场线的单位 面积上，电场线的条数 (数密度)等于该点电场 场强的大小。
EA
A B
EB
dS
dN E ( p) ( )p dS
P
电场线的性质： 电场线不会中断。（连续） q 电场线不会相交。（单值） 电场线不会形成闭合曲线，
Q
R
解：电荷分布的对称性决定着场强分布的对称性。 场具有球对称性。可选同心球面为高斯面。 场强的方向沿着径向，且在球面上的场强处处相等。
当 r R 时，高斯面内电荷为Q， 1 E dS qint
S
0
2
r
R
E
E dS
s
Q
0
Q
2
E 4r
Q
0
，
Q
高斯面
s
s
0
q
n
i
0 ?
电荷在曲面外： E dS 0
s
S
q
若在曲面内、外都有电荷呢？ 2. 高斯定理
在真空中的静电场内，任一闭合面的电通量等于 这闭合面所包围的电量的代数和除以 0 。 数学表达式
1 E dS
S
0
q
int
注意：式中的 E 应是高斯面上各处的场强
vn
将通量的概念推广到任意矢量场:
dΦ A dS
1. 点电荷场的通量
高斯面S
以点电荷为中心，作半径为r的 球面S，称为高斯面 通过高斯面的电通量为：
r
q
Φe E dS EdS
大学物理课件：磁场的高斯定理
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思考问题！！
求穿过旋转曲面的磁通量， 是否可以通过求穿过平面圆的
磁通量来求呢？
为什么？
BB
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例1 在匀强磁场B中，有一半径为r的半球面S,S 边线所在平面的法线方向的单位矢量n和B的夹角为
,如图所示，则通过半球面S的磁通量为
-B r2cos
将半球面和圆面组成一个闭 合面，则由磁场的高斯定理知， 通过此闭合面的磁通量为零。
对闭合曲面来说,我们规定取向外的方向为法线的正方向。
这样：
磁力线穿入： 0 磁力线穿出： 0
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二、.磁场的高斯定理
由于磁力线是闭合曲线，因此通过任一闭合曲 面磁通量的代数和(净通量)必为零,亦即
sB dS 0
——称为磁场的高斯定理。
在静电场中,由于自然界有单独存在的正、负电 荷,因此通过一闭合曲面的电通量可以不为零,这反 映了静电场是有源场。而在磁场中,磁力线的连续性 表明,像正、负电荷那样的磁单极是不存在的,磁场 是无源场。
3）磁力线不相交
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2. 磁通量
磁场中,通过一给定曲面的磁力线数目,称为通过
该曲面的磁通量。
m
B dS
s
BdS cos
s
dS
B
在国际单位制中,磁通量的单位为韦伯(wb)。
说明
（1）对于有限曲面
B dS
dS
对于闭合曲面 SB dS
（2）磁通量是标量，其正负由角确定。与电场中一样，
磁场的高斯定理
一、.磁感应线 、磁通量
1.磁感应线(磁力线)
为了形线。
规定：1) 2)
大方小向：：垂磁直力B线的磁切单感线位应方面强向积度为上B磁的穿感大过应小的强磁度力B线的条方数向为
大学物理--静电场高斯定理PPT课件一等奖新名师优质课获奖比赛公开课
S
dS
qi
E
i
4 0r 2
过场点旳高斯面内电量代数和?
r<R qi 0
i
r>R qi Q
i
r< R E 0
r>R
E
Q
4 0r 2
怎样了解面内场强为0 ?
过P点作圆锥
P
dq1
dq2
则在球面上截出两电荷元
dq1 dS1 dq2 dS2
dq1 在P点场强
dE1
dS1 4 0 r12
dlr1 0dl0
dl
当然 也
dl0 r0
r 射线长为
r1
d
dl1
一般旳定义：线段元dl 对某点所张旳平面角
d
dl0
dl
cos
rr
单位：弧度
r 平面角 d dl0 dl cos
rr
立体角
d
面元dS 对某点所张旳立体角：
r1
drlr1 0dl0
dl
dS
锥体旳“顶角”
d
dS1 dS0
对比平面角，取半径为 r1 r1
ds r
l
Eds
例3 金属导体静电平衡时,体内场强到处为0
求证: 体内到处不带电
证明：
在导体内任取体积元 dV
E dS 0 由高斯定理
S
qi dV 0
i
V
体积元任取
0
证毕
d 4 0
dq2
在P点场强
dE2
dS2 4 0 r22
d 4 0
dE1 dE2
方向 如图
方向 如图
例2 均匀带电旳无限长旳直线 线密度
对称性旳分析
大学物理 高斯定理
第8章 静电场和稳恒电场
17
8-2 电通量 高斯定理
例8.6 均匀带电球面的电场强度 一半径为 R , 均匀带电 q 的球 求球面内外任意点的电场强度. 面 . 求球面内外任意点的电场强度
r
+ + 1+ + + +
S
O
v v ∫ E ⋅ dS = 0
S1
解（1） 0 < r < R ）
r
R
+ + +
1 q d Φ e = E cos 0d S = dS 2 4π ε 0 r
qd S Φe = dΦe = ∫S ∫ S 4πε 0 r 2
=
=
r
+
v dS
q
4 πε 0r q
2
∫
S
dS
ε0
Φ e 与r无关
第8章 静电场和稳恒电场
12
8-2 电通量 高斯定理
点电荷在任意闭合曲面内 点电荷在任意闭合曲面内
+ q 发出的 q / ε 0
条电力线不会中断， 条电力线不会中断，仍全 部穿出封闭曲面 S ，即：
+
Φe =
q
ε0
点电荷位于球面中心
Φe =
q
ε0
第8章 静电场和稳恒电场
13
8-2 电通量 高斯定理
点电荷在闭合曲面之外 点电荷在闭合曲面之外
r v d Φ1 = E 1 ⋅ d S 1 > 0 v v d Φ2 = E 2 ⋅ d S 2 < 0
6
8-2 电通量 高斯定理
带电平行板电容器的电力线 + + + + + + + + + + + +
大学物理Ⅱ 高斯定理
E
q+
r
高斯定理
2. 高斯定理
1.1 当点电荷在球心时
1.2 任一闭合曲面S包围该电荷
1.3 闭合曲面S不包围该电荷
e
e
S
S
E
E
dS
dS
q
q0 0
e EdS 0
S
1.4 闭合曲面S包围多个电荷q1-qk，同时面外也有多个
电荷qk+1-qn
k n
由电场叠加原理
k
e EdS
S
i 1
S
③高斯面应取规则形状
球对称：同心球面 轴对称：同轴柱面 面对称：与平面垂直的圆柱面
例. 一半径为R、电荷密度为的均匀带电球内 有一半径为r的空腔，计算空腔内的电场.
解： 取以r'为半径，o'为心的高斯球面
Rr o'
o
用高斯定理：
E E dS EdS E 4r2
E
1 o
V
dq
0
E 0 E为均匀电场。
qi 0
E 0
(2) r >R
e E dS E dS E dS E dS
s
上底
下底
侧面
0 0 E2rl E2rl
qi 2Rl
r l
E2rl 2Rl 0
E R 0r
习题 无限长均匀带电圆柱体的电场。圆柱半径为R，体
密度为 。
解：电场分布也应有柱对称性，方向沿径向
E 0
表示净穿出闭合面的电力线的总根数。
2º引入电力线，只是为了形象理解电场E， 实际上E是连续分布于空间。
21
例 如图所示 ，有一个三棱柱体放置在电场 强度 E 200i N C1 的匀强电场中 . 求通过此
《高斯定理》课件
《高斯定理》PPT课件
高斯定理是电磁学中一项重要的基本定理，描述了电场和电荷之间的关系。 通过本PPT课件，我们将详细探讨高斯定理的概念、应用以及在不同领域中的 广义应用。
引言
高斯定理，又称为高斯法则，是电磁学中的一项基本定理。它描述了电场通过闭合曲面的总电场通量与该曲面 内部的总电荷量之间的关系。本节将介绍高斯定理的定义、历史及背景以及其应用领域。
电磁学中的应用
在电磁学中，高斯定理可以帮助我们分析电场 和磁场的相互作用，以及电磁波的传播等现象。
高斯定理的广义
一般场论中的应用
高斯定理不仅在电磁学中有应 用，还可以推广到其他场论中， 如引力场、热力学场等。
欧几里得几何中的应 用
在欧几里得几何中，高斯定理 可以帮助我们计算曲面的面积、 体积以及其他几何性质。
高斯定理的应用
电场中的应用
高斯定理在电场分布和电势计算中有重要应用， 可以帮助我们理解电场在不同介质中的行为。
静电学中的应用
高斯定理在静电学中的应用非常广泛，可以用 于分析带电体的电场分布、电势分布和电势能 等问题。
磁场中的应用
高斯定理在磁场分布和磁场强度计算中也有应 用，帮助我们理解磁场在空间中的变化。
非欧几里得几何中的 应用
在非欧几里得几何中，高斯定 理也有应用，可以帮助我们研 究曲面的特性和相对性质。
总结与展望
重要性和实际意义
高斯定理在电磁学和其他领域中具有重要的理论和 应用价值，为我们理解自然界和改善生活提供了重 要的工具。
局限性和未来发展方向
高斯定理பைடு நூலகம்然广泛应用，但仍存在一些局限性，未 来需要进一步研究和发展，探索更广阔的应用领域。
高斯定理的概念
数学形式
高斯定理是电磁学中一项重要的基本定理，描述了电场和电荷之间的关系。 通过本PPT课件，我们将详细探讨高斯定理的概念、应用以及在不同领域中的 广义应用。
引言
高斯定理，又称为高斯法则，是电磁学中的一项基本定理。它描述了电场通过闭合曲面的总电场通量与该曲面 内部的总电荷量之间的关系。本节将介绍高斯定理的定义、历史及背景以及其应用领域。
电磁学中的应用
在电磁学中，高斯定理可以帮助我们分析电场 和磁场的相互作用，以及电磁波的传播等现象。
高斯定理的广义
一般场论中的应用
高斯定理不仅在电磁学中有应 用，还可以推广到其他场论中， 如引力场、热力学场等。
欧几里得几何中的应 用
在欧几里得几何中，高斯定理 可以帮助我们计算曲面的面积、 体积以及其他几何性质。
高斯定理的应用
电场中的应用
高斯定理在电场分布和电势计算中有重要应用， 可以帮助我们理解电场在不同介质中的行为。
静电学中的应用
高斯定理在静电学中的应用非常广泛，可以用 于分析带电体的电场分布、电势分布和电势能 等问题。
磁场中的应用
高斯定理在磁场分布和磁场强度计算中也有应 用，帮助我们理解磁场在空间中的变化。
非欧几里得几何中的 应用
在非欧几里得几何中，高斯定 理也有应用，可以帮助我们研 究曲面的特性和相对性质。
总结与展望
重要性和实际意义
高斯定理在电磁学和其他领域中具有重要的理论和 应用价值，为我们理解自然界和改善生活提供了重 要的工具。
局限性和未来发展方向
高斯定理பைடு நூலகம்然广泛应用，但仍存在一些局限性，未 来需要进一步研究和发展，探索更广阔的应用领域。
高斯定理的概念
数学形式
大学物理-电通量-高斯定理
❖ 一、求场强的思路
高斯定理反映的是电通量与电荷的关系，而不是场强 与电荷的直接联系。要通过电通量计算场强，就需要 在高斯定理表达式中，将场强从积分号中提出来，这 就导致要求电场的分布具有某种特殊的对称性。
几类对称性：
❖ 电场分布轴对称 ❖ 电场分布球对称 ❖ 电场分布面对称
二、 高斯定理的解题步骤：
大学物理
上册
§7. 3 电通量 高斯定理
§7. 3 电通量 高斯定理
7-3-1 电场线及其性质
❖ 标量场： 在空间各点存在着一个标量，它的数值是 空间位置的函数，如温度场、气压场
❖ 矢量场：在空间各点存在着一个矢量，它的值是空 间位置的函数，如流速场、电场、磁场 ▪ 场线：就是一些有方向的曲线，其上每一点的切 线方向都和该点的场矢量方向一致，场线的疏密 反映矢量的大小。
解: 对称性分析 E具有球对称作高斯面——球面
1） rR
电通量
e E1 dS E1 dS E14r2
s1
电量 qi 0
用高斯定理求解
+
+ +
R
+
+
r
E
+ +q
+
+
+
+
+
+++ +
E14r2 0 E1 0
e E 22d ）S E r2 d RS E 2 4 r2
++
+
E
+
s2
S
E d S E 1 d S E 2 d S E n d S
S
S
S
S
0q1 0 q0 2 qn 0
高斯定理反映的是电通量与电荷的关系，而不是场强 与电荷的直接联系。要通过电通量计算场强，就需要 在高斯定理表达式中，将场强从积分号中提出来，这 就导致要求电场的分布具有某种特殊的对称性。
几类对称性：
❖ 电场分布轴对称 ❖ 电场分布球对称 ❖ 电场分布面对称
二、 高斯定理的解题步骤：
大学物理
上册
§7. 3 电通量 高斯定理
§7. 3 电通量 高斯定理
7-3-1 电场线及其性质
❖ 标量场： 在空间各点存在着一个标量，它的数值是 空间位置的函数，如温度场、气压场
❖ 矢量场：在空间各点存在着一个矢量，它的值是空 间位置的函数，如流速场、电场、磁场 ▪ 场线：就是一些有方向的曲线，其上每一点的切 线方向都和该点的场矢量方向一致，场线的疏密 反映矢量的大小。
解: 对称性分析 E具有球对称作高斯面——球面
1） rR
电通量
e E1 dS E1 dS E14r2
s1
电量 qi 0
用高斯定理求解
+
+ +
R
+
+
r
E
+ +q
+
+
+
+
+
+++ +
E14r2 0 E1 0
e E 22d ）S E r2 d RS E 2 4 r2
++
+
E
+
s2
S
E d S E 1 d S E 2 d S E n d S
S
S
S
S
0q1 0 q0 2 qn 0
大学物理高斯定理
第11章 静电场
11-4 高斯定理
2 点电荷在任意形状的高斯面内 通过球面 S 的电场线也必通 过任意曲面S‘ ，即它们的电 通量相等。 为 q / o
S'
S +
q E Φ E d dS e e SS o
第11章 静电场
11-4 高斯定理
3 电荷q在闭合曲面以外
0
dV E d S 若电荷连续分布，则为 e: E d S s V
0
第11章 静电场
11-4 高斯定理
讨论
1 闭合面内、外电荷 对
S
E 都有贡献
对电通量 E dS 的贡献有差别
只有闭合面内的电量对电通量有贡献 2 静电场性质的基本方程
非匀强电场
E
dS
en
Φ dΦ S E dS
第11章 静电场
11-4 高斯定理
讨论
1
dΦ E dS 的正、负取决于面元的法线方向与
电场强度方向的关系
如图所示： 若面元法向相反：
E dS 0
E dS ' 0
E
dS
dS '
第11章 静电场
11-4 高斯定理
11-4 高斯定理
描述电场的两种方法：电力线和电通量。 11.4.1 电场线 1 曲线上各点的切线方向都与该点处的场强方向一致 2 电场线密度
EP
dN E dS
第11章 静电场
EQ
Q
P
dN
dS
11-4 高斯定理
电场线的性质： 电场线起自于正电荷或无穷远，止于负电荷或无穷 远 ，没有电荷处不中断。 对于静电场不可能出现单一绕向的闭合电力线。 两条电场线不会相交，不能相切。
电磁场——高斯定理PPT课件
E和D的分布都与介质有关。但是穿过闭合曲面的D通 量仅与该闭合面所包围的自由电荷有关，而与介质中 的束缚电荷无关。
20
第20页/共44页
点电荷的电场中置入任意一块介质
D 通量只取决于高斯面内 的自由电荷，而高斯面上的 D 是由高斯面内、外的系统 所有电荷共同产生的。
S1 D1 • dS q
(c)无限大平面电荷：包括无限大的均匀带电平面，平板等。
(a)
试问：
(b)
(c)
图3. 平行平面场的高斯面
能否选取底面为方型的封闭柱面为高斯面？
27
第27页/共44页
例1 真空中有两个同心金属球壳，内球壳半径R1，带电q1，外球 壳半径R2，壳厚R2，带电q2，求场中各处电场及电位。
解: ① 分析电荷分布情况 ：
正、负感应电荷分布在 B 的内、外 表面上。
+++-+--+- -+++++++-A+++-+++++-+-+-++---++
4
第4页/共44页
3.导体表面电荷密度 与该处 E表的大小成正比。
在导体外紧靠导体表面的一点 P :
E表
0
P E表
4.孤立带电导体表面电荷分布处在静电 平衡时,在导体表面凸出的尖锐部分电荷 面密度 较大;在比较平坦部分电荷面密 度较小。
有机玻璃 石腊 聚乙烯
1.0 2.3 1.3~4.0 2.6~3.5 2.1 2.3
石英 云母 陶瓷 纯水 树脂 聚苯乙烯
3.3 6.0 5.3~6.5 81 3.3 2.6
20
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点电荷的电场中置入任意一块介质
D 通量只取决于高斯面内 的自由电荷，而高斯面上的 D 是由高斯面内、外的系统 所有电荷共同产生的。
S1 D1 • dS q
(c)无限大平面电荷：包括无限大的均匀带电平面，平板等。
(a)
试问：
(b)
(c)
图3. 平行平面场的高斯面
能否选取底面为方型的封闭柱面为高斯面？
27
第27页/共44页
例1 真空中有两个同心金属球壳，内球壳半径R1，带电q1，外球 壳半径R2，壳厚R2，带电q2，求场中各处电场及电位。
解: ① 分析电荷分布情况 ：
正、负感应电荷分布在 B 的内、外 表面上。
+++-+--+- -+++++++-A+++-+++++-+-+-++---++
4
第4页/共44页
3.导体表面电荷密度 与该处 E表的大小成正比。
在导体外紧靠导体表面的一点 P :
E表
0
P E表
4.孤立带电导体表面电荷分布处在静电 平衡时,在导体表面凸出的尖锐部分电荷 面密度 较大;在比较平坦部分电荷面密 度较小。
有机玻璃 石腊 聚乙烯
1.0 2.3 1.3~4.0 2.6~3.5 2.1 2.3
石英 云母 陶瓷 纯水 树脂 聚苯乙烯
3.3 6.0 5.3~6.5 81 3.3 2.6
大学物理 高斯定理PPT精选文档
与面外电荷无关，也与电荷如何分布无关.但电荷的空间分布
会影响闭合面上各点处的场强大小和方向；
•高斯定理中的电场强度是封闭曲面内和曲面外的电荷共同产
生的，并非只有曲面内的电荷确定；
•当闭合曲面上各点 E =时0，通过闭合曲面的电通量
不一定成立.
反之e , 0
•高斯定理中所说的闭合曲面，通常称为高斯面。
17
高斯定理的应用
例1. 求球面半径为R,带电为q的均匀带电球面的电场的
空间分布。
解： 电场分布也应有球对称性，方向沿径向。
作同心且半径为r的高斯面.
S E d S E 4 r 2
q
0
q
E 4 0 r 2
rR时，高斯面无电荷，
E＝0
++ + + q
+ +
Rr
+ +
+
+
+
+
+++ +
18
高斯定理的应用
2时 , e0 2时 , e0
•闭合曲面:规定取外法线方向 (自内向外) 为正。因此有:
电场线由内向外穿出: e 0,为正 电场线由外向内穿入: e 0,为负
整个闭合曲面的电通量为
en
en
en
E
e=SEdS 9
三、高斯定理
高斯简介
1、内容
静电场中通过一个任意闭合曲面的电通量值等于该
曲面所包围的所有电荷电量的代数和 q i 除以 ε0 ，
包括无限大的均
匀带电平面，平
板等。
15
步骤：
1.进行对称性分析，即由电荷分布的对称性，分 析场强分布的对称性，判断能否用高斯定理来求 电场强度的分布（常见的对称性有球对称性、轴 对称性、面对称性等）； 2.根据场强分布的特点，作适当的高斯面，要求：
2.大学物理-高斯定理
q1 q2
曲面上各点处电场强度: 曲面上各点处电场强度:
E = E1 + E2 + + En
S
所有电荷的贡献. 包括 S 内,S 外,所有电荷的贡献. 穿过 S 的电通量: 的电通量:
φe = ∫ E dS = ∫ E1 dS + ∫ E2 dS + + ∫ En dS
s
= φe1 + φe 2 + + φen =
r
ρ 均匀 r′ R oρ ρ 非均匀
S
dV = 4πr dr
2
r ≥ R: r ≤ R:
∑ q内 = ∫ ρ( r ) dV = q
0
R
∑ q内 = ∫ ρ( r ) dV = qr
0
r
ρ 均匀 ≠ ρ V ρ 非均匀 = ρ V ρ 均匀
= ρ V
≠ ρ Vr ρ 非均匀
r
[例二] 例二]
n = en
(各面元一致) 各面元一致)
开放面:双向,任指定一向为正. 开放面:双向,任指定一向为正. 封闭面:单向,已规定向外为正. 封闭面:单向,已规定向外为正. 向外为正
2.概念 流量为例 2.概念 以流量为例 面元的流量 (1)通过面元的流量: )通过面元的流量:
vdt
hθ
dS⊥ dS vn
λr E= 2πε0 R2
R
λL 2
讨论: 讨论:
1. 无限长均匀带电柱面的电场分布 对称性分析: 对称性分析:视 为无限长均匀带 电直线的集合; 电直线的集合; 选高斯面; 选高斯面;同轴 圆柱面
R
λ
o o
r
r
P
dE
由高斯定理计算
曲面上各点处电场强度: 曲面上各点处电场强度:
E = E1 + E2 + + En
S
所有电荷的贡献. 包括 S 内,S 外,所有电荷的贡献. 穿过 S 的电通量: 的电通量:
φe = ∫ E dS = ∫ E1 dS + ∫ E2 dS + + ∫ En dS
s
= φe1 + φe 2 + + φen =
r
ρ 均匀 r′ R oρ ρ 非均匀
S
dV = 4πr dr
2
r ≥ R: r ≤ R:
∑ q内 = ∫ ρ( r ) dV = q
0
R
∑ q内 = ∫ ρ( r ) dV = qr
0
r
ρ 均匀 ≠ ρ V ρ 非均匀 = ρ V ρ 均匀
= ρ V
≠ ρ Vr ρ 非均匀
r
[例二] 例二]
n = en
(各面元一致) 各面元一致)
开放面:双向,任指定一向为正. 开放面:双向,任指定一向为正. 封闭面:单向,已规定向外为正. 封闭面:单向,已规定向外为正. 向外为正
2.概念 流量为例 2.概念 以流量为例 面元的流量 (1)通过面元的流量: )通过面元的流量:
vdt
hθ
dS⊥ dS vn
λr E= 2πε0 R2
R
λL 2
讨论: 讨论:
1. 无限长均匀带电柱面的电场分布 对称性分析: 对称性分析:视 为无限长均匀带 电直线的集合; 电直线的集合; 选高斯面; 选高斯面;同轴 圆柱面
R
λ
o o
r
r
P
dE
由高斯定理计算
大学物理高斯定理课件
复分析
在复分析中，高斯定理可以用于研究复函数的积分和全纯函数的空间性质。
THANKS
感谢观看
微分情势和积分公式
高斯定理的推导过程中需要用到微分 情势和积分公式，这些是微分几何的 重要概念和工具。
03
高斯定理的证明
证明的思路
01
引入高斯定理的背 景和意义
阐述高斯定理在电场和磁场中的 重要性，说明证明高斯定理的必 要性。
02
确定证明方法
03
构建证明框架
介绍使用微积分和向量场的方法 来证明高斯定理，说明其公道性 和可行性。
01
多重积分情势
高斯定理可以通过多重积分的情势进行 推广，以处理更复杂的几何形状和场散 布。
02
03
广义高斯定理
广义高斯定理将高斯定理的应用范围 扩大到非保守场，例如电磁场和引力 场。
高斯定理在其他物理领域的应用
01
02
03
电动力学
高斯定理在电动力学中用 于计算电场和电荷散布的 关系，以及电磁波的传播 。
相对论物理
在相对论物理中，高斯定 理可以应用于计算引力场 的能量密度和压力。
粒子物理学
在粒子物理学中，高斯定 理可以用于计算粒子在强 磁场中的运动轨迹和能量 。
高斯定理在其他数学领域的应用
微积分学
高斯定理是微积分学中的重要概念，可以用于 解决一系列积分问题。
实分析
实分析中，高斯定理可用于研究函数的积分性 质和可积性。
04
高斯定理的应用实例
电场中的应用
计算电场散布
高斯定理可以用来计算给定电荷散布 的电场散布，特别是在处理点电荷、 均匀带电球体等简单电荷散布时，高 斯定理提供了简洁的解决方案。
大学物理高斯定理PPT课件
q1 ε0
E dS
S
qk ε0
S Ei dS 0 0
E dS
i(内) S
i (外)
qk 1
E dS
S
1
ε0
Φe
qi (内)
E dS
1
S
ε0
qi (内)
q1
qi q2
dS E
qi(内) 是指面内电荷代数和。
qn
第21页/共44页
Φe
E dS
1
S
0
n
qi内
i 1
规定：
1）曲线上每一点的切线方向表示该点场强的方向； 2）通过垂直于电场方向单位面积的电场线条数等
于该点电场强度的大小。 E dN / dS
ddSS⊥
E
E
电场线稀疏的地方场强小，电场线密集的地方场强大。
第5页/共44页
电场线的特性
1） 电场线起始于正电荷(或无穷远处)， 终止于负电荷，不会在没有电荷处中断；
1）点电荷位于球面 S 中心
Φe SE dS SEdS cos0
q E 4πε0r 2
E dS
E SdS
q 4πε0r 2
SdS
q 4πr 2 q
4πε0r 2
ε0
q
+ r
S
结果与球面半径无关，即以点电荷q 为中心的任一球 面，不论半径大小如何，通过球面的电通量都相等。
第18页/共44页
求：平面附近某点的电场强度。
解： 具有面对称性，作闭合圆柱面为高斯面。
Φe
E dS
S
1
0
n
qi
i 1
qk 1
q1 qi
q2 qn
E dS
S
qk ε0
S Ei dS 0 0
E dS
i(内) S
i (外)
qk 1
E dS
S
1
ε0
Φe
qi (内)
E dS
1
S
ε0
qi (内)
q1
qi q2
dS E
qi(内) 是指面内电荷代数和。
qn
第21页/共44页
Φe
E dS
1
S
0
n
qi内
i 1
规定：
1）曲线上每一点的切线方向表示该点场强的方向； 2）通过垂直于电场方向单位面积的电场线条数等
于该点电场强度的大小。 E dN / dS
ddSS⊥
E
E
电场线稀疏的地方场强小，电场线密集的地方场强大。
第5页/共44页
电场线的特性
1） 电场线起始于正电荷(或无穷远处)， 终止于负电荷，不会在没有电荷处中断；
1）点电荷位于球面 S 中心
Φe SE dS SEdS cos0
q E 4πε0r 2
E dS
E SdS
q 4πε0r 2
SdS
q 4πr 2 q
4πε0r 2
ε0
q
+ r
S
结果与球面半径无关，即以点电荷q 为中心的任一球 面，不论半径大小如何，通过球面的电通量都相等。
第18页/共44页
求：平面附近某点的电场强度。
解： 具有面对称性，作闭合圆柱面为高斯面。
Φe
E dS
S
1
0
n
qi
i 1
qk 1
q1 qi
q2 qn
大学物理马文蔚高斯定理课件
e ES
2. 均匀电场中，S 为平面但与 E 不垂直：
e ES ES cos
引入面积矢量，记：
S
EnS
Snˆ
S
E
S
则有： e E S ES cos
3分. 对割非曲均面匀，场取,小S面为元曲d面S ：dSnˆ
n
dS
dSnˆ
于是有：
EdS cos EndS
对整个曲面：
对一闭合曲面：
为了形象地描绘电场，用一系列有向
Q
曲线描述电场强度的大小和方向。 P
1. 规定： 在电场中作一系列有向曲线，要求: (1) 曲线上每一点的切线方向应与电场方向一致；
(2) 通过某点垂直于电场的单位面积的电场线的条 数等于该处电场强度的大小，即 E = △N/△S。
这样作的一系列有向曲线叫电场线。 电场线的疏密可表示场强的大小。 电场是客观存在的，而电场线并不是客观存在的。
E
2 0
两板之间E+与E-同方向
E E E 0
E
E
E
E
E
E
两板之外 E+ 与 E- 反方向
E E E 0
若两板带同种电荷，则
两板之间： E 0
两板之外： E
0
E1
E1
E2
E1
E2
E2
1
2
求无限长均匀带电圆柱体的场强分布，已知圆柱体半
径为R，单位长度电荷量为
此例可先通过单位长度电荷量去求体电荷密度：
为有源场。 “源”即电荷。
(5) 高斯定理比库仑定律更广泛，适用于任何电 场，是电磁场理论的基本方程之一。
(6)对于均匀、对称的电场，可用之求电场强度。
大学物理高斯定理幻灯片
B
管内的磁场是均匀的， a b
管外的磁场为 0 ；
取闭 合环路 abcda,
B L
d
0
Ii
dc
Lin
Bd ( )Bd Bd Bab
L
ab bc cd da
ab
0 Ii 0n ab I
Bd B 2r
L
0
Lin
Ii
0
I R 2
r 2
0I R 2
r
B
0I 2R 2
r
(3)说明
RHR
B
0I
2R
Br
直接用 分布 o
I
Ir R
L
B1 r
R
r
3、载流螺线管 (a solenoid with current)
(1)条件: 单层、密绕， 忽略边缘效应
第三节
磁高斯定理、 安培环路定理
Gauss’ Theorem & Ampere Circuital Theorem
14-3-1 磁通
(Magnetic Flux)
量1. 叠加原理
(1)磁场的源-------运动的电荷或电流
(2)叠加原理
B Bi
2. 磁感应线（ B 线）
在磁场中画出一簇曲
0 Ii 0NI
Lin
B
0 NI 2R
0nI
(3)说明
RHR 直接用
5、无限大平面电流 ( a flat stip with current) (1) Condition:
大学物理 高斯定理ppt课件
由电场线的连续性可知穿过s的电场线都穿过同心球故两者的电通量相等均为结论说明单个点电荷包围在任意闭合曲面内时穿过该闭曲面的电通量与该点电荷在闭曲面内的位置无关
大学物理学电子教案
静电场的性质与计算 6-3 电场线 高斯定理
6-3 电场线 高斯定理
一、电场线
1、定义
在电场中画一组带箭头的曲线, 这些曲线与电场强度 E 之间具有
en
e
1、内容
静电场中通过一个任意闭合曲面的电通量值等于该
曲面所包围的所有电荷电量的代数和 q i 除以 ε0 ，
与闭曲面外的电荷无关．
数学表达式: e SE dS 10 i qi
2、静电场高斯定理的验证 ①包围点电荷的同心球面S的电通量都等于 q ε 0 ②包围点电荷的任意闭合曲面S的电通量都等于q ε 0
2、电通量的正负
•非闭合曲面: 电通量的结果可正可负，完全取决于
面元 与d S 间的E 夹角 :
2时 , e 0 2时 , e 0
•闭合曲面:规定取外法线方向 (自内向外) 为正。因此有:
电场线由内向外穿出: e 0,为正 电场线由外向内穿入: e 0,为负
整个闭合曲面的电通量为
en
高斯定理的应用
例1. 求球面半径为R,带电为q的均匀带电球面的电场的
空间分布。
解： 电场分布也应有球对称性，方向沿径向。
作同心且半径为r的高斯面.
S E d S E 4 r 2
q
0
q
E 40 r2
rR时，高斯面无电荷，
E＝0
++ +
+ +
Rr
+
+
+++
大学物理学电子教案
静电场的性质与计算 6-3 电场线 高斯定理
6-3 电场线 高斯定理
一、电场线
1、定义
在电场中画一组带箭头的曲线, 这些曲线与电场强度 E 之间具有
en
e
1、内容
静电场中通过一个任意闭合曲面的电通量值等于该
曲面所包围的所有电荷电量的代数和 q i 除以 ε0 ，
与闭曲面外的电荷无关．
数学表达式: e SE dS 10 i qi
2、静电场高斯定理的验证 ①包围点电荷的同心球面S的电通量都等于 q ε 0 ②包围点电荷的任意闭合曲面S的电通量都等于q ε 0
2、电通量的正负
•非闭合曲面: 电通量的结果可正可负，完全取决于
面元 与d S 间的E 夹角 :
2时 , e 0 2时 , e 0
•闭合曲面:规定取外法线方向 (自内向外) 为正。因此有:
电场线由内向外穿出: e 0,为正 电场线由外向内穿入: e 0,为负
整个闭合曲面的电通量为
en
高斯定理的应用
例1. 求球面半径为R,带电为q的均匀带电球面的电场的
空间分布。
解： 电场分布也应有球对称性，方向沿径向。
作同心且半径为r的高斯面.
S E d S E 4 r 2
q
0
q
E 40 r2
rR时，高斯面无电荷，
E＝0
++ +
+ +
Rr
+
+
+++
大学物理5-4 电通量 高斯定理
求 电场强度分布。 解 电场强度垂直带电平面, 选取 垂直带电面的圆柱形高斯面 S e E dS E dS E dS E dS
侧 左底 右底
0
左底
E dS E dS
右底
0 E1S E2 S
• q 在球心处，球面电通量为
dS
e E dS EdS E dS
S
S
S
q 4 π 0r
2
4π r
2
q
q
r
0
穿过球面的电力线条数为 q/ 0
• q 在任意闭合面内，电通量为 • q 在闭合面外，电通量为
e q / 0
e 0
穿出、穿入闭合面电力线条数相等
5.4 电通量
一、电力线（电场线） E
dN
高斯定理
场强方向沿电力线切线方 向，场强大小取决于电力 线的疏密
+
-
dS
dN E dS
• 电力线起始于正电荷
（或无穷远处），终止 于负电荷（或无穷远 处）。 • 电力线不相交。
二、电通量
穿过任意曲面的电力线条 数称为通过该面的电通量 1. dS 面元的电通量
E 由所有电荷决定，但 e EdS 与外部电荷无关,只
取决于内部电荷。
0
q1
0
q2
0
q3
1
0
q内
静电场高斯定理
1 e E dS
S
0
q内
真空中的任何静电场中，穿过任一闭合曲面的电通量，等
于该曲面所包围的电荷电量的代数和乘以 1 0
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1
ε0
Φ e
qi (内)
E dS 1
S
ε0
qi(内 )
q1
qi q2
dS E
qi(内) 是指面内电荷代数和。
qn
1 n
高斯定理说明：
Φe
EdS
S
0
qi内
i1
静电场是有源场。
qi 0 Φ e0
表明：电力线从正电荷发出，穿出闭合曲面， 所以正电荷是静电场的源头。
qi 0 Φ e0
的Φ
有贡献
e
？
高斯定理可用库仑定律和场强叠加原理导出。
高斯定理的导出
q
1）点电荷位于球面 S中心
E 4πε0r 2
Φ e S E d S S E dc S 0 o s
r
r dS
E
E SdS4πqε0r2 SdS
4πqε0r2
4πr2
q ε0
q
+ r
S
结果与球面半径无关，即以点电荷q 为中心的任一球 面，不论半径大小如何，通过球面的电通量都相等。
y
n
Φe右Φe下 Φ e前Φ e后 Φ e下
sE dS 0
n
z
o
n
E
x
Φ e 左 s 左 E d S E 左 c S π o E s 左 S
Φ e 右 s 右 E d S E 右 c S o E s 左 S
Φ e Φ e 前 Φ e 后 Φ e 左 Φ e 右 Φ e 下 0
Φe
EdS
S
为通过 S 面的电通量。
dS 有两个法线方向，dφ 可正可负。
S为封闭曲面
规定：闭合面上各面元的
E
dS1
外法线方向为正向。
d Φ e E d S Ecd θ oss
Φ 通e 过闭S E 合d 曲S 面 的S 电E 通c 量为o d ：S s dS2
E2
2
1 E1
θ1
1855年2月23日在格丁根逝世。
高斯长期从事于数学并将数学应用于物理学、 天文学和大地测量学等领域的研究，主要成就：
(1) 物理学和地磁学：关于静电学、温差电和摩擦 电的研究、利用绝对单位（长度、质量和时间）法则量 度非力学量以及地磁分布的理论研究。
(2) 光学 ：利用几何学知识研究光学系统近轴光线 行为和成像，建立高斯光学。
表明：有电力线穿入闭合曲面而终止于负电荷，
所以负电荷是静电场的尾。
d Φ 1 E 1d S 1 0
d Φ 2 E 2d S 2 0
q
dΦ 1dΦ 20
Φ e
EdS0
S"
E2
dS2
dS1 E1
4）在点电荷系的电场中，通过任意闭合曲面的电通量
E E i E 1 E k E k 1 E n
i
面内电荷产生
面外电荷产生
Φeqε01S EdSqε0k S0 Eid0Si(内 )q kS E 1 dSi(外 ) S EdS
大学一年级（19岁）时就解决了几何难题： 用直尺与圆规作正十七边形图。1799年以论文 《所有单变数的有理函数都可以解成一次或二次 的因式这一定理的新证明》获得博土学位。
1807年起任格丁根大学数学教授和天文台台 长，一直到逝世。1838年因提出地球表面任一点 磁势均可以表示为一个无穷级数，并进行了计算 ，从而获得英国皇家学会颁发的科普利奖章。
(3) 天文学和大地测量学中：如小行星轨道的计算， 地球大小和形状的理论研究等。
(4) 试验数据处理：结合试验数据的测算，发展了 概率统计理论和误差理论，发明了最小二乘法，引入高 斯误差曲线。
(5) 高斯还创立了电磁量的绝对单位制。
一、电通量
1、电场线 ( Electric Field Line ) （电场的几何描述） 规定：
7.3 高斯定理
高斯（Carl Friedrich Gauss，1777～1855）
德国数学家、天文学 家、物理学家
高斯在数学上的建树颇
丰，有 “数学王子” 美称。
1777年4月30日生于布伦 瑞克。童年时就聪颖非凡， 10岁发现等差数列公式而 令教师惊叹。
因家境贫寒，父亲靠短工为生，在一位贵族资 助下与1795～1798年入格丁根大学学习。
定义：通过电场中某一 曲面的电场线数，叫做 通过这个面的电通量。
均匀电场 ，E垂直平面 S
Φe ES
均匀电场 ，E与平面夹角
E
S
n
Φe ESES coθs
ES，
S=Sn
S θ
E
非均匀电场，S 为任意曲面（不闭合的）
dS dSn 为面元矢量
dΦ eEdS
Φe dΦe
EdS
n
E
S E cos dS
2）点电荷在任意闭合曲面 S ' 内
S ' 和 S包围同一个点电荷。由于电场线的连续性，
通过两个闭合曲面的电场线的数目是相等的，所以
通过 S '的电通量：
Φ'e SE 'dSΦeεq0
即：通过任一个包围点 电荷的闭合曲面的电通 量与曲面无关，结果都
等于 q ε0
R
q
S S'
3）点电荷在闭合曲面之外
电场线的这些性质是由静电场的基本性质 和场的单值性决定的。可用静电场的基本性质 方程加以证明。
点电荷的电场线
正点电荷
负点电荷
+
一对等量异号点电荷的电场线
+
一对等量正点电荷的电场线
+
+
一对不等量异号点电荷的电场线
2q
q
带电平行板电容器的电场线 ++++++++++++
2、电场强度通量（Electric Flux）
1）曲线上每一点的切线方向表示该点场强的方向； 2）通过垂直于电场方向单位面积的电场线条数等
于该点电场强度的大小。 EdN /dS
ddSS ⊥
E
E
电场线稀疏的地方场强小，电场线密集的地方场强大。
电场线的特性
1） 电场线起始于正电荷(或无穷远处)， 终止于负电荷，不会在没有电荷处中断；
2） 电场线不相交。 3） 静电场电场线不闭合。
二、静电场中的高斯定理（Gauss’ Law）
1、高斯定理
在真空中的静电场内，通过任一闭合曲面的电
场强度通量，等于该曲面所包围的所有电荷的代数
和除以 ε 0
。
Φe
SE dS10
n
qi内
i1
（与面外电荷无关，闭合曲面称为高斯面） 请思考：1）高斯面上的 E与那些电荷有关 ？
s 2）哪些电荷对闭合曲面
π, 2
dΦe 10
电场线穿出闭合面为正通量，
θ2
π, 2
dΦe 20
电场线穿入闭合面为负通量。
Φ e 表示穿出与穿入闭合曲面的电场线的条数
之差，也就是净穿出闭合曲面的电场线的总条数。
例：一个三棱柱体处在电场强度 E 2i 0 N C 0 1的
匀强电场中。求：通过此三棱柱体表面的电通量。
解： Φe Φe前Φe后Φe左