(完整word版)高数定义

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高数定义

格林公式：设闭区域D由分段光滑曲线L围成，若函数P（x，y）及Q（x，y）在D上具有一阶连续偏导数，则有，其中L是D的取正向的边界曲线，公式叫做格林公式下册P205介值定理：设函数f（x）在闭区间【a，b】上连续，且在这区间的端点取不同的函数值f（a）=A及f（b）=B，则对于A和B之间的任意一个数C，再开区间（a，b）内至少有一点，使得f（）= 上册P68全微分的定义：设函数z=f（x，y）在点（x，y）的某邻域内有定义，如果函数在点（x，y）的全增量可表示为其中A和B不依赖于和而仅与x 和y有关，，那么称函数z=f（x，y）在点（x，y）可微分，而称为函数z=f（x，y）在点（x，y）的全微分，记作dz，即下册P72*莱布尼兹定理：若函数f(x）在[a,b]上连续,且存在原函数F(x）,则f(x）在[a,b]上可积,且b（上限）∫a（下限）f(x)dx=F(b)-F(a) 这即为牛顿—莱布尼茨公式.多元函数的最值定理：若函数，在无界闭集 D Rn z元c上连续，当动点P∈D无限远离原点时，且P趋于正无穷或负无穷。

则在D上必能取得最小值(最大值)二重极限的定义：设二元函数f(P)=f(x，y)的定义域为D，P0(x0，y0)是D的点集．如果存在常数A，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当点P(x，y)∈D∩U(P0，δ)时，都有 |f(P)-A|=|f(x,y)-A|＜ε成立，那么就称常数A为函数f(x，y)当(x，y)→(x0，y0)时的极限．二元函数的连续：已知定义在区间A上的函数f(x)，如果对于任意给定的正数ε>0，存在一个实数ξ>0 使得对任意A上的x1,x2且x1,x2满足|x1-x2|<ζ时，有|f(x1)-f(x2)|<ε。

一致连续性表示,无论在连续区间的任何部分,只要自变量的两个数值接近到一定程度(ζ),就可使对应的函数值达到所指定的接近程度(ε) 这个接近程度ε不随自变量x的位置而变. 还有个定理：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,那么它在该区间上一致连续。

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邻域：设a 和δ是两个实数，且0δ>，满足不等式x a δ-<的实数x 的全体称为a 的δ邻域。

绝对值：数轴上的点a 到原点的距离称为a 的绝对值，记为a 。

正间：即正区间数轴：规定了原点、正方向和长度的直线称为数轴。

实数：实数由有理数和无理数组成。

有理数包括整数和分数。

函数：设x 和y 是两个变量，若当变量x 在其变动区域D 内取任一数值时，变量y 依照某一法则f 总有一个确定的数值与x 值对应，则称变量y 为变量x 的函数，记作()y f x =。

奇函数：设函数()y f x =在关于原点对称的集合D 上有定义，如果对任意的x D ∈，恒有()()f x f x -=-，则称函数()f x 为奇函数。

偶函数：设函数()y f x =在关于原点对称的集合D 上有定义，如果对任意的x D ∈，恒有()()f x f x -=，则称函数()f x 为偶函数。

定义域：在函数的定义中，自变量x 的变动区域，称为函数的定义域。

值域：在函数的定义中，y 的取值的集合称为函数的值域。

初等函数：由基本初等函数经过有限次的四则运算或复合运算而得到的函数称为初等函数。

三角函数：正弦函数，余弦函数，正切函数，余切函数，正割函数，余割函数合称三角函数。

指数函数：函数xy a =(0,1)a a >≠，称为指数函数。

复合函数：设y 是u的函数()y f u =，u是x 的函数()u x φ=，如果()u x φ=的值哉包含在()y f u =的定义域中，则y 通过u 构成x 的函数，记作()()y f x φ=，这种函数称为复合函数，其中u 称为中间变量。

对数函数：函数log a y x=(0,1)a a >≠，称为对数函数。

反函数：设设y 是x 的函数()y f x =，其值域为G ，如果对于G 中的第一个y 值，都有有一个确定的且满足()y f x =的x值与它对应，则得到一个定义在G 上的以y 为自变量，x 为因变量的新函数，称它为()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，并称()y f x =为直接函数。

高等数学基本概念(完全版)

命题人或命题小组负责人签名：系（部）主任签名：分院领导签名：………………………………………………………………密封线……………………………………………………………§1.1 函数一、有关四种性质(奇偶性、单调性、周期性、有界性) 1.0 () (0)()2() ()aaaf x a f x dx f x dx f x ->⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰当为奇函数当为偶函数口诀(1)：奇偶函数常遇到；对称性质不可忘。

2. 在(a,b )内，若()0f x '>，则()f x 单调增加若()0f x '<，则()f x 单调减少口诀(2)：单调增加与减少；先算导数正与负例1 求1521[()ln(1)].x x I x x e e x x dx --=+-++⎰解 1()xxf x e e -=-是奇函数，∵2112()(),()ln(1)xxf x ee f x f x x x --=-=-=++是奇函数，∵ 22222(1)()ln(1)ln1x x f x x x x x +--=-+-=++22ln1ln(1)()x x f x =-++=-因此2()ln(1)xxx e e x x --++是奇函数。

于是116612027I x dx x dx -=+==⎰⎰。

例2 设()()F x f x '=，则下列结论正确的是(A)若()f x 为奇函数，则()F x 为偶函数。

(B)若()f x 为偶函数，则()F x 为奇函数。

(C)若()f x 为周期函数，则()F x 为周期函数。

(D)若()f x 为单调函数，则()F x 为单调函数。

解 (B)不成立，反例32(),()13xf x x F x ==+ (C)不成立，反例()cos 1,()sin f x x F x x x =+=+(D)不成立，反例2()2,()(,)f x x F x x ==-∞+∞在内(A)成立。

高等数学(电子版)

高等数学（电子版）第一章函数与极限1.1 函数的概念函数是数学中最基本的概念之一，它描述了两个变量之间的依赖关系。

在高等数学中，我们主要研究实数集上的函数，即定义域和值域都是实数集的函数。

1.2 函数的性质函数具有许多重要的性质，如单调性、奇偶性、周期性等。

这些性质有助于我们更好地理解和分析函数的行为。

1.3 极限的概念极限是研究函数在某一点附近行为的一种方法。

当我们讨论一个函数的极限时，我们关注的是当自变量趋近于某个特定值时，函数值的变化趋势。

1.4 极限的运算法则极限运算法则是指对于一些基本函数的极限，我们可以通过简单的运算得到它们的极限。

这些运算法则包括极限的四则运算、复合函数的极限、数列的极限等。

1.5 无穷小与无穷大无穷小与无穷大是描述函数极限的两种特殊情况。

无穷小是指当自变量趋近于某个特定值时，函数值趋近于0；无穷大是指当自变量趋近于某个特定值时，函数值趋近于正无穷大或负无穷大。

1.6 连续性与间断点连续性是函数的一个重要性质，它描述了函数在某一点附近的行为。

如果一个函数在某个点连续，那么它在该点附近的极限存在且等于该点的函数值。

间断点是函数不连续的点，它们在函数图像上表现为跳跃或断开。

第二章导数与微分2.1 导数的概念导数是描述函数在某一点附近变化率的一种方法。

它表示了函数在该点的斜率，即函数图像在该点的切线斜率。

2.2 导数的运算法则导数运算法则是指对于一些基本函数的导数，我们可以通过简单的运算得到它们的导数。

这些运算法则包括导数的四则运算、复合函数的导数、幂函数的导数等。

2.3 高阶导数高阶导数是指函数的导数的导数。

它们描述了函数在某一点附近更复杂的变化率。

高阶导数在研究函数的凹凸性、拐点等方面具有重要意义。

2.4 微分的概念微分是导数的一种应用，它描述了函数在某一点附近的微小变化。

微分运算可以用来求解一些实际问题，如曲线的切线问题、最值问题等。

2.5 微分的应用微分在物理学、工程学等领域有广泛的应用。

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目录一、函数与极限 (2)1、集合的概念 (2)2、常量与变量 (3)2、函数 (4)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (5)5、复合函数 (6)6、初等函数 (6)7、双曲函数及反双曲函数 (7)8、数列的极限 (8)9、函数的极限 (9)10、函数极限的运算规则 (11)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。

集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。

比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。

我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。

如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。

⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。

记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。

记作N+或N+。

⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。

记作Z。

⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。

记作Q。

⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。

记作R。

集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。

集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。

⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。

⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。

⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。

记作，并规定，空集是任何集合的子集。

⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。

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（完整版）⾼等数学课程描述.doc《⾼等数学》课程描述⾼等数学是⼯科类职业教育中的⼀门必修的重要基础课，为学习后继课程( 如：⼯程数学等 ) 和进⼀步获得数学知识奠定必要的数学基础。

通过教学，⼀⽅⾯使学⽣掌握微积分、常微分⽅程等基本知识，能熟练地运⽤其分析计算⽅法处理⼀些实际问题；另⼀⽅⾯通过各个教学环节，培养学⽣的抽象概括能⼒、逻辑思维能⼒、运算能⼒、⾃学能⼒及综合运⽤所学知识分析问题与解决问题的能⼒。

鉴于⼯科类职业技术教育的特点，教学中应以分析和运算⽅法的掌握为重点，并注重与各专业的实际应⽤结合起来，同时对基本理论应择重有所了解。

使学⽣具备专业要求的数学基础，⼜便于提⾼进⼀步学习数学知识及应⽤数学知识解决实际问题的能⼒⼀、教学内容本课程要求学⽣通过学习获得：1) ⼀元函数微积分学；2) 向量代数和空间解析⼏何；3) 多元函数微积分学；4) ⽆穷级数； 5) 常微分⽅程等⽅⾯的基本概念、基本理论和⽐较熟练的运算能⼒以及综合运⽤所学知识去分析问题和解决实际问题的能⼒。

本课程具有抽象性与科学性、较强的逻辑性及应⽤的⼴泛性的特点。

第⼀章：函数、极限与连续函数主要内容：1．函数的概念( 定义、表⽰法) ，函数的⼏种特性，反函数，复合函数，初等函数。

2.数列极限的概念，函数极限的概念 (x → xo 与 x→∞时函数的极限 ) ，函数极限与⽆穷⼩的关系，⽆穷⼩性质，极限四则运算法则，两个极限存在准则：夹逼准则和单调有界准则，两个重要极限的结果： lim sin x =1，lim(1 1 )x=e，⽆穷⼩量的⽐较。

x 0 x x x3.连续函数的概念，函数的间断点，连续函数的四则运算，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质( 叙述 ) 。

教学时数12 课时第⼆章：导数与微分主要内容：1．导数的概念( 定义、⼏何意义、⼏何应⽤) ，函数可导性与连续性之间的关系，函数的和、差、积、商的导数，复合函数与反函数的导数，基本初等函数的导数公式，初等函数的求导问题，⾼阶导数，隐函数求导法, 对数求导法。

【高等代数定义、定理汇集】多项式部分 Word2007

【高等代数定义、定理汇集】多项式部分【定义】数域设P是由一些复数组成的集合。

若P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍然是P中的数，则P称为一个数域。

【定义】一元多项式设n是一个非负整数。

形式表达式，其中全属于数域P，则该形式表达式称为系数在P中的一元多项式，记作、等。

●所有系数在P中的一元多项式的全体，称为P上的一元多项式环，记作P[x]。

●多项式f的次数（最高幂次）记作。

【定义】带余除法对于P[x]中任意两个多项式f和g （g不等于0），一定有P[x]中的一个多项式q和r，使得f = q·g + r，其中，或者r = 0。

其中q是唯一的。

【定义】整除数域P上的多项式称为整除，若存在数域P上的多项式h使得。

记为。

●若，则g称为f的因式，f称为g的倍式。

〖定理〗整除判别法非零多项式的充要条件是g除f的余项等于0。

●若，，……，，则，其中是任意多项式。

通常称为多项式、、...、的一个组合。

【定义】公因式若既是的因式，又是的因式，则称为f和g的公因式。

【定义】最大公因式P[x]中的多项式若满足以下条件，则称d为f、g的一个最大公因式：1、d是f、g的公因式。

2、f、g的公因式全都是d的因式。

〖定理〗最大公因式组合定理P[x]中的任意两个多项式f和g，必然存在一个最大公因式，且有。

●俩多项式具有相同的最大公因式（仅差一个常数倍）。

●首系数为1的那个最大公因式，记作。

【定义】互素若两个多项式f和g，，则称f和g互素（互质）。

〖定理〗互素充要条件f和g互素的充要条件是存在多项式u和v，使得。

〖定理〗互素多项式整除分解定理若，且，则。

●若，，且，则。

【定义】不可约多项式数域P上的次数大于等于1的多项式，若不能表示成P上的次数较低的两个多项式的乘积，则称为不可约多项式。

●多项式是否可约，取决于所属系数域。

〖定理〗不可约定理对于不可约多项式p，以及两个任意多项式f和g，如果，则或者。

〖定理〗因式分解唯一定理P上次数大于等于1的多项式，可以唯一地分解成P上一组不可约多项式的乘积。

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高等数学(上)知识点高等数学上册知识点」、函数与极限(一)函数1、函数定义及性质(有界性、单调性、奇偶性、周期性)；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：幕函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数；4、函数的连续性与间断点；函数f(x)在X o 连续二------- :二lim f(x) f(x°)X x o'第一类：左右极限均存在.间断点｛可去间断点、跳跃间断点.第二类：左右极限、至少有一个不存在.无穷间断点、振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论.(二)极限1、定义1)数列极限lim x^ a 0, N , n N, x n an2)函数极限lim f (x) A 0, 0, x,当0 x x0时，f (x) Ax X。

高等数学(上)知识点左极限：f(x°) lim f(x)x X o 右极限：f(X o) lim f(x)X X olim f (x) A 存在 f (x0) f (x0)x X o2、极限存在准则1)夹逼准则：1)y nX n Z n ( n n° )=2)lim y n lim z n a7 n n lim x n a n2)单调有界准则：单调有界数列必有极限.3、无穷小(大)量1)定义：若li m 0则称为无穷小量；若li m则称为无穷大量2)无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k阶无穷小Th10();Th2,lim 一存在，则lim— lim 一(无穷小代换)4、求极限的方法1)单调有界准则；2)夹逼准则；3)极限运算准则及函数连续性；4)两个重要极限：「sin x 彳a) X im。

丁1b)5)无穷小代换：(x 0)a) x ~ sin x ~ tan x 〜arcsinx 〜arctanx 1lim (1 x)X x 0 lim (1 -)x ex高等数学（上）知识点1 2b) 1 cosx 〜 -X2c) e x 1〜x（ a x 1〜xlna )d) ln(1x)〜Xx(lOg a (1X )〜) In ae) (1 X)〜 X导数与微分（一）导数函数f （x ）在X o 点可导 f （X o ） f （X o ）2、几何意义：f （xo）为曲线y f （x ）在点x o,f （xo）处的切线的斜率.3、可导与连续的关系：4、求导的方法1）导数定义； 2）基本公式； 3）四则运算；4）复合函数求导（链式法则）； 5）隐函数求导数； 6）参数方程求导；1、定义：f （x o ）limX f(x) f(X 。

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高中数学概念汇总一．集合的概念：1.集合的表示法：(1）列举法：如 {1,2，3,4，5｝; (2)描述法：如｛x|x≤2}；2.集合间的关系：(1）子集：A中的任何一个元素都是集合B中的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记为A⊆B;任何一个集合是它本身的子集，空集是任何一个集合的子集。

（2）真子集 :如果A是B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集,记为BA≠⊂。

空集是任何一个非空集合的真子集.（3）两个集合相等：对于两个集合A与B,如果A⊆B,同时AB⊆，那么就说这两个集合相等，记作A=B.3.集合的运算：（1)交集：=BA ｛x｜,Ax∈且Bx∈}；（2）并集：BA =｛x|Ax∈或Bx∈｝；（3）补集:若全集为U,则集合A的补集为ACU =｛x|Ux∈但Ax∉}.4。

当集合用描述法表示时，注意弄清元素表示的意义是什么。

5.集合中元素的三大属性;（1）元素的确定性；（2）元素的无序性;（3)元素的互异性。

对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足元素的互异性。

6.常用数集的记号:自然数集N;整数集Z；有理数集Q;实数集R;复数集C。

空集φ。

二．命题1.四种命题形式：如果一命题条件为A，结论为B，那么该命题的原命题形式是：若A成立，则B成立（即A⇒B）;它的逆命题形式是：若B成立，则A成立（即B⇒A)；它的否命题形式是:若A不成立，则B不成立（即BA⇒)；它的逆否命题形式是：若B不成立，则A不成立(即AB⇒）。

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导数与极限（一）极限 1. 概念（1）自变量趋向于有限值的函数极限定义（δε-定义） Ax f ax =→)(lim ⇔0>∀ε，0>∃δ，当δ<-<||0a x 时，有ε<-|)(|A x f 。

（2）单侧极限左极限： =-)0(a f Ax f a x =-→)(lim ⇔0>∀ε，0>∃δ，当δ<-<x a 0时，有ε<-|)(|A x f 。

右极限： =+)0(a f Ax f a x =+→)(lim ⇔0>∀ε，0>∃δ，当δ<-<a x 0时，有ε<-|)(|A x f 。

（3）自变量趋向于无穷大的函数极限定义1：0,0>∃>∀X ε，当X x >，成立()ε<-A x f ，则称常数A 为函数()x f 在x 趋于无穷时的极限，记为()Ax f x =∞→lim 。

A y =为曲线()x f y =的水平渐近线。

定义2：00>∃>∀X ，ε，当X x >时，成立()ε<-A x f ，则有()Ax f x =+∞→lim 。

定义3：00>∃>∀X ，ε，当X x -<时，成立()ε<-A x f ，则有()A x f x =-∞→lim 。

运算法则：1) 1) 若()A x f =lim ，()∞=x g lim ，则()()[]∞=+x g x f lim 。

2) 2) 若()()∞≠=但可为,0lim A x f ，()∞=x g lim ，则()()∞=•x g x f lim 。

3) 3) 若()∞=x f lim ，则()01lim=x f 。

注：上述记号lim 是指同一变化过程。

（4）无穷小的定义0>∀ε，0>∃δ，当δ<-<||0a x 时，有ε<|)(|x f ，则称函数)(x f 在a x →时的无穷小（量），即 0)(lim =→x f a x 。

完整word版大一高数知识点总结

完整word版大一高数知识点总结大一高数知识点总结一、函数1、定义：函数是一种特殊的关系，满足：a) 在每一个x（其解域可以是实数集、整数集等）上产生唯一的实数yb) 从解域D到值域R内的一次对应c) 该对应关系满足恒等式f(x) = y2、函数的类别a) 一般函数：y=f(x)b) 二次函数：y=ax²+bx+cc) 指数函数：y=a·xbd) 对数函数：y=logax3、函数的表示形式a) 对图像：比如抛物线、曲线等b) 原函数形式：比如一般函数的三角函数形式、二次函数的二次根式形式等4、函数的性质a) 极限：通过极限可以判断函数的单调性、狭义局部有界等性质；b) 函数的增幅c) 奇偶性：函数在x=a处关于y轴对称，那么就称它具有f(-x)=-f(x)的奇偶性；d) 对称性：即y=f(-x)，此时函数具有反函数性质；e) 周期性：函数当x=0,2x,4x...时，f(x)重复出现，称为函数具有周期性；f) 增函数：若x从a变大去到b，其函数值在[a,b]上一直是递增的，此时此函数f （x）就是增函数。

二、极限1、极限的概念极限是数学分析的基础，它描述了一个有限序列或函数在某一无限大的极限点的行为。

2、极限的定义当一个有限序列{a_n}的每一项都逼近某一定值L时，就说该序列以L为极限，记作：lim_(n->∞)a_n=L3、极限的性质a) 有界性：如果极限存在，即使发散也有界。

b) 乘法性：lim_(n->∞)a_nb_n=(lim_(n->∞)a_n)(lim_(n->∞)b_n)c) 除法性：lim_(n->∞) (a_n/b_n) = (lim_(n->∞)a_n)/(lim_(n->∞)b_n)d) 求和性：lim_(n->∞) (a_n+b_n) = lim_(n->∞)a_n+lim_(n->∞)b_ne) 展开性：若函数f（x）在x=a处可导，则：lim_(x->a)f（x）=f（a）三、微积分1、定义微积分是一种研究函数及其变化规律的数学方法，其中重要概念为微分（Differentiation），即求取函数在某点处的切线斜率，主要用于求解函数的单调性，及其最大值等问题。

(完整word版)高数笔记(全)

2 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x∈X 2.初等函数: 由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数 §1.2 极限一、主要内容㈠极限的概念 1. 数列的极限: Aynnlim 称数列ny以常数A为极限; 或称数列ny收敛于A. 定理: 若ny的极限存在ny必定有界. 2.函数的极限： ⑴当x时，)(xf的极限： AxfAxfAxfxxx)(lim)(lim)(lim ⑵当0xx时，)(xf的极限： Axfxx)(lim0 左极限：Axfxx)(lim0
9 m -M 0 a b x 2. 有界定理： )(xf在],[ba上连续)(xf在],[ba上一定有界。 3.介值定理： )(xf在],[ba上连续在),(ba内至少存在一点，使得：cf)(，其中：Mcm y y M f(x) C f(x) 0 a ξ b x m 0 a ξ1 ξ2 b x 推论： )(xf在],[ba上连续，且)(af与)(bf异号在),(ba内至少存在一点，使得：0)(f。 4.初等函数的连续性：初等函数在其定域区间内都是连续的。第二章一元函数微分学
1 第一章函数、极限和连续 §1.1 函数一、主要内容㈠函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: 21)()(DxxgDxxfy 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f-1(y) y=f-1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的；则它必定存在反函数： y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。㈡函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x∈D,x1、x2∈D 当x1＜x2时,若f(x1)≤f(x2), 则称f(x)在D内单调增加( )；若f(x1)≥f(x2), 则称f(x)在, 则称f(x)在D内严格单调增加( )；若f(x1)＞f(x2), 则称f(x)在D内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x∈(-∞，+∞) 周期：T——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x∈(a,b) ㈢基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c为常数) 2.幂函数： y=xn , (n为实数) 3.指数函数： y=ax , (a＞0、a≠1) 4.对数函数： y=loga x ,(a＞0、a≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x

(完整word版)高等数学讲义(一)

高等数学基础高等数学基础课程的学习内容微积分学，它是创建于十七世纪的一门数学学科，创始人是英国数学家牛顿（Newton ）和德国数学家莱布尼茨（Leibniz ）。

用著名学者的话来形容“微积分、或者数学分析，是人类思维的伟大成果之一。

它处于自然科学与人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特别有效的工具”。

“微积分的创立，与其说是数学史上，不如说是人类历史上的一件大事。

时至今日，它对工程技术的重要性就像望远镜之于天文学，显微镜之于生物学一样。

第1讲函数1.2 函数要知道什么是函数，需要先了解几个相关的概念。

一、常量与变量先看几个例子：圆的面积公式2πr S =自由活体的下落距离2021gt t v s += 在上述讨论的问题中，g v ,,π0是常量，t s r S ,,,是变量。

变量可以视为实属集合（不止一个元素）。

二、函数的定义定义1.1 设D 是一个非空数集。

如果有一个对应规则f ，使得对每一D x ∈，都能对应于唯一的一个数y ，则此对应规则f 称为定义在集合D 上的一个函数，并把数x 与对应的数y 之间的对应关系记为)(x f y =并称x 为该函数的自变量，y 为函数值或因变量，D 为定义域。

实数集合},)(;{D x x f y y Z ∈==称为函数f 的值域。

看看下面几个例子中哪些是函数：}6,3,1{=Xf}9,8,6,2{=Yf 是函数，且2)1(=f ，8)3(=f ，6)6(=f定义域}6,3,1{=D ，值域}8,6,2{=Z ，一般地Y Z ⊂。

}7,6,3,1{=X}9,8,6,2{=Yf 不是函数。

}6,3,1{=X}9,8,6,2{=Yf 是函数，且2)1(=f ，8)3(=f ，8)6(=f定义域}6,3,1{=D ，值域}8,2{=Z 。

}6,3,1{=X}9,8,6,2{=Yf 不是函数。

由函数定义可以得出，函数的对应规则和定义域是确定函数的两个要素，用解析法表示的函数的对应规则就是由表达式确定的，而定义域就是使表达式有意义的所有x 轴上的点。

高数定理定义总结

任一子数列也收敛于a.假如数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}高数定理定义总结高数定理定义总结高数定理定义总结第一章函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界；假如有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。

函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。

2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。

定理(收敛数列的有界性)假如数列{xn}收敛，那么数列{xn}肯定有界。

假如数列{xn}无界，那么数列{xn}肯定发散；但假如数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}肯定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。

定理(收敛数列与其子数列的关系)假如数列{xn}收敛于a，那么它的收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。

3、函数的极限函数极限的定义中00(或A0(或f(x)>0)，反之也成立。

函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。

一般的说，假如lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。

假如lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。

4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理假如F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b.定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。

高数公式与定义高级版

第一章函数、极限和连续一、函数：五大类基本初等函数幂函数，指数函数，对数函数反函数（与原函数关于Y=X 相对称）三角函数：正割函数，余割反三角函数：arcsin y x =（收敛） arctan y x =（发散） [,]22ππ-(,)22ππ-arccos y x =（收敛） cot y arc x =（发散）[0,]π(,)22ππ-收敛的界限是（-1,1）函数特性：单调性奇偶性有界性周期性二、极限1、数列的极限（收敛·发散）收敛数列的性质（唯一·有界·保号·） Ps:函数化简到哪一步可以带数值？（化简到只余一个X 项或上下X 的次数一致）2、函数的极限·极限存在的充要条件是左右极限都存在并且相等 ·函数极限的性质（唯一·局部有界·局部保号） ·夹逼准则·单调有界函数必有极限（1）两个重要极限 ·()0sin ()lim1()x x x ϕϕϕ→=·1()()0lim (1())x x x e ϕϕϕ→+=（2）无穷小：·()f x 当0x x →（或x →∞）时的极限为零高阶，低阶，同阶，等价无穷小的性质：（1）有限个无穷小的和是无穷小．（2）常数与无穷小的乘积是无穷小．（3）有限个无穷小的乘积是无穷小．（4）有界函数与无穷小的乘积是无穷小等价无穷小：·0x →时．sin ()~()x x ϕϕ ·sin ()~()arc x x ϕϕ ·tan ()~()x x ϕϕ ·()1~()x e x ϕϕ- ·ln(1())~()x x ϕϕ+·211cos ()~()2x x ϕϕ-11~()x nϕ- Ps:无穷小可以在()0x ϕ→使用，无论0x x →、x →∞还是0x →三、连续1.连续条件：·自变量变化量趋于零函数值变化量也趋于零 ·00lim ()()x x f x f x →=2.间断点：第一类，左右极限都存在；可去间断点，跳跃间断点第二类无穷间断点，振荡间断点一切初等函数在定义区间内都连续。