数值计算方法习题答案(绪论,习题1,习题2)
《数值计算办法》试题集及参考答案
精心整理《数值计算方法》复习试题一、填空题：1、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=15561415014115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，式为。
答案：-1，)3)(1(2)3)(2(21)(2-----=x x x x x L 4、近似值5、设)(x f ()；答案1n x =+6、对)(x f =]4,3,2,1(0)；78n 次后的误差限为(12+-n ab )； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为(0.15)； 11、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。
12、 为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+。
13、 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为0.5，1,进行两步后根的所在区间为0.5，0.75。
14、 求解方程组⎩⎨⎧=+=+042.01532121x x x x 代矩阵的谱半径)(M ρ=121。
15、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l (1l )1(716)(2-+=x x x x N 。
16、(高斯型)求积公式为最高，具有(12+n )次代21]内的根精确到三位小数，需对分（10）次。
22、已知≤≤≤≤3110(x x S 是三次样条函数，则a =(3 )，b 23、(),(10l x l Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l)((1)，=k 0(j)，当时=++=)()3(204x l x xk k k k (324++x x )。
计算方法与实习答案1-2
绪论
习题1——10：设 f ( x) = 8 x 5 − 0.4 x 4 + 4 x 3 − 9 x + 1 用秦九韶法求f(3)。 解：
8 − 0.4
24 8 23.6
0
−9
1
x=3
70.8 74.8
224.4 224.4
673.2 664.2
1992.6 1993.6
∴ f(3)=1993.6
第一章 绪论 练习
1．《计算方法》课程主要研究以计算 机为工具的 数值 分析方法 ，并评价 该算法的计算误差。 2．近似值作四则运算后的绝对误差限 公式为 ε ( x1 − x2 ) ≤ ε ( x1 ) + ε ( x2 ) ，近似值 1.0341的相对误差限不大于 1 ×10−2 ， 则它至少有三位有效数字。 4
ln(103 ) ∴k ≥ ln(2) ≥ 9.965
2 2 2
∴需二分10次 需二分 次
方程求根——二分法
习题2——2：用二分法求方程2e-x-sinx=0在区 间[0,1]内的1个实根，要求3位有效数字。
解：1）判断是否在该区间有且仅有一个根 f(0)=2>0，f(1)=2/e-sin1≈-0.1<0， f’(x)=-2e-x-cosx，f’=-3,-2/e-cos1<0 2）判断二分次数 由(b-a)/2k+1=1/2k+1≤1/2*10-3，解得k≥3ln10/ln2≥9.965， 所以需要二分10次，才能满足精度要求。
∴ x≈2.981
方程求根
f (xk )(xk − xk −1) xk +1 = xk − f (xk ) − f (xk −1)
习题2——11：用割线法求方程x3-2x-5=0的根，要 求精确到4位有效数字，取x0=2, x1=2.2。
《数值计算方法》试题集及答案 (2)
《数值计算方法》复习试题一、填空题：1、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=15561415014115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。
答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+6、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n a b )；10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。
12、 为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+ 。
13、 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。
《数值计算方法》习题答案
《数值计算方法》课后题答案详解吉 林 大 学第一章 习 题 答 案1. 已知(1)2,(1)1,(2)1f f f −===，求()f x 的Lagrange 插值多项式。
解：由题意知：()01201212001020211012012202121,1,2;2,1,1()()(1)(2)()()6()()(1)(2)()()2()()(1)(1)()()3(1)(2)(1)(2)()2162nj j j x x x y y y x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x L x y l x ==−=====−−−−==−−−−+−==−−−−−+−==−−−−+−==×+×−∴∑()2(1)(1)131386x x x x +−+×=−+2. 取节点01210,1,,2x x x ===对x y e −=建立Lagrange 型二次插值函数，并估计差。
解11201201210,1,;1,,2x x x y y e y e −−======1)由题意知：则根据二次Lagrange插值公式得：02011201201021012202110.510.520.51()()()()()()()()()()()()()2(1)(0.5)2(0.5)4(1)(224)(43)1x x x x x x x x x x x x L x y y y x x x x x x x x x x x x x x x x e x x e e e x e e x −−−−−−−−−−−−=++−−−−−−=−−+−−−=+−+−−+22)Lagrange 根据余项定理，其误差为(3)2210122()1|()||()||(1)(0.5)|3!61max |(1)(0.5)|,(0,1)6()(1)(0.5),()330.5030.2113()61()0.2113(0.21131)(0.21130.5)0.008026x f R x x e x x x x x x t x x x x t x x x x t x R x ξξωξ−+≤≤==−−≤−−∈′=−−=−+=−==≤××−×−=∴取 并令 可知当时，有极大值3. 已知函数y =在4, 6.25,9x x x ===处的函数值，试通过一个二次插值函数求的近似值，并估计其误差。
《数值计算方法》试题集和答案解析
《数值计算方法》复习试题一、填空题：1、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=15561415014115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得⎰≈31_________)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。
答案：2.367，0.253、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。
答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+6、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；8、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n a b )；9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为( )],(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f hy y )；10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )；11、 两点式高斯型求积公式⎰1d )(xx f ≈(⎰++-≈1)]3213()3213([21d )(f f x x f )，代数精度为( 5 )；12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。
数值计算方法试题和答案解析
数值计算方法试题一一、填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分（）次。
2、迭代格式局部收敛的充分条件是取值在（）。
3、已知是三次样条函数，则=( )，=（），=（）。
4、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则( )，( )，当时( )。
5、设和节点则和。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为。
7、是区间上权函数的最高项系数为1的正交多项式族，其中，则。
8、给定方程组，为实数，当满足，且时，SOR迭代法收敛。
9、解初值问题的改进欧拉法是阶方法。
10、设，当（）时，必有分解式，其中为下三角阵，当其对角线元素满足（）条件时，这种分解是唯一的。
二、二、选择题（每题2分）1、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是（）。
（1）, (2) , (3) , (4)2、在牛顿-柯特斯求积公式：中，当系数是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。
（1），（2），（3），（4），（1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次4、若用二阶中点公式求解初值问题，试问为保证该公式绝对稳定，步长的取值范围为（）。
(1), (2), (3), (4)三、1、2、（15(1)(1) 试用余项估计其误差。
（2）用的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算出该积分的近似值。
四、1、（15分）方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）对应迭代格式；(2)对应迭代格式；（3）对应迭代格式。
判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格式计算附近的根，精确到小数点后第三位。
选一种迭代格式建立Steffensen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。
2、（8分）已知方程组，其中，（1）（1）列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。
（2）（2）求出Jacobi迭代矩阵的谱半径，写出SOR 迭代法。
20140506 计算机数值方法习题集(学生)
(A) (B) (C) (D)
已知 ，则 为（D）
(A) 0(B) 1(C)2(D)4
已知 且 ， ； ， 用拉格朗日线性插值求 的近似值，并估计截断误差。
解：
即
余项估计 ，其中
9.已知 ，求 及 的值。（8分）
A、牛顿（Newton）法B、迭代法C、消去法D、二分法
下面程序实现的公式是（D）
for(k=1;k<=n;k++)
for(j=1;j<=n;j++)
{
if(j==k) continue;
a[k][j]=a0[k][j]/a0[k][k];
}
A. B.
C. D.
1．试用c程序实现下面公式。
定义a[k][j]为本次计算所得数组a的结果；a0[k][j]为上一次计算所得数组a的结果。
for(k=1;k<=n;k++)
for(j=1;j<=n;j++)
{
if(j==k) continue;
a[k][j]=a0[k][j]/a0[k][k];
}
要使 的近似值的相对误差不超过0.1%，应取几位有效数字。
第
若f(x)再[a,b]上连续,且f(a)f(b)<0,则方程f(x)=0在[a,b]内至少有一个根。
二分法只能用于求实函数的实根
求解方程 ，若 可以表成 ，则用简单迭代法求根，那么 满足 ，近似根序列 一定收敛。
2．用迭代法求方程 的正根，下面有三种迭代格式：
xi
yi
xi2
xi3
xi4
数值计算方法倪勤习题答案
数值计算方法倪勤习题答案数值计算方法倪勤习题答案数值计算方法是一门研究如何利用计算机进行数值计算的学科。
它在科学计算、工程计算、金融计算等领域中有着广泛的应用。
倪勤的《数值计算方法》是该领域的经典教材之一，其中的习题是帮助学生巩固所学知识的重要资源。
下面是一些数值计算方法倪勤习题的答案，供大家参考。
一、插值与拟合1. 设有下列数据点：(0, 0)，(1, 1)，(2, 4)，(3, 9)。
试用拉格朗日插值多项式求x=2.5处的函数值。
解答：拉格朗日插值多项式的表达式为：P(x) = ∑[f(xi) * l(x)] / ∑[l(xi)]其中，l(x) = ∏[(x - xj) / (xi - xj)]，i ≠ j根据给定的数据点，可以得到：l0(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3) / (0 - 1)(0 - 2)(0 - 3) = -x(x - 1)(x - 2) / 6l1(x) = (x - 0)(x - 2)(x - 3) / (1 - 0)(1 - 2)(1 - 3) = x(x - 2)(x - 3) / 2l2(x) = (x - 0)(x - 1)(x - 3) / (2 - 0)(2 - 1)(2 - 3) = -x(x - 1)(x - 3) / 2l3(x) = (x - 0)(x - 1)(x - 2) / (3 - 0)(3 - 1)(3 - 2) = x(x - 1)(x - 2) / 6代入公式，得到：P(x) = 0 * l0(x) + 1 * l1(x) + 4 * l2(x) + 9 * l3(x)= -x(x - 1)(x - 2) / 6 + 4x(x - 1)(x - 3) / 2 + 9x(x - 1)(x - 2) / 6= -x(x - 1)(x - 2) / 6 + 2x(x - 1)(x - 3) + 3x(x - 1)(x - 2) / 2= x^3 - 3x^2 + 3x将x=2.5代入上式，得到：P(2.5) = 2.5^3 - 3 * 2.5^2 + 3 * 2.5 = 2.375因此，当x=2.5时，函数值为2.375。
数值计算方法第三版课后习题答案
习题一解答1．取3.14，3.15，227，355113作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。
分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。
求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。
注意，不应先求相对误差再求绝对误差。
有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。
有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。
根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。
解：（1）绝对误差:e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。
相对误差：3()0.0016()0.51103.14r e x e x x -==≈⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。
而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311101022--⨯=⨯所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。
（2）绝对误差:e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。
相对误差：2()0.0085()0.27103.15r e x e x x --==≈-⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。
而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407…所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1＝11211101022--⨯=⨯所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。
（3）绝对误差:22() 3.14159265 3.1428571430.0012644930.00137e x π=-=-=-≈- 相对误差：3()0.0013()0.4110227r e x e x x--==≈-⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，223.1428571430.3142857143107==⨯，m=1。
数值计算方法课后习题答案(李庆扬等)
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++； [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
数值计算方法试题及答案
数值计算方法试题一一、填空题(每空1分,共17分)1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数,需对分( )次.2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在( )。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =（ )，b =( ),c =( ）．4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Ｌａgrang ｅ插值基函数，则∑==nk k x l)(( ),∑==nk k j kx lx 0)(（ )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k nk k ( )。
５、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f和=∆07f ． 6、5个节点的牛顿—柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=104)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ,a 为实数,当a 满足 ,且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法.10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a ( ）时,必有分解式T LL A =,其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足( ）条件时,这种分解是唯一的。
数值计算方法习题答案(绪论,习题1,习题2)
引论试题（11页）4 试证：对任给初值x 0,0)a >的牛顿迭代公式112(),0,1,2,......k ak k x x x k +=+= 恒成立下列关系式：2112(1)(,0,1,2,....(2)1,2,......kk k x k x x k x k +-=-=≥=证明：（1）(2211222k k k k k k k kx a x ax x x x x +-⎫⎛-+-=+==⎪ ⎝⎭（2） 取初值00>x ，显然有0>k x ，对任意0≥k ，a a x a x x a x x k k k k k ≥+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2121216 证明：若k x 有n 位有效数字，则n k x -⨯≤-110218， 而()kk k k k x x x x x 288821821-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-+ nnk k x x 2122110215.22104185.28--+⨯=⨯⨯<-∴>≥ 1k x +∴必有2n 位有效数字。
8 解：此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理：（设x 的近似数*x 可表示为m n a a a x 10......021*⨯±=，如果*x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为()11**1021--⨯≤-l a x x x ，其中1a 为*x 中第一个非零数） 则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221111=⨯⨯≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221122=⨯⨯≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为：00025.010221333=⨯⨯≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解 对于7.21=x ，0183.01<-e x∴其相对误差限为00678.07.20183.011≈<-x e x 同理对于71.22=x ，有003063.071.20083.022≈<-x e x 对于718.23=x ，有00012.0718.20003.033≈<-x e x备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。
数值计算方法课后习题答案
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++； [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
数值计算方法答案
数值计算方法习题一（2）习题二（6）习题三（15）习题四（29）习题五（37）习题六（62）习题七（70）2009．9，9习题一1．设x >0相对误差为2%4x 的相对误差。
解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈得（1）()f x =11()()*2%1%22x x δδδ≈===；（2）4()f x x =时444()()'()4()4*2%8%x x x x x xδδδ≈===2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。
（1）12.1x =；（2）12.10x =；（3）12.100x =。
解：由教材9P 关于1212.m nx a a a bb b =±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，53．用十进制四位浮点数计算 （1）++； （2）+（+）哪个较精确 解：（1）++ ≈21((0.3197100.245610)0.1352)fl fl ⨯+⨯+=2(0.3443100.1352)fl ⨯+=210⨯（2）+（+）21(0.319710(0.245610))fl fl ≈⨯+⨯ = 21(0.3197100.259110)fl ⨯+⨯ =210⨯易见++=210⨯，故（2）的计算结果较精确。
4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少解：设该正方形的边长为x ，面积为2()f x x =，由(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈解得(())()()'()f x f x x xf x δδ≈=2(())(())22f x x f x x xδδ==%5．下面计算y 的公式哪个算得准确些为什么（1）已知1x <<，（A ）11121xy x x-=-++，（B ）22(12)(1)x y x x =++； （2）已知1x>>，（A ）y=，（B ）y = （3）已知1x <<，（A ）22sin x y x =，（B ）1cos2xy x-=；（4）（A）9y =-（B ）y =解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
(完整版),数值计算方法试题及答案,推荐文档
1
0
e
x
dx
时，
(1) (1) 试用余项估计其误差。
（2）用 n 8 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算出该积
分的近似值。
四、1、（15 分）方程 x3 x 1 0 在 x 1.5 附近有根，把方程写成三种
不同的等价形式（1） x 3 x 1 对应迭代格式 xn1 3 xn 1 ；(2)
-1.75 -1
0.25 2
4.25
所确定的插值多项式的次数是（ ）。
（1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次
4、若用二阶中点公式
y n 1
yn
hf
(xn
h, 2
yn
h 4
f
(xn , yn )) 求解初值问题
y 2y, y(0) 1，试问为保证该公式绝对稳定，步长 h 的取值范围为
数 ，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。
五、（8 分）已知求 a (a 0) 的迭代公式为：
xk 1
1 2 (xk
a xk
)
x0 0 k 0,1,2
证明：对一切 k 1,2,, xk a ，且序列xk 是单调递减的，
从而迭代过程收敛。
六、（9
3
分）数值求积公式 0
f
( x)dx
六、（下列 2 题任选一题，4 分）
1、 1、 数值积分公式形如
1
xf
( x)dx
S(x)
Af
(0)
Bf
(1)
Cf
(0)
Df
(1)
0
（1）（1） 试确定参数 A, B,C, D 使公式代数精度尽量高；
1
（2）设 f (x) C 4[0,1] ，推导余项公式 R(x) 0 xf (x)dx S(x) ，
《数值计算方法》试题集及答案 (2)
《数值计算方法》复习试题一、填空题：1、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=410141014A ，则A 的LU 分解为A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
答案：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=15561415014115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 ，拉格朗日插值多项式为 。
答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=x x x x x x x L4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；答案)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---=+6、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差；8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 12+-n a b )；10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均不为零)。
12、 为了使计算32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+ 。
13、 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为 0.5，1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5，0.75 。
数值计算方法》习题答案
《数值计算方法》课后题答案详解吉 林 大 学第一章 习 题 答 案1. 已知(1)2,(1)1,(2)1f f f −===，求()f x 的Lagrange 插值多项式。
解：由题意知：()01201212001020211012012202121,1,2;2,1,1()()(1)(2)()()6()()(1)(2)()()2()()(1)(1)()()3(1)(2)(1)(2)()2162nj j j x x x y y y x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x L x y l x ==−=====−−−−==−−−−+−==−−−−−+−==−−−−+−==×+×−∴∑()2(1)(1)131386x x x x +−+×=−+2. 取节点01210,1,,2x x x ===对x y e −=建立Lagrange 型二次插值函数，并估计差。
解11201201210,1,;1,,2x x x y y e y e −−======1)由题意知：则根据二次Lagrange插值公式得：02011201201021012202110.510.520.51()()()()()()()()()()()()()2(1)(0.5)2(0.5)4(1)(224)(43)1x x x x x x x x x x x x L x y y y x x x x x x x x x x x x x x x x e x x e e e x e e x −−−−−−−−−−−−=++−−−−−−=−−+−−−=+−+−−+22)Lagrange 根据余项定理，其误差为(3)2210122()1|()||()||(1)(0.5)|3!61max |(1)(0.5)|,(0,1)6()(1)(0.5),()330.5030.2113()61()0.2113(0.21131)(0.21130.5)0.008026x f R x x e x x x x x x t x x x x t x x x x t x R x ξξωξ−+≤≤==−−≤−−∈′=−−=−+=−==≤××−×−=∴取 并令 可知当时，有极大值3. 已知函数y =在4, 6.25,9x x x ===处的函数值，试通过一个二次插值函数求的近似值，并估计其误差。
数值计算课后习题答案(全)
习 题 一 解 答1．取3.14，3.15，227，355113作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。
分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。
求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。
注意，不应先求相对误差再求绝对误差。
有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。
有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。
根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。
解：（1）绝对误差:e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。
相对误差：3()0.0016()0.51103.14r e x e x x -==≈⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。
而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311101022--⨯=⨯所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。
（2）绝对误差:e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。
相对误差：2()0.0085()0.27103.15r e x e x x --==≈-⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。
而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407…所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1＝11211101022--⨯=⨯所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。
（3）绝对误差:22() 3.14159265 3.1428571430.0012644930.00137e x π=-=-=-≈-相对误差：3()0.0013()0.4110227r e x e x x--==≈-⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10， 223.1428571430.3142857143107==⨯，m=1。
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引论试题（11页）4 试证：对任给初值x 0,0)a >的牛顿迭代公式112(),0,1,2,......k ak k x x x k +=+= 恒成立下列关系式：2112(1)(,0,1,2,....(2)1,2,......kk k x k x x k x k +-=-=≥=证明：（1）(2211222k k k k k k k kx a x ax x x x x +-⎫⎛-+-=+==⎪ ⎝⎭（2） 取初值00>x ，显然有0>k x ，对任意0≥k ，a a x a x x a x x k k k k k ≥+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2121216 证明：若k x 有n 位有效数字，则n k x -⨯≤-110218， 而()kk k k k x x x x x 288821821-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-+ nnk k x x 2122110215.22104185.28--+⨯=⨯⨯<-∴>≥ 1k x +∴必有2n 位有效数字。
8 解：此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理：（设x 的近似数*x 可表示为m n a a a x 10......021*⨯±=，如果*x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为()11**1021--⨯≤-l a x x x ，其中1a 为*x 中第一个非零数） 则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221111=⨯⨯≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221122=⨯⨯≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为：00025.010221333=⨯⨯≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解 对于7.21=x ，0183.01<-e x∴其相对误差限为00678.07.20183.011≈<-x e x 同理对于71.22=x ，有003063.071.20083.022≈<-x e x 对于718.23=x ，有00012.0718.20003.033≈<-x e x备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。
（2）采用第二种方法时，分子为绝对误差限，不是单纯的对真实值与近似值差值的四舍五入，绝对误差限大于或等于真实值与近似值的差。
11. 解:......142857.3722≈，.......1415929.3113255≈ 21021722-⨯≤-∴π，具有3位有效数字 61021113255-⨯≤-π，具有7位有效数字9.解：有四舍五入法取准确值前几位得到的近似值，必有几位有效数字。
令1x ,2x ,3x 所对应的真实值分别为*1x ,*2x ,*3x ，则① ∣1x -*1x ∣≤21⨯l -110=21⨯210- ∣1x -*1x ∣/∣1x ∣＜21⨯210-/2.72＜0.00184② ∣2x -*2x ∣≤21⨯l-110=21⨯510-∣2x -*2x ∣/∣2x ∣＜21⨯510-/2.71828＜0.00000184③ ∣3x -*3x ∣＜21⨯l-110=21⨯410-∣3x -*3x ∣/∣3x ∣＜21⨯410-/0.0718＜0.00069712.解：⑴ x 211+－xx+-11=)1)(21(22x x x ++⑵ 1-cosx=x x cos 1sin 2+=22sin 2x⑶ 1-xe ≈1+x+!22x +…+!n x n -1=x+!22x +…+!n x n13.解：⑴ x x 1+-xx 1-=xx x1x 1x /2-++⑵dt tx x⎰++1211=)1arctan(+x -x arctan 设)1arctan(+x =a ，x arctan =b,则)tan(b a - =b a b a tan tan 1tan tan ⋅+-=)1(11++x x∴)1arctan(+x -x arctan =)1(11arctan++x x⑶ )1ln(2--x x =11ln2-+x x =)1ln(1ln 2-+-x x =-)1ln(2-+x x习题一（54页） 5.证明：利用余项表达式（11）（19页），当)(x f 为次数≤n 的多项式时，由于)(1x fn +=0，于是有)(x R n =)(x f －)(x P n =0,即)(x P n =)(x f ，表明其n 次插值多项式)(x P n 就是它自身。
9.证明：由第5题知，对于次数≤n 的多项式，其n 次插值多项式就是其自身。
于是对于)(x f =1，有)(2x P =)(x f即，)(0x l )(0x f +)(1x l )(1x f +)(2x l )(2x f =)(x f 则，)(0x l +)(1x l +)(2x l =1 11.分析：由于拉格朗日插值的误差估计式为)(x f －)(x P n =)!1)()1(++n f n （ξ∏=-nk kx x 0)(误差主要来源于两部分)!1)()1(++n f n （ξ和∏=-nk k x x 0)(。
对于同一函数讨论其误差，主要与∏=-nk kx x 0)(有关。
在（1）中计算x=0.472的积分值，若用二次插值，需取三个节点，由于0.472在1，2两个节点之间，所以应选1，2为节点，在剩下的两个点中，0x 与0.472更靠近，所以此题应选0x ,1x ,2x 为节点来构造插值多项式。
1202201010210121022120()()()()(1)()()()()()()()0.4955529()()x x x x x x x x p x y y x x x x x x x x x x x x y x x x x ----=+------+=--15.证明：由拉格朗日插值余项公式有︱)(x f －)(x p ︱≤∏=-102)(!2)(k kx x f ξ≤21︱))((10x x x x --︱10max x x x ≤≤︱)(2x f ︱ 由于201)(x x -=201)(x x x x -+-=))((201x x x x --+21)(x x -+20)(x x -≥))((401x x x x --∴︱)(x f －)(x p ︱≤8)(201x x -10max x x x ≤≤︱)(2x f ︱20.证明：当n=1时，),(10x x F =0101)()(x x x F x F --=C ·0101)()(x x x f x f --=C ),(10x x f假设当n=k 时，结论成立，则有 ),...,(0k x x F = C ),...,,(10k x x x f ； ),...,(11+k x x F = C ),...,,(121+k x x x f ； 那么，当n=k+1时， ),...,,(110+k x x x F =1011),...,(),...,(x x x x F x x F k k k --++=C1011),...,(),...,(x x x x f x x f k k k --++= C ),...,,(110+k x x x f证明完毕。
（类似的方式可证明第一个结论）21.解：由定理4（26页）可知：),...,,(10n x x x f =!)()(n f n ξ,其中ni i x x ≤≤∈ξξ0]max ,[m in当n>k 时，)()(x f n =())(n k x =0； 当n=k 时，)()(x fn =())(k kx =!k ；∴),...,,(10n x x x f =⎩⎨⎧=>时当时当k n k n ,1,013.解：由题意知，给定插值点为0x =0.32,0y =0.314567;1x =0.34,1y =0.333487;2x =0.36,2y =0.352274 由线性插值公式知线性插值函数为 )(1x P =0101y x x x x --+1010y x x x x --=314567.002.034.0⋅--x +333487.002.032.0⋅-x当x=0.3367时，3367.0sin ≈)3367.0(1P ≈0.0519036+0.2784616≈0.330365 其截断误差为 ︱)(1x R ︱≤22M ︱))((10x x x x --︱，其中2M =10max x x x ≤≤︱)(2x f ︱)(x f =)sin(x ，∴)(2x f =-)sin(x ，∴2M =︱34.0sin ︱≈0.333487 于是︱)3367.0(1R ︱≤21×0.333487×0.0167×0.0033≤0.92×510- 若用二次插值，则得 )(2x P =0201021))(())((y x x x x x x x x ----+1210120))(())((y x x x x x x x x ----+2120210))(())((y x x x x x x x x ---- 3367.0sin ≈)3367.0(2P ≈0.330374 其截断误差为︱)(2x R ︱≤63M ︱)))((210x x x x x x ---（︱ 其中3M =20max x x x ≤≤︱)(x f '''︱=20max x x x ≤≤︱x cos ︱=32.0cos <0.950于是︱)3367.0(2R ︱≤61×︱0.950×0.0167×0.0033×0.0233︱<0.204×610-17解：差商表为——————————————————————————————— i x )(x f 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 五阶差商 ———————————————————————————————1 -32 03 3 15 15 64 48 33 9 15 105 57 12 1 06 192 87 15 1 0 0由差商形式的牛顿插值公式，有)(x P =)(0x f ＋))(,(010x x x x f -＋))()(,,(10210x x x x x x x f --＋))()()(,,,(2103210x x x x x x x x x x f ---=-3＋3)1(-x ＋6)2)(1(--x x ＋)3)(2)(1(---x x x23题：解：由于0)1()1()0(1===P P P ，则 设2)1()(-=x Cx x P由1)12(2C ,1)2(2=-⋅⋅=得P ，则 21=C所以2)1(21)(-=x x x P 24.解：由于3)3(,2)2(,1)1(,0)0(====P P P P 可设 )3)(2)(1()(---+=x x x Cx x x P由0)2(1=P 得0)32)(12(21)(1=--⋅⋅+=C P α，有：21=C 所以 )3)(2)(1(21)(---+=x x x x x x P26．解：由泰勒公式有303200"00'0)(!3)()(!2)())(()()(x x f x x x f x x x f x f x f -+-+-+=ξ设 30200"00'0)()(!2)())(()()(x x C x x x f x x x f x f x P -+-+-+=其满足 )()(00x f x P jj =， 其中 2,1,0=j由)()(11x f x P =，得 )()()()()(),(010"200'20110x x x f x x x f x x x x f C -----= 代入(*)式既可得 )(x P .33.解： 由于[]2,0)(2C x S ∈，故在1=x 处有)1(),1(),1("'S S S 连续，即：⎩⎨⎧-=+=+121c b c b 解得：⎩⎨⎧=-=32c b 34、解：首先确定求解过程中涉及到的一些参数值。