高考数学：专题六 第二讲 概率、随机变量及其分布列课件

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解析 设 AC＝x，CB＝12－x，
所以 x(12－x)<32，所以 x>8 或 x<4 4＋4 2 又因为 0<x<12，所以 P＝ 12 ＝3.
考点与考题
0≤x≤2， 3.(2012· 北京)设不等式组 0≤y≤2
第二讲
表示的平面区域为 D， 在区域 D
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解析 分别从两个集合中各取一个数共有 15 种取法，其中满足 b>a 3 1 的有 3 种取法，故所求事件的概率为 P＝15＝5.
题型与方法
第二讲
(2)学生通过演示实验来估算不规则图形的面积，先在平面内画 4 条直 线 x＝0，x＝5，y＝－2，y＝1 围成矩形，再画 2 条曲线 y＝log2x，y ＝log2(x－3)， 2 条直线 y＝－2， 称 y＝1 和 2 条曲线 y＝log2x， y＝log2(x
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回答互不影响. (1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率； (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率.
解 (1)记“该选手能正确回答第 i 轮的问题”的事件为 Ai (i＝
1,2,3,4)，
4 3 2 则 P(A1)＝ ，P(A2)＝ ，P(A3)＝ ， 5 5 5 1 P(A4)＝5，
第二讲
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ξ P
0 3 8
1 7 16
2 1 6
3 1 48
3 7 1 1 5 所以 E(ξ)＝0×8＋1×16＋2×6＋3×48＝6.
题型与方法
第二讲
方法提炼 求出概率.
(1)求离散型随机变量的分布列的关键是正确理解随机变
量取每一个值所表示的具体事件，然后综合应用各类求概率的公式
方法提炼
一般地，当问题中涉及的量是离散变化时，一般是古典
概型，当问题中涉及的量是连续变化时，一般是几何概型，需要构 造几何概型模型解决.当问题中只有一个变量时，可以构造数轴，当
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问题中涉及两个变量时，可以考虑构造坐标平面上的区域解决.
题型与方法
第二讲
变式训练 1 (1)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为 a， 从{1,2,3}中随机 选取一个数为 b，则 b>a 的概率是 4 3 2 A. B. C. 5 5 5 ( D ) D. 1 5
题型与方法
第二讲
例1
(1)盒中装有形状、大小完全相同的 5 个球，其中红色球 3 个，
黄色球 2 个.若从中随机取出 2 个球，则所取出的 2 个球颜色不同
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的概率等于________.
解析 从 5 个球中随机取出 2 个，有 10 种取法，两球颜色不同有 6 3 6 种取法，故 P＝10＝5.
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( C ) B.0.4 D.0.2
C.0.3
解析
∵P(ξ<4)＝0.8，∴P(ξ>4)＝0.2，
由题意知图象的对称轴为直线 x＝2， P(ξ<0)＝P(ξ>4)＝0.2，
∴P(0<ξ<4)＝1－P(ξ<0)－P(ξ>4)＝0.6. 1 ∴P(0<ξ<2)＝2P(0<ξ<4)＝0.3.
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(2)求随机变量的期望和方差的关键是正确求出随机变量的分布列， 若随机变量服从二项分布，则可直接使用公式求解.
题型与方法
第二讲
变式训练 3 学校游园活动有这样的一个游戏项目：甲箱子里装有 3 个白球、2 个黑球，乙箱子里装有 1 个白球、2 个黑球，这些球除颜 色外完全相同.每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球，若摸出 的白球不少于 2 个，则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱)
题中往往涉及多个事件，理解这些事件之间的相互关系是解决问题
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的核心.应用公式一定要验证其运用的条件.
题型与方法
第二讲
变式训练 2 某项选拔共有四轮考核， 每轮设有一个问题， 能正确回答 问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、 4 3 2 1 二、三、四轮的问题的概率分别为 、 、 、 ，且各轮问题能否正确 5 5 5 5
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－3)围成的区域称为曲边矩形，如图所示，现随机向矩形投射飞标， 则落在曲边矩形内的数 N1 与落入矩形内的数 N2 的比大约为( )
3 A. 5
7 B. 10
4 C. 5
3 D. 4
题型与方法
第二讲
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解析 首先求出曲边矩形的面积为 3×3＝9， 然后求得矩形的面积为 N1 9 3×5＝15， 由几何概型， 落在区域内的点数与面积成正比， 则 ＝ N2 15 3 ＝ . 5
(2)基本公式：①E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋„＋xnpn＋„； ②D(ξ)＝(x1－E(ξ))2p1＋(x2－E(ξ))2p2＋„＋(xn－E(ξ))2pn＋„； ③E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，D(aξ＋b)＝a2D(ξ)； ④ξ～B(n，p)，则P(ξ＝k)＝Ck pk(1－p)n－k，E(ξ)＝np， n D(ξ)＝np(1－p).
题型与方法
∴该选手进入第四轮被淘汰的概率 P4＝P(A1A2A3 A 4)＝P(A1)P(A2)P(A3)P( A 4) 4 3 2 4 96 ＝ × × × ＝ . 5 5 5 5 625
第二讲
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(2)该选手至多进入第三轮考核的概率 P3＝P( A1 ＋A1 A2 ＋A1A2 A3 )＝P( A1 )＋P(A1)P( A2 )＋ 1 4 2 4 3 3 101 P(A1)P(A2)P( A3 )＝5＋5×5＋5×5×5＝125.
(2)当个位为偶数时，有5×5＝25(个)符合条件的两位数. 因此共有20＋25＝45(个)符合条件的两位数，其中个位数为0的两 5 1 位数有5个，所以所求概率为P＝45＝9.
2· 辽宁)在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边 长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32 为 1 A. 6 1 B. 3 2 C. 3 4 5 cm2的概率 ( C ) D.
设“团体总分不小于 4 分”为事件 B， 3 由(2)知团体总分为 4 分的概率为10.
1 1 2 1 团体总分为 6 分，即 3 人都闯关成功的概率为3×2×5＝15.
3 1 11 所以参加复赛的概率为 P(B)＝10＋15＝30.
11 所以该小组参加复赛的概率为30.
题型与方法
第二讲
方法提炼
解概率应用问题要会分析事件之间的关系：一个实际问
4－π 因此满足条件的概率是 4 .
考点与考题
第二讲
4.(2011· 辽宁)从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数，事件 A＝“取到的 2 个 数之和为偶数”，事件 B＝“取到的 2 个数均为偶数”，则 P(B|A)
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等于 1 A. 8
( B ) 1 B. 4 2 C. 5 D. 1 2
内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是( D ) π－2 4－π π π A. B. C. D. 4 2 6 4
解析 如图所示，正方形 OABC 及其内部为 不等式组表示的区域 D， 且区域 D 的面积为 4， 而阴影部分表示的是区域 D 内到坐标原点的 距离大于 2 的区域.易知该阴影部分的面积为 4－π.
答案
A
题型与方法
第二讲
题型二
互斥事件与独立事件问题 在概率计算中一般是根据随机事件的含义，把随机事件
题型概述
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分成几个互斥事件的和，每个小的事件再分为几个相互独立事件 的乘积，然后根据相应的概率公式进行计算.
题型与方法
例2
第二讲
甲、 丙三人组成一组， 乙、 参加一个闯关游戏团体赛.三人各自独立闯关， 1 1 其中甲闯关成功的概率为 ，甲、乙都闯关成功的概率为 ，乙、丙都闯关成 3 6 1 功的概率为 ，每人闯关成功记 2 分，三人得分之和记为小组团体总分. 5 (1)求乙、丙各自闯关成功的概率； (2)求团体总分为 4 分的概率； (3)若团体总分不小于 4 分，则小组可参加复赛.求该小组参加复赛的概率.
考点与考题
第二讲
第二讲
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概率、随机变量及其分布列
考点与考题
【考点整合】 1.概率的相关知识
第二讲
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考点与考题
第二讲
2.离散型随机变量的分布列、期望与方差 (1)主干知识：随机变量的可能取值，分布列，期望，方差，二项 分布，超几何分布，正态分布.
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解
(1)设乙闯关成功的概率为 P1，丙闯关成功的概率为 P2，
因为乙、丙独立闯关，根据独立事件同时发生的概率公式得：
1 1 P1＝ 3 6 P1· 2＝1 P 5 1 2 ，解得 P1＝ ，P2＝ . 2 5
1 2 所以乙闯关成功的概率为2，丙闯关成功的概率为5.
考点与考题
【对点真题】
第二讲
1.(2012· 广东)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个， 其个位数为0的概率是 4 1 A. B. 9 3 ( D ) 2 C. 9 1 D. 9
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解析 个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数中必一个奇 数一个偶数，所以可以分两类. (1)当个位为奇数时，有5×4＝20(个)符合条件的两位数.
解 (1)由已知条件得
1 即 3p＝1，则 p＝ ， 3
32 113 C2··· (1－p)＋( ) · p＝ 44 4
7 ， 16
1 即走公路②堵车的概率为3.
题型与方法
3 3 2 3 (2)ξ 可能的取值为 0,1,2,3，P(ξ＝0)＝ × × ＝ ， 4 4 3 8 1 3 2 3 3 1 7 1 P(ξ＝1)＝C2× × × ＋ × × ＝ ， 4 4 3 4 4 3 16 1 1 2 1 3 1 1 P(ξ＝2)＝4×4×3＋C1×4×4×3＝6， 2 1 1 1 1 P(ξ＝3)＝ × × ＝ . 4 4 3 48 ξ 的分布列为
题型与方法
人没过关.
第二讲
(2)团体总分为 4 分，即甲、乙、丙三人中恰有 2 人过关，而另外一
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设“团体总分为 4 分”为事件 A， 1 1 2 1 1 2 1 1 2 3 则 P(A)＝(1－3)×2×5＋3×(1－2)×5＋3×2×(1－5)＝10. 3 所以团体总分为 4 分的概率为10. (3)团体总分不小于 4 分，即团体总分为 4 分或 6 分，
2 2 C3＋C2 2 解析 P(A)＝ C2 ＝5， 5 C2 1 2 P(AB)＝ 2＝ ， C5 10
PAB 1 P(B|A)＝ ＝ . PA 4
考点与考题
第二讲
5.(2011· 湖北)已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(2， 2)， P(ξ<4)＝0.8， σ 且 则 P(0<ξ<2)＝ A.0.6
题型与方法
第二讲
题型三
离散型随机变量应用问题 随机变量的引入，为复杂的概率问题引入了一个新的工
题型概述
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具，离散型随机变量的核心是分布列，根据分布列可以求某些事 件的概率和随机变量的期望、方差.
题型与方法
第二讲
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例 3 由于某高中建设了新校区，为了交通方便要用三辆通勤车从新校区把 教师接到老校区，已知从新校区到老校区有两条公路，汽车走公路①堵车 1 3 的概率为 ，不堵车的概率为 ；汽车走公路②堵车的概率为 p，不堵车的 4 4 概率为 1－p，若甲、乙两辆汽车走公路①，丙汽车由于其他原因走公路 ②，且三辆车是否堵车相互之间没有影响. 7 (1)若三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为 ，求走公路②堵车的概率； 16 (2)在(1)的条件下，求三辆汽车中被堵车辆的个数 ξ 的分布列和数学期望.
题型与方法
第二讲
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题型一 题型概述
古典概型和几何概型问题 古典概型和几何概型是最基本、最常见的两种概率问题，
对于古典概型的考查常将等可能事件、互斥事件、相互独立事件 等多种事件交汇在一起进行考查，是高考考查的重点；考纲对几 何概型的要求不高，因此对几何概型的考查难度不大，与平面区 域、空间几何体、函数等结合是命题的一个方向.
答案 3 5
题型与方法
部分的概率为________.
第二讲
(2)从如图所示的长方形区域内任取一个点 M(x， 则点 M 取自阴影 y)，
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阴影部分的面积为 S＝ʃ13x2dx＝x3|1＝1，所以点 M 落在阴影区 0 0 1 域的概率为 . 3 解析
答案 1 3
题型与方法
第二讲