牛顿Newton插值多项式

由插值条件 Nn (x0 ) ? f (x0 ) ，可得
a0 ? f (x0 ) ? f [x0 ]
由插值条件 N n ( x1 ) ? f ( x1 ) ，可得
a1 ?
f (x1) ? f (x0 ) ? x1 ? x0
f [x0, x1]
由插值条件 Nn (x2 ) ? f (x2 ) ，可得
例3 已知函数表
x … 100 121 144 169 …
x … 10 11 12 13 …
试用牛顿线性插值与抛物线插值Hale Waihona Puke Baidu 115 的近似值，并估计截断误差。
解：先构造差商表，取 x0 ? 100,x1 ? 121,x2 ? 144,x3 ? 169
x x 一阶差商 二阶差商
100 10
三阶差商
a2 ?
f (x2 ) ? f (x0) ? f [x0, x1](x2 ? x0 ) ?
(x2 ? x0 )(x2 ? x1)
f
(x2 ) ? x2 ?
f (x0 ) x0
?
f [x0, x1]
x2 ? x1
?
f [x0, x2 ] ? f [x0 , x1] ?
x2 ? x1
f [x1, x0 , x2 ] ?
为此我们引入差商概念：
定义1 设函数f(x)在点 x0 , x1 , x2 , 上的值依次为
f ( x0 ), f ( x1 ), f ( x2 ),
称 f (xj ) ? f (xi ) (i ? j)为f(x)在点 x j ? xi
xi , x j 处的一阶差商，记为 f [xi , x j ] ，即
f [ xi , x j ] ?
f (x j ) ? f (xi ) x j ? xi
称一阶差商的差商 f [ x j , xk ] ? f [ xi , x j ] （i, j, k 互异）
xk ? xi
为f(x)在 xi , x j , xk 处的二阶差商，记为 f [xi , x j , xk ]
f [ x0 , x1,
? ? (min{ x0 , x1,
, xk ] ?
f (k ) (? )
k!
, xk }, max{ x0 , x1,
, xk })
有了差商的概念和性质后，我们就可以用差商 来表示牛顿差值多项式中的系数。
Nn(x) ? a0 ? a1(x? x0)? a2(x? x0)(x? x1)?? ? an(x? x0)? (x? xn?1)
f [x0 , x1, x2 ]
一般地，可以证明有 于是，满足插值条件
ak ? f [ x0 , x1, , xk ]
Nn (xi ) ? f (xi ) 的n 次牛顿插值多项式为
(i ? 0,1,2, , n)
Nn (x) ? f [ x0 ] ? f [ x0 , x1](x ? x0 ) ? f [ x0 , x1, x2 ](x ? x0 )(x ? x1) ? ? f [ x0 , x1, , xn ](x ? x0 )(x ? x1) ( x ? xn?1)
即
f [ xi , x j , xk ] ?
f [ x j , xk ] ? f [ xi, x j ] xk ? xi
一般地，称 m-1 阶差商的差商
f [ x0 , x1,
, xm ] ? f [ x1, x2 ,
, xm ] ? f [ x0 , x1, xm ? x0
, xm?1]
为 f(x) 在点 x0 , x1, , xm 处的m阶差商。
0.047619
121 11
-0.00009411
0.043478
0.0000003138
144 12
-0.00007246
0.040000
169 13
由差商表，牛顿插值多项式的系数依次为
f [x0 ] ? 10, f [x0 , x1] ? 0.047169, f [x0 , x1, x2 ] ? ? 0.00009411, 牛顿线性插值多项式为
特别地，规定零阶差商 f [xi ] ? f (xi )
为便于应用，通常采用差商表，例如
xk f [xk ] 一阶差商
x0 f [x0 ] f [x0 , x1]
二阶差商
三阶差商
x1 f [x1 ]
f [ x1, x2 ]
f [ x0 , x1 , x2 ] f [x0 , x1, x2 , x3 ]
x2 f [x2 ]
f [ x1 , x2 , x3 ]
f [x2 , x3 ]
x3 f [x3 ]
差商有如下性质：
性质1 k阶差商 f [x0 , x1, , xk ] 是由函数值 f ( x0 ), f (x1 ), , f (xk ) 线性组合而成的，即
? f [x0, x1,
k
, xk ] ? j?0 (xj ? x0)
f (xj ) (xj ? xj?1)(xj ? xj?1)
(xj ? xk )
性质2 差商具有对称性，即在 k阶差商
f [x0 , x1, , xk ] 中任意调换 2个节点 xi 和 x j
的顺序，其值不变。
性质3 k阶差商 f [ x0 , x1 , , xk ] 和 k 阶导数
f (k) (x) 之间有如下重要关系：
插商与牛顿 (Newton) 插值多项式
构造拉格朗日插值多项式
? ? n
Ln(x) ? yklk (x) ?
k?0
yk
(x ? x0) (xk ? x0)
(x ? xk?1)(x ? xk?1) (xk ? xk?1)(xk ? xk?1)
(x ? xn) (xk ? xn)
其形式具有对称性，即便于记忆，
这种形式的插值多项式称为 n次牛顿插值多项式。
记为 Nn (x) ，即
Nn(x) ? a0 ? a1(x? x0)? a2(x? x0)(x? x1)?? ? an(x? x0)? (x? xn?1) ⑧ 其中系数 a i (i ? 0,1, , n) 可由插值条件
N n ( xi ) ? yi
(i ? 0,1, , n) 确定。
N1(x) ? 10 ? 0.047169 (x ? 100 )
又便于应用与编制程序。
由于公式中的 lk ( x) ( k ? 0,1 , , n ) 都依赖于全部插值节点在增加或减少节点时，
必须全部重新计算。
为克服这个缺点，把插值多项式构造成如下形式
a0 ? a1(x? x0)? a2(x ? x0)(x? x1) ? ? ? an(x ? x0)? (x ? xn?1)