集合论与图论参考答案

℘({∅, {∅}}) = {∅, {∅}, {∅, {∅}} }
这是错误的，记住对任意的集合A，℘(A)中的元素个数总是2的幂，所以不可能是3个元素。注意下面 几个集合的差别：
∅
{∅}
{{∅}}
{{{∅}}}
对于(3)，有些同学没有想到上面的说明方法，对于计算℘℘℘({∅})又没有耐心，所以要么计算错，要 么直接写上了答案（我怀疑是参考别人的答案）。对于(4)，很多同学忘记了 ℘(A) = A这个等式， 而在计算时也有不少同学出错，最多错的答案是：
(1) A ∪ B ∪ C ∪ D = {−7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 15, 16, 18, 21, 24, 27, 30, 32, 64}
(2) A ∩ B ∩ C ∩ D = ∅ (3) B − (A ∪ C) = {−7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 4, 5, }
若 且 ，则 。 (5) A∈B B∈C A∈C
解答：
(1) 该命题为真。因为B ⊆ C意味着对任意的x，若x∈B，则x∈C，因此若A∈B，则A∈C。
该命题为假。例如 ，则 及 ，但 。 的子 (2)
A = {1}, B = {{1}}, C = {{1}, 2} A∈B B ⊆ C A ⊆ C C
由 ， 就得到 。 A∪ ∼ A = E B ∩ E = B, C ∩ E = C
B=C
点评：这一比较简单，类似课堂上举的例子：A ∩ B = A ∩ 且C A ∪ B = A ∪ C蕴含B = C，但有
些同学没有认真听课，而没有想到这一点。
作业1.8 化简下列各式
(1)(A ∩ ⊆ ℘(∅) (4) {∅} ∈ ℘(∅)
解答：
(2) ∅ ∈ ℘(∅) (5) {∅} ∈ ℘(℘(∅))
(3) {∅} ⊆ ℘(∅) (6) {∅} ⊆ ℘(℘(∅))
℘(∅) = {∅} ℘(℘(∅)) = ℘({∅}) = {∅, {∅}} ℘(℘(℘(∅))) = ℘({∅, {∅}}) = {∅, {∅}, {{∅}}, {∅, {∅}} }
解时就写得非常复杂，实际上此题用一般常识求解非常简单，所以这不是一个考察集合计数的好题 目！
作业1.6 寻找下列集合等式成立的充分必要条件，并证明：
(1) (A − B) ∪ (A − C) = A
(2) (A − B) ∪ (A − C) = ∅
(3) (A − B) ∩ (A − C) = A
(4) (A − B) ∩ (A − C) = ∅
(4) (∼ A ∩ B) ∪ C = {−7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 3, 4, 5, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30}
点评：有些同学说A ∩ B ∩ C ∩ D = {∅}，这是错误的，注意∅与{∅}是两个完全不同的集合！ 作业1.4 计算广义并与广义交
∩
B
=
∅当
作业1.7 设A, B, C是三个集合，若A ∩ B = A ∩ 且C ∼ A ∩ B =∼ A ∩ C，证明B = C 解答：由 且 有： A ∩ B = A ∩ C ∼ A ∩ B =∼ A ∩ C
(A ∩ B) ∪ (∼ A ∩ B) = (A ∩ C) ∪ (∼ A ∩ C)
从而
(A∪ ∼ A) ∩ B = (A∪ ∼ A) ∩ C
根据上面的计算，有(1),(2),(3),(5),(6)成立，而(4)不成立。 点评：有些同学认为℘(∅) = ∅，这是错误的！
1
作业 设 为整数集合 的子集，其中 1.3 A, B, C, D
Z
A = {1, 2, 7, 8}, B = {x | x2 < 50}, C = {x |
素可）：被 整除 ，求下列集合（枚举结果集合的元 x 3 ∧ 0 ≤ x ≤ 30}, D = {x | x = 2k ∧ k∈Z ∧ 0 ≤ k ≤ 6}
|A ∩ B ∩ C| = 20
55人至少乘坐过其中的两种，即：
|A ∩ B| + |A ∩ C| + |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C| = 55
3
从而
|A ∩ B| + |A ∩ C| + |B ∩ C| = 35
每样乘坐一次的费用是5元，而总共收入700元，即总共乘坐140次，从而只乘坐一种的儿童人数是：
第一章 集合、关系和函数
1.1 集合
作业1.1 设A,B,C为任意集合，判断下列各命题是否为真，并证明你的结论：
若 且 ，则 ； (1) A∈B B ⊆ C A∈C
若 且 ，则 ； (2) A∈B B ⊆ C A ⊆ C
若 且 ，则 ； (3) A ⊆ B B∈C A∈C
若 且 ，则 ； (4) A ⊆ B B∈C A ⊆ C
140 − ((|A ∩ B| + |A ∩ C| + |B ∩ C|) ∗ 2 + (|A ∩ B ∩ C|) ∗ 3) = 10
从而至少乘坐一次的儿童有10 + 20 + 35 = 65，也就是说，只有10人没有乘坐其中任何一种。 点评：这一题无论用容斥原理还是文氏图求解好像都容易误入歧途，许多同学在用容斥原理求
作业1.5 75名儿童到游乐场去玩，可以骑旋转木马，坐滑行铁道，乘宇宙飞船。已知其中20人这 三种东西都玩过，55人至少乘坐过其中的两种，若每样乘坐一次的费用是5元，游乐场在这些儿童身 上共收入700 元，试确定有多少儿童没有乘坐其中任何一种。
解答：设A, B, C分别是玩过骑旋转木马，坐滑行铁道，乘宇宙飞船的儿童，按题意，20人这三种 东西都玩过，即：
解答：首先有：
(A − B) ∪ (A − C) = A − (B ∩ C) (A − B) ∩ (A − C) = A − (B ∪ C)
// 德摩尔根律 // 德摩尔根律
而课堂上已经证明：对任意集合A, ，B A −
有A
−B = (1) (A
∅当且仅当A ⊆
− B) ∪ (A − C)
B。因此： = A当且仅当A
4
(2) A ∪ (B − A) − B (3) ((A ∪ B ∪ C) ∩ (A ∪ B)) − ((A ∪ (B − C)) ∩ A)
解答：注意，下面的U是全集，
(1) (A ∩ B) ∪ (A − B) = (A ∩ B) ∪ (A∩ ∼B) = A ∩ (B∪ ∼B) =A∩U =A
(2) A ∪ (B − A) − B = (A ∪ (B∩ ∼A)) − B = ((A ∪ B) ∩ (A∪ ∼A) − B = (A ∪ B)∩ ∼B = (A∩ ∼B) ∪ (B∩ ∼B) = A∩ ∼B
// 吸收律 // 补交转换律 // 分配律 // 零律、同一律
点评：这几题实际上非常简单，但是有些人不记得使用吸收律，所以第(3)题做得非常复杂，另外 有些人认为(A∪B)−B = A或者(A∪B)−A = B等，这都是错误的！另外，按照教材所说，∩, ∪, −的 优先级是一样的，如果它们在一起，则从左至右计算，所以A ∪ (B − A) − B = (A ∪ (B − A)) − B， 而非A ∪ ((B − A) − B)，有些同学理解成这样了，从而第(2)题的公式化简为A。
= {3, 4} ∪ {{3}, {4}} ∪ {3, {4}} ∪ {{3}, 4}
= {3, 4, {3}, {4}} (2) ℘( {{∅}, {{∅}}})
= ℘({∅} ∪ {{∅}})
= ℘({∅, {∅}})
= {∅, {∅}, {{∅}}, {∅, {∅}} }
由于 ，因此 (3) ℘({∅}) = {∅, {∅}}
// 补交转换律 // 分配律 // 零律、同一律 // 补交较转换律 // 分配律 // 零律、同一律、补交转换律 // 分配律 // 零律、同一律
(3) ((A ∪ B ∪ C) ∩ (A ∪ B)) − ((A ∪ (B − C)) ∩ A) = (A ∪ B) − A = (A ∪ B)∩ ∼A = (A∩ ∼A) ∪ (B∩ ∼A) = B∩ ∼A
B −
= (B
A当且仅当A ∩ B = ∅，另外根据子集关系的性质
当且仅当 ； ∩ C) = A
A∩B∩C =∅
当且仅当 当且仅当 ； (2) (A − B) ∪ (A − C) = ∅
A − (B ∩ C) = ∅
A⊆B∩C
当且仅当 当且仅当 ； (3) (A − B) ∩ (A − C) = A
子集只(5)有该∅命和题{1为, 2假}。。例如A = ， {1} B = ，而 {{1}} C = ，则 ， ，但 {{{1}}} A∈B B∈C A ∈ C，C的元
素只有{{1}}。
点评：这一题错的同学比较少，但是对于不成立的命题不能用一般的证明方法，而必须使用例
子来说明！
作业1.2 计算℘(∅), ℘(℘(∅))，以及℘(℘(℘(∅)))，并判断下面的命题是否成立：
集只有 。 ∅, {{1}}, {2}, {{1}, 2}
该命题为假。例如 (3)
A=
∅, B
=
{1}, C
=
，则 {{1}} A
⊆
B（空集是任意集合的子集），
且B = {1}∈C，但显然A ∈ C，因为C中只有一个元素，那就是{1}。
(4) 该命题为假。例如A = ， {1} B = {1, 2}，而C = {{1, ，则 2}} A ⊆ B，B∈C，但A ⊆ C，C的
(1)
当A ⊆∼(B ∩ C)。对于(2)，A ⊆ B ∩ C当且仅当A ⊆ 且B A ⊆ C。对于(3)，类似(1)有(3)式成立当且
仅当A ⊆∼(B ∪ C)。最后，对于(4)，不能说其成立的充要条件是A ⊆ 或B A ⊆ C。
点评：有的同学在这里不会利用德摩尔根律，从而做得有些复杂。有些同学认为A 且仅当A = ∅或者B = ∅，这是错误的！但注意，若A ∪ B = ∅则必有A = 及∅ B = ∅。
(1) (3)
解答：
{{3, 4}, {{3}, {4}}, {3, {4}}, {{3}, 4}} {℘(℘(℘({∅}))), ℘(℘({∅})), ℘({∅})}
(2) ℘( {{∅}, {{∅}}}) (4) ℘({{∅}, {{∅}}})
(1) {{3, 4}, {{3}, {4}}, {3, {4}}, {{3}, 4}}
℘({∅}) ⊆ ℘(℘(℘({∅})))
{℘(℘(℘({∅}))), ℘(℘({∅})), ℘({∅})} = ℘({∅}) = {∅, {∅}}
(4) 课堂上已经证明，对任意的集合A，总有 ，因此 ℘(A) = A
℘({{∅}, {{∅}}}) = {{∅}, {{∅}}}
点评：对于(2) 还是有些同学在计算℘({∅,{∅}})时出错，例如有些同学给出的答案是：
(1) A ∪ B ∪ C ∪ D
解答：
(2) A ∩ B ∩ C ∩ D
(3) B − (A ∪ C)
(4) (∼ A ∩ B) ∪ C
因此
A = {1, 2, 7, 8} B = {−7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} C = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30} D = {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64}
℘({{∅}, {{∅}}}) = {∅, {∅}, {{∅}} }
其根本原因还是上面那些集合之间的差别没有弄得很清楚，实际上：
℘({{∅}, {{∅}}})
= {∅, {{∅}}, {{{∅}}}, {{∅}, {{∅}}} }
= ∅ ∪ {{∅}} ∪ {{{∅}} } ∪ {{∅}, {{∅}} } = {{∅}, {{∅}} }
且 ∅ ⊆ ℘({∅})
{∅} ⊆ ℘({∅})
所以
且 ∅∈℘(℘({∅}))
{∅}∈℘(℘({∅}))
2
从而也有： 从而 总之有：
且 ∅ ⊆ ℘(℘({∅}))
{∅} ⊆ ℘(℘({∅}))
且 ∅∈℘(℘(℘({∅})))
{∅}∈℘(℘(℘({∅})))
从而：
℘({∅}) ⊆ ℘(℘({∅}))
A − (B ∪ C) = A
A ∩ (B ∪ C) = ∅
当且仅当 当且仅当 ； (4) (A − B) ∩ (A − C) = ∅
A − (B ∪ C) = ∅
A⊆B∪C
注意：对于 有 ，因此 式成立也当且仅 (1) A ∩ B ∩ C = A∩ ∼(∼(B ∩ C)) = A − (∼(B ∩ C))