数值分析实验报告(附程序)

Pn ( x ) L i ( x ) y i
i 0
n
其中 Li(x) 为 n 次多项式：
L i (x)
( x x 0 )( x x 1 ) ( x x i 1 )( x x i 1 ) ( x x n ) ( x i x 0 )( x i x 1 ) ( x i x i 1 )( x i x i 1 ) ( x i x n )
f ( x)
2i , n
n
1 1 25 x 2
i 0,1, 2, , n
区间[-考虑设计 1,1]的一个等距划分，节点为
xi 1
则拉个朗日插值多项式为
Ln ( x )
1 l ( x) 2 i i 0 1 25 xi
其中的 li(x),i=0,1,2,…,n 是 n 次 Lagrange 插值基函数。 设计要求： 1．选择不断增大的分点数 n=2,3,… *画出原函数 f(x)及插值多项式函数 Ln(x)在[-1,1]上的图像； *给出每一次逼近的最大误差； *比较并分析实验结果。 2．选择其它函数，例如定义在区间[-5,5]上的函数。
if(Nb==1) x0=linspace(a,b,Nd+1);y0=feval(f,x0); x=a:0.1:b;y=lagrange(x0,y0,x); fplot(f,[a,b],'co'); hold on; plot(x,y,'b--'); xlabel('x') ;ylabel('y=f(x)o and y=ln(x)--'); hold on; f1=1./(1+25*x.^2); err=max(abs(y-f1)); result=inputdlg({'请输入插值点数N:'},'charpt_2',1,{'10'}); xc=-cos(pi*[0:4]/4); x=(a+b)*0.5+(b-a)*xc*0.5; elseif(Nb==2) x0=linspace(a,b,Nd+1);y0=feval(f,x0); x=a:0.1:b; cs=spline(x0,y0);y=ppval(cs,x); plot(x0,y0,'o');hold on;plot(x,y,'k-'); xlabel('x');ylabel('y=f(x) o and y=spline(x)-'); end function y=lagrange(x0,y0,x) n=length(x0); m=length(x); for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j~=k p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s; end t1=clock %获得系统时间
附录
程序代码 1： function t_charpt result=inputdlg({'请选择实验,若选2.1,请输入1,否则输入2:'},'charpt_2',1,{'1'}); Nb=str2num(char(result)); if(Nb~=1)&(Nb~=2) errordlg('实验选择错误!');return;end promps={'请选择实验函数，若选f(x),请输入f,若选h(x),请输入h,若选g(x),请输入g:'}; % 选择所要运算的函数 titles='charpt_2'; result=inputdlg(promps,'charpt 2',1,{'f'}); Nb_f=char(result); if(Nb_f~='f'&Nb_f~='h'&Nb_f~='g') errordlg('实验选择错误！'); return;end result=inputdlg({'请输入插值点数N:'},'charpt_2',1,{'10'}); Nd=str2num(char(result)); if(Nd<1)errordlg('结点输入错误！');return;end switch Nb_f case 'f' f=inline('1./(1+25*x.^2)');a=-1;b=1; case 'h' f=inline('x./(1+x.^4)');a=-5;b=5; case 'g' f=inline('atan(x)');a=-5;b=5; end
h( x )
x , g ( x) arctan x 1 x4
重复上述实验看其结果如何。 3．区间[a,b]上切比雪夫(Chebychev)点的定义为
xk
(2k 1) ba ba cos 2 2 2(n 1)
, k 1, 2, , n 1
f ( x)
（1）.在 MATLAB6.5 中输入函数
1 1 25 x 2
当取不同的分点数 n 时，所得图象与原函数图象对比如下：
n=2 时；最大误差为： Max[L(x)－f(x)]=0.6462
n=3 时，max[L(X)-f(X)]=0.7070；
n=6 时，max[L(X)-f(X)]=0.6169；
数值分析课程设计
课程设计的目的和意义： 《课程设计》是数值分析的同步课程，是《数值分析》的上机实习课。 《数值分析》 课程中构造了各种有效的算法和有效公式，同学们通过上机 作课程设计，学习揣摩这些算法的思想和构造，评价算法的优劣性。 通过上机， 可以提高我们运用数学软件编程解决问题的能力，为今后从事 科学计算和软件开发打下良好的基础。 课程设计的题目： 多项式插值的 Runge 振荡现象 设计目的： 通过对多项式插值现象的观察, 了解多项式的次数与逼近效果的关系，提高同 学们分析实验结果的能力。 问题提出： 考虑在一个固定区间上用插值逼近一个函数。显然，Lagrange 插值中使用的 节点越多， 插值多项式的次数就越高。 我们自然关心插值多项式增加时， Ln(x) 是否也更加靠近被逼近的函数。龙格(Runge)给出的一个例子是极著名并富有 启发性的。设区间[-1,1]上的函数
（3）. 以上实验是从对区间的等距划分而作出的拉格朗日多项式，也因此产生 了龙格振荡现象，现在我们通过用切比雪夫点来对上述各函数的区间进行划分， 以此来建立拉格朗日多项式， 看这样建立的拉格朗日多项式是否还会出现龙格振 1 荡现象。 还是考虑函数 f ( x) ，为了与等距节点进行比较，我们 1 25 x 2 仍然选取节点数不断增多的拉格朗日多项式。得到不同图象：
计算机配置：AMD athlon（tm） 1.73GHz，512MB内存。 CPU时间：（4.880000-0.020000，4.880000+0.020000）seconds。 运行平台：MATLAB 6.5.1
n=3 时；
n=6 时；
Байду номын сангаас
n=11 时；
n=21 时。
图象分析： 可见利用切比雪夫点来构造的拉格朗日多项式比等距节点下的拉格朗日多项 式更为有效，随着节点数的增加，逼近程度就越好，它能很好的消除了“龙格现 象” 。 心得体会： 1）深入了解 matlab 运行环境和操作环境，初步学会调试程序，运用绘图命令制 作函数图象。 2）了解 lagrange 插值法龙格的异常现象，以及数值分析的解决方案。 3）懂得如何运用已有的知识更进一步了解未知的问题。 4）独立解决和思考问题的能力有了一定的提高。 参考文献： 《数值分析》华中科技大学出版社。李红 著 《matlab 从入门到精通》人民邮电出版社 求是科技 编著 《数值分析》北京理工大学出版社 史万明 孙新 等 编著
n=4 时，max[L(X)-h(X)]=0.4020；
n=8 时，max[L(X)-h(X)]=0.1708；
n=10 时，max[L(X)-h(X)]=0.1092。
图象分析： 从图象可以看出随着插值节点数的增加出现异常的摆动，中间能较好的接近 原函数，但两边却出现很大的误差。
(3).对定义在（-5，5）上的函数
程序代码 2： x=[-1:0.2:1]; y=1./(1+25.*x.^2); x0=[-1:0.01:1]; y0=lagrange(x,y,x0); y1=1./(1+25.*x0.^2);
plot(x0,y0,'--r'); hold on; plot(x0,y1,'-b'); x2=abs(y0-y1); max(x2) ; 程序代码3： n=3; for i=1:n x(i)=cos(((2.*i-1).*pi)./(2.*(n+1))); y(i)=1./(1+25.*x(i).*x(i)); end x0=-1:0.01:1; y0=lagrange(x,y,x0); y1=1./(1+25.*x0.^2); plot(x0,y0,'--r') hold on plot(x0,y1,'-b')
g(x)=arctanx
在 matlab 里输入相应的 lagrange 插值公式，当 n 取不同的值时，得到相应图象 如下：
n=4 时，max[L(X)-g(X)]=0.4458；
n=8 时，max[L(X)-g(X)]=0.3240；
N=10 时，max[L(X)-g(X)]=0.8066。