分数运算技巧(二)拆项法
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分数计算技巧二
——拆项法
【知识要点和基本方法：】
异分母分数相加减，通常先通分，把异分母分数变成同分母分数后再相加减。有一些分数计算题如果按照常规方法计算就会十分复杂，必须运用某些技巧，寻找简便的方法。当分母之间存在某种特殊规律时，运用这些规律，就能使这些计算简化，如果分母是相邻的两个自然数的乘积，可以通过拆项的方法，使其中一部分分数可以相互抵消，从而简化计算过程。一般地，可以利用下面的等式，巧妙的将分数变形，然后求分数的和。
1 (1) N N+=
1
N
－
1
1
N+
1
(2)
N N+
=
1
2
（
1
N
－
1
2
N+
）
【例题讲解：】
例1计算：
1
12
⨯
+
1
23
⨯
+
1
34
⨯
+
1
45
⨯
+…+
1
4950
⨯
思路点拨：
1
12
⨯
=
1
1
－
1
2 1
23
⨯
=
1
2
－
1
3 1
34
⨯
=
1
3
－
1
4 1
45
⨯
=
1
4
－
1
5 (1)
4950
⨯=
1
49
－
1
50
解：
1
12
⨯
+
1
23
⨯
+
1
34
⨯
+
1
45
⨯
+…+
1
4950
⨯
=1
1
－
1
2
+
1
2
－
1
3
+
1
3
－
1
4
+
1
4
－
1
5
+ ……+
1
49
－
1
50
=1
1
－
1
50
=49 50
例2计算：
1
24
⨯
+
1
46
⨯
+
1
68
⨯
+……+
1
98100
⨯
思路点拨：
1
24
⨯
=
1
2
（
1
2
－
1
4
）1
46
⨯
=
1
2
（
1
4
－
1
6
）1
68
⨯
=
1
2
（
1
6
－
1
8
）………
198100⨯=12（198－1100
） 124⨯+146⨯+168⨯+……+198100
⨯ =12（12－14）+12（14－16）+12（16－18）+……+12（198－1100
） =12（12－14+14－16+16－18+……+198－1100
） =12（12－1100
） =12×49100
=49200
例3 计算1123⨯⨯+1234⨯⨯+……+19899100⨯⨯ 思路点拨：
1123⨯⨯=12（112⨯－123
⨯） 1234⨯⨯=12（123⨯－134
⨯） … … …
19899100⨯⨯=12（19899⨯－199100
⨯） 解： 1123⨯⨯+1234⨯⨯+……+19899100
⨯⨯ =12（112⨯－123⨯）+12（123⨯－134⨯）+……+12（19899⨯－199100
⨯） =12（112⨯－123⨯+123⨯－134⨯+……+19899⨯－199100
⨯） =12（112⨯－199100
⨯） =494919800
例4 计算： 1+112++1123+++11234++++......+1123 (99100)
+++++ 思路点拨：
1+2=
(12)22
+⨯ 1+2+3=(13)32
+⨯ 1+2+3+4=(14)42+⨯ … … …
1+2+3+4+……+100=(1100)100
2
+⨯
解；1+
1
12
+
+
1
123
++
+
1
1234
+++
+……+
1
123 (99100)
+++++
=1+
1
(12)2
2
+⨯
+
1
(13)3
2
+⨯
+
1
(14)4
2
+⨯
+……+
1
(1100)100
2
+⨯
=1+
2
(12)2
+⨯
+
2
(13)3
+⨯
+
2
(14)4
+⨯
+……+
2
(1100)100
+⨯
=2（
1
12
⨯
+
1
23
⨯
+
1
34
⨯
+……+
1
100101
⨯
）
=2（1－1
2
+
1
2
－
1
3
+
1
3
－
1
4
+
1
4
－……+
1
100
－
1
101
）
=2（1－
1 101
）
=1
99 100
模仿练习题；
1．
1
34
⨯
+
1
45
⨯
++
1
4950
⨯
2．
1
13
⨯
+
1
35
⨯
+
1
57
⨯
+……
1
19951997
⨯
+
1
19971999
⨯
3．
1
234
⨯⨯
+
1
345
⨯⨯
+
1
456
⨯⨯
+
1
567
⨯⨯
+
1
678
⨯⨯
+
1
789
⨯⨯
4．1+
1
12
+
+
1
123
++
+……+
1
123 (99100)
+++++
+……+
1
12 3 (1990)
+++
拓展提高：
1．
1
12
+
1
20
+
1
30
+
1
42
+
1
56
+
1
72
+
1
90
2．3
4
+
3
28
+
3
70
+
3
130
+
3
208
3．1+1
2
+
2
2
+
1
2
+
1
3
+
2
3
+
3
3
+
2
3
+
1
3
+……+
1
10
+
2
10
…+
9
10
+
10
10
+
9
10
…+
2
10
+
1
10
4．11+131
6
+15
1
12
+17
1
20
+19
1
30
+21
1
42
+23
1
56
+25
1
72
+27
1
90